На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Реферат Опыт со случайным исходом. Статистическая устойчивость. Понятие вероятности. Алгебра событий. Принцип двойственности для событий. Условные вероятности. Формулы сложения и умножения вероятностей. Формула Байеса. Пространство элементарных событий.

Информация:

Тип работы: Реферат. Предмет: Математика. Добавлен: 03.12.2007. Сдан: 2007. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


Случайные события

Оглавление

    Опыт со случайным исходом 2
      Статистическая устойчивость 2
      Понятие вероятности 3
      Алгебра событий 4
      Основная терминология в алгебре событий 8
      Принцип двойственности для событий 10
      Условные вероятности 12
      Формула сложения вероятностей 12
      Формула умножения вероятностей 13
      Обобщение формулы сложения вероятностей 14
      Обобщение формулы умножения вероятностей 15
      Формула полной вероятности 16
      Формула Байеса 17
      Пространство элементарных событий 17
      Аксиомы теории вероятностей 19
      Дискретное вероятностное пространство 20
      Примеры - алгебр 21
      Условная вероятность и вероятностное пространство 23
      Основные формулы комбинаторики 25
      Системы частиц в статистической физике 28
      Последовательность независимых испытаний 29
      Наивероятнейшее число в распределении Бернулли 32
      Полиномиальное распределение 33
      Гипергеометрическое распределение 34
      Асимптотика Пуассона 35
      Поток случайных событий на оси времени 37
      Локальная теорема Муавра-Лапласа 38
      Интегральная теорема Муавра-Лапласа 40
      Опыт со случайным исходом

Пусть - множество условий, при которых выполняется эксперимент . Будем предполагать, что при фиксированном эксперимент может быть выполнен неограниченное число раз, причем при повторении опыта его результаты могут быть различными. Таким образом, речь идет об эксперименте со случайным исходом (или результатом). Основная особенность такого эксперимента состоит в том, что его результат невозможно точно предсказать, а также в том, что наблюдаются нерегулярные изменения результатов в последовательности опытов, хотя каждый из них выполняется при одинаковом комплексе условий .
Очевидно, что множество условий не содержит все факторы, влияющие на исход опыта . Поскольку иначе при каждом повторении опыта (для фиксированного ) был бы получен один и тот же результат. Множество - это комплекс контролируемых условий. Кроме них на исход опыта влияет множество неконтролируемых факторов, учесть которые в принципе невозможно.
Теория вероятностей изучает математические модели экспериментов со случайным исходом. Рассмотрим примеры таких опытов.
1. Бросание монеты. Здесь результат каждого опыта - это выпадение герба, или обратной стороны монеты - «решетки». Таким образом, всего имеется два возможных исхода опыта.
Всякий результат эксперимента со случайным исходом в теории вероятностей принято называть событием (или случайным событием). Поэтому в данном эксперименте результатами являются случайное событие - выпадение герба при бросании монеты и событие - выпадение «решетки».
2. Бросание игральной кости. Игральная кость - это кубик из однородного материала, шесть граней которого перенумерованы числами от 1 до 6. Здесь в качестве результата эксперимента можно рассматривать шесть случайных событий: - выпадение грани с номером 1, ... , - выпадение грани с номером 6. Однако в данном случае не обязательно исходом эксперимента считать выпадение одной из шести граней. Можно, например, условиться, что эксперимент имеет не шесть, а лишь три исхода: событие - это выпадение любой из грани с номером 1,2 или 3, - выпадение одной из граней с номером 4 или 5 и, наконец, - выпадение грани с номером 6. Но и в этом случае удобно выделить события - выпадение грани с номером , а все остальные события описывать через . Дело в том, что события в данном опыте являются самыми простыми или, как говорят, элементарными. Кроме того, ни один из элементарных исходов ,=1, ... , 6, нельзя считать более предпочтительным или более вероятным, чем другой. Поэтому каждому элементарному исходу естественно приписать одинаковую вероятность 1/6.
3. Стрельба по мишени. Пусть мишень состоит из центрального круга и 9 концентрических колец. В данном случае результат опыта - это одно из событий: попадание в круг, попадание в любое из 9 колец или мимо мишени; всего 11 случайных событий.
4. На отрезок , длины наугад случайным образом бросается точка. В качестве исхода опыта можно взять событие , состоящее в том, что точка попадет на отрезок , содержащийся в .
5. На отрезок , длины наугад случайным образом бросаются 2 точки. Такой опыт эквивалентен тому, что на квадрат бросается наугад одна точка. В данном случае результат опыта - это попадание точки в заданную область из квадрата .
Статистическая устойчивость
 
