Здесь можно найти образцы любых учебных материалов, т.е. получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ и рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


реферат Вивчення елементв комбнаторики, статистики та теорї ймоврностей у загальноосвтнй школ

Информация:

Тип работы: реферат. Добавлен: 17.09.2012. Сдан: 2012. Страниц: 7. Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%

Описание (план):


Міністерство освіти, науки, молоді та спорту України
Головне управління освіти
Чернівецької  обласної державної адміністрації
Інститут післядипломної педагогічної освіти Чернівецької області
 
 
 
 
 
 
 «Вивчення елементів комбінаторики, статистики та теорії ймовірностей у загальноосвітній школі»
(індивідуальний творчий проект)
 
 
 
 
 
 
Виконаний слухачем курсів
підвищення кваліфікації
вчителів математики
Капра Анжела Іллівна
ІІ категорія
Герцаївська ЗОШ І-ІІІст.
 
 
 
 
 
 
 
 
м. Чернівці
(10.01.2012-20.01.2012; 13.02.2010-24.02.2012)
Зміст
Вступ……………………………………................................................................3
§ 1. Заради чого необхідно викладати теорію ймовірностей?............................4
§ 2. Експериментальна комбінаторика для молодших школярів.......................6
§ 3. Елементарна стохастика................................................................................13
Доданок 1. Урок комбінаторики в школі…………………………………….17
Доданок 2.Урок статистики в  школі………………........................................27
Література..............................................................................................................33
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ВСТУП
Завдання математики —  не навчання лічби,
а навчання прийомів
людського мислення під час  лічби.
Л. Толстой 
Поміркуємо над питаннями, що стосуються цілей, змісту та принципів шкільної математичної освіти. При цьому будемо виходити з положення про абсолютну необхідність включення математики до переліку навчальних дисциплін усіх ступенів середньої школи. Справа полягає не тільки в тому, що людина в сучасному світі має орієнтуватися у кількісних і просторових співвідношеннях, виконувати елементарні арифметичні обчислення, а, й у тому, що вивчення насамперед математики формує культуру логічного мислення.
Фахівці з методики викладання математики часто ставлять запитання про те, які саме розділи математики необхідні у тій чи іншій професії. У наш час стрімкого розвитку науки й техніки, нових технологій, коли деякі професії відмирають, а на їх місці виникають нові, відповісти на це запитання досить важко. Враховуючи широкий спектр професій, ще важче передбачити майбутні професії учнів конкретного навчального закладу. Програми мають забезпечити базову математичну підготовку на випадки різних професій, у переліку яких має бути й професія математика.
Розвиток теорії ймовірностей як науки і розширення сфери її застосування чинить вплив на формування ймовірнісно-статистичної лінії при викладанні багатьох предметів, зокрема математики, в загальноосвітній школі вже протягом понад століття. Так, елементи теорії ймовірностей і статистики викладалися в школах ряду країн вже в XIX ст. і на початок XXст.
§ 1. Заради чого необхідно викладати теорію ймовірностей?
На перший погляд здається, що точну відповідь на це питання можна дати лише в тому випадку, якщо відомо, в якій формі і на якому рівні здійснюється викладання теорії ймовірностей. Тим паче, деякі загальні твердження на цю тему можливо висловити без яких би там не було уточнюючих припущень. Мається на увазі головні цілі викладання теорії ймовірностей. Саме їх, на мою думку, повинен ставити перед собою кожний, хто викладає будь-який розділ теорії ймовірностей, хоча наголоси, зрозуміло, можуть варіюватися залежно від типу навчального закладу. Отже, я вважаю, що при виборі головних цілей будь-якого курсу теорії ймовірностей належить керуватися такими мотивами:
A)   Теорію ймовірностей  необхідно викладати тому, що  вона відіграє важливу роль  у розвитку мислення учнів.
