На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


курсовая работа Экономическая интерпретация систем линейных уравнений

Информация:

Тип работы: курсовая работа. Добавлен: 03.09.2012. Сдан: 2011. Страниц: 11. Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%

Описание (план):


Курсовая  работа

На  тему: «Экономическая интерпретация систем линейных уравнений»

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Содержание 

Введение.......................................................................................................................3
1 Системы линейных уравнений………………………………………………..….5
    1.1  Основные понятия и определения..............................................................5
    1.2 Система n линейных уравнений с n переменными. Метод обратной матрицы и формулы Крамера.....................................................................................6
    1.3 Метод Гаусса................................................................................................7
    1.4 Система n линейных уравнений с m переменными...............................11
    1.5 Системы линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений......................................................................................................................12
2 Применение систем линейных уравнений в экономике....................................13
3 Модель Леонтьева многоотраслевой экономики...............................................15
    3.1 Балансовые соотношения.........................................................................15
    3.2 Линейная модель многоотраслевой экономики.....................................15
    3.3 Продуктивные модели Леонтьева............................................................17
4 Экономические задачи..........................................................................................21
Заключение.................................................................................................................26
Список  использованных источников.......................................................................27
 

     Введение 

    Экономика как наука об объективных причинах функционирования и развития общества еще со времен своего возникновения  пользуется разнообразными количественными  характеристиками, а потому вбирает  в себя большое количество математических методов. Одним из таких методов и является решение систем линейных уравнений.
    Многие  теоретические и практические вопросы  приводят не к одному уравнению, а  к целой системе уравнений  с несколькими неизвестными. Особенно важен случай системы линейных уравнений, т.е. системы m уравнений 1ой степени с n неизвестными:
    
      a11x1 + …+ a1n xn = b1 ;
     a21x1 + …+ a2n xn = b2 ;                            
      ………………………
     am1x1+…+ amnxn  = bm .     

    Здесь x1, … , xn – неизвестные, а коэффициенты записаны так, что индексы при них указывают на номер уравнения и номер неизвестного. Значение систем 1ой степени определяется не только тем, что они простейшие. На практике часто имеют дело с заведомо малыми величинами, старшими степенями которых можно пренебречь, так что уравнения с такими величинами сводятся в первом приближении к линейным. Не менее важно, что решение систем линейных уравнений составляет существенную часть при численном решении разнообразных прикладных задач. Ещё Г.Лейбниц (1693) обратил внимание на то, что при изучении систем линейных уравнений наиболее существенной является таблица, состоящая из коэффициентов, и показал, как из этих коэффициентов (в случае m = n) строить так называемые определители, при помощи которых исследуются системы линейных уравнений. Впоследствии такие матрицы, или матрицы, стали предметом самостоятельного изучения, так как обнаружилось, что их роль не исчерпывается приложениями к теории систем линейных уравнений. Современная алгебра, понимаемая как учение об операциях над любыми математическими объектами, является одним из разделов математики, формирующих общие понятия и методы для всей математики. Для современной алгебры характерно то, что в центре внимания оказываются свойства операций, а не объектов, над которыми проводятся данные операции. Классическим разделом алгебры является линейная алгебра, т.е. теория векторных пространств и модулей, частью которых являются  сформировавшиеся ещё в XIX веке теория линейных уравнений и теория матриц. Идеи и методы линейной алгебры применяются во многих разделах математики. Так, основным предметом изучения функционального анализа являются бесконечномерные векторные пространства.
    Г.Крамером в 1750 году было установлено правило, применимое к любой системе n линейных уравнений c n неизвестными. Оно носит название правила Крамера. Построение полной теории произвольных систем линейных уравнений было закончено только спустя 100 лет Л.Кронекером.
    Применение  правила Крамера при практическом решении большого числа линейных уравнений может встретить различные трудности, так как нахождение определителей высокого порядка связано с весьма большими вычислениями. Поэтому были разработаны методы численного (приближённого) решения систем линейных уравнений, наиболее известным из которых является метод Гаусса. Система линейных уравнений может иметь как одно единственное решение (определённая система), так и несколько (и даже бесконечное множество) решений (неопределённая система); может также оказаться, что система линейных уравнений не имеет ни одного решения (несовместная система). Вопрос о совместности системы линейных уравнений, т.е. вопрос о существовании решения системы линейных уравнений, решается сравнением ранга матриц [аij] и [aij, bj ]. Если ранги совпадают, то система совместна; если ранг матрицы В строго больше ранга матрицы А, то система несовместна (теорема Кронекера-Капелли).
    Несколько уравнений вида  a1x1 + …+ anxn= b образуют систему линейных уравнений
    aj1x1 + …+ ajnxn = bj ,   j = 1, …, m,
    которую можно записать как
    x1a1 + …+ xnan = b,
где а1, …, аn, b m-мерные векторы, являющиеся столбцами расширенной матрицы b системы. Отсюда следует, что различные линейные уравнения в функциональных пространствах, линейные дифференциальные уравнения, линейные интегральные уравнения являются бесконечномерными аналогами обычных систем линейных уравнений.
    Экономическая интерпретация систем линейных уравнений  – очень интересная и важная тема. Цель моей работы заключается в том, чтобы изучить различные способы  решения систем линейных уравнений для применения их в экономике.
 

