На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Реферат Нумерация как отображение некоторого подмножества множества натуральных чисел N на исследуемый класс конструктивных объектов. Приведение к общему знаменателю на основе понятия нумерованного множества. Каноническое представление морфизма функции.

Информация:

Тип работы: Реферат. Предмет: Математика. Добавлен: 16.05.2009. Сдан: 2009. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
Высшего профессионального образования
РЕФЕРАТ
по курсу "Теории алгоритмов"
"Теория нумераций"
Содержание

О теории нумераций
Предварительные сведения
Вычислимые нумерации
Основные понятия
Главные нумерации
Отделимые нумерации
Минимальные нумерации
Категория нумерованных множеств
Нумерации множества и его подмножеств
Категория нумерованных множеств и ее свойства
Список литературы
О теории нумераций

Представляется желательным, чтобы все исследования в теории алгоритмов и ее приложениях проводились на основе «общего знаменателя» - класса всех частично рекурсивных функций. Одним из способов такой редукции к натуральным числам и арифметическим функциям является использование подходящей нумерации.
Нумерация - это отображение некоторого подмножества множества натуральных чисел N на исследуемый класс конструктивных объектов (формул, слов, матриц и т.п.)
Теория нумераций является разделом теории алгоритмов призванным решить вопросы, связанные с приведением к «общему знаменателю» на основе понятия нумерованного множества. В теории нумераций разрабатывается необходимая система понятий, ставятся и решаются вопросы, такие как, например, зависимость или независимость тех или иных свойств множества от выбора нумерации, существование (единственность) нумерации с заданными свойствами.
Общая теория нумераций возникла в феврале 1954 года в результате замечания, сделанного Колмогоровым на семинаре по рекурсивной арифметике. Поводом послужило изучение на указанном семинаре так называемых конструктивных ординалов (конструктивных порядковых чисел), т.е. тех ординалов, которых можно снабдить именами, используя некоторую алгоритмическую процедуру. Основные понятия теории нумераций были сформулированы Колмогоровым при обсуждении этой темы.
Результаты теории нумераций оказались важными для прояснения ряда трудностей, возникающих при эксплуатации вычислительной техники. Например, одной из важных задач программирования является задача эффективного построения по программе вычисления функции на одной машине программы вычисления той же функции на другой машине. Практическая реализация этих «переводов» («трансляций») для двух универсальных машин оказывается весьма сложной, а часто и не осуществленной.
Под «универсальной вычислительной машиной» будем понимать машину, вычисляющую некоторую двуместную функцию , универсальную для класса всех одноместных частично рекурсивных функций, а под «программой вычисления одноместной частично рекурсивной функции » будем понимать ее номер (один из ее номеров), т.е. такое число n N, что таким образом, если имеются две универсальные вычислительные машины (т.е. две универсальные функции ), то «проблема перевода» может быть сформулирована как проблема существования одноместной общерекурсивной функции f такой что
Однако, как показывают исследования вычислимых нумераций, существуют такие универсальные функции , что желаемой функции f не существует. Более того, существуют и такие что невозможен ни перевод с , ни наоборот.
Тем не менее, в классе так определенных универсальных машин существует «самая» универсальная (которую, по-видимому, только и стоит называть универсальной) в том смысле, что на язык этой машины может быть осуществлен перевод с любой другой универсальной машины. Если же рассматривать машины, которые вычисляют только общерекурсивные (всюду определенные) функции из некоторого достаточно богатого класса, то ситуация становится еще более плохой. Для любой такой машины существует другая машина, вычисляющая тот же класс функций, такая, что обе проблемы перевода неразрешимы. Указанный только что подход к разъяснению трудностей перевода может быть использован для определения понятия сложности класса функций (с помощью полурешетки вычислимых нумераций этого класса).
Такое понятие сложности класса функций может, по-видимому, во многих вопросах быть более полезным, чем изучаемые сейчас различные понятия сложности отдельно взятых функций.
Предварительные сведения

