На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


курсовая работа Магический квадрат

Информация:

Тип работы: курсовая работа. Добавлен: 09.09.2012. Сдан: 2012. Страниц: 8. Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%

Описание (план):


     Глава 1. История магических квадратов 

     Магические  фигуры – геометрические фигуры, обладающие одним общим математическим свойством  – суммы по всем строкам, столбцам, диагоналям равны между собой. Существуют магические треугольники, квадраты и  кубы. Треугольники можно рассматривать  как учебное пособие для детей  младших классов. Квадраты же находят  свое применение в криптографии - хотя для развития навыков программирования подходят просто блестяще.
     Магический  квадрат – древнекитайского происхождения. Согласно легенде, во времена правления  императора Ю (ок. 2200 до н.э.) из вод Хуанхэ (Желтой реки) всплыла священная  черепаха, на панцире которой были начертаны таинственные иероглифы (рис. 1, а), и эти знаки известны под названием ло-шу и равносильны магическому квадрату, изображенному на рис. 1, б.
     

     Рис. 1
     Первый  магический квадрат с тремя клетками в основании был описан в арабском манускрипте конца восьмого века, где упоминался его автор –  греческий философ-неопифагореец  Аполлоний Тианский. Однако не он был  создателем этого древнейшего из всех магических квадратов. Аполлоний  лишь вновь открыл то, что было известно за много веков до него.
     В XI в. магические квадраты появились  в Индии, а затем в Японии, где  в XVI в. им была посвящена обширная литература. По-видимому, первое сочинение о  магических квадратах, дошедшее до наших  дней, было написано византийским грамматистом и лексикографом Мануэлем Мосхопулосом (примерно 1300 г). Он опубликовал многие построенные им Магические квадраты с разным числом клеток в основании.
     За  работой Мосхопулоса последовали  труды сотен математиков, в том  числе крупнейших ученых, основоположников современной науки (Гаусс, Эйлер, Ферма).
     В начале XVI в. магический квадрат появился в искусстве.
     Великий немецкий художник Альбрехт Дюрер выпустил в 1514 г. гравюру, названную им «Меланхолия» (рис. 2а)
     

     Рис. 2а
     На  её заднем плане помещен магический квадрат 4-го порядка, два средних числа его нижней строки (15 и 14) образуют дату создания гравюры.
     

     Рис. 2б
     С глубокой древности магическим квадратам приписывали различные мистические свойства. В 16 в. Корнелий Генрих Агриппа построил квадраты 3-го, 4-го, 5-го, 6-го, 7-го, 8-го и 9-го порядков, которые были связаны с астрологией 7 планет.
     В конце XVII в. были опубликованы сочинения  о магических квадратах французских  математиков Арно, Озанама и Симона де Лялюбера.
     Сочинения академика Бернара Френикля де Бесси были впервые напечатаны в результате хлопот математика Лягира только в 1693 г, спустя 18 лет после смерти Френикля. Не будь Лягира, неизвестно, сколько еще лет лежали бы работы Френикля в архивах Королевской академии.
     В «Общей таблице магических квадратов  в четыре» Френикль привёл все 880 магических квадратов четвёртого порядка. Таблица занимает 43 страницы книги.
     В 1705 г. в Париже было издано сочинение уже упомянутого ранее Филиппа де Лягира «Новые начертания и соображения о магических квадратах с их демонстрацией. Начертания магических квадратов при четном числе клеток в основании». Эта работа особенно интересна тем, что в ней Лягир впервые рассмотрел и описал особый тип магического квадрата, который он назвал «панмагическим». В нем содержится наибольшее число равных сумм чисел. В дальнейшем квадраты этого типа называли, также, «дьявольскими», «сатанинскими», «чертовскими».
     Дьявольский магический квадрат — магический квадрат, в котором с константой совпадают также суммы чисел  по ломаным диагоналям в обоих направлениях.
     Ломаной диагональю называется диагональ, которая, дойдя до границы квадрата, продолжается параллельно первому отрезку  от противоположного края (на рисунке  такую диагональ образуют закрашенные  клетки). [1] 

     

     Рис.3
     Существует  всего три дьявольских квадрата 4-го порядка: 

     

     Современные математики называют подобные квадраты «совершенными».
     Но  есть еще один магический квадрат не менее интересный, чем дьявольский. Выдающийся американский масон, ученый, общественный деятель и дипломат Бенджамин Франклин составил квадрат 16-го порядка (см. рис. 4), который помимо наличия постоянной суммы 2056 во всех строках, столбцах и диагоналях имел еще одно дополнительное свойство. Если вырезать из листа бумаги квадрат 4-го порядка и уложить этот лист на большой квадрат так, чтобы 16 клеток большего квадрата попали в эту прорезь, то сумма чисел, появившихся в этой прорези, куда бы мы ее не положили, будет одна и та же – 2056. 