Б) Теорію ймовірностей необхідно викладати тому, що її висновки знаходять застосування у повсякденному житті, науці, техніці тощо.
B) Теорію ймовірностей  необхідно викладати тому, що вона має важливе, ні з чим незрівнянне значення для математичної освіти.
Прокоментуємо коротко ці аргументи.
А) Ознайомлення з основними  поняттями теорії ймовірностей необхідне  для того, щоб ми могли пізнавати  оточуючий світ і створювати одну з науково обґрунтованих картин цього світу. Викладання будь-якого розділу математики благодатно позначається на розумовому розвитку учнів, оскільки прищеплює їм навички ясного логічного мислення, що оперує чітко визначеними поняттями. Все сказане про викладання будь-якого розділу математики в повному обсязі стосується і викладання теорії ймовірностей, але навчання «законам випадку» грає дещо більшу роль і виходить за межі звичайного. Слухаючи курс теорії ймовірностей, учень пізнає, як застосовувати прийоми логічного мислення в тих випадках, коли необхідно мати справу з невизначеністю (а такі випадки виникають на практиці).
Вивчення теорії ймовірностей належним чином впливає і на характер учнів, наприклад, розвиває хоробрість, оскільки дає змогу зрозуміти, що при певних обставинах невдачі можна віднести до випадковостей і, отже, зазнавши невдачі, зовсім не варто відмовлятися від боротьби за досягнення поставленої мети. Викладання теорії ймовірностей може принести безперечну користь, оскільки дозволяє остаточно порвати з пережитками магічного мислення кам'яного століття. Вивчаючи теорію ймовірностей, люди стають більш доброзичливими і толерантними до оточуючих, і, отже, легше вписуються в життя суспільства.
Б) У повсякденному житті  нам постійно доводиться зустрічатися з випадковістю, і теорія ймовірностей вчить нас, як діяти раціонально з урахуванням ризику, пов'язаного з прийняттям окремих рішень. Гарним прикладом застосування теорії ймовірностей у повсякденному житті може слугувати вибір найбільш доцільної форми страхування. При плануванні сімейного бюджету або подорожі за кордон часто доводиться оцінювати витрати, які, у певній мірі, мають випадковий характер. Ці приклади показують, що ознайомлення на тому чи іншому рівні із законами випадку необхідні кожному.
Застосування теорії ймовірностей у науці, техніці, економіці тощо набуває раз у раз зростаючого значення. Саме тому у все більшого числа людей в процесі роботи виникає необхідність у вивченні теорії ймовірностей. Зрозуміло, обсяг курсу теорії ймовірностей залежить від типу навчального закладу. Але не треба забувати и про інше: сучасна освічена людина, незалежно від професії і роду діяльності, повинна мати принаймні загальне уявлення про те, що таке атомна енергія, радіоактивність, генетика і т. ін. Перелік необхідних знань включає в себе і ознайомлення, нехай навіть суто поверхове, з найпростішими поняттями теорії ймовірностей. Нині, коли прогноз погоди містить повідомлення про ймовірність дощу завтра, кожен повинен знати, що власне це означає.
В) Вивчення теорії ймовірностей сприяє кращому розумінню взаємозв'язків між дійсністю і математикою, математичних моделей дійсності. Якщо в курсі математики теорія ймовірностей обминається повною мовчанкою, то в учнів складається невірне уявлення про істинний характер математики та її застосування. Люди, не знайомі з теорією ймовірностей, поділяють помилкову думку, нібито математичні методи можна застосовувати лише в тих випадках, коли йдеться про прості й точні залежності між величинами, які можна точно виміряти і обчислити. Нерідко можна почути і твердження, наче математичні методи непридатні для вивчення і опису тих або інших явищ, через те що ті «дуже складні». Цілком очевидно, що викладання теорії ймовірностей спрощується, якщо учні заздалегідь ознайомлені з теорією множин. З іншого боку, вивчення теорії ймовірностей дає чудову нагоду для більш ґрунтовного і глибокого ознайомлення як з теорією множин.
 