Через O обозначим класс всех одноместных общерекурсивных функций, а через O - класс всех одноместных однозначных общерекурсивных функций.
Двуместная функция с определенная так , называется канторовской нумерующей функцией. Оно осуществляет взаимно-однозначное отображение . Существуют однозначно определенные функции r, такие что
для любых .
Используя канторовскую функцию с, можно определить последовательность общерекурсивных функций такую что - n_местная функция, осуществляющая взаимно-однозначное отображение :
Для любого существует набор из n одноместных функций такой, что выполнены тождества
Функцию назовем сверткой, а набор - n_разверткой.
Если Если f - функция, то график f множество . Будем говорить что множество А m_сводится к В (символически ), если существует O такая что для любого . Всякую функцию O удовлетворяющую этому условию называют сводящей (А к В). Еще говорят что f m_сводит к А к В.
Категория - это класс ObR объектов R вместе с классом MorR морфизмов R со следующими структурами на этих классах:
1. С каждой парой объектов R связано множество Mor (A, B)MorR множество всех морфизмов из А в В;
И если , то
2. С каждой тройкой объектов R связано отображение :
так что для A, B, C, D ObR, если Mor (A, B), Mor (B, C), Mor (C, D), то
3. Для каждого А ObR в Mor (A, A) выделен элемент такой что для любого BObR, любого выполняются равенства
Основные понятия

Пусть , , - семейство всех рекурсивно перечислимых множеств n_ок натуральных чисел; вместо часто употребляется просто .
Пусть - семейство рекурсивно перечислимых подмножеств N. Нумерацию этого семейства назовем вычислимой, если множество рекурсивно перечислимо (т.е. ).
Распространим введенное определение на нумерации семейств .
Нумерация семейства , называется вычислимой, если множество рекурсивно перечислимо ().
Предложение 1:
Нумерация , , вычислима тогда и только тогда, когда нумерация свертки семейства , определенная так , является вычислимой. Нумерация , является вычислимой тогда и только тогда, когда нумерация n_развертки семейства определенная так является вычислимой.
Обозначим через , n, семейство всех n_местных частично рекурсивных функций, через - отображение, сопоставляющее функции ее график.
Пусть - семейство n_местных частично рекурсивных функций. Нумерацию семейства назовем вычислимой, если нумерация семейства графиков функций из , определенная так является вычислимой.
Предложение 2
Нумерация семейства n_местных частично-рекурсивных функций вычислимая тогда и только тогда когда частичная (n+1) - местная функция определенная соотношением является частично-рекурсивной.
Функция , связанная с нумерацией некоторого семейства частично-рекурсивных функций является универсальной функцией для , т.е. для любого функция принадлежит и наоборот, для всякой функции существует такое что .
Всякая универсальная функция F для семейства определяет некоторую нумерацию семейства так: . Эта нумерация вычислима тогда и только тогда, когда F частично рекурсивна.
Семейство называется вычислимым если существует по крайней мере одна вычислимая нумерация семейства .
Пусть - две нумерации одного и того же множества S. Говорят что нумерация сводится к нумерации , если существует такая что . Если сводится к , то символически изображаем это так .
Отношение , определенное на множестве H(S) всех нумераций множества S является транзитивным. Следовательно, отношение на H(S) является предпорядком.
Если и для , то эти нумерации эквивалентны и обозначаются . Класс нумераций эквивалентных нумерации обозначим через []. Множество классов эквивалентных нумераций обозначим через L(S).
На множестве H(S) можно задать операцию прямой суммы нумераций . Пусть нумерации , определим нумерацию следующим образом:
Основное свойство операции следующее:
Предложение 3
Пусть тогда сводится к тогда и только тогда когда сводится к и сводится к .
Обозначим через семейство всех вычислимых нумераций и через семейство классов эквивалентных вычислимых нумераций .
Главные нумерации