В последовательности экспериментов со случайным исходом невозможно точно предсказать результаты отдельных опытов, так как в этих результатах обнаруживаются нерегулярные случайные колебания, не поддающиеся точному учету. Однако, если рассматривать последовательность в целом, а не отдельные результаты, то можно обнаружить чрезвычайно важное явление: несмотря на нерегулярное изменение результатов в отдельных опытах, средние результаты в достаточно длинной последовательности экспериментов со случайным исходом обнаруживают устойчивость.
Пусть в результате эксперимента
событие может произойти или не произойти. Если выполнено экспериментов , в которых событие произошло раз, то число
(2.1)
называется частотой появления события .
Экспериментально установлено, что при увеличении частота имеет тенденцию сходиться к некоторому постоянному значению. Об этом экспериментальном факте говорят как об устойчивости частоты, или о статистической устойчивости. Однако, не следует думать, что всякий эксперимент со случайным исходом обладает свойством устойчивости частоты. В теории вероятностей речь идет только об экспериментах, обладающих этим свойством. В качестве иллюстрации свойства статистической устойчивости рассмотрим график зависимости частоты появления герба при бросании монеты от числа опытов, представленный на рис.2.1. Для построения этого графика выполнялось бросание монеты 30 раз, в каждом опыте фиксировался исход и вычислялась частота по формуле (2.1), где - число опытов, из которых в опытах появился герб.


Рис. 2.1. График частоты появления герба как функции числа
бросаний монеты.
 
Естественно выдвинуть предположение о существовании предела,
, (2.2)
к которому стремится частота с увеличением числа опытов. Однако, это предположение не может быть доказано или отвергнуто опытом. Но опыт подтверждает более слабое утверждение об устойчивости частоты появления события. Факт статистической устойчивости и является эмпирической основой теории вероятностей и математической статистики.
Понятие вероятности
 
Теория вероятностей - это математическая теория, которая дает описание экспериментов со случайными исходами, обладающих свойством статистической устойчивости. Теория вероятностей строится как аксиоматическая теория, то есть в ее основу положена система аксиом. В свою очередь аксиомы сформулированы на основе экспериментальных данных, а именно на свойствах частоты и, в частности, на факте статистической устойчивости, состоящем в тенденции частоты
появления события стать постоянной и равной некоторому числу при большом числе повторений эксперимента .
Таким образом, при построении теории необходимо ввести число называемое вероятностью события , что реализуется с помощью одной из аксиом, которая называется аксиомой существования вероятности. Далее необходимо рассмотреть основные свойства частот и выразить эти свойства как утверждения относительно свойств вероятностей. Эти утверждения вместе с постулатом существования вероятности образуют систему аксиом теории вероятностей.
Частоту можно рассматривать как результат измерения (оценивания) вероятности по экспериментальным данным. Таким образом, равенство означает, что при большом числе опытов , а ошибка имеет тенденцию снижаться с увеличением . Поскольку , то частота появления события в серии из опытов удовлетворяет условию
 
. (3.1)
Аналогичному условию должна удовлетворять и вероятность:
. (3.2)
Рассмотрим значения вероятности на границах интервала . Пусть , тогда событие называется невозможным и обозначается символом . Для невозможного события его частота и имеет тенденцию приближаться к нулю с увеличением числа опытов. Если , то событие называется достоверным и обозначается символом . Частота достоверного события и с увеличением числа опытов имеет тенденцию приближаться к единице.
Алгебра событий
 
