На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Лекции Числовые ряды

Информация:

Тип работы: Лекции. Добавлен: 02.09.2012. Сдан: 2011. Страниц: 8. Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%

Описание (план):


Глава 1 :                                                        Числовые ряды
          Определение числового  ряда
 
Чтобы найти  сумму бесконечного  числа слагаемых ,необходимо воспользоваться  теорией рядов.
Необходимо  повторить :
    Последовательность, предел последовательности.
    Арифметическая и геометрическая прогрессия.
    Сумма  n-1 членов геометрической прогрессии.
 
Опр: 
Числовым  рядом, называется   бесконечная  сумма  чисел.
         ,где    - члены ряда
  -  общий член ряда  ,
Ряд считается  заданным ,если известно правило  ,по которому для любого номера  n можно записать соответствующий член ряда , т.е можно записать формулу n-ого члена .
Член  ряда – это 
Пример :  

Решение:  
 
 
 

Геометрическая  последовательность ,это      ,  q- это знаменатель. 

Обратная  задача ,по нескольким  членам ряда: 

   ; Важную роль в  теории рядов является  вопрос о сходимости  рядов . 

Сходимость  числового ряда.
Если  ряд сходится, то сумму можно найти , если расходится ,то невозможно.
  обозначим сумму ряда, которая имеет одно слагаемое :    
это сумма состоящая из первых двух  слагаемых :
это сумма ряда , состоящая  из первых трёх слагаемых  :
  это сумма, состоящая  из первых n –слагаемых  ^
Такая сумма  , называется  n-ой частичной суммой ряда
последовательность  частичных сумм;
n-ая частичная сумма - это сумма первых n слагаемых.
Опр:
Если  последовательность  частичных  сумм ряда - имеет конечный предел  (S) ,при n , то ряд называется  сходимым , а чмсло S – называется суммой ряда  

Предел  при , равен S
Говорят : сумма ряда есть предел его частных сумм.
Опр: 
Если  последовательность частичных сумм  ряда не имеет предела  или он равен бесконечности (неограниченно  возрастает) ,то ряд  называется расходимым и суммы не имеет.
Теорема :
Для сходимости  ряда с положительными слагаемыми ,необходимо и достаточно чтобы  последовательность его частных сумм была ограниченной.
Ряд может расходится  и не имеет суммы  в двух случаях:
    неограничена.
      колеблется ,не имеет постоянной величины.
 
    Если  ряд (1) сходится ,то разность  между его суммой  S и частичной суммой    равна   , т.е , где - это n- ый остаток ряда, т.е
     
    - это та погрешность  ,которая получится  , если  в качестве  приближенного   значения  суммы   ряда S взять сумму первых n слагаемых . 
     

  
Поэтому взяв достаточно  большое число членов  сходящегося ряда, можно сумму этого ряда найти с большой степенью  точности ;отсюда  ясно, что основной задачей теории рядов является исследование ряда  на сходимость, а нахождение суммы ряда – это второстепенная задача.
Пример:
Исследовать ряд на сходимость:
    2+17-302,2-168-201,8+360,1-… нет ряда
    2+5+8+11+14…-есть закономерность ,это последовательность ,а значит ряд
 
    …(3n-1)+…= 

(ряд  расходится)
    0+0+0+… - это ряд и он сходится
    1+1+1+1… - расходится, равен бесконечности.
    1-1+1-1+1-… - расходится ,предел найти невозможно

 
    2.     Геометрическая прогрессия 

    Опр :
    Геометрическая  прогрессия    ()  ,называется такая последовательность чисел, каждый член которой начиная со второго равен предыдущему умноженному на одно и то же число, которое назывется знаменателем геометрической прогрессии ;
      Пусть ряд состоит  из членов бесконечной  геометрической прогрессии ,
    Обозначим  a – первый член ряда ,  q – знаменатель   ,
    a+aq+a+a+…+a+a+…=  (геометрический ряд) 

    Исследуем геометрический ряд  на сходимость:
    Тогда n –первых членов будет иметь вид
     
     

      Формула суммы n- 1  ,
Найдем  предел этой частичной  суммы :
 

    , то  , значит   -  расходится и его сумма S= 
    , то    , значит  ряд расходится  и сумму ряда найти невозможно
      ,  если q=1  и q=-1
 
 
    Если  q=1 ,то ряд примет вид :
    a+a+a… ,а его частичная сумма 

   
  ряд расходится ,сумму  ряда найти невозможно.
    Если q=1 , то ряд имеет вид :
    a-a+a-a+… , а его частичная сумма   , при n – четная ,   ,при n – нечетном. 