Рассмотрим понятие главной нумерации для семейства рекурсивно перечислимых множеств. Это понятие позволяет ответить (в случае семейства рекурсивно перечислимых множеств) на вопрос: «какую нумерацию данного множества следует считать наиболее естественной?»
Нумерацию назовем главной, если любая нумерация сводится к .
Нумерацию назовем минимальной, если следует что .
У семейства может существовать не более одной с точностью до эквивалентности главной нумерации. Минимальных нумераций может существовать очень много.
Предложение 1
Семейства обладают главными вычислимыми нумерациями.
Семейство назовем главным подмножеством, если оно обладает главной вычислимой нумерацией.
Предложение 2
Главное подмножество замкнуто относительно объединения возрастающих вычислимых последовательностей своих элементов.
Семейство назовем -подмножеством , если существует частично рекурсивная функция g такая что выполнены условия:
1. если то ;
2. если , то и
Предложение 3
Всякое непустое -подмножеством является главным.
Существуют естественные классы рекурсивно перечислимых множеств, которые не имеют главной вычислимой нумерации. Таковыми, например, являются любые семейства общерекурсивных функций.
Определим понятие предельной точки для семейства.
Одноместная (всюду определенная) функция h называется предельной точкой для семейства S, если для любого nN в S найдется функция g отличная от h такая что .
Предложение 4
Если вычислимое семейство содержит предельную точку, то S не имеет главной вычислимой нумерации.
Следствие
Семейство всех одноместных примитивно рекурсивных функций не имеет главной вычислимой нумерации.
Отделимые нумерации

Во многих вопросах, связанных с употреблением нумераций, важно знать, какие отношения между элементами нумерованного множества можно эффективно распознать по их номерам. Одним из самых первых вопросов является следующий: можно ли по номерам двух элементов эффективно узнать, являются ли они Равными или нет? Те нумерации, для которых этот вопрос решается положительно, называются разрешимыми.
Пусть - нумерация множества S. Рассмотрим бинарное отношение на множестве N определенное так . Отношение является отношением эквивалентности и называется нумерационной эквивалентностью. Нумерация называется разрешимой, если отношение рекурсивно. Нумерацию называется позитивной (негативной) если () рекурсивно перечислимо.
Отношение эквивалентности () на множестве S называется разрешимым (позитивным, негативным), если S рекурсивно (рекурсивно перечислимо, представляет собой дополнение до рекурсивно перечислимого множества).
Таким образом, нумерация разрешима (позитивна, негативна) тогда и только тогда когда таковой является ее нумерационная эквивалентность.
Предложение 1
Нумерация бесконечного множества S является разрешимой тогда и только тогда когда она эквивалентна некоторой однозначной нумерации.
Предложение 2
Если - позитивное (негативное) отношение эквивалентности, то - нумерационная эквивалентность подходящей вычислимой нумерации
Предложение 3
Если - семейство попарно не пересекающихся непустых рекурсивно перечислимых множеств, а - вычислимая нумерация, то позитивна
Предложение 4
Если - семейство общерекурсивных функций, - вычислимая нумерация, то - негативная нумерация.
Отметим некоторые свойства позитивных и негативных нумераций относительно сводимости.
Предложение 5
Если S - бесконечное множество, - негативная нумерация S, то существует однозначная нумерация множества S такая что
Предложение 6
Пусть S - бесконечное множество, - позитивная нумерация множества S. Если существует однозначная нумерация множества S такая что , то - разрешимая нумерация.
Предложение 7
Пусть - позитивная нумерация S и , тогда
Следствие
Позитивные нумерации множества определяют минимальные элементы в L(S)

