На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


контрольная работа Метод наименьших квадратов для аппроксимации экспериментальных данных

Информация:

Тип работы: контрольная работа. Добавлен: 21.09.2012. Сдан: 2011. Страниц: 8. Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%

Описание (план):


Оглавление
Теоретическая выкладка 2
Задание 4
Решение 5
1) Полином 3-й степени Y(x) 5
2) Тригонометрическая функция  10
3) Логарифмическая функция  13
4) Степенная функция  16
5) Показательная функция  19
Вывод 24 
 

 


  Теоретическая выкладка

  Очень часто, особенно при анализе эмпирических данных возникает необходимость  найти в явном виде функциональную зависимость между величинами x и y , которые получены в результате измерений.
  При аналитическом исследовании взаимосвязи  между двумя величинами x и y производят ряд наблюдений и в результате, получается таблица значений: 

  x         ?      ?   
  y         ?      ?   
 
  Эта таблица обычно получается как итог каких-либо экспериментов, в которых  (независимая величина) задается экспериментатором, а получается в результате опыта. Поэтому эти значения будем называть эмпирическими или опытными значениями.
  Между величинами x и y существует функциональная зависимость, но ее аналитический вид  обычно неизвестен, поэтому возникает  практически важная задача - найти  эмпирическую формулу 
                                                      (2.1.1)
  (где  - параметры), значения которой при возможно мало отличались бы от опытных значений .
  Обычно  указывают класс функций (например, множество линейных, степенных, показательных  и т.п.) из которого выбирается функция  , и далее определяются наилучшие значения параметров.
  Если  в эмпирическую формулу (2.1.1) подставить исходные , то получим теоретические значения , где .
  Разности  называются отклонениями и представляют собой расстояния по вертикали от точек   до графика эмпирической функции.
  Согласно  методу наименьших квадратов наилучшими коэффициентами   считаются те, для которых сумма квадратов отклонений найденной эмпирической функции от заданных значений функции будет минимальной.
                                    (2.1.2)
  Построение  эмпирической формулы состоит из двух этапов: выяснение общего вида этой формулы и определение ее наилучших параметров.
  Если  неизвестен характер зависимости между  данными величинами x и y , то вид эмпирической зависимости является произвольным.
    Большое значение имеет изображение  полученных данных в декартовых  или в специальных системах  координат (полулогарифмической,  логарифмической и т.д.). По положению  точек можно примерно угадать  общий вид зависимости путем  установления сходства между  построенным графиком и образцами  известных кривых.
  Для того, чтобы найти набор коэффициентов  , которые доставляют минимум функции S , определяемой формулой (2.1.2), используется необходимое условие экстремума функции нескольких переменных - равенство нулю частных производных.  В результате получим нормальную систему для определения коэффициентов :
                          (2.1.3)
  Таким образом, нахождение коэффициентов  сводится к решению системы (2.1.3). Эта система может быть решена любым известным методом (методом Гаусса, простых итераций, формулами Крамера).
 


Задание

Получить  функциональную зависимость по экспериментальным данным по методу наименьших квадратов.
Функцию представить в виде:
    Полинома 3-й степени Y(x)=
    Тригонометрической 
    Логарифмической
    Степенной
    Показательной
 
Экспериментальные данные:
    X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16
    Y 0 2 5 9 8 3 1 0 1 6 13 10 8 5 2 0
 
Рассчитать  относительные погрешности по каждому  типу функций.
 


Решение

Для расчетов будем использовать среду Microsoft Office Excel.
    Полином 3-й степени Y(x)=
Полином выглядит, как .
Определим коэффициенты , входящих в эмпирическую формулу.
Так как  известно, что они должны доставлять минимум функции S, составим уравнение: 
 

Воспользуемся необходимым условием экстремума функции  нескольких переменных - равенством нулю частных производных. 
 
 
 

Исходя  из полученных результатов, можем составить  нормальную систему.