§ 3.Експериментальна комбінаторика для молодших школярів
З цим важко не погодитись, адже навіть на рівні середніх школярів вивчення ймовірності вносить багато свіжих та плідних ідей. Не маючи ймовірнісних понять, діти мають деформовану уяву про математику, вважаючи, що між «істинним» та «хибним» більше нічого немає! Але ж пізніше вони обов'язково виявляють існування цілої області математики, яка базується на понятті «Може бути!». Саме тут математика торкається повсякденного життя набагато тісніше, ніж цьому традиційно вчать у школі, і саме тому більшість фахівців у галузі шкільної математики вважають, що вивчення елементів комбінаторики, теорії ймовірностей та математичної статистики є дуже доцільним. Звичайно, це питання досить складне і не може бути вирішене одностайно та миттєво, адже ймовірність — розділ вищої математики і доступність її для школярів — питання сумнівне. Тут слід звернутися до світового досвіду, і неможливе стане ймовірним! Все, що необхідно зробити — це майстерно пов'язати теорію ймовірності зі світом дитини... Насправді, зробити це неважко, адже навкруги нас легко знайти безліч ситуацій, які можуть послужити поштовхом до глибоких міркувань, досліджень, висновків. Мета вчителя — використати ці ситуації для навчання, і, зрозумівши необхідність та можливість вивчення ймовірності, продумати кожен крок цього шляху.
Знайомство з теорією ймовірностей починається з вивчення комбінаторики. Комбінаторика — важливий інструмент для підготовки до формування ймовірнісного мислення учня. Вона не потребує ніяких попередніх знань і може бути легко пов'язана з цікавими заняттями.
Перше знайомство з комбінаторикою буває для учнів досить складним та неприродним, якщо воно починається з введення одночасно багатьох далеко не елементарних понять і визначень, базується на теорії множин, розуміння якої традиційно складне навіть для старшокласників.
Вивчення комбінаторики можна розбити на етапи:
I етап: експеримент — дослідження та узагальнення отриманих результатів. Побудова та визначення різних комбінаторних моделей відповідно до змісту задачі.
II етап: розв'язання найпростіших задач дедуктивним методом. Вивчення принципів додавання та множення. Означення основних понять комбінаторики.
III етап:  вивчення основних формул комбінаторики та   застосування їх до розв'язання задач різних рівнів складності.
Почнемо з першого, експериментально-дослідницького етапу.
В зв'язку з можливістю експерименту комбінаторика займає, безумовно, привілейоване становище в математичній освіті. Але для того, щоб дати поштовх дитині до певних ідей, потрібні специфічні засоби. По-перше, необхідно добрати цікаві задачі експериментального характеру; по-друге, ввести елемент змагання. Перші заняття повинні бути живими і збуджувати природну цікавість дитини, не відриваючи її від дійсності.
Вивчення комбінаторних  задач доцільно розпочинати з  введення загального поняття комбінаторної  моделі. На цьому етапі, звичайно, слід уникати означень та формулювань; дітям досить зрозуміти, що модель — це «переклад» задачі з літературної мови на мову комбінаторних понять.
Метою вчителя є ознайомити учнів з тим, що комбінаторні моделі розрізняються за такими типами :
1.   Розміщення без  повторень (зокрема перестановки).
2. Розміщення з повтореннями.
3.  Комбінації (сполучення) без повторень.
4. Комбінації з повтореннями.
Моделі можна наповнити  життям, конкретизувавши їх. Для цього можна використати фішки, жетони, бусинки, букви алфавіту, цифри, різнокольорові малюнки, точки, тощо.
Експеримент 1.
Задача: побудувати якомога  більше послідовностей (наборів) трьох  точок, використовуючи три кольори: червоний, жовтий, синій. Додаткова  умова: в кожній послідовності повинно бути використано
1)  всі три кольори;
2)  не всі три кольори;
3)  лише один колір;
4)  не більше двох  кольорів;
5)  всі три кольори,  але починаючи з червоного;
6)  не обов'язково всі  кольори, але другий жовтий; і  т.д.
Проводити цей експеримент  пропонується у вигляді командної  гри. Для нанесення точок можна  використовувати спеціальні невеликі дошки, або аркуші паперу. Виграє та команда, яка побудує найбільшу кількість послідовностей, задовольняючих умові (а краще — всі), швидше за інших. Результат бажано записувати на дошці і зберігати до кінця гри.
Мета проведення експерименту:
1.  Організувати систематичний  пошук елементів певної моделі.
2.  Спробувати знайти  всі елементи моделі.
3.   Навчитися групувати  елементи загальної моделі за певними характеристиками.
4.  Перше знайомство  з поняттям «відношення порядку».
5.   Спробувати визначити  тип кожної моделі.
6.   Проаналізувати результат експерименту, порівнюючи кількість побудованих послідовностей для кожної моделі та спробувати зробити висновки.
Експеримент 2.
Задача: скласти всі можливі  послідовності з жетонів трьох кольорів за таких умов:
Використано три         жетони
Порядок кольорів           враховуємо
Кольори можуть повторюватись
Використано два        жетони
Порядок кольорів не       враховуємо
Кольори не можуть повторюватись

