На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Диплом Строение конечных групп по заданным свойствам их обобщенно субнормальных подгрупп. Использование методов абстрактной теории групп и теории формаций конечных групп. Субнормальные и обобщенно субнормальные подгруппы и их свойства. Обобщение теоремы Хоукса.

Информация:

Тип работы: Диплом. Предмет: Математика. Добавлен: 20.12.2009. Сдан: 2009. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


6
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования государственный университет
имени Франциска Скорины
Конкурс научных работ студентов высших учебных заведений Республики Беларусь по естественным, техническим и гуманитарным наукам
подгруппы
СУБНОРМАЛЬНЫЕ ПОДГРУППЫ ГРУПП
Математика, прикладная математика, механика и астрономия
Сергей Николаевич,
5 курс
Владимир Николаевич,
заведующий кафедрой высшей математики,
доктор физико-математических наук,
доцент
Гомель, 2005
Реферат
содержит 32 страницы, 21 источник.
слова: конечные группы, подгруппы конечных групп, формации конечных групп, субнормальные подгруппы, -субнормальные подгруппы, -достижимые подгруппы.
и предмет исследования. Обектом исследования являются конечные группы. Предмет исследования - строение конечных групп в зависимости от свойств их обобщенно субнормальных подгрупп.
Исследования. Целью исследования является изучение строения конечных групп по заданным свойствам их обобщенно субнормальных подгрупп.
Методы исследования. Использовались методы абстрактной теории групп, методы теории формаций конечных групп.
Результаты, их новизна. В ходе исследования получены новые результаты, имеющие большой научный интерес в изучении строения конечных групп по заданным свойствам их обобщенно субнормальных подгрупп. В частности, полученные результаты приводят к обобщению известного результата английского математика Хоукса.
Внедрения. Настоящая научная работа может использоваться при чтении спецкурсов на математическом факультете.
Отзыв
На
научную работу на тему СУБНОРМАЛЬНЫЕ ПОДГРУППЫ ГРУПП, студентом математического факультета Н.01.01 СЕРГЕЕМ НИКОЛАЕВИЧЕМ
В 30-е годы прошлого столетия известным немецким математиком Виландтом была построена теория субнормальных подгрупп конечных групп, которая с успехом используется многими математиками при изучении строения конечных групп.
В теории формаций конечных групп понятие субнормальной подгруппы обобщается двумя способами. Это понятие -субнормальных и -достижимых подгрупп.
Л.А. Шеметковым в монографии конечных групп была поставлена задача о построении теории -субнормальных подгрупп, аналогичной теории субнормальных подгрупп. Данная задача сразу привлекла пристальное внимание многих алгебраистов как у нас в стране, так и за рубежом.
Из сказанного следует, что тема научной работы актуальна.
Целью настоящей научной работы является изучение строения конечных групп по заданным свойствам -субнормальных подгрупп. С этой задачей С.Н. Шевчук с успехом справился. Им был получен ряд результатов, несомненно представляющих интерес. В частности, из полученных результатов следует известный результат английского математика Хоукса. Результаты дипломной работы опубликованы в 5 научных работах. Соответствующие доклады были представлены на международных конференциях, проводимых в городах Иркутске, Севастополе, на IX Белорусской математической конференции в Гродно, конференции студентов и аспирантов в Гомельском государственном университете им.Ф. Скорины.
При написании работы студент С.Н. Шевчук проявил умение работать с научной литературой, самостоятельность, способность к научному исследованию.
Полученные результаты могут быть использованы при чтении спецкурсов на математическом факультете.
Руководитель дипломной работы, д. ф. - м. н., доцент, зав. кафедрой высшей математики В.Н. Семенчук
Содержание
    Введение
      Субнормальные подгруппы и их свойства
      Обощенно субнормальные подгруппы и их свойства
      Обобщение теоремы хоукса
      Заключение
      Литература

Введение

Центральной задачей любой содержательной математической теории является задача о разумной классификации и конструктивном описании тех исследуемых в ней объектов, которые наиболее полезны в различных приложениях. Реализация такой задачи всегда связана с разработкой новых методов исследования, которые в конечном счете составляют основное идейное богатство данной теории. Такая тенденция ярко проявилась на примере развития теории конечных непростых групп в последние три десятилетия. Как отмечено в монографии Л.А. Шеметкова , хотя теория конечных групп никогда не испытывала недостатка в общих методах, идеях и нерешенных проблемах, все же обилие полученных результатов с неизбежностью привело к необходимости разработки новых методов и систематизирующих точек зрения.