     

     Рис. 4
     В 1917 г. на франко-германском фронте, унтер-офицер Франц Буль, занимаясь мародерством на поле боя, нашел в кармане убитого  солдата-индуса длинную полоску  плотной бумаги, которая была исписана квадратами, разделенными на клетки, заполненными арабской вязью. Он передал эту полоску  немецкому профессору, который занимался  магическими квадратами. Скорее всего, полоска содержала талисман, не спасший, однако, его обладателя от смерти.
     После перевода с арабского языка, выяснилось, что документ содержит магический квадрат 3-его порядка и полумагический квадрат 4-ого порядка. В квадрате 4-го порядка числа повторяются, и суммы диагоналей не совпадают с константой:
     

     Затем следовал список заклинаний, имён богов  и демонов, который профессор  просто оторвал и уничтожил.[2]
     Традиционной  сферой применения магических квадратов являются талисманы.
     К примеру, талисман Луны обладает определенными  свойствами: предохраняет от кораблекрушения  и болезней, делает человека любезным, способствует предотвращению дурного  намерения, а так же укрепляет  здоровье. Его гравируют на серебре  в день и час Луны, когда Солнце или Луна находится в первых десяти градусах Рака. Магический квадрат 9-ого  порядка вписывается в девятиугольник (9 - число Луны, см. Рис. 5) и окружается специальными символами.
     

     Рис. 5
     Однако, существуют и магические квадраты для стихий и знаков Зодиака.
     В 19 и 20 вв. интерес к магическим квадратам  вспыхнул с новой силой. Их стали  исследовать с помощью методов  высшей алгебры и операционного  исчисления.
     Каждый  элемент магического квадрата называется клеткой. Квадрат, сторона которого состоит из n клеток, содержит n2 клеток и называется квадратом n-го порядка. В большинстве магических квадратов используются первые n последовательных натуральных чисел. Сумма S чисел, стоящих в каждой строке, каждом столбце и на любой диагонали, называется постоянной квадрата и равна S = n(n2 + 1)/2. Доказано, что n ? 3. Для квадрата 3-го порядка S = 15, 4-го порядка – S = 34, 5-го порядка – S = 65.
     Две диагонали, проходящие через центр  квадрата, называются главными диагоналями. Ломаной называется диагональ, которая, дойдя до края квадрата, продолжается параллельно первому отрезку от противоположного края (такую диагональ образуют заштрихованные клетки на рис. 6). Клетки, симметричные относительно центра квадрата, называются кососимметричными. Таковы, например, клетки a и b на рис. 6. 

     

     Рис.6
     Правила построения магических квадратов делятся  на три категории в зависимости  от того, каков порядок квадрата: нечетен, равен удвоенному нечетному  числу или равен учетверенному  нечетному числу. Общий метод  построения всех квадратов неизвестен, хотя широко применяются различные  схемы. Мы рассмотрим ниже только один метод - метод построения магических квадратов нечетного порядка.
     Магические  квадраты нечетного порядка можно  построить с помощью метода французского геометра 17 в. А.де ла Лубера. Рассмотрим этот метод на примере квадрата 5-го порядка (рис. 4). Число 1 помещается в  центральную клетку верхней строки. Все натуральные числа располагаются  в естественном порядке циклически снизу вверх в клетках диагоналей справа налево. Дойдя до верхнего края квадрата (как в случае числа 1), продолжаем заполнять диагональ, начинающуюся от нижней клетки следующего столбца. Дойдя до правого края квадрата (число 3), продолжаем заполнять диагональ, идущую от левой клетки строкой выше. Дойдя до заполненной клетки (число 5) или угла (число 15), траектория спускается на одну клетку вниз, после чего процесс заполнения продолжается.
     