 
Ця загальна схема дає  можливість сформулювати вісім задач різних типів.
Мета проведення експерименту:
1.   Навчитися чітко  визначати тип моделі за   умовою задачі.
2.   Навчитися  визначати   всю множину розв'язків задачі.
3. Порівняти результати (кількість послідовностей) для кожної моделі та зробити висновки. Якій моделі відповідає найбільша кількість послідовностей? Чому?
На цьому етапі вже  можна ввести поняття комбінації елементів, замінюючи ним поняття «послідовність» або «набір» та «кількість комбінацій». Дуже швидко перерахування кількості можливих комбінацій стане задачею більш важливою, ніж ефективна побудова самих комбінацій.
Іншим типом експерименту є гра з фішками двох кольорів.
Експеримент 3.
Задача: побудувати послідовність (комбінацію) з чотирьох фішок, якщо маємо:
1)  дві сині та дві  червоні;
2)  три сині та дві  червоні;
3)  три червоні та  дві сині; і таке інше.
Організація експерименту.
Діти будують послідовності  по черзі. В кінці кожного варіанту гри доцільно підрахувати всі побудовані комбінації, проаналізувати тип отриманої моделі. Можна також будувати послідовності жетонів або фішок за допомогою жеребкування: діти навмання витягають набір жетонів з ящика, потім вони повинні вирішити, чи складають ці жетони нову послідовність.
Мета експерименту.
1.  Створити характерну  модель комбінацій з повторенням.
2.  Систематизувати пошук  нових комбінацій.
3. Спробувати зробити  узагальнюючий висновок про кількість комбінацій в кожному випадку.
Провівши ці та аналогічні експерименти, учні зможуть:
- зрозуміти деякий набір  правил та визначити, чи відповідає йому задана комбінація;
- розрізняти, чи є комбінація  новою, чи повторює стару;
- виявити всі комбінації, які відповідають правилу (умові  задачі);
- намагатися зрозуміти,  чому на цій стадії неможливо  знайти нову комбінацію.
Найбільш складною та цікавою  для учнів на дослідницькому етапі  є так звана «відкрита ситуація»:
Експеримент 4.
Задача: з набору різнокольорових жетонів (наприклад, один синій, два жовтих, три білих) вибрати пару. Скількома способами це можна зробити?
Зауваження. В залежності від обраних правил, відповіддю може бути будь-яке з чисел: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 11, 15, 22, 26.
Організувати проведення експерименту можна в такий спосіб: одна команда формулює нову задачу, друга — шукає її розв'язок. Можна також створювати умову задачі за відомим результатом, попередньо проаналізувавши ситуації (в якому випадку буде більше комбінацій? а коли менше? якому типу відповідає кожна задача?). Базуючись на загальній моделі, можна скласти велику кількість цікавих завдань, залучивши фантазію учнів та вчителя.
Мета експерименту.
1.  Активізувати та  узагальнити набуті раніше знання  учнів.
2.  Закріпити вміння  встановлювати тип комбінаторної задачі та розв'язувати її.
3.  Змінити акцент у  розв'язуванні комбінаторних задач в бік пошуку кількості комбінацій.
4. Зробити узагальнюючі  висновки про структуру кількості комбінацій для різних типів задач (моделей).
Аналогічні експерименти можна проводити, використовуючи букви алфавіту, цифри, олівці, навіть самих учнів, розділяючи їх на групи за певними ознаками.
Проведений таким чином  перший етап дасть учням, крім набутих базових знань та значного розширення математичного світогляду, відчуття «приємного знайомства» з комбінаторикою, як частиною суттєво нового розділу математики.
 