1 Системы линейных уравнений 

     1.1  Основные понятия  и определения
    Система m линейных уравнений с n переменными  имеет вид: 

              (1.1)
    где aij, bi(i = 1,2,…,m; j = 1,2,…n) – произвольные числа, называемые соответственно коэффициентами при переменных и свободными членами уравнений.
    В более краткой записи с помощью  знаков суммирования систему можно  записать в виде: 

                                                                                         (1.2) 

    Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и  несовместной, если она не имеет  решений.
    Совместная  система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет  более одного решения. Например, система уравнений 

     - совместная и определенная, так как имеет единственное  

    решение (10;0); система    - несовместная; 

    Система уравнений - совместная и неопределенная, так как  

имеет более  одного, а точнее бесконечное множество  решений(x1=c, x2=10-2c, где с – любое число).
    Две системы уравнений называются равносильными, или эквивалентными, если они имеют  одно и то же множество решений. С  помощью элементарных преобразований системы уравнений получается система (1.1), равносильная данной.
    Запишем систему (1.1) в матричной форме. Обозначим: 

        

где А  – матрица коэффициентов при  переменных, или матрица системы, X – матрица-столбец переменных; В – матрица столбец свободных членов.
    Так как число столбцов матрицы Аm n равно числу строк матрицы Xn-1, то их произведение  

      

есть  матрица-столбец. Элементами полученной матрицы являются левые части системы (1.1). На основании определения равенства матриц систему (2.1) можно записать в виде: 

    AX=B.                                                                                                              (1.3) 

  1.2 Система n линейных уравнений с n переменными. Метод обратной матрицы и формулы Крамера
    Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными: 

                                                      (1.4) 

    Определителем системы (1.4) называется определитель, составленный из коэффициентов аij 

                a11     a12     …     a1n 
    ?  =    a21     a22     …     a2n 
              ……………………..
               an1      an2     …     ann 

    Рассмотрим  случай, когда ? ? 0. Докажем, что  в этом случае система (1.4) является определенной, т.е. имеет одно единственное решение. Как и ранее, через Аij будем обозначать алгебраическое дополнение элемента аij в определителе ?.
    Умножим каждое уравнение системы (1.4) на алгебраические дополнения элементов i-го столбца определителя ?, т.е. первое уравнение умножим на А1i, второе – на А2i и т.д., наконец, последнее уравнение – на Аni, а затем все полученные уравнения системы сложим. В результате будем иметь 

    (a11x1 + a12x2 + …+ a1ixi + …+ a1nxn) A1i + (a21x1 + a22x2 + …+ a2ixi +
+ …+ a2nxn) A2i + …+ (an1x1 + an2x2 + …+ anixi + …+ anxnn) Ani = b1A1i + b2A2i + …+ bnAni
     
или, сгруппировав члены относительно известных x1, x2, …, xn, получим 

    (a11A1i + a21A2i + …+ an1Ani) x1 + … + (a1iA1i + a2iA2i + …+ aniAni) xi + …
    + (a1nA1i + a2nA2i + …+ annAni) xn = b1A1i + b2A2i + …+ bnAni.                     (1.5) 

    Коэффициент при неизвестной хi равен определителю ?, а коэффициенты при всех других неизвестных равны нулю. Свободный член уравнения (1.5) отличается от коэффициента при х1 тем, что коэффициенты а1i, а2i, …, аni заменены свободными членами b1, b2, …, bn уравнения (1.4). Следовательно, выражение b1A1i + b2A2i + …+ bnAni  есть определитель i-го порядка, отличающийся от определителя    только i-м столбцом, который заменен столбцом свободных членов. Обозначив этот определитель ?xi, будем иметь 

              a11    a12   …    b1    …    a1n
    ?xi = a21    a22   …    b2    …    a2n   
             …………………………….
             an1    an2 …    bn    …    ann  

