На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Диплом Упорядоченные множества. Решётки. Дистрибутивные решётки. Топологические пространства. Верхние полурешётки. Стоуново пространство. Множество простых идеалов с введенной на нём топологией.

Информация:

Тип работы: Диплом. Предмет: Математика. Добавлен: 08.08.2007. Сдан: 2007. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


17
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Вятский государственный гуманитарный университет
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Выпускная квалификационная работа
Топологическая определяемость верхних полурешёток.
Выполнил:
студент V курса математического факультета
Малых Константин Леонидович
Научный руководитель:
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры и геометрии В.В. Чермных
Рецензент:
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой алгебры и геометрии Е.М. Вечтомов
Допущена к защите в государственной аттестационной комиссии
«___» __________2005 г. Зав. Кафедрой Е.М. Вечтомов
«___»___________2005 г. Декан факультета В.И. Варанкина
Киров 2005
Оглавление.
Введение …………………………………………………………………стр. 3
Глава 1 ……………………………………………………………………стр. 4
1. Упорядоченные множества ………………………………………стр. 4
2. Решётки.……………………………………………………………стр. 5
3. Дистрибутивные решётки ………………………………………..стр. 8
4. Топологические пространства……………………………………стр.10
Глава 2…………………………………………………………………….стр.11
1. Верхние полурешётки…………………………………………….стр.11
2. Стоуново пространство …………………………………………..стр.15
Список литературы……………………………………………………….стр.21
Введение.
Дистрибутивная решётка является одним из основных алгебраических объектов. В данной работе рассматривается частично упорядоченное множество P(L) простых идеалов. Оно даёт нам много информации о дистрибутивной решётке L, но оно не может её полностью охарактеризовать. Поэтому, для того, чтобы множество P(L) характеризовало решётку L, необходимо наделить его более сложной структурой. Стоун [1937] задал на множестве P(L) топологию.
В этой работе рассматривается этот метод в несколько более общем виде.
Работа состоит из двух глав. В первой главе вводятся начальные понятия, необходимые для изучения данной темы. Во второй главе рассматриваются верхние полурешётки, а также множество простых идеалов с введенной на нём топологией.
Глава 1.
1. Упорядоченные множества.
Определение: Упорядоченным множеством называется непустое множество, на котором определено бинарное отношение , удовлетворяющее для всех следующим условиям:
1.Рефлексивность: .
2.Антисимметричность: если и , то .
3.Транзитивность: если и , то .
Если и , то говорят, что меньше или больше , и пишут или .
Примеры упорядоченных множеств:
1. Множество целых положительных чисел, а означает, что делит .
2. Множество всех действительных функций на отрезке и
означает, что для .
Определение: Цепью называется упорядоченное множество, на котором для имеет место или .
Используя отношение порядка, можно получить графическое представление любого конечного упорядоченного множества . Изобразим каждый элемент множества в виде небольшого кружка, располагая выше , если . Соединим и отрезком. Полученная фигура называется диаграммой упорядоченного множества .
Примеры диаграмм упорядоченных множеств:


2. Решётки
Определение: Верхней гранью подмножества в упорядоченном множестве называется элемент из , больший или равный всех из .
Определение: Точная верхняя грань подмножества упорядоченного множества - это такая его верхняя грань, которая меньше любой другой его верхней грани. Обозначается символом и читается «супремум X».
Согласно аксиоме антисимметричности упорядоченного множества, если точная верхняя грань существует, то она единственна.
Понятия нижней грани и точной нижней грани (которая обозначается и читается «инфинум») определяются двойственно. Также, согласно аксиоме антисимметричности упорядоченного множества, если точная нижняя грань существует, то она единственна.
Определение: Решёткой называется упорядоченное множество , в котором любые два элемента и имеют точную нижнюю грань, обозначаемую , и точную верхнюю грань, обозначаемую .
Примеры решёток:
1. Любая цепь является решёткой, т.к. совпадает с меньшим, а с большим из элементов .
2.


