Здесь можно найти образцы любых учебных материалов, т.е. получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ и рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


контрольная работа Многочлены

Информация:

Тип работы: контрольная работа. Добавлен: 09.09.2012. Сдан: 2012. Страниц: 11. Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%

Описание (план):


Новосибирский государственный педагогический университет.
Математический  факультет.
Кафедра алгебры. 
 
 
 
 
 
 
 

Курсовая  работа по математике.
Многочлены 
 
 
 
 

Выполнила: студентка 35гр.
Голобокова О.В.
Научный руководитель:
старший преподаватель
Гейбука С.В. 
 
 
 
 
 

г. Новосибирск, 2008
 

Содержание 

    Введение
    Корень многочлена
    Схема Горнера
    Кратные корни многочлена
    Рациональные корни многочлена
    Задачи о многочленах
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Введение 
 

     Способ  нахождения корней линейных и квадратичных многочленов, то есть способ решения  линейных и квадратных уравнений, был  известен ещё в древнем мире. Поиски формулы для точного решения  общего уравнения третьей степени продолжались долгое время (следует упомянуть метод, предложенный Омаром Хайямом), пока не увенчались успехом в первой половине XVI века в трудах Сципиона дель Ферро, Никколо Тарталья и Джероламо Кардано. Формулы для корней квадратных и кубических уравнений позволили сравнительно легко получить формулы для корней уравнения четвертой степени. 

     То, что корни общего уравнения пятой  степени и выше не выражаются при  помощи рациональных функций и радикалов  от коэффициентов было доказано норвежским математиком Нильсом Абелем в 1826 г. Это совсем не означает, что корни такого уравнения не могут быть найдены. Во-первых, в частных случаях, при некоторых комбинациях коэффициентов корни уравнения при некоторой изобретательности могут быть определены. Во-вторых, существуют формулы для корней уравнений 5-й степени и выше, использующие, однако, специальные функции — эллиптические или гипергеометрические (см., к примеру, корень Бринга). 

     В случае, если все коэффициенты многочлена рациональны, то нахождение его корней приводится к нахождению корней многочлена с целыми коэффициентами. Для рациональных корней таких многочленов существуют алгоритмы нахождения перебором кандидатов с использованием схемы Горнера, причем при нахождении целых корней перебор может быть существенно уменьшен приемом чистки корней. Также в этом случае можно использовать полиномиальный LLL-алгоритм. 

     Для приблизительного нахождения (с любой  требуемой точностью) вещественных корней многочлена с вещественными  коэффициентами используются итерационные методы, например, метод секущих, метод бисекции, метод Ньютона. Количество вещественных корней многочлена на интервале может быть оценено при помощи теоремы Штурма. 
2. КОРЕНЬ МНОГОЧЛЕНА
 

Корень  многочлена

над полем k — элемент  , такой, что выполняются два следующих равносильных условия:
данный  многочлен делится на многочлен x ? c;
подстановка элемента c вместо x обращает уравнение

в тождество. 

     Равносильность  двух формулировок следует из Теоремы  Безу. В различных источниках любая  одна из двух формулировок выбирается в качестве определения, а другая выводится в качестве теоремы. 

     Теорема Безу утверждает что остаток от деления  многочлена P(x) на двучлен x ? a равен P(a).
     Предполагается, что коэффициенты многочлена содержатся в некотором коммутативном кольце с единицей (например, в поле вещественных или комплексных чисел). 

Доказательство:
Поделим с остатком многочлен P(x) на многочлен x ? a:
P(x) = (x ?  a)Q(x) + R(x).
Так как degR(x) < deg(x ? a) = 1, то R(x) — многочлен  степени не выше 0. Подставляя x = a, поскольку (a ? a)Q(a) = 0, имеем P(a) = R(a). 

Следствия
     Число a является корнем многочлена p(x) тогда  и только тогда, когда p(x) делится  без остатка на двучлен x ? a (отсюда, в частности, следует, что множество  корней многочлена P(x) тождественно множеству  корней соответствующего уравнения P(x) = 0).
     Свободный член многочлена делится на любой  целый корень многочлена с целыми коэффициентами (если старший коэффициент  равен 1, то все рациональные корни  являются и целыми).
Пусть ? — целый корень приведённого многочлена A(x) с целыми коэффициентами. Тогда для любого целого k число A(k) делится на ?-k. 