Рассмотрим основные операции над событиями и понятие алгебры событий. Пусть
- некоторое событие.
1. Дополнением события называется событие , состоящее в том, что событие не произошло.
Операциям над событиями можно давать простую геометрическую интерпретацию. Рассмотрим такую интерпретацию операции дополнения. Пусть эксперимент состоит в случайном бросании точки на плоскость, при этом множество условий таково, что исход каждого опыта - это попадание точки в область плоскости, рис.4.1. Реализовать такой опыт можно,
 


 
Рис. 4.1. Событие и его дополнение .
 
бросая шарик радиуса в сосуд с плоским дном. При этом область - это та часть дна сосуда, в которую может попасть центр шарика, то есть области не принадлежит только полоса шириной около стенки сосуда. Пусть - подобласть области . Множества и точек плоскости можно рассматривать как события: - событие, состоящее в том, что случайно брошенная на плоскость точка попадет в область ; и событие - это попадание точки в область . По условию событие появляется в каждом опыте, его вероятность , следовательно, - достоверное событие. По определению - это событие, состоящее в том, что не произошло. Поэтому в данной интерпретации - это непопадание точки в область , то есть - попадание точки в заштрихованную область, рис.4.1.
2. Объединением (или суммой) двух событий и называется третье событие , состоящее в том, что произошло хотя бы одно из событий или . Для объединения будем использовать обозначение
или . (4.1)
Признаком операции объединения двух событий может служить союз "или" между ними. Операции объединения, аналогично дополнению, можно дать геометрическую интерпретацию. Пусть - событие, состоящее в том, что случайно брошенная на плоскость точка попала в область, обозначенную также , рис. 4.2. Аналогично событие - это попадание точки в область


Рис. 4.2. События , и их объединение .
 
. Тогда событие - это попадание точки в заштрихованную область, рис. 4.2.
Операция объединения определяется для произвольного числа событий. Например, событие
(4.2)
состоит в том, что происходит хотя бы одно из событий , … . Событие
(4.3)
состоит в том, что происходит хотя бы одно из событий …. Очевидно операция объединения коммутативна по определению:
(4.4)
и ассоциативна, что также следует из определения:
. (4.5)
 
3. Пересечением (или произведением) двух событий и называется третье событие , состоящее в том, что произошли оба события и . Для обозначения операции пересечения будем использовать обозначения
или . (4.6)
Геометрическая интерпретация операции пересечения представлена на рис. 4.3., где и - события и - их пересечение - заштрихованная область.
Операция пересечения, также как и операция объединения, определяется для произвольного числа событий. Например, событие
(4.7)
состоит в том, что происходят все события Событие
(4.8)
состоит в том, что происходят все события
. (4.9)
По определению операция пересечения коммутативна, то есть выполняется условие:
, (4.10)
а также ассоциативна:
. (4.11)


Рис. 4.3. События , и их пересечение .
Операции объединения и пересечения взаимно дистрибутивны. В частности, операция объединения дистрибутивна относительно пересечения:
. (4.12)
На рис. 4.4,а представлены события горизонтальной штриховкой и вся левая часть (4.12) - вертикальной штриховкой. Аналогично на рис. 4.4, б представлены: событие - горизонтальной штриховкой, событие - вертикальной штриховкой, вся правая часть (4.12) - штриховкой "в клеточку".


а б
Рис. 4.4. Геометрическая иллюстрация дистрибутивности объединения относительно пересечения.
Аналогично (4.12) операция пересечения дистрибутивна относительно
объединения:
. (4.13)
На рис. 4.5, а представлены: событие - горизонтальной штриховкой и левая часть соотношения (4.13) - штриховкой "в клеточку". На рис. 4.5,б: событие - горизонтальной штриховкой, событие - вертикальной штриховкой и вся правая часть (4.13) - это вся заштрихованная область.