 
 
 
§ 4. Елементарна стохастика
Незважаючи на те, що теорія ймовірностей та математична статистика включені до шкільних програм, дискусійним  залишається питання змісту цих розділів та методики їх викладання.
Головна мета розділу «Елементарна теорія ймовірностей» передбачає:
• сформувати розуміння  випадковості;
• ознайомити учнів з  основними поняттями та ідеями цього  розділу математики, показати його логічну будову, сформувати цілісне  уявлення про нього;
• простежити історичний розвиток теорії ймовірностей;
• допомогти усвідомити, що багато законів природи й суспільства  носять ймовірнісний характер, що багато реальних явищ і процесів можна добре описати ймовірнісними моделями;
• переконати, що теорія ймовірностей має важливе значення для математичної освіти.
Але досягти цього можна  лише базуючись на вивченні певного  навчального матеріалу. Тому наступне запитання, на яке необхідно дати відповідь, стосується змісту розділу  «Елементарна теорія ймвірнотсей”.
Досвід показує, що при  першому ознайомленні з основними поняттями теорії ймовірностей необхідно уникнути двох крайностей: не можна викладати теорію ймовірностей як абстрактну систему, яка відірвана від реальної дійсності, і не можна подавати теорію ймовірностей як систему готових правил, у які залишається лише підставити числові дані.
Тож при першому ознайомленні з основними поняттями теорії ймовірностей необхідно передбачити  розумне поєднання життєвого  досвіду, строгості й доступності.
На наш погляд, при вивченні елементарної теорії ймовірностей доцільно починати вивчати і випадкові величини, ознайомитися з розподілом таких величин та з їхніми числовими характеристиками.
Під стохастикою розуміють два розділи математики: теорію ймовірностей і математичну статистику — це розділи, за допомогою яких можна вивчати випадкові явища. Стохастика виникла в результаті аналізу азартних ігор, переписів населення, питань страхування майна. У XVII ст. цими питаннями цікавилися видатні французькі математики Паскаль і Ферма. Першим великим дослідженням із теорії ймовірностей був трактат Гюйгенса (1657 р.) «Про розрахунки в азартній грі». Та тільки праця Якоба Бернуллі «Ars conjectandi (Мистецтво передбачень)», яка була опублікована в 1713 р. (через 8 років після смерті автора), поклала початок теорії ймовірностей як строгої математичної дисципліни.
Первісним поняттям стохастики є поняття стохастичного експерименту. Це дослід, експеримент, випробування, в широкому розумінні цих слів, результат якого заздалегідь передбачити не можна — він випадковий. Та не всякі експерименти з випадком називають стохастичними, й дати точне означення цього поняття не просто. Одна з основних властивостей стохастичного експерименту полягає в тому, що його можна повторювати багато разів без зміни умов проведення і що при багаторазовому повторенні експерименту наслідки попередніх експериментів не впливають на наслідки наступних експериментів. Наслідки стохастичних експериментів називають випадковими подіями або просто подіями. Найпростішим прикладом стохастичного експерименту є підкидання монети, в якому може відбутися одна з двох подій: випадає герб, випадає цифра.
Розглянемо детальніше приклад  стохастичного експерименту, який розглядав Бернуллі. Нехай в урні сховано 5 тисяч камінців: 3 тисячі білих і 2 тисячі чорних. Але вважатимемо, що нам не відома кількість білих і чорних камінців. Будемо виймати з урни по черзі камінець за камінцем, відмічати їх колір і повертати назад до урни. Підрахуємо, скільки буде вийнято білих камінців і скільки чорних. Виникає питання, чи можемо ми, повторюючи цей дослід багато разів, дізнатися, скільки в урні камінців того чи іншого кольору?
На перший погляд здається, що відповісти на це запитання неможливо. Та насправді якщо випробувань із витягуванням камінців провести досить багато, то виявиться, що частка білих камінців буде приблизно дорівнювати , а чорних дорівнювати   від усієї кількості камінців. Отже, якщо буде відома загальна кількість камінців, то ці частки допоможуть зробити висновок про кількість камінців кожного кольору.