Приложения
     Теорема Безу и следствия из неё позволяют  легко находить рациональные корни  полиномиальных уравнений с рациональными  коэффициентами. 

     Число корней многочлена степени n не превышает n даже в том случае, если кратные корни учитывать кратное количество раз.
     Всякий  многочлен p(x) с вещественными или  комплексными коэффициентами имеет  по крайней мере один, вообще говоря, комплексный, корень (основная теорема  алгебры) .
     Аналогичное утверждение верно для любого алгебраически замкнутого поля (по определению).
     Более того, многочлен с вещественными  коэффициентами p(x) можно записать в  виде

где — (в общем случае комплексные) корни многочлена p(x), возможно с повторениями, при этом если среди корней  многочлена p(x) встречаются равные, то общее их значение называется кратным корнем.
Число комплексных корней многочлена с  комплексными коэффициентами степени n, учитывая кратные корни кратное  количество раз, равно n. При этом все чисто комплексные корни (если они есть) многочлена с вещественными коэффициентами можно разбить на пары сопряжённых одинаковой кратности, таким образом, многочлен четной степени с вещественными коэффициентами может иметь только чётное число вещественных корней, а нечётной — только нечётное. 

Корни многочлена связаны с его коэффициентами формулами Виета: 

Если  — корни многочлена

(каждый  корень взят соответствующее  его кратности число раз), то  коэффициенты  выражаются в виде симметрических многочленов от корней, а именно: 

 

     Иначе говоря ( ? 1)kak равно сумме всех возможных  произведений из k корней. 

Если  старший коэффициент многочлена , то для применения формулы Виета необходимо предварительно разделить все коэффициенты на a0 (это не влияет на значение корней многочлена). В этом случае формулы Виета дают выражение для отношений всех коэффициентов к старшему. Из последней формулы Виета следует, что если корни многочлена целочисленные, то они являются делителями его свободного члена, который также целочисленен. 

Доказательство
     Доказательство  осуществляется рассмотрением равенства, полученного разложением многочлена по корням, учитывая, что a0 = 1
 

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x (теорема единственности), получаем формулы Виета. 

3. Схема Горнера 

     Разделить с остатком многочлен f (x) на ненулевой многочлен g (x) - это значит представить f (x) в виде f (x) =g (x) s (x) +r (x), где s (x) и r (x) -многочлены и либо r (x) =0, либо ст. r (x) < ст. g (x). S (x) назовем неполным частным, а r (x) - остатком при делении f (x) на g (x). 

     Неполное  частное при делении можно  найти с помощью простого правила, называемого схемой Горнера, которое, кстати, позволяет найти и остаток. 

     Пусть f (x) =anxn+an-1xn-1+ … +a1x+a0, an?0 - многочлен n-й степени. При делении его на x - c мы получим неполное частное s (x) и остаток r, т.е. f (x) = (x - c) s (x) + r. Так как ст. f (x) = n, а ст. (x - c) = 1, то
ст. s (x) = n - 1, т.е. s (x) = bn-1xn-1 + bn-2xn-2 + … + b1x+ b0, bn-1 ? 0. Таким образом, имеем равенство:
anxn+an-1xn-1+ … +a1x+a0 = (x - c) (bn-1xn-1+bn-2xn-2+ …+b1x+b0) +r. 

     Многочлены, стоящие в левой и правой частях этого соотношения, равны, а значит, равны их соответствующие коэффициенты. Приравняем их, раскрыв предварительно скобки и приведя подобные члены в правой части данного равенства. Получим: 

a= bn-1,a-1 = bn-2 - cbn-1,a-2 = bn-3 - cbn-2,
a2 = b1 - cb2,a1 = b0 - cb1,a0 = r - cb0. 

     Напомним, что требуется найти неполное частное, т.е. его коэффициенты, и остаток.
Выразим их из полученных равенств: 

bn-1 = an,
b n-2 = cbn-1 + an-1,b n-3 = cbn-2 + a n-2,
b1 = cb2 + a2,b0 = cb1 +a1,r = cb0 + a0. 

     Мы  нашли формулы, по которым можно  вычислять коэффициенты неполного  частного s (x) и остаток r. При этом вычисления оформляются в виде следующей таблицы; она называется схемой Горнера. 

