На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Курсовик Определение возвратной последовательности. Формулы вычисления любого члена из нее. Характеристическое уравнение для возвратного уравнения. Исчисление конечных разностей. Обобщение произвольных возвратных последовательностей. Базис возвратного уравнения.

Информация:

Тип работы: Курсовик. Предмет: Математика. Добавлен: 07.10.2009. Сдан: 2009. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Белорусский государственный педагогический университет
имени Максима Танка»
Математический факультет
Кафедра алгебры и аналитической геометрии
Курсовая работа
Возвратные последовательности

Выполнила студентка 4 курса
математического факультета, гр. 405
Волисова Елена Валерьевна
Руководитель:
кандидат физ.-мат. наук, доцент
Баркович Оксана Аркадьевна
Минск 2009
Содержание

    Введение
    Глава 1 (теоретическая часть)
      § 1. Определение возвратной последовательности
      § 2. Обобщение произвольных возвратных последовательностей
      § 3. Изучение и применение возвратных последовательностей в курсе средней школы
      § 4. Формулы вычисления любого члена возвратной последовательности. Базис возвратного уравнения
      § 5. Характеристическое уравнение для возвратного уравнения
      § 6. Возвратные задачи
    Глава 2 (практическая часть)
    Заключение
    Список литературы
    Введение

    Понятие возвратной последовательности является широким обобщением понятия арифметической и геометрической прогрессии. Как частные случаи оно охватывает также последовательности квадратов или кубов натуральных чисел, последовательности цифр десятичного разложения рационального числа (и вообще любые периодические последовательности), последовательности коэффициентов частного от деления двух многочленов, расположенных по возрастающим степеням x, и т.д. Теория возвратных последовательностей составляет особую главу математической дисциплины, называемой исчислением конечных разностей.
    Тема «Возвратные последовательности» не является изолированной, нигде не используемой теорией. Наоборот, возвратные последовательности близки к школьному курсу математики, используются в высшей алгебре, геометрии, математическом анализе и других математических дисциплинах.
    Таким образом, возвратные последовательности являются настоящей маленькой теорией, законченной, простой, ясной.
    Целью данной курсовой работы является изучение теории возвратных последовательностей и возможное применение её части на факультативах в школьном курсе математики.
    В данной курсовой работе также рассмотрены возвратные задачи. В основе решения возвратных задач лежит идея возвратности (или рекуррентности), согласно которой решение всей задачи зависит от решения той же самой задачи меньших размеров.
    Глава 1 (теоретическая часть)

§1. Определение возвратной последовательности

Будем записывать последовательности в виде

u1, u2, u3, . . . , un, . . . , (1)

или, коротко, {un}. Если существует натуральное число k и числа a1, a2, … , ak (действительные или мнимые), такие, что, начиная с некоторого номера n и для всех следующих номеров,

un + k == a1un +k - 1 + a2un + k - 2 + … + akun (n m 1), (2)

то последовательность (1) называется возвратной последовательностью порядка k, а соотношение (2) - возвратным уравнением порядка k.

Таким образом, возвратная последовательность характеризуется тем, что каждый её член (начиная с некоторого из них) выражается через одно и то же количество k непосредственно предшествующих ему членов по формуле (2).

Само название «возвратная» (а также рекуррентная, от французского recurrente - возвращающаяся к началу) употребляется именно потому, что здесь для вычисления последующего члена возвращаются к предшествующим членам.

Пример 1. Геометрическая прогрессия. Пусть имеем геометрическую прогрессию:

u1 = a, u2 = aq, u3 = aq2, . . . , un = aqn - 1, . . . , (3)

для неё уравнение (2) принимает вид:

un + 1 = qun. (4)

Здесь k = 1 и a1 = q. Таким образом, геометрическая прогрессия является возвратной последовательностью первого порядка.

Пример 2. Арифметическая прогрессия. В случае арифметической прогрессии

u1 = a, u2 = a + d, u3 = a + 2d, . . . , un = a + (n - 1)d , . . . ,

имеем: un + 1 = un + d

- соотношение, не имеющее вида уравнения (2). Но если рассмотреть два соотношения, написанные для двух соседних значений n:

un + 2 = un + 1 + d и un + 1 = un + d,

то получим из них, путём почленного вычитания:

un + 2 - un + 1 = un + 1 - un,

или un + 2= 2un + 1 - un (5)

- уравнение вида (2). Здесь k = 2, a1 = 2, a2 = -1. Следовательно, арифметическая прогрессия является возвратной последовательностью второго порядка.