     Рис. 7. МЕТОД ДЕ ЛА ЛУБЕРА.
     Таким образом, истоки возникновения магических квадратов теряются во времени. История магических квадратов неразрывно связана с развитием науки. Однако если в древние времена интерес к квадратам был больше эзотерический, то в нынешнее время сугубо практический. Использование алгоритмов заполнения магических квадратов позволяет решать некоторые проблемы криптографии. Также выяснено существование лишь частных алгоритмов заполнения магических квадратов. Общего алгоритма, подходящего под все виды магических квадратов не существует.
 


     Глава 2. Программная реализация проверки магических квадратов 

     Программирование – это процесс создания (разработки) программы, который может быть представлен последовательностью следующих шагов:
     1. Спецификация.
     2. Разработка алгоритма.
     3. Кодирование.
     4. Отладка.
     5. Тестирование.

     Спецификация

     Спецификация, определение требований к программе  — один из важнейших этапов, на котором  подробно описывается исходная информация, формулируются требования к результату, поведение программы в особых случаях (например, при вводе неверных данных), разрабатываются диалоговые окна, обеспечивающие взаимодействие пользователя и программы.
     На  этом этапе я определила последовательность этапов создания программы.
     1. Организация ввода матрицы.
     2. Вывод квадратной матрицы на экран.
     3.Проверка  квадратной матрицы на предмет,  является ли она магическим  квадратом.
     4.Вывод ответа.

     Разработка  алгоритма

     Как было сказано ранее, магический квадрат — это квадратная таблица, сторона которого состоит из n клеток, содержит n2 клеток и называется квадратом n-го порядка. Сумма S чисел, стоящих в каждой строке, каждом столбце и на любой диагонали, называется постоянной квадрата S. Доказано, что n ? 3.
     Например:
            2 7 6  15
            9 5 1  15
            4 3 8  15 

15  15 15 15  15
    Для проверки квадратной матрицы на предмет, является ли она магическим квадратом, нужно определить постоянную квадрата S. Для этого можно определить сумму любой строки, столбца или диагонали и взять получившийся результат, как эталон для сравнения остальных сумм.
    В своей работе в качестве постоянной квадрата я буду использовать сумму  чисел главной диагонали, каждый элемент которой в матрице  будет находиться под номером  а[i,i], где i<=n. Затем данное число нужно сравнить с суммой всех строк и столбцов. На последнем этапе постоянную квадрата нужно сравнить с суммой чисел побочной диагонали, каждый элемент которой находиться под номером а[i,n-i+1], где i<=n.
    Таким образом, алгоритм проверки имеет следующую  структуру:
    Определение суммы главной диагонали в качестве постоянной квадрата.
    Сравнение постоянной квадрата с суммой каждой строки.
    Сравнение постоянной квадрата с суммой каждого столбца.
    Сравнение постоянной квадрата с суммой побочной диагонали.
 
    Кодирование
    Program magicheskij_kvadrat;
    Uses Crt;
    Var A : Array [1..20, 1..20] of Integer;
         i, j, n : Integer;
         Standard, S : Integer;
         Otvet : Boolean; 

    {------------------------------------------------------------------}
    Procedure Vvod_vyvod; {Процедура ввода-вывода матрицы}
    Begin 

      ClrScr;
      Write('Введите порядок квадрата ');
      ReadLn(n);
      For i := 1 to n do
        For j := 1 to n do
         begin
          Write('Введите A[',i,', ',j,'] = ');
          ReadLn(A[i,j])
         end; 

      ClrScr;
      WriteLn('Исходная матрица :');
      WriteLn;
        For i := 1 to n do
          begin
           For j := 1 to n do Write(A[i,j] : 5);
           WriteLn
          end;
      WriteLn
    End; 
     
     

    {------------------------------------------------------------------}
    Procedure Proverka (Var Otvet:Boolean);
    {Проверка, является ли квадрат  магическим}
    Begin
     
    {выбор  эталона суммы}
      Standard:=0;
      For i := 1 to n do Standard := Standard + A[i,i];
     
      Otvet:=TRUE;
      i:=1;
     
      {проверка строк}
      While (i<=n) and Otvet do
         begin
           S:=0;
           For j := 1 to n do S := S+A[i, j];
           If S<>Standard
              then Otvet := FALSE
              else i:=i+1
         end;
        
      {проверка столбцов}
      j:=1;
      While (j<=n) and Otvet do
        begin
          S:=0;
          For i := 1 to n do S:=S+A[i, j];
          If S<>Standard
              then Otvet := FALSE
              else j := j+1
        end; 

      {проверка побочной диагонали}
      If Otvet then
        begin
          S:=0;
          For i := 1 to n do S := S+A[i,n-i+1];
          If S<>Standard then Otvet := FALSE;
        end;
    End; 

    {------------------------------------------------------------------}
    {основная программа}
    BEGIN
      Vvod_vyvod; {Процедура ввода-вывода }
      Proverka (Otvet); {Вызов процедуры решения задачи }
      If Otvet then WriteLn('Это магический квадрат.')
                   else WriteLn('Это не магический квадрат.');
      ReadLn
    END. 