а б
Рис. 4.5. Геометрическая иллюстрация дистрибутивности пересечения относительно объединения.
 
Отметим, что если в (4.13) для операции объединения использовать знак "+", а для пересечения - отсутствие знака, то (4.13) принимает хорошо знакомый вид:
(4.14)
- закона дистрибутивности умножения относительно сложения в алгебре чисел. В отличие от этого закон дистрибутивности (4.12) сложения относительно умножения не имеет аналога в алгебре чисел.
 
4. Рассмотренные операции над событиями носят алгебраический характер. Поэтому в теории вероятностей важное значение имеет алгебра событий, которая определяется следующим образом.
Система событий называется алгеброй событий, если для любой пары событий и из условий
(4.15)
следует, что события, , , содержатся в .
Говорят, что алгебра событий - это система событий, замкнутая относительно операций дополнения, пересечения и объединения.
Основная терминология в алгебре событий
 
Событие
называется невозможным, если . Для обозначения невозможного события будем использовать символ .
Событие называется достоверным, если . Обозначается достоверное событие символом . Очевидно =, .
События и называются противоположными. Имеют место равенства , , .
События и называются несовместными, если . Поскольку , то события и - несовместные.
События образуют полную группу, если
. (5.1)
Это означает, что в результате опыта появится хотя бы одно из событий, образующих полную группу.
События и называются независимыми, если не зависит от того произошло событие или нет, и наоборот, не зависит от того произошло или нет событие .
Если событие происходит всякий раз, когда происходит событие , то называется следствием события , это записывается в виде соотношения
или , (5.2)
что читается как "из следует " и "есть следствие ". Отношению следствия можно дать геометрическую интерпретацию, рис. 5.1.
Рис. 5.1. Событие и его следствие .
 
Если и, то события и называются эквивалентными, это записывается в виде.
Событие , состоящее в том, что событие произошло, а событие не произошло, называется разностью событий и и обозначается
. (5.3)
Из определения следует , таким образом,
. (5.4)
Если в первом равенстве (5.4) положить , то .
Геометрическая интерпретация разности двух событий и представлена на рис. 5.2.
 
Рис. 5.2. События , и их разность .
Принцип двойственности для событий

В теории вероятностей и ее приложениях важную роль играет так называемый принцип двойственности, который может быть выражен соотношениями:
, (6.1)
. (6.2)
Из равенства (6.1) следует (6.2) и наоборот. Например, выполним замену в (6.1) , , тогда (6.1) или , что совпадает с (6.2).
Возьмем в (6.1) дополнение в обеих частях и поменяем местами правую и левую части, тогда
, (6.3)
теперь из (6.1) можно получить (6.3), если события и заменить на противоположные и , объединение на пересечение и наоборот - пересечение на объединение. Таким образом, для всякого утверждения, относящегося к некоторой системе событий, может быть сформулировано эквивалентное ему двойственное утверждение путем указанной замены событий и операций над событиями.
К принципу двойственности следует отнести еще одно соотношение:
, (6.4)
геометрическая интерпретация которого очевидна и представлена на рис. 6.1, где отмечено горизонтальной штриховкой и - вертикальной штриховкой.
Рис. 6.1. События , и их дополнения.
Рассмотрим геометрическое доказательство соотношения (6.1). Его левую часть можно представить областью с горизонтальной штриховкой, рис.6.2. Аналогично на рис. 6.3 выделены события: - горизонтальной
 
Рис. 6.2. Дополнение объединения двух событий и .
штриховкой, - вертикальной штриховкой и - штриховкой "в клеточку".
Рис. 6.3. Пересечение дополнений двух событий и .
 
