На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Курсовик Формулировка и доказательство теоремы о простых числах в арифметической прогрессии (теорема Дирихле). Определение и основные свойства характеров. Суммы характеров и соотношение ортогональности. Характеры, L-функция Дирихле. Доказательство основных лемм.

Информация:

Тип работы: Курсовик. Предмет: Математика. Добавлен: 12.08.2009. Сдан: 2009. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


Содержание

    Введение 2
    1. Характеры 3
      1.1 Определение характера. Основные свойства характеров 3
      1.2 Суммы характеров. Соотношение ортогональности 6
      1.3 Характеры Дирихле 8
    2. L-функция Дирихле 13
    3. Доказательство теоремы Дирихле 29

Введение

Простые числа расположены в натуральном ряде весьма неравномерно.

Целью данной работы является доказательство следующей теоремы о простых числах в арифметической прогрессии.

Теорема Дирихле. Если разность и первый член арифметической прогрессии есть взаимно простые натуральные числа, то она содержит бесконечное множество простых чисел.

Пусть

mn + l, n=1,2, …,

прогрессия, удовлетворяющая условию теоремы.

Условие (m, l)=1, наложенные на числа m и e в формулировке теоремы, естественно, поскольку в случае, когда d=(m, l)>1, все члены прогрессии делятся на d и поэтому не являются простыми числами.

Сформулированная теория была впервые высказана Л. Эйлером в 1783 г. В 1798 г. А. Лежандр опубликовал доказательство для четных m, использовавшее, как выяснилось позднее, одну ошибочную лемму.

Полностью доказал теорему в 1837-1839 гг. Петер Густав Лежен-Дирихле (1805-1859), немецкий математик, автор трудов по аналитической теории чисел, теории функций, математической физике.

В 1837 г. вышли две работы Дирихле, посвященные теореме о простых числах в арифметической прогрессии. Они содержали формулировку теоремы в общем виде, однако доказательство приводилось только для случая, когда разность прогрессии есть простое число. В конце второй работы содержится построение характеров для произвольного модуля и некоторые утверждения о том, как можно доказать утверждение L (1,?)0 для неглавных характеров x в одном случае. В 1839 г. Дилихле опубликовал полное доказательство теоремы о простых числах в арифметической прогрессии. С тех пор она носит его имя.

1. Характеры

1.1 Определение характера. Основные свойства характеров

Характером (от греческого хара???p-признак, особенность) ? конечной абелевой группы G называется не равная тождественно нулю комплекснозначная функция, определенная на этой группе и обладающая тем свойством, что если, АG и BG

? (АВ)= ? (А) ?(В).

Обозначим через Е единичные элементы в группе G и через А-1 обратный элемент для АG

Характеры группы G обладают следующими свойствами:

1. Если Е-единица группы, то для каждого характера ?

? (Е)=1 (1.1)

Доказательство. Пусть для каждого элемента АG справедливо неравенство

1(А)=(АЕ)= (А) ? (Е)

Из этого равенства получим, что (Е)0. Теперь из равенства

(Е)= (ЕЕ)= (Е) (Е)=1

следует равенство (1.1)

2. (А) 0 для каждого АG

Действительно, если бы ? (А) =0 для некоторого АG, то

(А) ? (А-1)= (АА-1)= ? (Е)=0,

а это противоречит свойству 1.

3. Если группа G имеет порядок h, то Аh=Е для каждого элемента АG Следовательно,

1= ? (Е)= ? (Аh)= ? (А)h,

то есть ? (А) есть некоторый корень степени h из единицы.

Характер ?1, обладающий свойством ?1(А)=1 для каждого элемента АG, называется главным характером группы G. Остальные характеры называются неглавными.

Лемма 1. Пусть Н подгруппа конечной абелевой группы G, причем G/H - циклическая порядка n, тогда для каждого характера ?H - подгруппы Н существует ровно n характеров.

Доказательство. Рассмотрим группу G=gkH, причем gnH=H, gnH и gn=h1=1.

Для каждого элемента XG существует и притом единственное к=кх и hх=h такое, что если 0 кх <n, то X= gkх hх=gkh. Возьмем еще один элемент группы G, Y= gm hy, где 0 m<n. Перемножим эти два элемента

ХY= gк+m hhy.

Определим характер ? (X).

? (X)= ? (gк h)= ? (gк) ? (n)= ? к (g) ? H (h).

В данном выражении неизвестным является ? (g).