Примечание: n=16 – это количество экспериментов.
Теперь  с помощью Excel произведем расчет сумм. Для этого:
    занесем в столбик экспериментальные значения x и y;

    в соседних столбцах посчитаем значения i-х элементов сумм, с помощью формул используя ссылки на значения x и y в построчном соответствии;

    с помощью  функции Excel “СУММ” найдем суммы;

В общем  виде это будет выглядеть так:
№\пер. X Y X^2 X^3 X^4 X^5 X^6 Y*X Y*X^2 Y*X^3
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 1 2 1 1 1 1 1 2 2 2
3 2 5 4 8 16 32 64 10 20 40
4 3 9 9 27 81 243 729 27 81 243
5 4 8 16 64 256 1024 4096 32 128 512
6 5 3 25 125 625 3125 15625 15 75 375
7 6 1 36 216 1296 7776 46656 6 36 216
8 7 0 49 343 2401 16807 117649 0 0 0
9 8 1 64 512 4096 32768 262144 8 64 512
10 9 6 81 729 6561 59049 531441 54 486 4374
11 10 13 100 1000 10000 100000 1000000 130 1300 13000
12 11 10 121 1331 14641 161051 1771561 110 1210 13310
13 12 8 144 1728 20736 248832 2985984 96 1152 13824
14 13 5 169 2197 28561 371293 4826809 65 845 10985
15 14 2 196 2744 38416 537824 7529536 28 392 5488
16 16 0 256 4096 65536 1048576 16777216 0 0 0
СУММА 121 73 1271 15121 193223 2588401 35869511 583 5791 62881
 
Посчитав  значение сумм, подставим их в нормальную систему: 
 

На данном этапе нахождение коэффициентов сводится к решению системы. 

Для решения  используем метод Крамера:
    Отдельно создадим таблицы всех определителей. Значения элементов возьмем из основной таблицы, делая ссылки на значения сумм. Для этого, с помощью оператора “=”(присваивания) сделаем ссылки на ячейки основной таблицы.

    Для того чтобы посчитать значения определителей  надо использовать математическую функцию  Excel “МОПРЕД”, которая возвращает значение определителя матрицы.

D= 5,46045E+12, D=1,6032E+13, D=-1,6625E+12, D=9,19101E+11, D=-5,4554E+10.
    Имея значения определителей, можем посчитать значения искомых переменных системы. Для этого в ячейках надо записать: = ссылка на ячейку со значением определителя переменной / ссылка на ячейку со значением основного определителя. Получим:
= 2,936017, = -0,30447, = 0,16832, = -0,00999 .
Найдя коэффициенты подставим их в формулу полинома и вычислим значение аппроксимированных Y-ов от X. Результаты запишем в таблицу и создадим графики Yэксп(Х) и Yапрокс(Х).
X Yэксп Yапрокс
1 0 0 2,936017
2 1 2 2,78988
3 2 5 2,920439
4 3 9 3,267747
5 4 8 3,771861
6 5 3 4,372836
7 6 1 5,010728
8 7 0 5,625592
9 8 1 6,157483
10 9 6 6,546458
11 10 13 6,73257
12 11 10 6,655877
13 12 8 6,256434
14 13 5 5,474295
15 14 2 4,249517
16 16 0 0,232265
 
 

Вычислим относительную  погрешность.
D 

 


    Тригонометрическая  функция
Формула выглядит, как 
Определим коэффициенты , входящих в эмпирическую формулу.
Так как  известно, что они должны доставлять минимум функции S, составим уравнение: 

Воспользуемся необходимым условием экстремума функции  нескольких переменных - равенством нулю частных производных. 
 

Исходя  из полученных результатов, можем составить  нормальную систему. 

