На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


реферат Комплексные числа и их применение

Информация:

Тип работы: реферат. Добавлен: 02.09.2012. Сдан: 2011. Страниц: 11. Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%

Описание (план):


МОУ ГИМНАЗИЯ № 86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

РЕФЕРАТ 
 

На тему: 
 

«КОМПЛЕКСНЫЕ  ЧИСЛА И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ» 
 
 
 
 
 
 

              Выполнил  ученик:
              8Б  класса  Ширшов М.Ю.  

              Проверил  преподаватель:
              первой  квалификационной категории Кусова В.М. 
               
               
               
               
               
               
               
               
               
               

Нижний  Тагил, 2010 
Содержание
 

 

Введение

 
    Комплексные числа были введены в математику для того, чтобы сделать возможной операцию извлечения квадратного корня из любого действительного числа. Это, однако, не является достаточным основанием для того, чтобы вводить в математику новые числа. Оказалось, что если производить вычисления по обычным правилам над выражениями, в которых встречаются квадратный корень из отрицательного числа, то можно прийти к результату, уже не содержащему квадратный корень из отрицательного числа. В XVI в. Кардано нашел формулу для решения кубического уравнения. Оказалось, когда кубическое уравнение имеет три действительных корня, в формуле Кардано встречается квадратный корень из отрицательного числа. Поэтому квадратные корни из отрицательных чисел стали употреблять в математике и назвали их мнимыми числами – тем самым они  как бы приобрели право на нелегальное существование. Полные гражданские права мнимым числам дал Гаусс, который назвал их комплексными числами, дал геометрическую интерпретацию и доказал основную теорему алгебры, утверждающую, что каждый многочлен имеет хотя бы один действительный корень.
    Решение многих задач физики и техники  приводит к квадратным уравнениям с отрицательным  дискриминантом.  Эти  уравнения не имеют  решения в области действительных чисел. Но решение многих таких задач имеет вполне определенный физический смысл. Значение величин, получающихся в результате решения указанных уравнений, назвали комплексными числами. Комплексные числа широко использовал отец русской авиации Н. Е. Жуковский (1847 – 1921) при разработке теории крыла, автором которой он является. Комплексные числа и функции от комплексного переменного находят применение во многих вопросах науки и техники.
    Выбор темы исследовательского проекта “комплексные числа и их применение”  представляется актуальным, так как в школьном курсе они не изучаются, хотя комплексные числа имеют широкое применение в других разделах математики.
    Объектом  изучения в данной работе является развитие комплексных чисел в разных разделах математики.
    Предметом изучения стали теоретические положения  о комплексных числах.
    Целью работы является знакомство с теоретическим  материалом по теме «Комплексные числа» и применение теорем на практике.
    Задачи  данного исследования:
      Ознакомится с историей возникновения и развития комплексных чисел
      Дать понятие комплексного числа и рассмотреть свойства комплексных чисел
      Изучить действия с комплексными числами
      Проанализировать изученный материал
      Решить задачи на применение комплексных переменных
      Сделать выводы о проделанной работе
 

1 История возникновения комплексных чисел

1.1 Развитие понятия о числе

 
    Древнегреческие математики считали “настоящими” только натуральные числа. Постепенно складывалось представление о бесконечности множества натуральных чисел.
    В III веке Архимед разработал систему обозначения вплоть до такого громадного как . Наряду с натуральными числами применяли дробные числа, составленные из целого числа долей единицы. В практических расчетах дроби применялись за две тысячи лет до н. э. в древнем Египте и древнем Вавилоне. Долгое время полагали, что результат измерения всегда выражается или в виде натурального числа, или в виде отношения таких чисел, то есть дроби. Древнегреческий философ и математик Пифагор учил, что “… элементы чисел являются элементами всех вещей, и весь мир в целом является гармонией и числом. Сильнейший удар по этому взгляду был нанесен открытием, сделанным одним из пифагорейцев. Он доказал, что диагональ квадрата несоизмерима со стороной. Отсюда следует, что натуральных чисел и дробей недостаточно, для того чтобы выразить длину диагонали квадрата со стороной 1. Есть основание утверждать, что именно с этого открытия начинается эра теоретической математики: открыть существование несоизмеримых величин с помощью опыта, не прибегая к абстрактному рассуждению, было невозможно.           
      Следующим важным этапом в  развитии понятия о числе было  введение отрицательных чисел - это было сделано китайскими математиками за два века до н. э. Отрицательные числа применяли в III веке древнегреческий математик Диофант, знавший уже правила действия над ними, а в VII веке эти числа уже подробно изучили индийские ученые, которые сравнивали такие числа с долгом. С помощью отрицательных чисел можно было единым образом описывать изменения величин. Уже в VIII веке было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения - положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратный корень извлекать нельзя: нет такого числа , чтобы .