Одной из таких систематизирующих и, как оказалось, весьма перспективных точек зрения явилась идея Гашюца о том, что внутреннее строение конечной группы удобно исследовать по отношению к некоторому фиксированному классу групп, названному Гашюцом насыщенной формацией.

Напомним, что насыщенной формацией конечных групп называется класс конечных групп, замкнутый относительно гомоморфных образов, подпрямых произведений и фраттиниевых расширений. Такой подход к изучению строения конечных групп привлек внимание многих специалистов по алгебре, и исследования, связанные с насыщенными формациями, составили одно из доминирующих направлений современной теории классов групп.

Известным немецким математиком Виландтом была построена теория субнормальных подгрупп конечных групп, которая с успехом используется многими математиками при изучении строения конечных групп. Основные свойства субнормальных подгрупп приводятся в первом разделе научной работы. В теории формаций конечных групп понятие субнормальной подгруппы обобщается двумя способами.

Естественным обобщением понятия субнормальности является понятие -субнормальности, которое для произвольных конечных групп впервые введено Л.А. Шеметковым в книге .

Пусть - непустая формация. Подгруппу группы назовем -субнормальной, если либо либо существует максимальная цепь такая, что для всех .

Если - класс всех нильпотентных групп, то в каждой разрешимой группе множество всех -субнормальных подгрупп совпадает с множеством всех субнормальных подгрупп группы . Однако для произвольной группы это не так.

Наряду с понятием -субнормальности естественным обобщением субнормальности является понятие -достижимости введенное Кегелем в работе .

Назовем подгруппу -достижимой, если существует цепь подгрупп такая, что для любого либо подгруппа нормальна в , либо .

Основные свойства обобщенно субнормальных подгрупп приводятся во втором разделе работы.

Отметим, что для любой непустой формации множество всех -достижимых подгрупп произвольной группы содержит множество всех субнормальных подгрупп группы и множество всех -субнормальных подгрупп группы . Если - непустая нильпотентная формация, то множество всех -достижимых подгрупп в точности совпадает с множеством всех субнормальных подгрупп для произвольной группы .

В третьем разделе изучается строение конечных групп по заданным свойствам -субнормальных подгрупп.

Результаты научной работы опубликованы в , , .

Субнормальные подгруппы и их свойства

Определение 1 Пусть - подгруппа группы . Цепь подгрупп

в которой для любого , ,..., , называется субнормальной -цепью, а число - длиной этой цепи. Наименьшее , при котором существует хотя бы одна субнормальная -цепь длины , называется дефектом подгруппы в и обозначается через .

Определение 2 Пусть - подгруппа группы . Если существует хотя бы одна субнормальная -цепь, то подгруппа называется субнормальной, обозначается .

Лемма 3 Если субнормальна в , и субнормальна в , то субнормальна в .

Proof. субнормальна в , следовательно, по определению субнормальной подгруппы существует субнормальная -цепь

субнормальна в , следовательно, существует субнормальная -цепь

Таким образом, мы получили субнормальную -цепь

то есть субнормальна в по определению. Лемма доказана.

Теорема 4 Если подгруппа субнормальна, но не нормальна в , то существует такой элемент , что

Proof. Пусть - дефект подгруппы в группе . Рассмотрим субнормальную -цепь длины :

Из того, что не нормальна в , следует, что . не нормальна и в , иначе мы получаем противоречие с тем, что - дефект подгруппы в группе , так как в этом случае подгруппу в цепи можно было бы опустить. Поэтому существует элемент такой, что . Теперь имеем

Так как , то . С другой стороны, и , откуда получаем . Теорема доказана.

Определение 5 Пусть - субнормальная подгруппа дефекта в . Субнормальная -цепь

называется канонической, если для любой субнормальной -цепи

имеет место , , ,..., .

Другими словами, каноническая субнормальная цепь входит почленно в любую другую субнормальную цепь той же длины.

Теорема 6 Если субнормальна в , то существует единственная каноническая субнормальная -цепь.