Пример 3. Рассмотрим старинную задачу Фибоначчи о числе кроликов. В ней требуется определить число пар зрелых кроликов, образовавшихся от одной пары в течение года, если известно, что каждая зрелая пара кроликов ежемесячно рождает новую пару, причём новорождённые достигают половой зрелости в течение месяца. В этой задаче интересен не результат, а последовательность, члены которой выражают общее число зрелых пар кроликов в начальный момент (u1), через месяц (u2), через два месяца (u3), и через n месяцев (un+1). Очевидно, что u1 = 1. Через месяц прибавится пара новорождённых, но число зрелых пар будет прежнее: u2 = 1. Через два месяца крольчата достигнут зрелости, и общее число зрелых пар будет равно двум: u3 = 2.

Пусть вычислили уже количество зрелых пар через n - 1 месяцев - un и через n месяцев - un+1. Так как к этому времени un ранее имевшихся зрелых пар дадут ещё un пар приплода, то через n + 1 месяцев общее число зрелых пар будет:

un+2 = un+1 + un . (6)

Отсюда u4 = u3 + u2 =3, u5 = u4 + u3 = 5, u6 = u5 + u4 = 8, u7 = u6 + u5 = 13, ...

Таким образом, получили последовательность

u1 = 1, u2 = 1, u3 = 2, u4 = 3, u5 = 5, u6 = 8, u7 = 13, . . . , (7)

в которой каждый последующий член равен сумме двух предыдущих. Эта последовательность называется последовательностью Фибоначчи, а её члены - числами Фибоначчи.

Пример 4. Рассмотрим последовательность квадратов натуральных чисел:

u1 = 12, u2 = 22, u3 = 32, . . . , un = n2, . . . (8)

Здесь un + 1 = (n + 1)2 = n2 + 2n + 1 и, следовательно,

un + 1 = un + 2n + 1. (9)

Увеличивая n на единицу, получим:

un + 2 = un + 1 + 2n + 3. (10)

Вычитая почленно (9) из (10), получим:

un + 2 - un + 1 = un + 1 - un + 2, или un + 2 = 2un + 1 - un + 2. (11)

Увеличивая в равенстве (11) n на единицу, будем иметь:

un + 3 = 2un + 2 - un + 1 + 2, (12)

откуда (вычитая почленно (11) из (12))

un + 3 - un + 2 = 2un + 2 - 2un + 1 + un ,

или un + 3 = 3un + 2 - 3un + 1 + un . (13)

Получили возвратное уравнение третьего порядка. Следовательно, последовательность (8) есть возвратная последовательность третьего порядка.

Пример 5. К возвратным относятся все периодические последовательности. Рассмотрим последовательность цифр десятичного разложения числа

= 0,57132132132…

Здесь u1 = 5, u2 = 7, u3 = 1, u4 = 3, u5 = 2, u6 = 1, u7 = 3, . . . , (14)

Очевидно, что un + 3 = un (n ? 3). (15)

Чтобы представить это уравнение в виде (2), перепишем его следующим образом:

un + 3 = 0*un + 2 + 0*un + 1 + 1*un .

Отсюда видно, что это возвратное уравнение третьего порядка ( k = 1, a1 = 0, a2 = 0, a3 = 0). Значит последовательность (14) является возвратной последовательностью третьего порядка.

Пример 6. Рассмотрим последовательность коэффициентов частного от деления двух многочленов, расположенных по возрастающим степеням x. Пусть

P (x) = A0 + A1x + . . . + Alxl

Q (x) = B0 + B1x + . . . + Bkxk (B0 ? 0).

Будем делить P (x) на Q (x). Если P (x) не делится на Q (x) без остатка, то деление можно продолжать неограниченно. В частном один за другим будут получаться члены:

D0 + D1x + D2x2 + D3x3 + . . . + Dnxn + . . .