    Таким образом, уравнение (1.5) можно записать в виде 

    ?х =?xi                                                                                                             (1.6) 

    1.3  Метод Гаусса
    Практическое  значение правила Крамера для  решения системы n линейных уравнений  с n неизвестными невелико, так как при его применении приходится вычислять n +1 определителей n-го порядка: D, Dx1, Dx2, …,Dxn. Более удобным является так называемый метод Гаусса. Он применим и в более общем случае системы линейных уравнений, т. е. когда число уравнений не совпадает с числом неизвестных.
    Итак, пусть дана система, содержащая m линейных уравнений с n неизвестными:
                                       
         а11х1 + а12х2 + …+ а1nхn = b1;
       а21х1 + а22х2 + …+ а2nхn = b2;                                             (1.7)
             ………………………
       аm1х1 + аm2х2 + …+ аmnхn = bm 
 

    Требуется найти все решения системы  уравнений (1.7). Будем производить над системой элементарные преобразования: исключение из системы уравнения вида 

    1 + 0х2 + …+ 0хn = 0                                                        (1.8) 

и прибавление  к обеим частям одного из уравнений  системы соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое  число l.
      Очевидно, что если мы проделаем  над уравнениями системы (1.9) любое из приведенных выше преобразований, то получим систему, равносильную исходной. При необходимости систему (1.7) будем подвергать еще одному виду преобразований – перенумерации переменных и уравнений. Идея этого преобразования заключается в следующем. Если, например, возникает необходимость, чтобы в каком-то уравнении системы (например, в k-м) неизвестная x1 стояла на первом месте, то в результате перенумерации соответствующее уравнение запишется в виде 

    akix1 + ... + ak2x2 + … + ak1xi+ ... + aknxn = bk, 

т. е. вместо прежней  неизвестной хi мы будем писать х1.
    Метод Гаусса решения системы (1.7) заключается в последовательном исключении переменных.
    Если  среди уравнений системы есть хотя бы одно уравнение вида 

    0xl + 0x2+ ... + 0xn= b ,                                                                   (1.9) 

причем b 0, то совершенно очевидно, что ни одна система значений х1, х2..., хn не удовлетворяет этому уравнению, а следовательно, и системе в целом, поэтому система несовместна.
    Пусть теперь система (1.7) не содержит уравнений вида (1.8) или (1.9). Это значит, что в каждом уравнении системы хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля. Пусть a11 0 (в противном случае, применив элементарные преобразования, мы сможем добиться, чтобы первый коэффициент первого уравнения был отличен от нуля). Оставив первое уравнение без изменения, исключим из всех уравнений системы (1.7), начиная со второго, неизвестную х1. Для этого из второго уравнения вычтем первое, умноженное на a21/a11, затем из третьего уравнения вычтем также первое, но уже умноженное на a31/a11, и так до последнего уравнения. В результате этих преобразований мы получим равносильную систему 

         а11х1 + а12х2 + … + а1nхn = b1;
      а?22х2 + …+ а?2nхn = b?2;                                                              
         …………………………                                                 (2.0)
         а?m2х2 + …+ а?mnхn = b?m 

    Заметим, что в системе (2.0) число уравнений может быть и меньше m, так как среди них могут оказаться уравнения вида (1.8), которые, как мы условились ранее, можно отбросить.
    Пусть а22 0. Применим те же самые рассуждения и исключим из последних n – 2 уравнений системы (2.0) неизвестную х2 путем вычитания из третьего уравнения второго, умноженного на a?32/a?22 , из четвертого уравнения — второго, умноженного на a?34/a?22 и т. д. В результате получим систему
    
      а11х1 + а12х2 +  а13х3 + …+ а1nхn = b1;
               а?22х2 +  а?23х3 + …+ а?2nхn = b?2;
                          а??33х3 + …+ а?3х = b?3;
                                 ……………………………
                          а?m3х3 +…+а?mnхn = b?m. 

    Продолжая этот процесс, систему (1.7) приведем к равносильной системе вида 

     c11х1 + c12х2 + c13х3 + …+ c1kхk + …+ c1nхn = d1;
     c22х2 + c23х3 + …+ c2kхk + …+ c2nхn = d2;
        c33х3 + …+ c3kхk + …+ c3nхn = d3;                                                    2.1)
    ………………………………………
      ckkхk + …+cknхn = dk.
     