Proof. Пусть - дефект подгруппы в группе . Будем рассматривать все возможные субнормальные -цепи длины . все субнормальные -цепи длины ( - второй индекс). Положим . Так как , то для любого , ,..., мы имеем

Таким образом, цепь является субнормальной -цепью длины и, следовательно, не имеет повторений. Так как при любых и , то теорема доказана.

Теорема 7 Если субнормальна в и - подгруппа , то пересечение есть субнормальная подгруппа .

Proof. Рассмотрим субнормальную -цепь минимальной длины :

Положим . Получаем цепь

Ясно, что она будет субнормальной, так как . Действительно, пусть , значит, и . Тогда для любого , так как и .

Мы получили субнормальную -цепь. Теорема доказана.

Следствие 8 Пусть и - подгруппы группы . Если субнормальна в и - подгруппа , то субнормальна в .

Proof. Пусть и цепь

является субнормальной -цепью.

Положив , получим субнормальную -цепь что и требовалось.

Теорема 9 Пусть субнормальна в и субнормальна в . Тогда пересечение есть субнормальная подгруппа в .

Proof. Пусть - наибольший из дефектов подгрупп и в группе . Очевидно, существует (возможно, с повторениями) цепи

Положим , , ,..., . Из , следует, что нормальна в . Следовательно, цепь является субнормальной -цепью, что и доказывает теорему.

Лемма 10 Если субнормальна в , а - нормальная подгруппа группы , то произведение есть субнормальная подгруппа группы .

Proof. субнормальна в , следовательно, существует субнормальная -цепь

Следовательно, цепь будет субнормальной.

Действительно, так как и , то . Лемма доказана.

Лемма 11 Если подгруппы и субнормальны в и , то произведение есть субнормальная подгруппа группы .

Proof. Если нормальна в , то результат следует из леммы .

Предположим, что не нормальна в , то есть . Будем считать, что теорема верна для субнормальных подгрупп с дефектом меньшим . Таким образом, если и субнормальны в причем и , то по индуктивному предположению субнормальна в .

Пусть - каноническая субнормальная -цепь. Так как нормализует подгруппу , то для любого цепь будет субнормальной -цепью. По свойству канонической субнормальной -цепи , а значит, для любого , ,..., (по определеделению).

Следовательно, содержится в для любого . Так как и , то по индукции субнормальна в . По следствию субнормальна в . Так как и , то . Таким образом, , , а значит, по лемме подгруппа субнормальна в . К тому же , то мы получаем . Лемма доказана.

Теорема 12 Если и - субнормальные подгруппы группы , то есть также субнормальная подгруппа .

Proof. Положим . Среди субнормальных подгрупп группы , содержащихся в , выберем подгруппу , имеющую наибольший порядок. По следствию субнормальна в . Докажем, что нормальна в . Предположим противное, то есть что не нормальна в . Тогда по теореме найдется такой элемент , что , и . Так как субнормальна в и , то субнормальна в . Получается следующая ситуация: и субнормальны в , . По лемме субнормальна в . Ввиду выбора отсюда следует , что противоречит .

Итак, нормальна в , а значит, и нормализуют подгруппу . По лемме и субнормальны в . Так как и , то ввиду выбора получаем . Следовательно, , откуда вытекает, что . Теорема доказана.

Объединяя теоремы и , получим классический результат Виландта.

Теорема Виландт 13 Множество всех субнормальных подгрупп группы образует подрешетку решетки .

Отметим одно часто используемое приложение теорем и .

Теорема 14 Пусть - некоторое непустое множество субнормальных подгрупп группы , удовлетворяющее следующим условиям:

1) если и , то ;

2) если , , , , то .

Тогда для любой подгруппы .

Proof. Возьмем произвольную подгруппу из . Если не нормальна в , то по теореме найдется такой элемент , что , , . По условиям 1) и 2) , . Если не нормальна в , то найдется такой, что , , . Тогда и . Если не нормальна, то описанную процедуру применяем к . Так как конечна, то этот процесс завершится построением нормальной подгруппы , представимой в виде , где - некоторые элементы из . Очевидно, , и теорема доказана.

Следствие 15 Если - непустой радикальный класс, то содержит все субнормальные -подгруппы группы .

Proof. Пусть - множество всех субнормальных -подгрупп из . Ввиду теоремы легко заметить, что удовлетворяет условиям 1) и 2) теоремы .

Следстви и т.д.................


Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.