Рассмотрим последовательность

u1 = D0, u2 = D1, . . . , un = Dn - 1, . . . (16)

и докажем, что она является возвратной порядка k ( k - степень делителя). Фиксируем произвольное натуральное число n, удовлетворяющее единственному условию n ? l - k + 1, и остановимся в процессе деления на члене частного, содержащем xn + k . Тогда в остатке получится некоторый многочлен R (x), содержащий x в степенях выше, чем n + k. Записывая соотношение между делимым, делителем, частным и остатком, получим следующее тождество:

A0+A1x+…+Alxl=(B0+B1x+...+Bkxk)*(D0+D1x+D2x2+D3x3+...+Dn+kxn+k)+R(x)

Найдём коэффициенты при xn + k в левой и правой частях этого тождества и приравняем их между собой. Так как n + k ? l + 1, то коэффициент при xn + k в левой части равен нулю. Поэтому должен равняться нулю и коэффициент при xn + k в правой части. Но члены с xn + k содержатся здесь только в произведении

( B0 + B1x + . . . + Bkxk ) * ( D0 + D1x + D2x2 + D3x3 + . . . + Dn + kxn + k )

(остаток R (x) содержит x в более высоких степенях). Поэтому искомый коэффициент есть

Dn + kB0 + Dn + k - 1B1 + . . . + DnBk . (17)

По предыдущему он должен равняться нулю:

Dn + kB0 + Dn + k - 1B1 + . . . + DnBk = 0, откуда (B0 ? 0)

Dn + k = - Dn + k - 1 - . . . - Dn (n ? l - k + 1). (18)

Это возвратное уравнение порядка k, откуда следует. Что последовательность (16) есть возвратная последовательность порядка k.

§2. Обобщение произвольных возвратных последовательностей

Из всех рассмотренных примеров наиболее общий характер имеет пример 6. Покажем, что произвольная возвратная последовательность порядка k

u1, u2, u3, . . . , un, . . . , (19)

удовлетворяющая уравнению вида

un + k = a1un +k - 1 + a2un + k - 2 + … + akun (n m 1), (20)

совпадает с последовательностью коэффициентов частного, полученного от деления многочлена P (x) на многочлен

Q (x) = 1 - a1x - . . . - akxk . (21)

Пусть n - произвольное натуральное число, удовлетворяющее условию n > k + m - 2; умножим многочлен Q (x) на u1 + u2x + u3x2 + . . . +un + 1xn . Получим:

(1 - a1x - a2x2 - . . . - akxk )( u1 + u2x + . . . + uk + m - 1xk + m - 2 + . . . +un + 1xn) = = [u1 + (u2 - a1u1)x + . . . +( uk + m - 1 - a1uk + m - 2 - . . . - akum - 1 )xk + m - 2] +

+ [( uk + m - a1uk + m - 1 - . . . - akum )xk + m - 1 + . . . + ( un + 1 - a1un - . . . - akun - k + 1 )xn ] - - [(a1un + 1 + . . . + akun - k + 2) xn + 1 + . . . + akun + 1 xn + k]. (22)

Здесь в первой квадратной скобке находится многочлен степени не выше l = k + m - 2, коэффициенты которого не зависят от взятого числа n; обозначим его через P (x):

P (x) = u1 + (u2 - a1u1)x +

+ . . . +( uk + m - 1 - a1uk + m - 2 - . . . - akum - 1 )xk + m - 2 . (23)

В следующей квадратной скобке находится многочлен, все коэффициенты которого равны нулю, в силу равенства (20). В последней квадратной скобке заключается многочлен, коэффициенты которого зависят от n; он не содержит членов степени ниже n + 1. Обозначая его через Rn (x), перепишем тождество (22) в виде

P (x) = (1 - a1x - a2x2 - . . . - akxk )( u1 + u2x + . . . +un + 1xn) + Rn (x). (24)

Отсюда видно, что u1 + u2x + . . . +un + 1xn представляет частное, а Rn (x) - остаток от деления P (x) на

Q (x) = 1 - a1x - a2x2 - . . . - akxk , то есть

u1, u2, . . . , un, un + 1 , . . . ,

действительно является последовательностью коэффициентов частного, получаемого от деления многочлена (23) на (21).