Минимальные нумерации

Настоящий параграф посвящен краткому обзору (без доказательств) результатов, связанных с изучением вопроса о существовании тех или иных вычислимых минимальных нумераций у различных классов рекурсивно перечислимых множеств.
Нумерация н: N > некоторого множества называется однозначной, если нn ? нm для n ? m N.
Интерес к изучению вопроса о существовании однозначных вычислимых нумераций у семейства объясняется такими обстоятельствами:
1. Всякая однозначная нумерация н минимальна, т.е. [н] - минимальный элемент в L°(S).
2. Если семейство S имеет хотя бы одну вычислимую однозначную нумерацию, то для любого R семейство \ {R} вычислимо (даже однозначно вычислимо, т.е. допускает однозначную вычислимую нумерацию).
Замечание: Отмеченное в 2 свойство является нетривиальным.
Справедливо следующее утверждение о семействе П.
Предложение 1. Семейство П обладает счетным семейством попарно неэквивалентных однозначных нумераций.?
Наиболее общими результатами о существовании однозначных вычислимых нумераций являются следующие две теоремы.
Теорема 1. Пусть вычислимое семейство содержит сильно перечислимое семейство конечных множеств такое, что
а) любое множество из S есть объединение возрастающей последовательности множеств из ;
б) любое множество из содержится в некотором собственном подмножестве из .
Тогда существует однозначная вычислимая нумерация семейства .?
Введем следующие определения. Множество М предельно для семейства множеств , если для любого конечного подмножества M в существует М' такое, что М'. Семейство предельно для семейства , если любое множество из предельно для семейства .
Теорема 2. Пусть вычислимое семейство содержит вычислимое подсемейство такое, что
а) если два множества из имеют непустое пересечение, то одно из них содержится в другом;
б) частично упорядоченное множество < , > не имеет максимальных элементов;
в) семейство предельно для семейства .
Тогда существует однозначная вычислимая нумерация семейства .?
Минимальными нумерациями являются также и позитивные (однозначные нумерации, в частности, также позитивны). Сразу следует отметить, что довольно многие семейства не имеют однозначных нумераций, но имеют позитивные нумерации. Укажем простейший пример.
Пусть А - рекурсивно перечислимое нерекурсивное множество, полагаем
Нумерацию определяем так:
Ясно, что - вычислимая нумерация семейства . Можно заключить, что любая другая вычислимая нумерация семейства эквивалентна . Заметим теперь, что - неразрешимая нумерация. Последнее следует из эквивалентности .
Замечание. Естественная нумерация слов конечного алфавита определяет некоторую нумерацию свободной полугруппы с образующими из этого алфавита. Эта нумерация слов определяет (порождает) и нумерацию любой конечно определенной полугруппы, причем последняя, всегда будет позитивной.
Существует довольно много достаточных условий существования (хотя бы одной) позитивной нумерации. Приведем для примера следующие предложения.
Предложение 2. Пусть вычислимое семейство содержит вычислимое семейство конечных множеств такое, что S предельно для , тогда имеет позитивную нумерацию.?
Предложение 3. Если вычислимое семейство содержит наибольшее по включению множество, имеет позитивную нумерацию.
Отметим, что семейство П имеет счетное множество попарно не эквивалентных позитивных нумераций, не эквивалентных однозначным нумерациям.
У П, а также и у других семейств может существовать и много минимальных непозитивных нумераций.
Нумерации множества и его подмножеств