Наибольший элемент, то есть элемент, больший или равный каждого элемента упорядоченного множества, обозначают , а наименьший элемент, то есть меньший или равный каждого элемента упорядоченного множества, обозначают .
На решётке можно рассматривать две бинарные операции:
- сложение и
- произведение
Эти операции обладают следующими свойствами:
1. , идемпотентность
2. , коммутативность
3. ,
ассоциативность
4. ,
законы поглощения
Теорема. Пусть - множество с двумя бинарными операциями , обладающими свойствами (1) - (4). Тогда отношение (или ) является порядком на , а возникающее упорядоченное множество оказывается решёткой, причём:



Доказательство.
Рефлексивность отношения вытекает из свойства (1). Заметим, что оно является следствием свойства (4):
Если и , то есть и , то в силу свойства (2), получим . Это означает, что отношение антисимметрично.
Если и , то применяя свойство (3), получим: , что доказывает транзитивность отношения .
Применяя свойства (3), (1), (2), получим:
,
.
Следовательно, и
Если и , то используя свойства (1) - (3), имеем:
, т.е.
По определению точней верхней грани убедимся, что
Из свойств (2), (4) вытекает, что и
Если и , то по свойствам (3), (4) получим:
Отсюда по свойствам (2) и (4) следует, что
, т.е.
Таким образом, . ¦
Пусть решётка, тогда её наибольший элемент характеризуется одним из свойств:
1.
2. .
Аналогично характеризуется наименьший элемент :
1.
2. .
3. Дистрибутивные решётки.
Определение: Решётка называется дистрибутивной, если для выполняется:
1.
2.
В любой решётке тождества (1) и (2) равносильны. Доказательство этого факта содержится в книге [1], стр. 24.

Теорема: Решётка с 0 и 1 является дистрибутивной тогда и только тогда, когда она не содержит подрешёток вида

Доказательство этого факта можно найти в книге [2].
Далее под словом “решётка” понимается произвольная дистрибутивная решётка с 0 и 1 (причём ).
Определение: Непустое множество называется идеалом в решётке , если выполняются условия:
1.
2.
Определение: Идеал в решётке называется простым, если
или .
Идеал, порождённый множеством Н (т.е. наименьший идеал, содержащий H), будет обозначаться (Н]. Если Н = {a}, то вместо ({a}] будем писать (a] и называть (a] главным идеалом.

Обозначим через I(L) множество всех идеалов решётки L. I(L) будем называть решёткой идеалов.

Определение: Решётки и называются изоморфными (обозначение: ), если существует взаимно однозначное отображение , называемое изоморфизмом, множества на множество , такое, что
,
.
4. Топологические пространства.
Определение: Топологическое пространство - это непустое множество с некоторой системой выделенных его подмножеств, которая удовлетворяет аксиомам:
1. Пустое множество и само пространство принадлежит системе : .
2. Пересечение любого конечного числа множеств из принадлежит , т.е. .
3. Объединение любого семейства множеств из принадлежит , т.е. .
Таким образом, топологическое пространство - это пара <, >, где - такое множество подмножеств в , что и замкнуто относительно конечных пересечений и произвольных объединений. Множества из называют открытыми, а их дополнения в замкнутыми.
Определение: Пространство называется компактным, если в любом его открытом покрытии можно выбрать конечное подпокрытие.
Определение: Подмножество пространства называется компактным, если в любом его открытом покрытии можно выбрать конечное подпокрытие.
Определение: Топологическое пространство называется - пространством, если для любых двух различных его точек существует открытое множество, содержащее ровно одну из этих точек.

Глава 2.

1. Верхние полурешётки.
Определение: Ч.у. множество называется верхней полурешёткой, если sup{a,b} существует для любых элементов a и b.

Определение: Непустое множество I верхней полурешётки L называется идеалом, если для любых включение имеет место тогда и только тогда, когда .
Определение: Верхняя полурешётка называется дистрибутивной, если неравенство ? (, , L) влечёт за собой существование элементов , таких, что , , и = .(рис.1). Заметим, что элементы и не обязательно единственны.
Некоторые простейшие свойства дистрибутивной верхней полурешётки даёт:
Лемма 1:
(*). Если <, > - произвольная полурешётка, то верхняя полурешётка дистрибутивна тогда и только тогда, когда решётка дистрибутивна.


Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.