Теперь  аналогично заданию (1) с помощью Excel произведем расчет сумм.
Расчет будет выглядеть так:
№\пер. X Y COS(X)^2 COS*SIN(X)^2 SIN(X)^4 Y*COS(X) Y*SIN(X)^2
1 0 0 1 0 0 0 0
2 1 2 0,291927 0,382573701 0,501368 1,080605 0,583853
3 2 5 0,173178 -0,344079281 0,683634 -2,08073 0,865891
4 3 9 0,980085 -0,019715559 0,000397 -8,90993 8,820766
5 4 8 0,42725 -0,374374395 0,328043 -5,22915 3,418
6 5 3 0,080464 0,260837525 0,845546 0,850987 0,241393
7 6 1 0,921927 0,074963395 0,006095 0,96017 0,921927
8 7 0 0,568369 0,325407879 0,186306 0 0
9 8 1 0,02117 -0,14241976 0,958108 -0,1455 0,02117
10 9 6 0,830158 -0,154747863 0,028846 -5,46678 4,98095
№\пер. X Y COS(X)^2 COS*SIN(X)^2 SIN(X)^4 Y*COS(X) Y*SIN(X)^2
11 10 13 0,704041 -0,248330745 0,087592 -10,9079 9,152533
12 11 10 1,96E-05 0,004425611 0,999961 0,044257 0,000196
13 12 8 0,71209 0,242954412 0,082892 6,750832 5,696716
14 13 5 0,82346 0,160200962 0,031166 4,537234 4,117298
15 14 2 0,018697 0,134180633 0,962955 0,273474 0,037394
16 16 0 0,917112 -0,079378785 0,00687 0 0
СУММА     8,469947 0,222497729 5,70978 -18,2425 38,85809
 
Посчитав  значение сумм, подставим их в нормальную систему: 

На данном этапе нахождение коэффициентов  сводится к решению системы.Систему решаем метод Крамера аналогично заданию (1).
Получим определители: D=48,31203, D= -112,806, D= 333,1848.
Коэффициенты: = -2,33495, = 6,89652. 

Найдя коэффициенты , подставим их в тригонометрическую формулу и вычислим значение аппроксимированных Y-ов от X. Результаты запишем в таблицу и создадим графики Yэксп(Х) и Yапрокс(Х).
X Yэксп Yапрокс
1 0 0 -2,33495
2 1 2 3,621662
3 2 5 6,673876
4 3 9 2,448929
5 4 8 5,476209
6 5 3 5,679259
7 6 1 -1,70352
8 7 0 1,216428
9 8 1 7,090255
10 9 6 3,298763
11 10 13 4,00028
12 11 10 6,886051
13 12 8 0,015221 
X Yэксп Yапрокс
14 13 5 -0,90133
15 14 2 6,4483
16 16 0 2,807731
 
 

Вычислим относительную  погрешность.
D20,46%
 


    Логарифмическая функция
Определим коэффициенты , входящих в эмпирическую формулу.
Так как  известно, что они должны доставлять минимум функции S, составим уравнение: 

Воспользуемся необходимым условием экстремума функции  нескольких переменных - равенством нулю частных производных. 
 
 

Исходя  из полученных результатов, можем составить  нормальную систему. 

Теперь  аналогично заданию (1) с помощью Excel произведем расчет сумм.
Расчет  будет выглядеть так:
№\пер. X Y X^2 X^4 LN(X^2) LN(X^2)^2 X^2*LN(X^2) Y*LN(X^2) Y*X^2
1 0 0 0 0 1 1 0 0 0
2 1 2 1 1 0 0 0 0 2
3 2 5 4 16 1,386294 1,921812 5,545177444 6,931472 20
4 3 9 9 81 2,197225 4,827796 19,7750212 19,77502 81
5 4 8 16 256 2,772589 7,687248 44,36141956 22,18071 128
6 5 3 25 625 3,218876 10,36116 80,47189562 9,656627 75
№\пер. X Y X^2 X^4 LN(X^2) LN(X^2)^2 X^2*LN(X^2) Y*LN(X^2) Y*X^2
7 6 1 36 1296 3,583519 12,84161 129,0066818 3,583519 36
8 7 0 49 2401 3,89182 15,14627 190,6991946 0 0
9 8 1 64 4096 4,158883 17,29631 266,1685173 4,158883 64
10 9 6 81 6561 4,394449 19,31118 355,9503815 26,36669 486
11 10 13 100 10000 4,60517 21,20759 460,5170186 59,86721 1300
12 11 10 121 14641 4,795791 22,99961 580,290656 47,95791 1210
13 12 8 144 20736 4,969813 24,69904 715,6531151 39,75851 1152
14 13 5 169 28561 5,129899 26,31586 866,9528828 25,64949 845
15 14 2 196 38416 5,278115 27,85849 1034,510473 10,55623 392
16 16 0 256 65536 5,545177 30,74899 1419,565426 0 0
СУММА   73 1271 193223 56,92762 244,223 6169,467861 276,4423 5791
 