Уважніше проаналізуємо  результати нашого експерименту. Цей  експеримент не простий. Він складається  з простіших експериментів —  одноразового виймання камінця. Такі прості експерименти, з яких складаються складні, часто називають стохастичними випробовуваннями. У нашому випадку в результаті окремого випробовування відбувається одна з двох подій: вийнятий камінець — білий, вийнятий камінець — чорний. Для скорочення подальших записів першу з цих подій позначатимемо літерою А, другу — В.
При проведенні великої кількості  випробувань бачимо, що подія А відбувалася частіше, ніж подія В. Отже, часткою білих камінців (від усіх випробувань) можна оцінити ступінь ймовірності події А. А часткою чорних камінців — ймовірність події В. Якби ми заздалегідь знали, скільки білих камінців сховано в урні, то, природно, за ймовірність події А потрібно було б взяти число , а за ймовірність події В — .
Оцінка ймовірності події  на основі експериментальних даних є однією із задач математичної статистики.
Важливо зазначити, що зі збільшенням  кількості випробувань частка білих камінців (від усіх випробувань) все менше і менше відрізнятиметься від числа , а чорних — від числа . У цьому проявляється дія давно відомого людям закону — закону великих чисел або, інакше, закону стійкості частот.
Можна навести й інші приклади, в яких би ми виявили дію закону великих чисел. Так, якщо багато разів  підкидати новеньку монету, то десь у половині випадків випадає герб, а в інших випадках — цифра. Тому ймовірністю випадання герба вважають число .
Ще одним прикладом  прояву закону великих чисел може бути частка хлопчиків серед новонароджених дітей. Люди давно помітили, що хлопчиків народжується  більше, ніж дівчаток. Їх частка серед новонароджених залежить від країни, регіону, року, та вважається, що в середньому ця частка складає приблизно 51,4 %.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Додаток 1. Урок комбінаторики в школі
Teмa: Комбінаторне правило множення. Перестановки.
Мета: Ознайомити учнів з правилом множення, ввести поняття факторіала та перестановки, показати розв'язування простіших задач на застосування цих понять; формувати математичну культуру; розвивати вміння спілкування в умовах навчальної діяльності; виховувати вміння працювати й колективі, почуття відповідальності за спільну справу, інтерес до розв’язування математичних задач.
Тип: комбінований.
ХІД УРОКУ
I.  Організаційний  момент
II.  Перевірка домашнього завдання
III.  Фронтальне опитування
1) Для вирішення яких  проблем є корисним знання  комбінаторики? Наведіть приклад  відповідної задачі.
2) Які видатні математики  створювали та розвивали комбінаторику?
3)  Наведіть приклади  використання правила суми.
IV. Дидактична гра
Формуються імпровізовані  команди (учні на передніх партах повертаються до тих, хто сидить за ними, команда складається з 4—6 чоловік).
— «Ви — експертна  група банку, який погодився фінансувати проект благодійного фонду. Благодійний фонд подав 3 проекти: «Обдарована дитина—2003», «Допомога в реконструкції храму», «Реконструкція пам'ятки культури». Ці проекти були захищені на засіданні правління банку. Усього членів банку — 16. За перший проект проголосувало 8, за другий — 9, за третій — 9, за перший та другий — 5, за другий та третій — 3, за перший та третій — 4. Ви як експерти повинні з'ясувати, скільки членів проголосувало тільки за один проект і за який. Результати будуть представлені президентові банку, який і вирішить, який проект фінансувати.
Порада експертам: щоб  робота була виконана швидко, розподіліть обов'язки. Тобто є експерти, які розробляють математичну модель задачі, а є експерти, які розробляють схематичну модель задачі».
Розв'язання. Нехай U— множина всіх членів правління банку, А — множина членів правління банку, які проголосували за перший проект, В — множина членів правління банку, які проголосували за другий проект, С — множина членів правління банку, які проголосували за третій проект.
n(А) = 8,  n(В) = 9,  n(С) = 9,  n(U)= 16,
n(А В) = 5, n(А C) = 4, n(В C) = 3.
n(U) - n(В) - n(С) + n(В C) = 16 - 9 -9 + 3=1 чоловік проголосував тільки за перший проект.
n(U) - n(А) - n(С) + n(А C) = 16 - 8 - 9 + 4 = 3 чоловіки проголосували тільки за другий проект.
n(U) - n(А) - n(В) + n(А В) = 16 - 8 - 9 + 5 = 4 чоловіки проголосували тільки за третій проект (мал. 1).
 
