На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Реферат Виды преобразования симметрии фигур. Понятие оси и плоскости симметрии. Одновременное применение преобразований поворота и отражения, зеркально-поворотная ось. Сопряженные элементы, подгруппы и общие свойства и классификация групп операций симметрии.

Информация:

Тип работы: Реферат. Предмет: Математика. Добавлен: 25.06.2009. Сдан: 2009. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


7
Симметрия молекул и кристаллов

Преобразования симметрии

1. Симметрия тела определяется совокупностью тех перемещений, которые совмещают тело с самим собой; об этих перемещениях говорят как о преобразованиях симметрии. Каждое из возможных преобразований симметрии можно представит в виде комбинации одного или нескольких из трех основных типов преобразовании. Этими тремя существенно различными видами преобразовании являются:

1 - поворот тела на определенный угол вокруг некоторой оси;

2 - зеркальное отражение в некоторой плоскости;

3 - параллельный перенос тела на некоторое расстояние.

Последним типом преобразований может обладать лишь бесконечная среда (кристаллическая решетка). Тело же конечных размеров (молекула) может быть симметрична только по отношению к поворотам и отражениям.

2. Если тело совмещается само с собой при повороте вокруг некоторой оси на угол =2/n, то такая ось называется осью симметрии n-го порядка и обозначается Cn. Число n может иметь различные целые значения n=2,3.4 ... Значение n=1 соответствует повороту на угол 2/1, или 0, т.е. соответствует тождественному преобразованию. Повторяя операцию Cn два, три и т.д. раз получаем поворот на угол 22/n, 32/n,... и т.д. Эти повороты также совмещают тело само с собой и обозначаются Cn2, Cn3 и т.д. Очевидно, что если n кратно p, то Cnp=Cn/p. Произведя преобразования n раз, мы вернемся в первоначальное положение, т.е. произведем тождественное преобразование, которое принято обозначать символом Е.

3. Если тело совмещается само с собой при зеркальном отражении в некоторой плоскости , то такая плоскость называется плоскостью симметрии. Операцию отражения обычно обозначают также символом . Очевидно, что двукратное отражение в одной плоскости есть тождественное преобразование -1.

4. Одновременное применение обоих преобразований поворота и отражения приводим к так называемой зеркально-поворотной оси Sn. Тело обладает зеркально-поворотной осью n-го порядка, если оно совмещается с самим собой при повороте вокруг этой оси на угол 2/n и последующем отражении в плоскости h, перпендикулярной к этой оси. Это новый вид симметрии, если n четное. Если n-нечетное, то применение этой операции n раз даст поворот на угол 2/n, а нечетное отражение в плоскости даст простое отражение. Только при четном n применение n раз этой операции даст тождественное преобразование, т.е. S2p2p=E. Зеркально-поворотное преобразование обозначается Sn. Поскольку при отражении в плоскости , перпендикулярной оси Cn принято ставить индекс h при плоскость обозначается h. Важным случаем является зеркально-поворотная ось второго порядка S2. Легко сообразить, что поворот на угол с последующим отражением в плоскости h, представляет собой преобразование инверсии I, при котором происходит отражение тела в точке пересечения оси C2 и плоскости h. I=S2=C2h; Ih=C2; IC2=h, т.е. C2, h и I взаимно зависимы: наличие любых двух элементов приводит к существованию третьего.

5. Произведение двух поворотов вокруг осей, пересекающих в точке А есть также некоторое вращение вокруг оси, проходящей через точку А. Ось вращения и угол результирующего движения определяются осями и углами исходных поворотов. Произведение двух отражений 1 и 2 в пересекающихся под углом плоскостях, эквивалентно повороту вокруг оси, совпадающей с линией пересечения этих плоскостей на угол 2, т.е. 21=C (2). Действительно, умножая последнее равенство на 2, получим 1=2C (2), т.е. произведение поворота на угол 2 и отражения в плоскости, проходящей через эту ось, эквивалентно отражению в другой плоскости, пересекающейся с первой под углом .

Другой важный результат состоит в том, что произведения двух вращений на угол вокруг пересекающихся под углом осей U и V эквивалентно вращению вокруг оси ММ, перпендикулярной плоскости, в которой находятся оси U и V, на угол 2=2 (V,U). Действительно, при двух кратном вращении вокруг U и V линия ММ остается в прежнем положении, т.е. это вращение вокруг оси ММ. Для определения угла вращения рассмотрим саму ось U. Вращение вокруг U оставляет ее без изменений, а вращение вокруг V переводит ее в новое положение U`, так что угол между старым U и новым U`положением равен (UU`) =2.

Результат двух последовательных преобразований, вообще говоря, зависит от порядка, в котором эти операции производятся, так что операции не коммутируют. При записи сначала записывается операция, которая производится второй. Однако, следующие операции являются коммутирующими:

1. Два вращения вокруг одной и той же оси CnkCnl=CnlCnk.