? n (g)= ? (gn)= ? (h1)= ? H(h1) - данное число.

? (g)= - n корней из 1,

то есть ?јn=?n(g)= ? H(h1), получаем xk (g)= ?јn. Следовательно, x(g)= ?1, …, ?n

Из полученных равенств получаем:

? (X)= ? k (g) ? H(hx)= ?jkx ? H (hx)

? (Y)= ? m (g) ? H(hy)= ?jky ? H (hy)

Определим умножение характеров

? (X) ? (Y)= ?jky ? H (hy) ?jk-x ? H (hx)= ?jkx+ky ? H (hx) ? H (hy)= jk+m ? H (hhy)

Для того чтобы определение выполнялось, необходимо рассмотреть степень gkx+kx. Возможны два случая:

1) Если 0 кх + ky<n, то

кх + ky= kxy,; hxhy = hxy.

В этом случае определение выполняется.

2) Если n кх + ky<2n-1, то получим

кх + ky = n + kxy..

Тогда

XY= g kx+ky hxhy=ghgkx+ky-n hx hy=gkx+ky-n h1hxhy

В свою очередь 0 кх + ky - nn-1 kx+ky - n=kxy, h1hxhy = hxy.

? (XY) = ?j kх+kу ?н (hxу) = ?j kх + kу - n ?н (h1) ?н(hx) ?н (hy) = ?jкх ?j ку ?j- n ?н (h1) ?н(hx) ?н (hy) = ?j кх ?н (h) · ?j ку ?н(hy) = ? (X) ?(Y).

Лемма доказана.

5. Характеры конечной мультипликативной абелевой группы G образуют конечную мультипликативную абелевую группу G.

Под произведением двух характеров ?' и х ?'' группы G будем понимать характер х, определяемый следующим свойством:

? (AB) = ?' (A) ?'' (В)

Для любого элемента АG, имеем:

? (АВ) = ?' (АВ) ?'' (АВ) = ?' (А) ?' (В) · ?'' (А) ?'' (В) = ?(А) ?(В)

Таким образом, получаем ? ' ? '' действительно является характером.

Роль единичного элемента группы G играет главный характер ?1

Обратным элементом G является:

?2 (g1 g2) = == = ?2(g1) ?2(g1)

1.2 Суммы характеров. Соотношение ортогональности

Пусть G - конечная мультипликативная абелева группа порядка h. Рассмотрим сумму:

S = ,

где А пробегает все элементы G, и сумму

Т =

где пробегает все элементы группы характеров G.

Рассмотрим чему равна каждая из сумм.

а) Если В-фиксированный элемент группы G и А пробегает все элементы G, то АВ также пробегает все элементы группы G. Следовательно,

S· (В) = (В) = = = S.

Получили S (В) = S, откуда следует, что ( (В) - 1)·S = 0. Следовательно, возможны два варианта:

1) S = 0, то (В) - негативный характер

2) S?0, то (В) = 1 для каждого элемента В€G и в этом случае (В)= 1(В) есть главный характер и сумма S равна порядку h группы G. Таким образом,

S = = (1.2)

б) Если мы умножим сумму Т на некоторый характер ' группы G, то аналогичным образом получим

' (А) Т = ' (А) = = Т,

Следовательно,

1) или Т = 0, то А ?Е

2) или Т ? 0, то ' (А) = 1 для каждого характера '€ G. В этом случае согласно свойству 3§ 1, имеем А=Е. И тогда Т=h. Таким образом,

Т = =

1.3 Характеры Дирихле

Пусть m - положительное целое число. Определим числовые характеры по модулю m. Мы знаем, что (m) приведенных классов вычетов по модулю m образуют мультипликативную абелеву группу порядка h=(m). Мы можем, следовательно, рассмотреть характер этой группы. Но определение характера для приведенных классов вычета по модулю m можно перенести на множество целых чисел следующим образом. Положим

(а)= (А), если аА,

где А - приведенный класс вычетов по модулю m. Тогда очевидно, (а)= (b) (mod m), и (ab)= (а) (b), если (а, m)=(b, m)=1. Поскольку (А)0 для каждого приведенного класса вычетов А, то (а)0, если (a, m)=1.

Это определение применимо только к целым числам а, которые взаимно просты с m.

Мы можем рассмотреть его на все целые числа, положив

(а)=0, если (a, m)>1.