Таким образом, левая и правая части соотношения (6.1) совпадают.
Условные вероятности
 
Пусть события
и имеют вероятности и . Рассмотрим вероятность события , если известно, что произошло событие . При этом в общем случае вероятность события изменяется и становится отличной от. Эта вероятность обозначается и называется условной вероятностью события при условии, что произошло, или просто - вероятностью при условии .
Следует различать две ситуации. 1). Если , то события и зависимые. 2). Если , то события и независимые. Рассмотрим пример: бросание игральной кости. Пусть событие - это выпадение единицы, - выпадение нечетного числа. Тогда =1/6, а =1/3, следовательно и - зависимые события.
Если - результат опыта, то называют доопытной или априорной вероятностью события , а условную вероятность - послеопытной или апостериорной вероятностью события .
 
Формула сложения вероятностей

Образуем из событий и с помощью операций дополнения и пересечения следующие четыре события:
. (8.1)
Система четырех событий (8.1) является полной группой несовместных событий. Действительно, пересечение любых двух событий из этой системы является невозможным событием. Например, пересечение первого и второго событий: . Таким образом, первое и второе события в (8.1) несовместны. Аналогично можно показать несовместность двух любых событий из (8.1). Теперь рассмотрим объединение всех событий системы (8.1):
где - достоверное событие. Поскольку (8.1) полная группа несовместных событий, то в каждом опыте происходит одно и только одно событие из возможных четырех событий (8.1).
Пусть эксперимент выполнялся раз, и в качестве его исхода событие наблюдалось раз, событие наблюдалось раз, событие - раз и событие - раз. Очевидно,
. (8.2)
Частоты появления событий (8.1) определяются соотношениями:
. (8.3)
Рассмотрим объединение первого и второго событий (8.1):
 
. Поэтому частота
. (8.4)
Аналогично и частота события имеет вид:
. (8.5)
Теперь рассмотрим объединение первых трех событий системы (8.1):
. (8.6)
Отсюда:
. (8.7)
Сравнивая (8.3) - (8.5), (8.7), получаем равенство:
, (8.8)
которое представляет собой формулу (или теорему) сложения частот.
Отсюда следует, что в аксиомах теории вероятностей должна быть определена формула сложения вероятностей, аналогичная соотношению (8.8):
. (8.9)
Если события и несовместны, то =0 и формула сложения вероятностей принимает вид:
. (8.10)
Формула умножения вероятностей

Объединение первых двух событий системы (8.1) . В последовательности из опытов событие появилось раз, а событие - раз. Поэтому событие появилось раз. Определим число появлений события при условии, что событие произошло. Событие происходит, если происходит или , число таких исходов равно , при этом событие происходит, если происходит , число таких исходов равно . Таким образом, условная частота появления события при условии, что произошло
. (9.1)
Из соотношений (8.3), (8.4), (9.1) следует:
(9.2)
- формула умножения частот.
Эту формулу можно получить в другом виде. Аналогично (9.1)
, (9.3)
поскольку событие и появляется раз в последовательности из опытов, при этом событие происходит раз. Из соотношений (9.3) и (8.3), (8.5) следует:
(9.4)
- второй вариант формулы умножения частот.
Поэтому в аксиомах теории вероятностей должна быть определена, или получена как следствие аксиом, формула умножения вероятностей:
. (9.5)
Если события и независимые, то условные вероятности равны безусловным: , тогда (9.5) принимает вид:
. (9.6)
Обобщение формулы сложения вероятностей
 
Равенство (8.9) несложно обобщить на случай произвольного конечного числа событий. Вероятность того, что произойдет хотя бы одно из событий
равна

. (10.1)
Здесь, например , означает тройную сумму по индексам ,и , которые пробегают значения и удовлетворяют условию . Это условие приводит к уменьшению числа слагаемых тройной суммы по сравнению с числом слагаемых в тройной сумме без ограничений на индексы суммирования. Последнее слагаемое (10.1) можно также рассматривать как - кратную сумму по индексам при условии на индексы: , что и приводит к вырождению - кратной суммы до одного слагаемого (10.1).
Пусть события являются несовместными, тогда из (10.1) следует
(10.2)
- вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей.
 