2. Два отражения во взаимно перпендикулярных плоскостях - они эквивалентны вращению на угол : xy=C2z=yx,3. Вращение и отражение в плоскости перпендикулярной этой оси Cnh=Sn=hCn (т.е. вращательное отражение). Эту операцию можно рассматривать как фундаментальную.4. Вращение на угол вокруг двух перпендикулярных осей: C2xC2y=C2z.

5. Любой поворот Cn, отражение h и инверсия I (следствие 1 и 3).

Ясно, что для каждой операции симметрии R, которую можно применить к нему, имеется операция, отличающаяся от первой или идентичная ей, которая переводит тело в первоначальное положение. Это обратная операция R-1R=Е

Операции симметрии

Рассматривая симметрию любой фигуры, мы должны среди всех возможных вращении и отражении выбрать те, которые приводят фигуру к совмещению с собой. Эти движения называются операциями симметрии. Операции симметрии надо отличать от элементов симметрии. Оси вращения типа Сn называются n кратными. Зеркально-поворотные оси называются также осями второго рода. В силу предыдущих соотношения имеют место следующие утверждения:

1. Пересечение двух плоскостей симметрии есть ось симметрии. Если угол между плоскостями /n, то ось является n-кратной, т.е. поворот вокруг этой оси на угол 2/n совместить тело с самим собой.

2. Если плоскость симметрии содержит n-кратню ось, то существует еще n-1 плоскостей симметрии, проходящих через ту же ось, причем угол между плоскостями /n. Частный случай: ось С2 и две проходящие через нее ортогональные плоскости всегда существуют вместе.3. Ось четвертого порядка, плоскость перпендикулярная к ней и инверсия всегда существуют вместе, т.к C42h=S2I.

4. Две двукратные оси, образующие угол /n вызывают появление перпендикулярной к их плоскости n-кратной оси.5. Двукратная ось и перпендикулярная к ней n-кратная ось генерирует еще n-1 двукратных осей. Угол между ними /n.

Группы операций симметрии

Система операций симметрии, характерная для данного тела, представляет собой частный случай совокупности, которая в математике называется группой. Набор элементов E, A, B, C... образуют группу, если выполняются следующие четыре постулата:

1. Существует правило умножения, такое, что умножение двух любых элементов группы А и В даст третий элемент этой же группы С, т.е. А*В=С;

2. Имеет место ассоциативный закон (АВ) С=А (ВС);

3. Каждая группа содержит идентичный элемент, для которого АЕ=ЕА=А;

4. Каждый элемент группы имеет обратный Х=А-1, такой, что А-1А= =АА-1. Обратный элемент может совпадать со своим прямым, например E-1=E.

Очевидно, что система всех операции тела, включая и тожественную операцию Е, удовлетворяет перечисленным выше требованиям, и составляет таким образом группу. Однако понятие группы шире. Члены группы могут рассматриваться как отдельные абстрактные элементы, могут быть идентифицированы с вещественными или комплексными числами, с матрицами, с движением геометрической фигурой в пространстве. Правило умножения (композиция) элементов - это обычное умножение или матричное умножение. В случае обычного умножения четыре числа +1, - 1, +i, - i образуют группу, что нетрудно проверить:

1.1* (+1) =1; 1* (-1) =-1; 1* (+¤i) =i; 1* (-i) =-i;

1* (-1) =1; - 1* (+i) =-i; - 1* (-i) =i; i* (i) =-1; i* (-i) =1

2. [1* (-1)] *i=1 [ (-1*i)] =-i;

3. Е=1

4. i-1=-i (-i) - 1=-1 (-i) - 1=i.

Если группа содержит конечное число элементов, она называется конечной группой, а число элементов n называется порядком группы. Если имеет место коммутативный закон АВ=ВА группа называется абелевой, но вообще говоря АВВА. Пусть элементы группы Е, А, B, C, D, F расположены по строкам и столбцам. Произведение АВ пусть стоит на пересечении строки А и столбца В, тогда можно составить таблица умножения элементов:

Таблица 1. Таблица умножения группы

E
A
B
C
D
F
E
E
A
B
C
D
F
A
A
B
E
D
F
C
B
B
E
A
F
C
D
C
C
F
D
E
B
A
D
D
C
F
A
E
B
F
F
D
C
B
A
E
Эти шесть элементов составляют группу. Каждое произведение содержится в группе. Каждый элемент имеет обратный. Группа не абелева, т.к, например, АССА.

Подгруппы

Рассмотрим последовательность X1, X2... Выбранный элемент X и все его степени являются членами группы и группа конечна, поэтому последовательность должна повторить себя. Пусть Xn, тогда X1, X2. Xn называется периодом и обозначается {X}, а n - порядок элемента X. Период элемента А в указанной группе A1, A2, A3, т.е. n=3. Период элемента В: В1, В2=А, В3; n=3. Период С: С1, С2, т.е. n=2. Период любого элемента образует группу, т.к все постулаты для такой совокупности элементов выполнены. Ее называют подгруппой группы G.