Следовательно, характер по модулю m есть арифметическая функция , обладающая следующими свойствами:

(а)= (b), если с=b (mod m)

(ab)= (a) (b) для всех целых a и b

(а)=0, если (a, m)>1

(а)0, если (a, m)=1

Имеется точно (m) - количество характеров по модулю m, где (m) - количество положительных целых чисел, не превосходящих m и взаимно простых с m. Они образуют мультипликативную абелеву группу приведенных классов вычета по mod m. Единичным элементом этой группы будет главный характер 1, то есть такой характер, что 1(а)=1, если (а, m)=1. Далее имеем следующее соотношение ортогональности:

=

=

Пусть m - положительное целое число. Определим числовые характеры по модулю m. Комплекснозначная функция, определенная для всех целых чисел n, называется числовым характером или характером Дирихле по модулю m, она удовлетворяет следующим условиям:

а) (n) = 0 тогда и только тогда, когда (n, m) ? 1

б) (n) периодична с периодом m

в) для любых чисел а и b

(аb) = (а) (b)

Функция

1(n) =

является числовым характером и называется главным характером. Остальные числовые характеры по модулю m называются неглавными.

Имеет место следующее утверждение о числовых характерах.

Теорема 1 Существует равно ?(m) числовых характеров по модулю m. Если = (n) - числовой характер по модулю m, то:

1) для n, взаимно простых с модулем m, значения (n) есть корень из 1 степени ?(m).

2) для всех n выполняется неравенство / (n)/ ?1

3) Имеет место равенство

4) Для каждого целого числа n

=

Доказательство. Пусть (n) - некоторый числовой характер по модулю m. Из пункта б) определения следует, что (n) задает некоторую функцию '() = (n) на мультипликативной группе классов вычетов по модулю m, взаимно простых с m, а именно

'() = (n)

Здесь обозначает класс вычетов по модулю m, содержащий n. Так как (1) ? 0, то '() не равняется тождественно нулю, а из пункта в) определения числового характера следует, что '() = '() = ' (ab) = (a) (b) = '()'().

Таким образом, '() есть характер модультипликативной группы Gm.

Обратно, по каждому характеру '() группы Gm можно построить числовой характер (n) по модулю m, положив

Установленное соответствие является взаимнооднозначным. И все утверждения теоремы 1 следуют из доказанного выше для групповых характеров применительно к группе Gm, если учесть, что порядок группы Gm равен ?(m), где ?(m) - функция Эйлера.

В дальнейшем требуется еще одно утверждение с числовых характерах. Обозначим для каждого , ? 1

Где суммирование ведется по всем натуральным числам n, не превосходящим .

Лемма 2. Пусть (n) - неглавный характер. Тогда для каждого , ? 1 справедливо неравенство

/S(x)/<m

Доказательство. Функция (n) периодична с периодом m и по теореме з

0, так как ? 1

Поэтому, представив [] - целую часть числа - в виде []=m1+z, 0zm, будет иметь

S() =S([])=q

В виду равенства /(n)/1 отсюда получили S()zm

2. L-функция Дирихле

Пусть х(п) - произвольный характер по модулю m. Рассмотрим ряд

, (2.1)

члены которого являются функциями комплексного переменного S. В области сходимости он определяет функцию, которая называется L-функцией Дирихле, соответствующей характеру (n), и обозначается L (s, ).

Лемма 3

1. Если 1, то ряд (1) сходится в области ReS > 0 и определяемая им функция L (s, ) является аналитической в этой области.

2. Ряд, определяющий L (S, 1), сходится в области ReS >1. Функция L (S, 1) является аналитической в области ReS > 1.

Доказательство.

Пусть (n) - произвольный характер по модулю m, а б - некоторое положительное число. Так как /(n)/ 1, то в области ReS > 1 + б справедливо неравенство

Следовательно, ряд (1) равномерно сходится в области ReS > 1 + б. Определяемая им функция L (S, ) по теореме Вейерштрасса о сумме равномерно сходящегося ряда аналитических функций является аналитической в этой области. Ввиду произвольности 6 это доказывает второе утверждение Леммы.

Для неглавных характеров (n) потребуется более сложное исследование ряда (1).

Лемма 4 (преобразование Абеля).

Пусть an, n=1,2,…, - последовательность комплексных чисел, >1,

А()=

а q(t) - комплекснозначная функция, непрерывно дифференцируемая на множестве 1t

Тогда

(2.2)

Если же

то

(2.3)

при условии, что ряд в левой части равенства сходится и т.д.................


Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.