Обобщение формулы умножения вероятностей
 
Формула (9.5) умножения вероятностей обобщается на случай произвольного конечного числа событий. Вероятность того, что произойдет каждое из событий
равна
. (11.1)
Рассмотрим важный частный случай формулы (11.1) для событий независимых в совокупности.
Определение. События называются независимыми в совокупности, если события и - независимые при любом выборе событий из данной совокупности и любом .
Для независимых и условные вероятности и формула (11.1) принимает вид
. (11.2)
Отметим, что из независимости событий в совокупности следует их парная независимость. Но обратное утверждение неверно. Рассмотрим этот факт на примере Бернштейна. Пусть три грани правильного тетраэдра окрашены соответственно в красный (), зеленый () и синий () цвета, а четвертая - в три цвета (). Вероятность упасть тетраэдру гранью, на который есть, например, красный цвет, равна . Условная вероятность оказаться на этой грани красному цвету при условии, что на ней есть уже зеленый равна . Таким образом, события и независимы. Аналогично, рассматривая любую пару событий, несложно определить, что события , и С попарно независимы. Однако вероятность упасть гранью, на которой есть все три цвета равна . Отсюда следует, что события , и С не являются независимыми в совокупности.
Рассмотрим примеры решения задач с использованием формул сложения и умножения вероятностей.
Определить вероятность разрыва цепочки из параллельно соединенных элементов, если вероятность разрыва в каждом элементе одинакова и равна . Разрыв цепочки из параллельных элементов означает наступление каждого из независимых в совокупности событий , , - разрыв -го элемента. Таким образом, необходимо определить . Согласно формуле (11.2)
. (11.3)
Определить вероятность разрыва цепочки из последовательно соединенных элементов, если вероятность разрыва в каждом элементе одинакова и равна . В данном случае разрыв цепочки означает наступление хотя бы одного из независимых в совокупности событий , . Следовательно, необходимо определить . Для этого можно воспользоваться формулой (10.1). Однако более простой путь получения решения - это вычисление через дополнительное событие , которое состоит в том, что -й элемент остается в рабочем состоянии. Очевидно , откуда - вероятность того, что каждый элемент в рабочем состоянии. Следовательно, вероятность выхода из строя хотя бы одного элемента
. (11.4)
Представляет интерес сравнения результатов (11.3) и (11.4). Например, при и получаем и
Формула полной вероятности
 
Пусть
- полная группа несовместных событий. Тогда выполняются условия:
(12.1)
- достоверное событие и для любых пересечение - невозможное событие. Представим некоторое событие в виде
. (12.2)
Далее используем свойство дистрибутивности пересечения относительно объединения, тогда
. (12.3)
Отметим, что при любых события и несовместны. Действительно, . Поэтому из (12.3) следует
(12.4)
или, выражая вероятность пересечения через произведение вероятностей согласно (9.5),
. (12.5)
Равенство (12.5) называется формулой полной вероятности.
В частном случае попарно независимых событий и условные вероятности и преобразуется следующим образом:
.
Таким образом, для независимых событий и формула (12.5) вырождается в равенство .
 
Формула Байеса
 
Пусть также как в п.12 несовместные события
образуют полную группу и - некоторое событие. Согласно формуле умножения вероятностей (9.5)
. (13.1)
Отсюда
. (13.2)
Здесь знаменатель можно представить по формуле полной вероятности (12.5). Тогда
. (13.3)
Формулы (13.2) и (13.3) называются формулами Байеса.
Формулам Байеса может быть дана следующая интерпретация. Пусть событие - это исход опыта. Тогда вероятности можно назвать априорными или доопытными, а вероятности - апостериорными или послеопытными. Таким образом, формула (13.3) связывает между собой априорные и апостериорные вероятности событий , т.е. позволяют учесть информацию, полученную в результате опыта и ее влияние на вероятность событий .
Для независимых событий и условные вероятности , тогда правая часть (13.3) преобразуется следующим образом:
,
и формула (13.3) принимает вид .
Пространство элементарных событий
 