{А}={В}= E, A, B

{С}= Е, С{D}= Е, D

{F}= E, F

Можно показать, что порядок подгруппы есть делитель порядка группы. Пусть существует группа G, в которой есть подгруппа H. Пусть элемент g принадлежит G, но не принадлежит подгруппе H. Умножим все элементы h1, h2,... из подгруппы H на элемент g. Элементы комплекса (смежного класса) принадлежат G, но не H, потому что в противном случае hig=hk и g=hkhi-1, что не так. Продолжая этот процесс получим, что все элементы группы G можно представить следующим образом (H - совокупность элементов подгруппы H):

H, Hg1, Hg2,... Hg

в каждом комплексе h элементов (h - порядок H) поэтому g=hm, ибо элементы комплекса Hg1 не принадлежат ни Hgn ни Hgm.

Сопряженные элементы

Если A, B и X - элементы группы и В=XAX-1, то A и В называют сопряженными элементами. Следующие законы относящиеся к сопряженным элементам являются почти очевидными и могут быть проверены с помощью таблицы умножения группы:

1. Каждый элемент сопряжен сам с собой;

2. Если A сопряжено с В, то В сопряжено с A;

3. Если A сопряжено с В, и В сопряжено с С, то A и В сопряжены между собой. Элементы сопряженные друг с другом, образуют класс.Т.о. вся группа распадается на классы

Для группы E, A, B, C, D, F класс A есть A и В, т.к

ЕАЕ-1; ААА-1=A; ВАВ-1

САС-1; DAD-1; FAF-1=B

Подобным же образом можно показать, что класс элемента С (а также D и F) есть C, D, F. Единичный элемент образует класс сам с собой. Поэтому в группе G содержится три класса E; A,B; C,D,F. Число элементов в каждом классе является делителем порядка группы.

Все элементы класса имеют один и тот же порядок.

Действительно, если n порядок A то для B=CAC-1 имеет место соотношение Вn = (CAC-1) n = (CAC-1) (CAC-1) (CAC-1) = CAnC-1 = Е.

ИЗОМОРФИЗМ. Две группы G и G` одинакового порядка называются изоморфными если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие такое, что если AB=C, то A`B`=C`.

Общие свойства групп симметрии

Из самого определения операции симметрии видно, что они удовлетворяют постулатам, сформулированным для группы. Следовательно, полный набор операций симметрии некоторой фигуры образует группу. Любая операция группы преобразует систему элементов симметрии в самое себя, т.к фигура, к которой принадлежит эта система элементов, согласно определению операции симметрии, приводится к совпадению с собой. Элементы симметрии, которые таким образом могут быть преобразованы один движения. Другими словами все оси и плоскости симметрии молекулы должны пересекаться в одной точке. Перед тем как перейти к построению возможных типов точечных групп, рассмотрим простой геометрический способ, позволяющий легко произвести разделение элементов групп по классам. Пусть Oa некоторая ось и элемент A есть поворот вокруг этой оси на некоторый угол. Пусть далее G элемент из той же группы (поворот или отражение) который будучи применен к той же оси Оa переводит ее в положение Оb. Можно показать, что тогда элемент W=GAG-1 отвечает повороту вокруг оси Оb на такой же угол, на который элемент А поворачивает пространство вокруг Оa. Действительно, рассмотрим воздействие GAG-1 на ось Оb. Преобразование G-1 переводит Оa в Оb; преобразование A (поворот) оставляет ось на месте; последующая операция G переводит Oa в Ob. Поскольку результирующая операция GAG-1 оставляет ось Оb на месте, то Оb есть ось вращения. Поскольку А и В сопряжены, они относятся к одному классу и имеют одинаковый порядок, т.е. производят поворот на один и тот же угол. Покажем математически, что Вn

Вp= (GAnG-1) p=GAnG-1GAnG-1... GAnG-1=GAnAnAn. AnG-1=GAnpG-1

Это выражение равно E при p=n и не является операцией идентичности при всех других значениях p. Таким образом, два поворота а одинаковый угол относятся к одному классу, если в числе элементов группы имеется преобразование, с помощью которого можно совместить одну ось поворота с другой. Точно также две операции в плоскости относятся к одному классу, если есть операция переводящая одну ось в другую. Если же оба поворота производятся вокруг одной и той же оси, то операции поворота будут относится к одному и тому же классу, если ось двусторонняя. Элемент, обратный Сnk (k=1,2,. n-1) вокруг оси порядка n, будет Сn-k=Сnn-k, т.е. представляет собой поворот на угол (n-k) 2/n в том же направлении или на угол k2/n в обратном направлении. Если в числе преобразовании группы имеется поворот на угол вокруг оси, перпендикулярной данной Сn (меняет направление оси), то согласно доказанному общему правилу Сnk и Сn-k относятся к одному классу. Отражение в плоскости h тоже меняет направление оси, но меняет также и направление вращения. Таким образом наличие h не делает Сnk и Сn-k сопряженными. Отражение в v не меняет направление оси, но меняет направление вращения и поэтому Cn-k=vCnkv/

Итак, различные типы элементов симметрии могут входить в различные классы. Число элементов в каждом классе определяется путем рассмотрения числа сопряженных и т.д.................


Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.