  1.2 На пути к комплексным числам

 
    В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. В формуле для решения кубических уравнений вида кубические и квадратные корни: .
      Эта формула безотказно действует  в случае, когда уравнение имеет  один действительный корень ( x=1), а если оно имеет три действительных корня ( x1=1 x2,3 = ), то под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число. Получалось, что путь к этим корням ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Вслед за тем, как были решены уравнения 4-й степени, математики усиленно искали формулу для решения уравнения 5-й степени. Но Руффини (Италия) на рубеже XVIII и XIX веков доказал, что буквенное уравнение пятой степени нельзя решить алгебраически; точнее: нельзя выразить его корень через буквенные величины a, b, c, d, e с помощью шести алгебраических действий (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень,  извлечение корня).
      В 1830 году Галуа (Франция) доказал,  что никакое общее уравнение,  степень которого больше чем  4, нельзя решить алгебраически.   Тем не менее, всякое уравнение n-й степени имеет (если рассматривать и комплексные числа) n корней (среди которых могут быть и равные). В этом математики были убеждены еще в XVII веке (основываясь на разборе многочисленных частных случаев), но лишь на рубеже XVIII и XIX веков упомянутая теорема была доказана Гауссом.
    Итальянский алгебраист Дж. Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система уравнений , не имеющая решений во множестве действительных чисел, имеет решения вида , , нужно только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры и считать что .

1.3 Утверждение комплексных чисел в математике

 
    Кардано называл такие величины “чисто отрицательными” и даже “софистически отрицательными”, считал их бесполезными и старался их не употреблять. В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение какой-нибудь величины. Но уже в 1572 году вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней. Название “мнимые числа” ввел в 1637 году французский математик и философ Р. Декарт, а в 1777 году один из крупнейших математиков XVIII века - Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа (мнимой единицы). Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу .  Термин “комплексные числа”  так же был введен Гауссом в 1831 году. Слово комплекс (от латинского complexus) означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т. д. Образующих единое целое.
      В течение XVII века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимых чисел, возможности дать им геометрическое обоснование. 
      Постепенно развивалась техника  операций над мнимыми числами.  На рубеже XVII и XVIII веков была построена общая теория корней n-ых степеней сначала из отрицательных, а за тем из любых комплексных чисел, основанная на следующей формуле английского математика А. Муавра (1707): . С помощью этой формулы можно было так же вывести формулы для косинусов и синусов кратных дуг. Л. Эйлер вывел в 1748 году замечательную формулу : ,  которая связывала воедино показательную функцию с тригонометрической. С помощью формулы Л. Эйлера можно было возводить число e в любую комплексную степень. Любопытно, например, что . Можно находить sin и cos от комплексных чисел, вычислять логарифмы таких чисел, то есть строить теорию функций комплексного переменного.
      В конце XVIII века французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализ уже не затрудняют мнимые величины. С помощью мнимых чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Такие уравнения встречаются, например,  в теории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде. Еще раньше швейцарский математик Я. Бернулли применял комплексные числа для решения интегралов.
      Хотя в течение XVIII века с помощью комплексных чисел были решены многие вопросы, в том числе и прикладные задачи, связанные с картографией, гидродинамикой и т. д., однако еще не было строго логического обоснования теории этих чисел. По этому французский ученый П. Лаплас считал, что результаты, полученные с помощью мнимых чисел, - только наведение, приобретающее характер настоящих истин лишь после подтверждения прямыми доказательствами.
      “Никто ведь не сомневается  в точности результатов, получаемых  при вычислениях с мнимыми количествами, хотя они представляют собой только алгебраические формы иероглифы нелепых количеств” Л. Карно.
      После создания теории комплексных  чисел возник вопрос о существовании “гиперкомплексных” чисел - чисел с несколькими “мнимыми” единицами. Такую систему вида , где , построил в 1843 году ирландский математик У. Гамильтон, который назвал их “кватернионами”. Правила действия над кватернионами напоминает правила обычной алгебры, однако их умножение не обладает свойством коммутативности (переместительности): например, , а . Гиперкомплексные числа не являются темой моего реферата, поэтому я лишь упоминаю об их существовании.
      Большой вклад в развитие теории функций комплексного переменного внесли русские и советские ученые Н. И. Мусхелишвили занимался ее применениями к упругости, М. В. Келдыш и М. А. Лаврентьев - к аэро- и гидродинамике, Н. Н. Богомолов и В. С. Владимиров - к проблемам квантовой теории поля.
 