Таблица 1.
Коэффициенты  f (x)
  an an-1 an-2 a0
c bn-1 bn-2 = cbn-1+ an-1 bn-3 = cbn-2+an-2 r = cb0 + a0
 
Коэффициенты  s (x) остаток
     В первую строку этой таблицы записывают подряд все коэффициенты многочлена f (x), оставляя первую клетку свободной. Во второй строке в первой клетке записывают число c.
     Остальные клетки этой строки заполняют, вычисляя один за другим коэффициенты неполного  частного s (x) и остаток r. Во второй клетке записывают коэффициент bn-1, который, как мы установили, равен an.
     Коэффициенты, стоящие в каждой последующей клетке, вычисляются по такому правилу: число c умножается на число, стоящее в предыдущей клетке, и к результату прибавляется число, стоящее над заполняемой клеткой. Чтобы запомнить, скажем, пятую клетку, т.е. найти стоящий в ней коэффициент, нужно c умножить на число, находящееся в четвертой клетке, и к результату прибавить число, стоящее над пятой клеткой.
     Разделим, например, многочлен f (x) =3x4-5x2+3x-1 на х-2 с остатком, используя схему Горнера.
     При заполнении первой строки этой схемы  нельзя забывать о нулевых коэффициентах  многочлена.
     Так, коэффициенты f (x) - это числа 3, 0, - 5, 3, - 1. И еще следует помнить, что степень не полного частного на единицу меньше степени многочлена f (x). 

Итак, выполняем  деление по схеме Горнера: 

Таблица 2.
  3 0 -5 3 -1
2 3 6 7 17 33
 
Получим неполное частное s (x) =3x3+6x2+7x+17 и остаток r=33. заметим, что одновременно мы вычислили значение многочлена f (2) =33.
Разделим  теперь тот же многочлен f (x) на х+2 с остатком. В этом случае с=-2. получим: 

Таблица 3.
  3 0 -5 3 -1
-2 3 -6 7 -11 21
 
В результате имеем f (x) = (x+2) (3x3-6x2+7x-11) +21. 
 

     Ранее мы установили что если с - корень многочлена f (x) делится на х-с. Сейчас обобщим это утверждение.
     Пусть с1, с2, …, сm - различные корни многочлена f (x). Тогда f (x) делится на х-с1, т.е. f (x) = (x-c1) s1 (x). Положим в этом равенстве х=с2. Получим f (c2) = (c2-c1) s1 (c2) и, так f (c2) =0, то (с21) s1 (c2) =0. Но с21, т.е. с21?0, а значит, s1 (c2) =0. Таким образом, с2 - корень многочлена s1 (x).
     Отсюда  следует, что s1 (x) делится на х-с2, т.е. s1 (x) = (x-c2) s2 (x). Подставим полученное выражение для s1 (x) в равенство f (x) = (x-c1) s1 (x). Имеем f (x) = (x-c1) (x-c2) s2 (x). Положив в последнем равенстве х=с3 с учетом того, что f (c3) =0, с3?с1, с32, получим, что с3 - корень многочлена s2 (x). Значит, s2 (x) = (x-c3) s3 (x), а тогда f (x) = (x-c1) (x-c2) (x-c3) s3 (x) и т.д. Продолжив эти рассужденья для оставшихся корней с4, с5, …, сm, мы, наконец, получим f (x) = (x-c1) (x-c2) … (х-сm) sm (x), т.е. доказано формулируемое ниже утверждение.
     Если  с1, с2, …, сm - различные корни многочлена f (x), то f (x) можно представить в виде f (x) = (x-c1) (x-c2)... (x-cm) sm (x). 

     Отсюда  вытекает важное следствие.
     Если  с1, с2,…, сm - различные корни многочлена f (x), то f (x) делится на многочлен (х-с1) (х-с2) … (х-сm).
     Как мы уже отмечали, одной из важных задач в теории многочленов является задача отыскания корней многочлена. В связи с этим существенным представляется вопрос о их числе. В самом деле, если дан какой-то многочлен и уже найдено, скажем, 10 его корней, то нужно знать, следует ли продолжать поиски. А вдруг этот многочлен больше не имеет корней? В таких случаях нам будет полезна приводимая ниже теорема.
     Число различных корней ненулевого многочлена f (x) не больше, чем его степень.
     Действительно, если f (x) корней не имеет, то ясно, что теорема верна, ибо ст. f (x) ?0.
Пусть теперь f (x) имеет m корней с1, с2, …, сm, причем все они различны. Тогда, по только что доказанному f (x) делится на (х-с1) (х-с2) … (х-сm). В таком случае ст. f (x) ? ст. ( (х-с1) (х-с2) … (х-сm)) =ст. (х-с1) + ст. (х-с2) +…+ст. (х-сm) =m, т.е. ст. f (x) ?m, а m - это число корней рассматриваемого многочлена.
     А вот у нулевого многочлена бесконечно много корней, ведь его значение для любого х равно 0. В частности, по этой причине ему и не предписывают никакой определенной степени. 