14.1 В общей теоретико-вероятностной схеме для каждого эксперимента со случайным исходом должны быть указаны все элементарные исходы, удовлетворяющие двум условиям: 1) в результате эксперимента происходит один и только один из этих исходов, 2) по смыслу элементарный исход неразложим на «более элементарные». Каждый такой исход принято называть элементарным событием и обозначать символом
. Рассмотрим примеры элементарных исходов.
1. В опыте с бросанием монеты элементарными событиями являются: - выпадение герба, - выпадение «решетки». При этом считается, что стать на ребро монета не может.
2. В эксперименте с игральной костью элементарные события - это появление грани соответственно с номерами 1,...,6.
3. Последовательность из бросаний монеты. Здесь элементарными событиями являются последовательности вида: , где - появление герба или - появление «решетки». Число элементарных событий (разных последовательностей) равно .
4. В эксперименте с бросанием точки на отрезок элементарное событие - это попадание точки в некоторую координату отрезка , что принято изображать точкой, расположенной в данной координате отрезка . Поэтому говорят, что элементарное событие в данном случае - это точка отрезка .
5. В эксперименте с бросанием двух точек на отрезок элементарное событие - это пара точек на или одна точка в квадрате .
 
14.2. Множество всех элементарных событий в теории вероятностей принято называть пространством элементарных событий и обозначать буквой . Элементарные события называют точками пространства элементарных событий .
14.3. Всякий результат эксперимента со случайным исходом принято называть событием. Для каждого события и каждого элементарного события известно, влечет наступление или нет, т.е. выполняется условие или нет. Тем самым совокупность тех , которые влекут , полностью определяют . Обратно: произвольное множество точек можно рассматривать как событие , которое происходит или нет в зависимости от того, принадлежит или нет множеству элементарное событие , представляющее данный исход опыта. Таким образом, событие можно считать подмножеством , состоящим из точек , представляющих те исходы эксперимента, при которых происходит . По этой причине нет различия между событием и соответствующим подмножеством .
14.4. Рассмотрим примеры пространств элементарных событий. 1). В эксперименте с бросанием монеты пространство элементарных событий , где - появление герба, - появление «решетки». 2). При бросании игральной кости пространство элементарных событий , где - выпадение грани с номером . 3). Если опыт состоит в бросании монеты раз, то пространство элементарных событий состоит из всех последовательностей вида , где - появление герба или - появление «решетки». Число всех последовательностей (или точек пространства) равно . 4). В опыте с бросанием точки на отрезок пространство элементарных событий - это отрезок . 5). Наконец, при бросании двух точек на отрезок пространство элементарных событий - это квадрат .
Аксиомы теории вероятностей
 
Пусть - пространство элементарных событий, - алгебра событий (алгебра подмножеств множества ). В основании теории вероятностей лежат следующие пять аксиом.
 
1. Алгебра событий является - алгеброй событий.
Система событий называется - алгеброй, если для всякой последовательности событий , , их объединение , пересечение и дополнения , также принадлежат , т.е. , , являются также событиями. Таким образом, - алгебра - это система событий, замкнутая относительно операций дополнения, счетного объединения и счетного пересечения.
2. На - алгебре событий для любого определяется функция , называемая вероятностью и принимающая числовые значения из интервала [0,1] : .
Данная аксиома - это аксиома существования вероятности - как функции на со значениями из интервала . Следующие три аксиомы определяют свойства функции .
3. Для любых двух событий , таких, что
(15.1)
- аксиома сложения вероятностей.
Отсюда следует, что для конечного числа несовместных событий
. (15.2)
 
4. Пусть , , - попарно несовместные события: и пусть . Тогда
. (15.3)
Соотношение (15.3) называется аксиомой счетной аддитивности вероятности или аксиомой непрерывности вероятности. Второе связано со следующей интерпретацией равенства (15.3). Событие следует понимать как предел последовательности
. (15.4)
При этом равенство (15.3) можно понимать как свойство непрерывности функции : или
(15.5)
- которое позволяет операцию предела вынести за функцию . Это обусловлено тем, что из условия (15.5) следует (15.3):
. (15.6)
 