 
 
Розв'язання захищають представники команди, що першою розв'яже задачу, представники інших команд виступають у ролі опонентів. Члени команди, що першою правильно розв’яже задачу, отримують 10 балів, другою — 9 балів, третьою — 8 балів.
V. Зміст нового матеріалу
1. Правило множення.
Вправа 1. З міста А до В ведуть п'ять доріг, з міста В до С — три. Скільки доріг, які проходять через В, ведуть з А до С?
Учитель робить схематичний  малюнок (мал. 2) та коментує розв'язання.
Розв'язання. Як видно на малюнка, з А до В можна обрати будь-яку з 5 доріг, тобто є 5 можливих способів, а з В до С можна вибрати дорогу трьома способами, тобто всього маємо 5 х 3 = 15 можливих способів, щоб потрапити з А до С, проходячи через В.
 
 
 
 
Вправа 2. Скільки двоцифрових чисел можна скласти з цифр 1, 2, 3 так, щоб:
а) цифри в числі не повторювалися;
б) цифри в числі могли  повторюватися. Учитель розв'язує на дошці та коментує пункт
а) за допомогою  дерева логічних можливостей. Для розв'язання пункту б) можна викликати учня.
Розв'язання. а) На перше місце можна поставити будь-яку з трьох цифр, а на друге — з двох цифр, що залишаться. Будуємо дерево логічних можливостей. З нього видно, що таких чисел буде 6 (мал. 3).


 
б) Розв'язується аналогічно (мал. 4).
 