2 Комплексные числа и их свойства

2.1 Понятие комплексного числа

 
    Решение многих задач математики, физики  сводится  к  решению алгебраических уравнений. Поэтому исследование алгебраических уравнений является одним из важнейших вопросов в математике. Стремление сделать уравнения разрешимыми – одна из главных причин расширения понятия числа.
    Так для решимости уравнений вида   X?+A=B  положительных чисел недостаточно. Например, уравнение  X?+5=2  не имеет положительных корней. Поэтому приходится вводить отрицательные числа и нуль.
    На  множестве рациональных чисел разрешимы  алгебраические уравнения первой степени, т.е. уравнения вида  A·X+B=0 (A 0).  Однако алгебраические уравнения степени выше первой могут не иметь рациональных корней. Например, такими являются уравнения X2=2, X3=5. Необходимость решения таких уравнений явилось одной из причин введения иррациональных чисел. Рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел. 
    Однако  и действительных чисел недостаточно для того, чтобы решить любое алгебраическое уравнение. Например, квадратное уравнение с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом не имеет действительных корней. Простейшее из них – уравнение X2+1=0. Поэтому приходится расширять множество действительных чисел, добавляя к нему новые числа. Эти новые числа вместе с действительными числами образуют множество, которое называют множеством комплексных чисел.
      Выясним предварительно, какой вид  должны иметь комплексные числа. Будем считать, что на множестве комплексных чисел уравнение X2+1=0 имеет корень. Обозначим этот корень буквой i Таким образом, i – это комплексное число, такое, что i 2= –1.
    Как и для действительных чисел, нужно  ввести операции сложения и умножения  комплексных чисел так, чтобы сумма и произведение их были бы комплексными числами. Тогда, в частности, для любых действительных чисел   A и B выражение A+B·i можно считать записью комплексного числа в общем виде. Название “комплексное” происходит от слова “составное”: по виду выражения A+B·i.
    Комплексными  числами  называют выражения вида A+B·i, где A и B –действительные числа, а i – некоторый символ, такой что i2= –1, и обозначают буквой Z.
    Число A называется действительной частью комплексного числа A+B·i,       а число B – его мнимой частью. Число i называется мнимой единицей.
    Например, действительная часть комплексного числа 2+3·i  равна 2, а мнимая равна 3.
    Для строгого определения комплексного числа нужно ввести для этих чисел  понятие равенства.
    Два комплексных числа A+B·i и C+D·i называются равными тогда и только тогда, когда A=C и B=D, т.е. когда равны их действительные и мнимые части.

  2.2 Геометрическая интерпретация комплексного числа

 
    Действительные  числа геометрически изображаются точками числовой прямой. Комплексное число A+B·i можно рассматривать как пару действительных чисел(A;B). Поэтому  естественно комплексное число изображать точками плоскости. В прямоугольной системе координат комплексное число       Z=A+B·i  изображается точкой плоскости с координатами (A;B), и эта точка обозначается той же буквой Z (рисунок 1). Очевидно, что получаемое при этом соответствие является взаимно однозначным. Оно дает возможность интерпретировать комплексные числа как точки плоскости на которой выбрана система координат. Такая координатная плоскость называется комплексной  плоскостью. Ось абсцисс называется действительной осью, т.к. на ней расположены точки соответствующие действительным числам. Ось ординат называется  мнимой осью – на ней лежат точки, соответствующие мнимым комплексным числам.
    
    Рис. 1
    Не  менее важной и удобной является интерпретация комплексного числа  A+B·i как вектора, т.е. вектора с началом в точке O(0;0) и с концом в точке М(A;B) (рисунок 2).
    
    Рис. 2
    Соответствие  установленное между множеством комплексных чисел, с одной стороны, и множествами точек или векторов плоскости, с другой, позволяет комплексные числа изображать точками или векторами.

2.3 Модуль комплексного числа

 
    Пусть дано комплексное число Z=A+B·i. Сопряженным с Z называется комплексное число A – B·i, которое обозначается = =A – B·i.
    Отметим, что  = A+B·i, поэтому для любого комплексного числа Z имеет место равенство =Z.
    Модулем комплексного числа Z=A+B·i   называется число и обозначается , т.е. = =               (1)       
    Из  формулы (1) следует, что  для любого комплексного числа Z, причем  =0 тогда и только тогда, когда Z=0, т.е. когда A=0 и B=0. Для любого комплексного числа Z справедливы формулы:    

2.4 Тригонометрическая форма комплексного числа

 
    Запись  комплексного числа Z в виде A+B·i  называется алгебраической формой комплексного числа. Помимо алгебраической формы используются и другие формы записи комплексных чисел.
    Рассмотрим  тригонометрическую форму записи комплексного числа. Действительная и мнимая части комплексного числа Z=A+B·i выражаются через его модуль = r и аргумент j следующим образом:
    A= r·cosj ; B= r·sinj.
    Число Z можно записать так:     Z= r·cosj+ i· r·sinj = r·(cosj + i·sinj)
    Z = r·(cosj + i·sinj)      (2)
     Эта запись называется тригонометрической формой комплексного числа.
r = – модуль комплексного числа.
Число j называют аргументом комплексного числа. 