    Отладка
    Для удобства работы с данной программой мною была использована команда Uses Crt – вызов всплывающего окна ввода и вывода данных. Для того, чтобы ранее водимые данные не смешивались с текущей информацией, перед вводом и выводом матрицы было использована команда ClrScr – очистка диалогового окна. 
 

    Тестирование
     Число магических квадратов быстро возрастает с увеличением размера квадрата. Существует только один магический квадрат  размером 3х3 (если не учитывать его  повороты). Количество магических квадратов 4х4 составляет уже 880, а количество магических квадратов 5х5 - около 250000. Поскольку общего алгоритма построения, подходящего под все виды магических квадратов не существует, то для тестирования программы мною были использованы квадратные матрицы, построенные по методу французского геометра 17 в. де ла Лубера, а также квадратная матрица размером 3х3, указанная выше. 
 
 
 
 
 
 

 


Глава 3. Использование  магических квадратов в современном  мире
     В 19 и 20 вв. интерес к магическим квадратам  вспыхнул с новой силой. Их стали  исследовать с помощью методов  высшей алгебры и операционного  исчисления. В связи с этим сфера использования магических квадратов значительно возросла, что можно наблюдать и в наше время.
     Использование магических квадратов прослеживается в современной школе на уроках информатики при работе с программой Microsoft Excel, при изучении языка программирования Pascal. Однако их роль на уроках математики тоже заметна. Магические квадраты зачастую используются для развития логического мышление и внимания. В начальной школе используются магические квадраты с повторяющимися цифрами для закрепления нумерации.
     Магические  квадраты получили распространение  даже в сфере развлечений. На их основе созданы многие современные логические игры. Например, игра «Судоку». Игра представляет собой квадрат размером 3х3 клетки. В каждую клетку помещается одно число от 1 до 9 причем так, чтобы сумма чисел в любом столбце, строке и по диагонали равнялась 15.
     История судоку как игры восходит к имени  знаменитого швейцарского математика, механика и физика Леонарда Эйлера (1707 – 1783). В бумагах его архива, датированных 17 октября 1776 года, содержатся записи о том, как образовать магический квадрат с определенным числом ячеек, особенно 9, 16, 25 и 36. В другом документе, озаглавленном «Научное исследование новых разновидностей магического  квадрата» Эйлер помещал в  клетки латинские буквы (Латинский  квадрат), позже он заполнил клетки греческими буквами и называл  квадрат греко-латинским. Исследуя различные варианты магического  квадрата, Эйлер обратил внимание на проблему комбинации символов таким  образом, чтобы не один из них не повторялся ни в одной строке и  ни в одном столбце.
     В современном виде головоломки судоку впервые были опубликованы в 1979 году в журнале Word Games magazine. Автором головоломки  был Гарвард Гарис. Он использовал принцип латинского квадрата Эйлера, применил его в матрице размерностью 9х9 и добавил дополнительные ограничения, цифры не должны повторяться и во внутренних квадратах 3х3.
     Еще одним примером использования квадратов  в сфере развлечений является магический квадрат третьего порядка, который можно встретить на палубах больших пассажирских судов - площадка для игры в палубный шаффлборд.[8]
     Шаффлборд - игра, в которой монеты или диски  ударом биты перемещают по расчерченной на девять клеток площадке.
     Кроме того, магические квадраты используются при решении задач криптографии. С начала эпохи Возрождения (конец XIV столетия) начала возрождаться и криптография. Наряду с традиционными применениями криптографии в политике, дипломатии и военном деле появляются и другие задачи - защита интеллектуальной собственности от преследований инквизиции или заимствований злоумышленников. В разработанных шифрах перестановки того времени применяются шифрующие таблицы, которые в сущности задают правила перестановки букв в сообщении. В качестве ключа в шифрующих таблицах используются:
     • размер таблицы;
     • слово или фраза, задающие перестановку;
     • особенности структуры таблицы.
     Одним из самых примитивных табличных  шифров перестановки является простая  перестановка, для которой ключом служит размер таблицы. Этот метод шифрования сходен с шифром скитала. Например, сообщение
     ТЕРМИНАТОР  ПРИБЫВАЕТ СЕДЬМОГО В ПОЛНОЧЬ
     записывается  в таблицу поочередно по столбцам. Результат заполнения таблицы из 5 строк и 7 столбцов показан на рисунке  ниже. После заполнения таблицы текстом  сообщения по столбцам для формирования шифртекста считывают содержимое таблицы  по строкам. 