в которой коэффициенты c11, c22, . . ., ckk отличны от нуля.
    Может оказаться, что в процессе преобразования на каком-то шаге в полученной системе окажется уравнение вида (1.9). В этом случае система (1.7) не имеет решений. Предположим теперь, что среди уравнений полученной системы нет уравнения вида (21). Тогда для решения системы (1.7) необходимо решить систему (2.3), что не составляет особого труда. Рассмотрим два возможных случая.
    1. k=n (это частный случай, когда число  уравнений совпадает с числом  неизвестных). Тогда последнее уравнение  системы (2.1) имеет вид сnnхn=dn, откуда хn=dn/cnn. Подставив это значение в предпоследнее уравнение системы (2.1), имеющее вид cn-1n-1xn-1+cn-1nxn=dn-1, найдем значение неизвестной xn-1 и т. д.; наконец, из первого уравнения найдем неизвестную x1 Таким образом, в случае k = n система уравнений (1.7) имеет единственное решение.
    2. k < n. Тогда из последнего уравнения  системы (2.1), найдем неизвестную xk, выраженную через неизвестные хk+1, хk+2, ..., xn :
                                       
        xk =     (dkk – ck k+1xk+1 – … – cknxn). 

    Подставив это значение неизвестной в предпоследнее уравнение системы (2.1), найдем выражение для неизвестной хk-1,и т. д.; наконец, подставив значения неизвестных хk,  хk-1, . . . x2 в первое уравнение системы (2.1), получим выражение для неизвестной x1. В результате указанная система уравнений (1.7) приводится к виду
    
    x1 = d?1 + c?1 k+1xk+1 + …+ c?1nxn;
    x2 = d?2 + c?2 k+1xk+1 + …+ c?2nxn;                                                 (2.2)
    ………………………………………                           
    xk = d?k + c?k k+1 xk+1 + …+ cknxn.  

    Неизвестные хk+1, хk+2, …, хn называются свободными. Им можно придать различные значения и затем из системы (1.7) найти значения неизвестных х1, х2, …, хk. Таким образом, в случае k < n совместная система уравнений (1.7) имеет бесчисленное множество решений.
    Заметим, что если в процессе приведения системы (1.7) к системе (2.2) была произведена перенумерация неизвестных, то в системе (2.2) необходимо вернуться к их первоначальной нумерации.
    На  практике процесс решения системы  уравнений облегчается тем, что  указанным выше преобразованиям подвергают не саму систему, а матрицу  

         a11   a12   …   a1n     b1 
         a21   a22   …   a2n    b2
          ……………………  ……                                                                 (2.3)
         am1  am2   … amn    bm 

составленную  из коэффициентов уравнений системы (1.7) и их свободных членов. При этом каждому элементарному преобразованию, проведенному над системой (1.9), соответствует преобразование над матрицей (2.3): вычеркивание строки, все элементы которой состоят из нулей, прибавление к элементам некоторой строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на некоторое число, и перестановка двух столбцов матрицы (2.3).  

        Система n линейных уравнений с m переменными
    Ранее было установлено, что ранг матрицы равен максимальному числу её линейно независимых строк. Поэтому, если строки матрицы А1, т.е. уравнения системы (1.1), линейно независимы, то ранг матрицы А1 равен числу ее уравнений, т.е r=m, если линейно зависимы, то r<m.
    Вопрос  о разрешимости системы (1.1) в общем виде рассматривается в следующей теореме.
    Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и  только тогда, когда ранг матрицы  системы равен рангу расширенно матрицы этой системы.
    Для совместных систем линейных уравнений верны следующие теоремы.
    1. Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, т.е. r=n, то система (1.1)  имеет единственное решение.
    2. Если ранг матрицы совместной  системы меньше числа переменных, т.е. r<n, то система неопределенная и имеет бесконечное множество решений.
    Результат исследования системы (1.1) приведен в виде схемы:
    
    Пусть r<n. r переменных x1,x2,…, xr называются основными (или базисными), если определитель матрицы из коэффициентов при них (т.е. базисный минор) отличен от нуля. Остальные n-r называются не основными или свободными.
    Так как каждому разбиению переменных на основные и не основные соответствует  одно базисное решение, а число способов разбиения не превосходит числа  сочетаний C , то и базисных решений конечное число, не превосходящее C , где r m. 

    1.4 Системы линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений
    Система m линейных уравнений с n переменными называется системой линейных однородных уравнений, если все их свободные члены равны нулю. Такая система имеет вид: 

                                                                            (2.4)
и т.д.................


Перейти к полному тексту работы


Скачать работу с онлайн повышением уникальности до 90% по antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru


Смотреть полный текст работы бесплатно


Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.