 
Вправа 3. У класі з 28 учнів треба обрати старосту та заступника старости. Скількома способами це можна зробити?
Учні розв'язують усно за допомогою питань учителя:
1)  Скількома способами  можна обрати старосту?
2)  Скільки учнів залишились  для вибору заступника після вибору старости?
3)  Скількома  способами можна обрати заступника старости?
4)  Скількома способами  можна обрати і старосту, і його заступника?
Розв'язання. Старостою  можна обрати будь-якого учня класу, тобто є 28 способів. Заступника старости можна обрати 27 способами. Старосту та заступника разом можна обрати 28 х 27 = 756 способами.
Ці задачі ілюструють ще одне правило комбінаторики.
Правило множення. Якщо елемент а можна вибрати m способами та після кожного такого вибору елемент b можна вибрати n способами, то вибір пари а та b y вказаному порядку можна здійснити m х n способами.
Наступні задачі розв'язують учні біля дошки, розмірковуючи аналогічно попереднім.
Вправа 4. Припустимо, що потрібно сформувати команду космічного корабля з трьох осіб: командира, інженера та лікаря. На місце командира є 4 кандидати, на місце інженера — 3, а на місце лікаря — 5. Скількома способами може бути сформовано команда корабля?
Розв'язання. Вибір командира може бути здійснений 4 способами, інженера — трьома, а лікаря — п'ятьма. Отже, вибір командира й інженера можна здійснити 3x4 способами, лікаря для кожної такої команди можна вибрати п'ятьма способами. Отже, команду буде сформовано З х 4 х 5 = 60 способами.
Сформулюємо тепер це правило  комбінаторики в загальному вигляді.
Правило множення. Нехай треба виконати одну за одною k дій. Якщо першу дію можна виконати n1 способами, після чого другу дію — n2 способами, після чого третю дію — n3 способами і так далі до k-ї дії, яку можна виконати nk способами, то всі k дій разом можуть виконуватися n1 x n2 x n3 x...х nk способами.
Вправа 5. Скільки двоцифрових чисел можна скласти з цифр 0,1,2 таких, що:
а) кожна з цифр повторюється не більш ніж один раз;
б) цифри можуть повторюватися.
Розв'язання: а) першою цифрою може бути одна з двох цифр 1 або 2; коли перша цифра вибрана, то друга може бути вибрана також двома способами (0 або 1, 0 або 2). За правилом множення загальна кількість способів дорівнює 2x2 = 4;
б) першою цифрою може бути одна з двох цифр 1 або 2 (дві можливості); для кожної наступної цифри маємо 3 можливості (0, 1, 2). Отже, 2x3 = 6.
Вправа 6. Скільки є п’ятицифрових чисел, які діляться на 5?
Розв'язання. На перше місце можна поставити будь-яку з цифр 1, 2, ..., 9, тобто першу цифру можна вибрати 9 способами. Оскільки не говориться, що цифри не повинні повторюватися, то другу цифру можна обрати 10 способами (ті самі цифри та ще 0), третю та четверту цифри так само, а ось остання цифра може бути тільки 0 або 5, тобто останню цифру можна вибрати двома способами. За правилом множення маємо 9 х 10 х 10 х 10 х 2 = 18000.
II. Перестановки
Вправа 7. Скільки одноцифрових чисел можна скласти з цифри 3?
Розв'язання. Одну — 3.
Вправа 8. Скільки двоцифрових чисел можна скласти з цифр 5, 6, щоб цифри у числі не повторювалися?
Розв'язання. На перше місце можна вибрати одну з двох цифр, на друге поставимо цифру, що залишиться. За правилом множення 2x1= 2.
Вправа 9. Скільки трицифрових чисел можна скласти з 6, 7, 9, щоб цифри у числі не повторювалися?
Розв'язання. На перше  місце можна поставити будь-яку цифру. Це можна зробити трьома способами. На друге місце можна поставити будь-яку із тих цифр, що залишилися. Це можна зробити двома способами. Як тільки вибрані перші дві цифри, то на третє місце можна поставити одну цифру, що залишиться. За правилом множення маємо 3x2x1 = 6.
Одночасно з розв'язанням  цих задач учитель малює на дошці таблицю й заповнює її за допомогою учнів (див. таб.1).
Таблиця1
Множина
Кількість елементів
Кількість чисел
Як визначили  чисел кількість
{3}               
1
              1                        
1
{5; 6}             
2
2
1 x 2 = 2
{6; 7; 9}         
3
6
1x2x3 = 6

 
Вправа 10. Скільки різних чотирицифрових чисел можна утворити з цифр 1, 2, 3, 4 так, щоб цифри не повторювалися?
Розв'язання. 1 х
и т.д.................


Перейти к полному тексту работы


Скачать работу с онлайн повышением уникальности до 90% по antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru


Смотреть полный текст работы бесплатно


Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.