     Из  только что доказанной теоремы следует  такое утверждение.
Если  многочлен f (x) не является многочленом степени, большей, чем n, и имеет более, чем n корней, то f (x) - нулевой многочлен.
     В самом деле, из условий этого утверждения  следует, что-либо f (x) - нулевой многочлен, либо ст. f (x) ?n. Если предположить, что многочлен f (x) не нулевой, то ст. f (x) ?n, и тогда f (x) имеет не более, чем n корней. Приходим к противоречию. Значит, f (x) - ненулевой многочлен. 

     Пусть f (x) и g (x) - ненулевые многочлены степени, не большей, чем n. Если эти многочлены принимают одинаковые значения при n+1 значении переменной х, то f (x) =g (x).
     Для доказательства рассмотрим многочлен  h (x) =f (x) - g (x). Ясно, что - либо h (x) =0, либо ст. h (x) ?n, т.е. h (x) не является многочленом степени, большей, чем n. Пусть теперь число с такое, что f (c) =g (c). Тогда h (c) = f (c) - g (c) =0, т.е. с - корень многочлена h (x). Следовательно, многочлен h (x) имеет n+1 корень, а когда, как только что доказано, h (x) =0, т.е. f (x) =g (x).
     Если  же f (x) и g (x) принимают одинаковые значения при всех значениях переменной х, то эти многочлены тем более равны.
Эта теорема  весьма эффективно используется при  доказательстве некоторых числовых тождеств.
     Докажем, например, что для любых попарно  различных чисел а, b, с и любого числа х.
( ( (x-b) (x-c)) / ( (a-b) (a-c))) + ( ( (x-a) (x-c)) ( (b-a) (b-c))) + ( ( (x-a) (x-b)) ( (c-a) (c-b))) =1 

     Конечно, можно преобразовав левую часть  указанного равенства, убедиться, что  в результате получится 1. Но такой  метод доказательства связан с громоздкими  преобразованиями. Попытаемся обойтись без них.
Будем рассматривать х как переменную. Тогда, как нетрудно заметить, в левой части тождества находится многочлен, который мы обозначим f (x). Переменная х входит в этот многочлен самое большое в степени 2, т.е. ст. f (x) ?2. в правой части того же тождества - так же многочлен: g (x) =1.
Найдем  теперь значение многочленов f (x) и g (x) при х=a, b, c. Ясно, что g (a) =g (b) =g (c) =1. Далее, 

f (a) = ( ( (a-b) (a-c)) / ( (a-b) (a-c))) + ( ( (a-a) (a-c)) ( (b-a) (b-c))) + ( ( (a-a) (a-b)) ( (c-a) (c-b))) =1. 

     Аналогично  f (b) =f (c) =1. Следовательно, f (a) =g (a), f (b) =g (b), f (c) =g (c). Видим, что многочлены f (x) и g (x), не являющиеся многочленами степени выше, чем 2, принимают одинаковые значения при трех различных значениях переменной. Значит, f (x) =g (x).

4. Кратные корни многочлена

 
Если  число с является корнем многочлена f (x), этот многочлен, как известно, делится на х-с. Может случиться, что f (x) делится и на какую-то степень многочлена х-с, т.е. на (х-с) k, k>1. В этом случае с называют кратным корнем. Сформулируем определение более четко.
     Число с называется корнем кратности k (k-кратным корнем) многочлена f (x), если многочлен делится на (х-с) k, k>1 (k - натуральное число), но не делится на (х-с) k+1. Если k=1, то с называют простым корнем, а если k>1, - кратным корнем многочлена f (x).
     В дальнейшем при определении кратности  корней нам будет полезно следующее  предложение.
     Если  многочлен f (x) представим в виде f (x) = (x-c) mg (x), m - натуральное число, то он делится на (х-с) m+1 тогда и только тогда, когда g (x) делится на х-с.
     В самом деле, если g (x) делится на х-с, т.е. g (x) = (x-c) s (x), то f (x) = (x-c) m+1s (x), а значит, f (x) делится на (х-с) m+1.
Обратно, если f (x) делится на (х-с) m+1, то f (x) = (x-c) m+1s (x). Тогда (x-c) mg (x) = (x-c) m+1s (x) и после сокращения на (х-с) m получим g (x) = (x-c) s (x). Отсюда следует, что g (x) делится на х-с. 