       ряд расходится , сумму ряда найти  невозможно. 

    Вывод:    ряд, составленный из членов  бесконечной  геометрической прогрессии  сходится , когда  абсолютная величина  знаменателя меньше  1 . 
     

  , при
Пример:
Исследовать ряд на сходимость и найти сумму  рядов:

 
    Решение:
    Ряд составлен  из членов бесконечной  геометрической прогрессии ,где  , q=  .
    Значит  ряд сходится и  его сумма равна  S=  (сходится)
      
 
    Решение:
     
    Ответ: ряд сходится… 

    Свойства  сходимости рядов
      Изменение конечного числа  членов  рядов (приписывание или отбрасывание ) их не изменяет сходимости или расходимости ряда, то ряд полученный путем отбрасывания или приписывания конечного числа членов,  не изменяется .
      Сходимость ряда не нарушается ,если все его члены умножить на одно и то же  число k , и выполнятся равенство ,если  сумма ряда равна S  .
      Следствие:
      Общий множитель ряда можно  вынести за знак суммы.
      Если два ряда сходятся и их суммы равны соответственно    и    , то и ряд полученный сложением соответствующих слагаемых этих рядов, тоже сходится и его сумма равна
      Нахождение  суммы ряда следующим  образом: 
       
       
       
       

      Следствие:
       
    Если ряд   , а ряд   - расходится ,то ряд- сумма (
    Если оба ряда расходятся, то ряд- сумма может ,как сходится так и расходится .
    Чтобы ряд-сумма сходился, необходимо и достаточно, чтобы остаток ряда    
 
    Вывод:
    Чтобы установить сходимость ряда,  необходимо  вычислить   предел частичной суммы     или  предел       , т.е     ,но это не всегда возможно  ,поэтому пользуются  признаками сходимости рядов .
    1.3.  Необходимый  признак сходимости рядов.
    Теорема:
      Если ряд    - сходимости   , то предел его  общего члена равен нулю ,при неограниченном возрастании    ,номера  n (n)  ,т.е предел  общего члена сходящегося ряда стремится к нулю
            

      Доказательство: 
       


       
       


Пример: 
Доказать сходимость ряда:
 
 


Доказательство:

  Следуя теории  ,найдём  предел n- ого клёна ряда , при 
 

 
сходится  .

Следствие ,(достаточное  условие расходимости ряда)

Если  предел общего клёна  ряда не равен нулю  
   ,
  или этот  предел существует, то ряд расходится.

 
расходится.

Пример:

Доказать  сходимость ряда:

 
  
ряд расходится.

1.4.  Гармонический ряд

Теорема 1:

Выражает  необходимость ,но не достаточное условие  сходимости ряда  .

Примером , служит гармонический  ряд                  (8) 


Опр:

Ряд  (8) называется гармоническим , т.к каждый его  член  .начиная  со второго , представляет собой среднее   гармонических  двух  соседних  членов.

Опр:

Число  с называется средним  гармоническим чисел  a и b  ,если выполняется неравенство: 
 


1.5.  Достаточные признаки  сходимости  положительных   рядов

 

Опр:

Ряд называется  положительным , если все его члены,  его  положительные  члены.

Теорема 2 :  первый признак сравнения)

Пусть даны два ряда с  положительными членами   
   (1) 
и 
  (2)
  , причем члены ряда   (1)  не превосходят членов ряда    (2)  ,  т.е начиная с некоторого номера   n ,  (n
)
  , 

Тогда:
    Если сходится ряд (2)  .то будет сходится и ряд    (1) 
    Если расходится ряд   (1)  , то будет расходится  и ряд     (2)
    Как правило  ,при доказательстве сходимости  ряда  .с  помощью  теоремы  (2)  ,используют  «эталонные ряды»  для сравнения  их с теми  ,  которые  надо исследовать  на сходимость.
    Среди эталонных   рядов   можно назвать:
      Геометрический ряд:
 
       сходится.
    расходится.
      Гармонический ряд:
     
      Обобщенный  гармонический ряд:
 
      ряд расходится.
        ряд сходится.
 
      Пример:
        сходится ,т.к   

        расходится ,т.к 

Правило применения 1- ого  признака сравнения:
    Преобразовать данный ряд ,применяя свойства  рядов .чтобы  можно было  подобрать к нему подходящий «эталонный ряд»
    Выбрать соответствующий «эталонный ряд»
    Доказать неравенство  
    Сделать вывод в соответствии с теоремой  (2) 

и т.д.................


Перейти к полному тексту работы


Скачать работу с онлайн повышением уникальности до 90% по antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru


Смотреть полный текст работы бесплатно


Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.