Рисунок 3.
    Аргументом  комплексного числа Z 0 называется величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором Z, причем величина угла считается положительной, если отсчет ведется против часовой стрелки, и отрицательной, если производится по часовой стрелке.
    Для числа Z=0 аргумент не определяется, и только в этом случае число задается только своим модулем.
    Как уже говорилось выше = r = , равенство (2) можно записать в виде
    A+B·i= ·cosj + i· ·sinj, откуда приравнивая действительные и мнимые части, получим:
    cosj = , sinj =                   (3)
    Если  sinj поделить на cosj получим:
    tgj=          (4)
    Эту формулу удобней использовать для  нахождения аргумента j, чем формулы (3). Однако не все значения j, удовлетворяющие равенству (4), являются аргументами числа A+B·i . Поэтому при нахождении аргумента нужно учесть, в какой четверти расположена точка A+B·i.
     

3 Действия с комплексными числами 

 

3 Действия с комплексными числами 

3.1 Сложение и умножение комплексных чисел

    Суммой двух комплексных чисел A+B·i  и C+D·i называется комплексное число (A+C) + (B+D)·i, т.е. (A+B·i) + (C+D·i)=(A+C) + (B+D)·i
    Произведением двух комплексных чисел A+B·i  и C+D·i  называется комплексное число (A·C – B·D)+(A·D+B·C) ·i, т.е.     
    (A + B·i)·(C + D·i)=(A·C – B·D) + (A·D + B·C)·i
    Из  формул вытекает, что сложение и  умножение можно выполнять  по правилам действий с многочленами, считая i2= –1. Операции сложения и умножения комплексных чисел обладают свойствами действительных чисел. Основные свойства:
    Переместительное  свойство:
            Z1 +Z2=Z2+Z1,   Z1·Z2=Z2·Z1
    Сочетательное свойство:
            (Z1+Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3),  (Z1·Z2)·Z3=Z1·(Z2·Z3)
    Распределительное свойство:
            Z1·(Z2+Z3)=Z1·Z2+Z1·Z

3.2 Геометрическое изображение суммы комплексных чисел

 
    Согласно  определению сложения двух комплексных  чисел, действительная часть суммы равна сумме действительных частей слагаемых, мнимая часть суммы равна сумме мнимых частей слагаемых. Точно также определяются координаты суммы векторов:
    Сумма двух векторов с координатами (A1;B1) и (A2;B2) есть вектор с координатами (A1+A2;B1+B2). Поэтому, чтобы найти вектор, соответствующий сумме комплексных чисел Z1 и Z2 нужно сложить векторы, соответствующие комплексным числам  Z1 и Z2. 

      
 
 

    Рис. 3
    Пример 1: Найти сумму и произведение комплексных чисел  Z1=2 – 3? и Z2= –7 + 8?i.
    1 Способ:
    Z1 + Z2 = 2 – 7 + (–3 + 8)?i = –5 + 5?i
    Z1?Z2 = (2 – 3?i)?(–7 + 8?i) = –14 + 16?i + 21?i + 24 = 10 + 37?i
    2 Способ:

3.3 Вычитание и деление комплексных чисел

 
    Вычитание комплексных чисел – это операция, обратная сложению: для любых комплексных чисел Z1 и Z2 существует, и притом только одно, число Z, такое, что: Z + Z2=Z1
    Если  к обеим частям равенства прибавить (–Z2) противоположное числу Z2:
    Z+Z2+(–Z2)=Z1+(–Z2), откуда
    Z = Z1 – Z2
    Число Z=Z1+Z2 называют  разностью чисел Z1 и Z2.
    Деление вводится как операция, обратная умножению:
    Z?Z2=Z1
    Разделив  обе части на Z2 получим:
    Z=
    Из  этого уравнения  видно, что Z2
и т.д.................


Перейти к полному тексту работы


Скачать работу с онлайн повышением уникальности до 90% по antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru


Смотреть полный текст работы бесплатно


Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.