Пусть - произвольное непустое не более чем счетное множество. Нумерацией множества назовем всякое отображение н множества N всех натуральных чисел на множество . Пара = (S, н), где н - некоторая нумерация множества S, называется нумерованным множеством. Для дальнейшего будет удобно считать, что и пустое множество Ш обладает некоторой единственной «нумерацией» o, а «нумерованное» множество (Ш, o) будем обозначать О.
Пусть - два подмножества S и - нумерации множеств соответственно. Будем говорить, сводится к (), если = o (и тогда = Ш) или o, o и существует общерекурсивная функция f такая, что x = f(x) для любого , короче = . Такую функцию будем называть сводящей. Заметим, что из следует, что . Действительно, если = o, то , если же o и s, то x = s для некоторого xN, но x = f(x). Легко проверяется, что отношение сводимости является рефлексивным и транзитивным. Если , то нумерации и назовем эквивалентными (. Класс всех нумераций, эквивалентных н, обозначим через [н].
Если - нумерация , s, nN и n = s, то число n называется - номером элемента s. Сводимость нумерации к означает, что по любому - номеру любого элемента из можно эффективно найти некоторый - номер этого же элемента.
Множество всех нумераций множества S обозначим через H (S), а множество всех нумераций подмножества S (включая пустое) обозначим через H*(S). Определим отображение r множества H* (S) на Р(S) - множество всех подмножеств S - так: r(o) Ш; r) н(N) для нo H*(S). Отметим, что для любого подмножества и H*(S) = .
Множество классов эквивалентных нумераций множества S (подмножеств S) обозначим через L (S) (L*(S)). На этих множествах отношение сводимости индуцирует отношение частичного порядка, которое будем обозначать также . Отображение r: H*(S) Р(S) индуцирует отображение L*(S) Р(S), которое также будем обозначать через r. Ясно, что r сохраняет отношение порядка (точнее: ab L*(S)r(a). Как и выше для .
На множестве H*(S) определим операцию прямой суммы нумераций.
Пусть H*(S); если = o, то ; если = o, то ; пусть o o и , , тогда нумерация множества определяется так:
Предложение 1. Если H*(S), то тогда, когда .?
Следствие. Частично упорядоченные множества L*(S) и L(S) являются верхними полурешетками, а для операции точной верхней грани справедливо следующее соотношение: для H*(S)
[] = [].?
Заметим, что L(S) L*(S) является коидеалом, т.е. удовлетворяет условию
a L(S) L*(S), a
Полезно заметить и то, что r(a) = ()) для любых a, b L*(S).
Предложение 2. Полурешетка L*(S) является дистрибутивной полурешеткой с нулем [o].
Нужно доказать, что если H*(S) и , то существуют такие H*(S), что и . Ясно, что если = o, то в качестве нужно также взять o. Пусть o и пусть f Х - функция, которая сводит к , т.е. = ) f. Определяем множества так: , . Множества рекурсивно перечислимы. Если Ш, то полагаем o; если Ш, то пусть Х такова, что ; , и пусть . Если = Ш, то полагаем o; если Ш, то пусть Х такова, что ; , и пусть . Из определения видно, что . Поэтому достаточно показать, что . Рассмотрим случай Ш и Ш (другие случаи проще). Пусть таковы, что и для ; и для . Определим функцию так:
- общерекурсивная функция. Проверим, что = (). Пусть x таково, что f(x) четно, тогда
= ()() (2 ().
Пусть х таково, что f(x) нечетно, тогда
= ()() (2 ().
Итак, = () и . Покажем теперь, что и . Пусть , тогда
) f
) f.
Следовательно, , () и .?
Следствие. Если a L*(S) (L(S)), то полурешетка является дистрибутивной полурешеткой.?
Сводимость нумераций довольно близка понятию m - сводимости. Сейчас укажем простейшую связь.
Предложение 3. Если H*(S), , - нумерация множества , то для любого .
Действительно, если f Х - сводящая функция, т.е. = , то легко видеть, что функция f m - сводит .?
Необходимое условие сводимости нумераций, указанное в этом предложении, конечно, не является достаточным, однако существует частный случай, когда это так.
Рассмотрим пример, когда . Для любого собственного подмножества М множества N определим нумерацию множества S так:
Нумерация является просто характеристической функцией множества М. Нумерованное множество ({0,1},) будем обозначать .
Нетрудно проверить, что для имеем тогда и только тогда, когда . Отсюда вытекает следующее
Предложение 4. Верхняя полурешетка L({0,1}) классов эквивалентных нумераций множества {0,1} изоморфна верхней полурешетке всех m - степеней собственных подмножеств N.?
Следствие. Полурешетка классов эквивалентных нумераций двухэлементного множества имеет мощность континуума.
Действительно, собственных подмножеств N континуум, а каждая m - степень состоит не более чем из счетного семейства множеств.?
Отметим, что если S одноэлементно, то S имеет только одну нумерацию и, следовательно, в этом случае L(S) одноэлементна.