     А сейчас вернемся к понятию кратности  корня. Выясним, например, является ли число 2 корнем многочлена f (x) =x5-5x4+3x3+22x2-44x+24, и если да, найдем его кратность. Чтобы ответить на первый вопрос, проверим с помощью схемы Горнера, делится ли f (x) на х-2. имеем: 

Таблица 4.
  1 -5 3 22 -44 24
2 1 -3 -3 16 -12 0
 
Как видим, остаток при делении f (x) на х-2 равен 0, т.е. делится на х-2. Значит, 2 - корень этого многочлена. Кроме того, мы получили, что f (x) = (x-2) (x4-3x3-3x2+16x-12). Теперь выясним, является ли f (x) на (х-2) 2. Это зависит, как мы только что доказали, от делимости многочлена g (x) =x4-3x3-3x2+16x-12 на х-2. Снова воспользуемся схемой Горнера: 
 

Таблица 5.
  1 -3 -3 16 -12
2 1 -1 -5 6 0
 
Получили, что g (x) делится на х-2 и g (x) = (x-2) (x3-x2-5x+6). Тогда f (x) = (x-2) 2 (x3-x2-5x+6).
  Итак, f (x) делится на (х-2) 2, теперь нужно выяснить, делится ли f (x) на (x-2) 3.
Для этого  проверим, делится ли h (x) =x3-x2-5x+6 на х-2: 

Таблица 6.
  1 -1 -5 6
2 1 1 -3 0
 
Получим, что h (x) делится на х-2, а значит, f (x) делится на (х-2) 3, и f (x) = (x-2) 3 (x2+x-3).
Далее аналогично проверяем, делится ли f (x) на (х-2) 4, т.е. делится ли s (x) =x2+x-3 на х-2: 

Таблица 7.
  1 1 -3
2 1 3 3
 
     Находим, что остаток при делении s (x) на х-2 равен 3, т.е. s (x) не делится на х-2. Значит, f (x) не делится на (х-2) 4.
    Таким образом, f (x) делится на (х-2) 3, но не делится на (х-2) 4. Следовательно, число 2 является корнем кратности 3 многочлена f (x).
     Обычно  проверку корня на кратность выполняют  в одной таблице. Для данного  примера эта таблица имеет  следующий вид: 
 
 

Таблица 8.
  1 -5 3 22 -44 -24
2 1 -3 -3 16 -12 0
2 1 -1 -5 6 0
2 1 1 -3 0
2 1 3 3
 
     Другими словами, по схеме Горнера деление  многочлена f (x) на х-2, во второй строке мы получим коэффициенты многочлена g (x). Затем эту вторую строку считаем первой строкой новой системы Горнера и выполняем деление g (x) на х-2 и т.д. продолжаем вычисления до тех нор, пока не получим остаток, отличный от нуля. В этом случае кратность корня равна числу полученных нулевых остатков. В строке, содержащей последний ненулевой остаток, находится и коэффициенты частного при делении f (x) на (x-2) 3.
Теперь, используя только что предложенную схему проверки корня на кратность, решим следующую задачу. При каких  a и b многочлен f (x) =x4+2x3+ax2+ (a+b) x+2 имеет число - 2 корнем кратности 2?
Так как  кратность корня - 2 должна быть равна 2, то, выполняя деление на х+2 по предложенной схеме, мы должны два раза получить остаток 0, а в третий раз - остаток, отличный от нуля. Имеем: 

Таблица 9.
  1 2 a a+b 2
-2 1 0 a -a+b 2a-2b+2
-2 1 -2 а+4 -3a+b-8
и т.д.................


Перейти к полному тексту работы


Скачать работу с онлайн повышением уникальности до 90% по antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru


Смотреть полный текст работы бесплатно


Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.