В виде примера рассмотрим последовательность Фибоначчи:

u1 = 1, u2 = 1, u3 = 2, u4 = 3, u5 = 5, u6 = 8, u7 = 13, . . . ,

Так как её члены удовлетворяют уравнению

un+2 = un+1 + un (n ? l),

то здесь m = 1, k = 2, a1 = 1, a2 = 1 и Q (x) = 1 - x - x2 .

Многочлен P (x) должен иметь степень не выше k + m - 2 = 1. По формуле (23) получаем:

P (x) = 1 + (1 - 1*1)x = 1.

Итак, числа Фибоначчи совпадают с последовательностью коэффициентов частного от деления 1 на 1 - x - x2 .

§3. Изучение и применение возвратных последовательностей в курсе средней школы

Один из вопросов, который приходится решать в курсе средней школы относительно арифметической и геометрической прогрессий, а также последовательности квадратов натуральных чисел, заключается в отыскании суммы n членов каждой их этих последовательностей. Пусть

u1, u2, u3, . . . , un, . . . , (25)

- возвратная последовательность порядка k, члены которой удовлетворяют уравнению:

un + k == a1un +k - 1 + a2un + k - 2 + … + akun (n m). (26)

Рассмотрим новую последовательность, образованную суммами Sn чисел (25):

S1 = u1, S2 = u1 + u2 , . . . , Sn = u1 + u2 + . . . + un, . . . , (27)

и покажем, что эта последовательность сумм является также возвратной, порядка k + 1, причём её члены удовлетворяют уравнению

Sn + 1 + k = (1 + a1) Sn + k + (a2 - a1) Sn + k - 1 + . . . + (ak - ak - 1) Sn + 1 - akSn . (28)

Заметим, что

u1 = S1, u2 = S2 - u1 = S2 - S1, . . . , un = Sn - (u1 +. . .+ un - 1) = Sn - Sn - 1, (29)

Полагая S0 = 0 так, что u1 = S1 - S0, и подставляя в уравнение (26) вместо u1, u2, u3, . . . , un, . . . , их выражения через S0, S1, S2, . . . , Sn, . . . , получим:

Sn + k - Sn + k - 1 =a1(Sn + k - 1 - Sn + k - 2)+ a2(Sn + k - 2 - Sn + k - 3) + ... + ak(Sn - Sn - 1),

Откуда Sn + k = (1 + a1) Sn + k - 1 + (a2 - a1) Sn + k - 2 + . . . + (ak - ak - 1) Sn - akSn - 1 (n ? m),

или, заменяя здесь n через n+1:

Sn + k + 1 = (1 + a1) Sn + k + (a2 - a1) Sn + k - 1 + . . . + (ak - ak - 1) Sn + 1 - akSn (n ? m - 1).

Это - возвратное уравнение порядка k + 1.

Примеры:

a) Геометрическая прогрессия.

Здесь un = aqn-1 и

Sn = u1 + u2 + . . . + un = a + aq + . . . + aqn-1 .

Так как члены {un} удовлетворяют уравнению вида un + 1 = q un , то члены {Sn} должны удовлетворять уравнению

Sn (1 + q) Sn + 1 - q Sn . (30)

b) Последовательность квадратов натуральных чисел.

Здесь un = n2 и Sn = 1 + 22 + . . . + n2 .

Так как члены {un} удовлетворяют уравнению

un + 3 = 3un + 2 - 3un + 1 + un ,

то члены {Sn} удовлетворяют уравнению вида

Sn + 4 = 4Sn + 3 - 6un + 2 + 4Sn + 1 - Sn .

c) Числа Фибоначчи.

Так как они удовлетворяют уравнению

un+2 = un+1 + un ,

то суммы их Sn должны удовлетворять уравнению

Sn+3 = 2Sn+2 - Sn .

§4. Формулы вычисления любого члена возвратной последовательности. Базис возвратного уравнения

В случае простейших возвратных последовательностей, например арифметической и геометрической прогрессий, последовательности квадратов или кубов натуральных чисел, а также периодической последовательности, можно находить любой член последовательности, не прибегая к вычислению предшествующих членов. Но в случае последовательности числе Фибоначчи или общей последовательности коэффициентов частного от деления двух многочленов, на первый взгляд это невозможно, и чтобы вычислить тринадцатое число Фибоначчи u13 , нужно найти предварительно, один за другим, все предшествующие члены (пользуясь уравнением un+2 = un+1 + un):

u1 = 1, u2 = 1, u3 = 2, u4 = 3, u5 = 5, u6 = 8, u7 = 13, u8 = 21, u9 = 34,

u10 = 55, u11 = 89, u12 = 144, u13 = 233.