5. . (15.7)
Пятая аксиома указывает на то, что пространство элементарных событий - есть достоверное событие. Таким образом, содержит в себе все события, которые можно рассматривать в данной задаче.
Пространство элементарных событий , - алгебра событий и вероятность на , удовлетворяющие аксиомам 1-5, образуют так называемое вероятностное пространство, которое принято обозначать .
Отметим, что система аксиом 1-5 не противоречива, так как существуют , удовлетворяющие этим аксиомам и не полна, так как вероятность можно определить многими способами в рамках аксиом 2-5. Понятие вероятностного пространства (или система аксиом 1-5) содержит лишь самые общие требования, предъявляемые к математической модели случайного явления, и не определяет вероятность однозначно. Последнее возможно только с учетом дополнительных условий, заданных в постановке рассматриваемой задачи.
Дискретное вероятностное пространство
 
Вероятностное пространство
называется дискретным, если конечно или счетно, - - алгебра всех подмножеств (включая ), вероятность определена для каждого одноточечного подмножества пространства элементарных событий :
, , (16.1)
. (16.2)
Для любого события его вероятность определяется равенством
. (16.3)
Примеры - алгебр
 
17.1. Пусть
- произвольное пространство элементарных событий, на котором не заданы какие-либо события. Для построения - алгебры согласно определению (п.15) необходимо рассмотреть все дополнения, объединения и пересечения заданных событий и включить их в - алгебру. Поскольку в данном случае имеется единственное событие , то возможно построить только его дополнение . Теперь имеется система из двух событий {}. Дальнейшее применение операций дополнения, объединения, пересечения не дает новых событий. Таким образом, в данном примере - алгебра .
17.2. Пусть - пространство элементарных событий и - некоторое событие, не совпадающее с , т.е. . Таким образом, имеется система из двух событий . Эту систему можно расширять, включая в нее новые события, которые получаются в результате операций дополнения, объединения, пересечения над событиями . Процедуру расширения системы событий имеет смысл продолжить рекуррентно до прекращения появление новых событий. Предельная система событий называется - алгеброй, порожденной системой событий .
Рассмотрим операцию дополнения над событиями системы. Ее результат , - это новые события, не содержащиеся в исходной системе , включение которых дает новую систему событий
. (17.1)
Очевидно, последующие операции дополнения, объединения, пересечения не дают новых событий, не содержащихся в (17.1). Таким образом, система событий (17.1) является - алгеброй, порожденной системой .
17.3. Усложним пример. Пусть - пространство элементарных событий, - два несовместных события, таких что . Таким образом, имеется система трех событий . Операция объединения над событиями этой системы приводит к появлению одного нового события . Полученная система четырех событий расширяется до восьми путем включения их дополнений. Несложно видеть, что применение операций дополнения, объединения, пересечения к этим восьми событиям не порождает новых событий. Таким образом, система восьми событий
(17.2)
является - алгеброй, порожденной системой событий .
 
17.4. Рассмотрим - пространство элементарных событий и два произвольных события , рис. 17.1. Для построения - алгебры, порожденной некоторой системой событий, во многих случаях удобно применить следующий прием.
На выделим все несовместные события , рис. 17.1. При этом , , , , и т.д. - алгебра будет содержать все события , все объединения событий , а также невозможное событие . Действительно, операция пересечения любых событий из множества порождает единственное событие . Операция дополнения над событиями из множества порождает событие, которое выражается через объединение событий . Следовательно, над событиями достаточно рассмотреть только операцию объединения, вместо трех операций - дополнения, пересечения, объединения для исходной системы событий .
Теперь для построения - алгебры рассмотрим события , все их объединения и выразим полученные события через исходные . Очевидно: , , , . Парные объединения дают следующие события: , , ; , ; . Тройные объединения: , , , .
Таким образом, - алгебра и т.д.................


Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.