Если , то, очевидно, H*() H*(), L*() L*() и L*() является идеалом полурешетки L*(). Можно ли так же естественно вложить L() в L()? Ответ, вообще говоря, будет отрицательным в смысле «естественности», но некоторые изоморфные вложения L() в L() в качестве идеала будут построены. Конечно, нетривиальным случаем является только случай, когда - собственное подмножество .
Предложение 5. Пусть - собственное подмножество , а - минимальный элемент в L(\), тогда отображение для b L() (операция определена в L*() L() L(\)) есть изоморфное отображение L() на некоторый идеал L().
Ясно, что - гомоморфизм полурешетки L() в полурешетку L(). Покажем, что - изоморфизм. Для этого достаточно проверить, что если для (). Пусть и ()=. Из последнего следует, что . Так как L*() - дистрибутивная полурешетка, то существуют c и d такие, что , и =. Так как , то ) =; а так как , то ) =\. Следовательно, Ш, = o и =. Получаем противоречие. Итак, - изоморфизм. Пусть b L(), c L() и c; тогда существуют такие, что и . Так как , а , то \. Но и \. Следовательно, \ и L(\). Но так как а - минимальный элемент L(\) и , то . Покажем теперь, что L(). Для этого достаточно показать, что . Включение уже показано; из того, что \, а , следует, что \\) = . Следовательно, = , L(). Из следует, что и L(). Таким образом, L()) - идеал L().?
Для того чтобы применять предложение 5 для решения вопроса о вложении L() в L(), нужно выяснить вопрос о существовании минимальных элементов в полурешетках L(S).
Предложение 6. Если S конечно, то L(S) имеет наименьший элемент и является дистрибутивной полурешеткой.
Пусть и . Определим нумерацию этого множества так: , если m < n, и , если . Пусть - произвольная нумерация S и - некоторые - номера элементов соответственно. Определяя функцию f так, что f(i) для i < n и f(i) для , получаем и f Х. Следовательно, и [] - наименьший элемент L(S).?
Следствие. Если S - конечное множество, содержащее, по крайней мере, два элемента, то полурешетка L(S) континуальна.?
Предложение 6 показывает, что «естественное» вложение L() в L() (для ) существует, когда \ конечно.
В случае бесконечного S полурешетка L(S) не имеет наименьшего элемента, но имеет много минимальных. Для установления этого напомним следующее определение. Нумерация множества S называется однозначной, если нn ? нm для любых n ? m N.
Предложение 7. Если S - счетное множество, то существует точно континуум попарно не эквивалентных и даже попарно несравнимых однозначных нумераций множества S.
Пусть - группа всех перестановок множества N, - подгруппа общерекурсивных перестановок N. Хорошо известно, что счетна, а имеет мощность континуума, отсюда следует, что множество левых смежных классов также имеет мощность континуума. Пусть - некоторая фиксированная однозначная нумерация множества S. Тогда любая другая однозначная нумерация может быть однозначно представлена в виде , а класс нумераций, эквивалентных нумерации , состоит из всех нумераций вида , так что существует взаимно однозначное соответствие между классами эквивалентных однозначных нумераций множества S и смежными классами из . Так как неэквивалентные однозначные нумерации, очевидно, не сравнимы, то отсюда и следует заключение предложения.?
Следствие 1. Если S - счетное множество, L(S) имеет континуум минимальных нумераций.
Следствие 2. Если S - не более чем счетное множество, содержащее, по крайней мере, два элемента, L(S) имеет идеал, изоморфный полурешетке всех m - степеней собственных подмножеств N.
Это вытекает из предложения 5 и следствия 1.
Обратимся теперь к вопросу об изоморфизме полурешеток L(S), и L(), L*() для двух не более чем счетных множеств S и . Ясно, что если S и равномощны, то эти полурешетки соответственно изоморфны. Если S конечно, а бесконечно, то L(S) имеет наименьший элемент, а L() наименьшего элемента не имеет, следовательно, в этом случае L(S) и L() не изоморфны. Полурешетка имеет наименьший элемент. Рассмотрим, какие же минимальные (отличные от [o]) элементы она имеет. Каждому элементу s соответствует одноэлементное множество L({s}) . Нетрудно проверить, что соответствующий элемент будет минимальным, этот элемент будем обозначать . Пусть a - произвольный отличный от нуля элемент , тогда r(a) Ш. Пусть s r(a), тогда легко проверяется, что . Проведенные рассмотрения доказывают следующее
Предложение 8. Отображение устанавливает взаимно однозначное соответствие между элементами S и минимальными элементами .
Следствие. и L*() изоморфны тогда и только тогда, когда и равномощны.
Итак, неясным остается только вопрос, изоморфны ли полурешетки и L() для конечных множеств и , имеющих не менее двух элементов. Оказывается, что полурешетка для конечных , имеющих, по крайней мере, два элемента, обладает замечательным свойством универсальн и т.д.................


Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.