В ходе детального исследования структуры членов возвратной последовательности можно получить формулы, позволяющие вычислить в самом общем случае любой член возвратной последовательности, не прибегая к вычислению предшествующих членов. Эти формулы можно рассматривать как далеко идущие обобщения формул для общего члена арифметической или геометрической прогрессий. Пусть

un + k == a1un +k - 1 + a2un + k - 2 + … + akun (31)

- возвратное уравнение порядка k. Если оно выполняется для всех натуральных значений n = 1, 2, 3, . . . , то, положив n = 1, получим:

uk + 1 == a1uk + a2uk - 1 + … + aku1 .

Теперь зная u1, u2, u3, . . . , uk можно вычислить uk + 1 . Полагая в уравнении (31) n = 2 найдём:

uk + 2 == a1uk + 1 + a2uk + … + aku2 .

Значит, уже известно и значение uk + 2 . Если m - какое-либо натуральное число, и уже вычислены члены последовательности u1, u2, u3, . . . , uk, uk + 1, . . . , um + k - 1, то, полагая в уравнении (31) n = m, найдём из него следующий член um + k.

Итак, члены возвратной последовательности порядка k, удовлетворяющей уравнению (31), определяются единственным образом с помощью этого уравнения, если известны первые k членов последовательности: u1, u2, u3, . . . , uk.

Выбирая их различными способами можно получить бесконечное множество различных последовательностей, удовлетворяющих уравнению (31). Их различие между собой будет проявляться уже в первых k членах и будет обнаруживаться также в дальнейших членах.

Так, например, уравнению первого порядка

un + 1 = qun

удовлетворяют всевозможные геометрические прогрессии со знаменателем q (они различаются друг от друга значениями первого члена u1).

Пусть имеем некоторое количество последовательностей, удовлетворяющих одному и тому же уравнению (31):

x1, x2, . . . , xn, . . . ,

y1, y2, . . . , yn, . . . ,

. . . . . . . . . . . . . . . . (32)

z1, z2, . . . , zn, . . . ,

Тогда выполняется уравнение:

xn + k == a1xn +k - 1 + a2xn + k - 2 + … + akxn ,

yn + k == a1yn +k - 1 + a2yn + k - 2 + … + akyn ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (33)

zn + k == a1zn +k - 1 + a2zn + k - 2 + … + akzn ,

Возьмём произвольные числа A, B, . . . , C, по числу последовательностей (32), умножим все члены первого из уравнений на А, второго на В, . . . , последнего на С и сложим . Тогда получится равенство:

А xn + k + В yn + k + . . . + С zn + k =

= a1(Аxn +k - 1 + Вyn +k - 1 + . . . + Czn +k - 1) +

+a2(Аxn +k - 2 + Вyn +k - 2 + . . . + Czn +k - 2) + ... + ak(Аxn + Вyn + ... + Czn).(34)

Из него следует, что последовательность

t1 = Аx1 + Вy1 + . . . + Cz1,

t2 = Аx2 + Вy2 + . . . + Cz2,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (35)

tn = Аxn + Вyn + . . . + Czn,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Получающаяся из последовательностей (32) путём умножения всех членов первой из них на А, второй на В, . . . , последней на С и затем почленного сложения последовательностей, удовлетворяет уравнению (31). Изменяя A, B, . . . , C, можно получить различные значения членов t1, t2, t3, ...

Пусть

u1, u2, u3, . . . , un, . . . , (36)

- какая-либо последовательность, удовлетворяющая уравнению (31). Если удастся придать числам A, B, . . . , C такие значения, чтобы первые k членов последовательности (35) совпали бы с первыми k членами последовательности (36), то совпадут и все члены последовательностей (35) и (36), т. е. при любом натуральном n будем иметь:

un = Аxn + Вyn + . . . + Czn. (37)

Таким образом, открывается возможность представить любую из бесконечного множества и т.д.................


Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.