Посчитав  значение сумм, подставим их в нормальную систему: 

На данном этапе нахождение коэффициентов  сводится к решению системы. Систему решаем метод Крамера аналогично заданию (1).
Получим определители: D=18102351, D=29492326, D=24875300,              D=-445710.
Коэффициенты: = 1,629199, = 1,374148, c=-0,02462.
Найдя коэффициенты , подставим их в логарифмическую формулу и вычислим значение аппроксимированных Y-ов от X. Результаты запишем в таблицу и создадим графики Yэксп(Х) и Yапрокс(Х).
X Yэксп Yапрокс
1 0 0 3,003346
2 1 2 1,604577
3 2 5 3,435685
4 3 9 4,426914
5 4 8 5,045198
6 5 3 5,436867
7 6 1 5,667103
8 7 0 5,770673
X Yэксп Yапрокс
9 8 1 5,768331
10 9 6 5,673466
11 10 13 5,495216
12 11 10 5,240102
13 12 8 4,912937
14 13 5 4,517376
15 14 2 4,056262
16 16 0 2,945946
 
 

Вычислим относительную  погрешность.
D62,3% 

    Степенная функция
Приведем эмпирическую формулу в линейный вид. Для этого  прологарифмируем левую и правую части формулы. 
 
 

Определим коэффициенты входящих в полученную формулу.
Так как известно, что они должны доставлять минимум  функции S, составим уравнение: 
 

Воспользуемся необходимым условием экстремума функции  нескольких переменных - равенством нулю частных производных. 
 

Примечание: в уравнении частной производной  не учитывается, так как . 

Исходя  из полученных результатов, можем составить  нормальную систему. 

Теперь  аналогично заданию (1) с помощью Excel произведем расчет сумм.  

Расчет  будет выглядеть так:
№\пер. X Y ln(X) ln(Y) ln(X)^2 ln(X)*ln(Y)
1 0 0 1 1 1 1
2 1 2 0 0,693147 0 0
3 2 5 0,693147 1,609438 0,480453 1,115577
4 3 9 1,098612 2,197225 1,206949 2,413898
5 4 8 1,386294 2,079442 1,921812 2,882718
6 5 3 1,609438 1,098612 2,59029 1,768148
7 6 1 1,791759 0 3,210402 0
8 7 0 1,94591 1 3,786566 1,94591
9 8 1 2,079442 0 4,324077 0
10 9 6 2,197225 1,791759 4,827796 3,936898
11 10 13 2,302585 2,564949 5,301898 5,906014
12 11 10 2,397895 2,302585 5,749902 5,521358
13 12 8 2,484907 2,079442 6,174761 5,167218
14 13 5 2,564949 1,609438 6,578965 4,128127
15 14 2 2,639057 0,693147 6,964624 1,829255
16 16 0 2,772589 1 7,687248 2,772589
СУММА     28,96381 21,71918 61,80574 40,38771
 
Посчитав  значение сумм, подставим их в нормальную систему: 

На данном этапе нахождение коэффициентов  сводится к решению системы.
Систему решаем метод Крамера аналогично заданию (1).
Получим определители: D= 149,9896, D= 172,5884, D= 17,13305.
Коэффициенты: = 1,150669, а exp( 3,160305;
 = 0,114228. 

Найдя коэффициенты , подставим их в степенную формулу и вычислим значение аппроксимированных Y-ов от X. Результаты запишем в таблицу и создадим графики Yэксп(Х) и Yапрокс(Х). 

X Yэксп Yапрокс
1
и т.д.................


Перейти к полному тексту работы


Скачать работу с онлайн повышением уникальности до 90% по antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru


Смотреть полный текст работы бесплатно


Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.