    Т Н П В Е Г Л
    Е А Р А Д О Н
    Р Т И Е Ь В О
    М О Б Т М П Ч
    И Р Ы С О О Ь
 
     Заполнение  таблицы из 5 строк и 7 столбцов
     Если  шифртекст записывать группами по пять букв, получается такое шифрованное  сообщение:
     ТНПВЕ ГЛЕАР АДОНР ТИЕЬВ ОМОБТ МПЧИР  ЫСООЬ
     Несколько большей стойкостью к раскрытию  обладает метод шифрования, называемый одиночной перестановкой по ключу. Этот метод отличается от предыдущего  тем, что столбцы таблицы переставляются по ключевому слову, фразе или  набору чисел длиной в строку таблицы.
     Применим  в качестве ключа, например, слово  ПЕЛИКАН,
     
     Таблицы, заполненные ключевым словом и текстом  сообщения, а текст сообщения возьмем из предыдущего примера. На рисунке выше показаны две таблицы, заполненные текстом сообщения и ключевым словом, при этом левая таблица соответствует заполнению до перестановки, а правая таблица - заполнению после перестановки. В верхней строке левой таблицы записан ключ, а номера под буквами ключа определены в соответствии с естественным порядком соответствующих букв ключа в алфавите. Если бы в ключе встретились одинаковые буквы, они бы были пронумерованы слева направо. В правой таблице столбцы переставлены в соответствии с упорядоченными номерами букв ключа. При считывании содержимого правой таблицы по строкам и записи шифртекста группами по пять букв получим шифрованное сообщение:
     ГНВЕП ЛТООА ДРНЕВ ТЕЬИО РПОТМ БЧМОР  СОЫЬИ
     Для обеспечения дополнительной скрытности можно повторно зашифровать сообщение, которое уже прошло шифрование. Такой  метод шифрования называется двойной  перестановкой. Пример выполнения шифрования методом двойной перестановки показан  на рисунке ниже. Если считывать  шифртекст из правой таблицы построчно  блоками по четыре буквы, то получится  следующее:
     ТЮАЕ  ООГМ РЛИП ОЬСВ
     Ключом  к шифру двойной перестановки служит последовательность номеров  столбцов и номеров строк исходной таблицы (в нашем примере последовательности 4132 и 3142 соответственно). 

     
     Однако  двойная перестановка не отличается высокой стойкостью и сравнительно просто "взламывается" при любом  размере таблицы шифрования.
     В средние века для шифрования перестановкой  применялись и магические квадраты. Шифруемый текст вписывали в  магические квадраты в соответствии с нумерацией их клеток. Если затем  выписать содержимое такой таблицы  по строкам, то получится шифртекст, сформированный благодаря перестановке букв исходного сообщения. В те времена  считалось, что созданные с помощью  магических квадратов шифртексты охраняет не только ключ, но и магическая сила. Пример магического квадрата и его  заполнения сообщением
     ПРИЛЕТАЮ  ВОСЬМОГО
     показан на рисунке ниже.
     
     Пример  магического квадрата 4х4 и его  заполнения сообщением
     ПРИЛЕТАЮ  ВОСЬМОГО
     Шифртекст, получаемый при считывании содержимого  правой таблицы по строкам, имеет  вполне загадочный вид:
     ОИРМ  ЕОСЮ ВТАЬ ЛГОП
     В наше время системы шифрования значительно  усложнились, но в основе большинства  из них по-прежнему лежат магические квадраты.
     Как было сказано ранее, традиционной сферой применения магических квадратов являлись и являются талисманы.
     Однако, существуют и магические квадраты для стихий и знаков Зодиака. Найти порядок нужного МК поможет Liber 777 Алистера Кроули, которая устанавливает следующие соответствия: