На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


курсовая работа Группы автоморфизмов линейной алгебры

Информация:

Тип работы: курсовая работа. Добавлен: 27.09.2012. Сдан: 2011. Страниц: 12. Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%

Описание (план):


    МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
    ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
    ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
    ГОСУДАРСТВЕННАЯ СОЦИАЛЬНО-ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ 

    Физико-математический факультет 

    Кафедра алгебры, геометрии и методики преподавания математики 
 
 
 

                                     Курсовая работа
                                      на тему:
      
 
 
 
 
 
 
 
 

                                                                  Выполнила: студентка 3 курса очного    
                                                                   отделения физико-математического     
                                                                   факультета
                                              Факкарова И.Ш.
                    Научный руководитель: к.ф.-м.н.,
                                                                      профессор БГСПА, член –
                    корреспондент   МАНПО
                                           Александров Н.Д. 

    Бирск 2011 

    ВВЕДЕНИЕ 

    Роль  автоморфизмов хорошо известна. При  изучении всевозможных специальных  математических структур алгебраического, геометрического или даже внематематического происхождения встречаются разного  рода симметрии, играющие важную роль. Все эти симметрии учитываются  и описываются на языке автоморфизмов. Поэтому группа автоморфизмов конкретной математической структуры во многом определяет ситуацию в самой структуре. Общеизвестно также, что со времен эрлангенской программы группы автоморфизмов  используются и для классификации  и систематизации различных математических объектов.
     Получение новых результатов, касающихся групп автоморфизмов конкретных алгебр, представляет несомненный интерес. Именно этой задаче посвящается настоящая курсовая работа.
     Целью курсовой работы является раскрытие общих понятий теории группы автоморфизмов линейных алгебр и их основных особенностей.
     Перейдем  к краткому изложению результатов  курсовой работы, которая включает в себя введение, две главы, заключение и список использованной литературы.
       Первая глава является вспомогательной. Здесь приводятся основные определения, обозначения и результаты, используемые в дальнейшем. Состоит эта глава из шести параграфов.
     В первом параграфе рассматриваются  два пункта. В них кратко даны понятия линейной алгебры и перечислены виды линейных алгебр.
     Во  втором параграфе определен общий  вид структурных уравнений и  структурных констант.
     В третьем параграфе дано понятие  главной единицы алгебры.
     Четвертый параграф состоит из двух пунктов. В  первом пункте дано определение центра алгебры и приведены две леммы, одна из которых доказана. Второй пункт посвящен уравнениям для нахождения центра, который далее закреплен примером.
     В пятом параграфе описана процедура  удвоения чисел. Здесь мы убеждаемся, что удвоение вещеcтвенных чисел дает комплексные числа, удвоение комплексных чисел – кватернионы, удвоение кватернионов – октавы и т.д.
     В шестом параграфе дана общая теория групп автоморфизмов линейных алгебр. Доказана теорема о алгебре Ли группы автоморфизмов группы Ли.
     Вторая глава, которая является основной, состоит из шести параграфов. Здесь подробно с доказательствами найдены группы автоморфизмов алгебры комплексных, двойных, дуальных чисел, кватернионов и октав.
     В первом параграфе определена группа автоморфизмов комплексных чисел. Сделано это подробно.
     Во  втором, в третьем и в четветром параграфах аналогично найдены группы автоморфизмов двойных и дуальных чисел, кватернионов.
     Пятый параграф состоит из двух пунктов, в которых описана алгебра октав: приведена таблица Кэли и найдены структурные константы.
     В шестом параграфе сформулирована и доказана основная  лемма об автоморфизмах алгебры октав.
     В работе использовано 14 источников литературы.
    Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ АЛГЕБРЫ  

    § 1. Линейная алгебра 

     п.1. Понятие линейной алгебры
    Рассмотрим  непустое множество А. Пусть на нем определены внутренние бинарные операции сложения, умножения и внешняя унарная операция умножения элементов множества А на числа из поля P
    Определение 1. Линейной алгеброй (или гиперкомплексной системой) называется алгебра A =(A; +, ·, f?), которая:
    1) относительно сложения и умножения  образует кольцо, т.е.    (A; +, ? ) - кольцо; 
    2) (А; +, f? ); - векторное пространство;
    3) умножение и f? связаны соотношениями билинейности: (?a)b=?(ab).
    Таким образом, алгеброй называется упорядоченная пара             A =(A, ?), где А - непустое множество и ? - множество операций на множестве А. Множество А называется носителем алгебры.
    Алгебра A  называется конечномерной или ?-мерной в зависимости от того, конечномерно или ?-мерно векторное пространство .
    Размерность векторного пространства называется размерностью алгебры A   или рангом алгебры A   
    dim A = rang A = п. 

     п.2. Виды линейных алгебр
    Алгебра An называется коммутативной, если выполняется условие:
    (
a,b
An) [a
?b=b?a].
    Алгебра An называется антикоммутативной, если квадрат любого ее элемента равен нулю. В этом случае для любых а и b из алгебры An выполнено соотношение:
    a? b= -b?a, т.к. 0=(а + b) ? (а + b) = a2+a?b+b?a+b2.
    Алгебра называется алгеброй Ли, если она антикоммутативна и для любых ее элементов выполнено соотношение Якоби:
    a? (b? c)+b? (c? a)+c? (a? b)=0.
    Алгебра An называется ассоциативной, если выполняется условие:
    
.

    Алгебра An называется альтернативной, если выполняется условие:
      Алгебра An называется алгеброй с делением, если выполняется условие:
.

    Считается, что элемент  называется левой единицей, если   ·а=а, ; правой единицей, если а· =а, ; двусторонней или главной единицей в An , если выполняется: ·а = а · = a , .
    Алгебра An называется унитальной (унитарной), если она имеет главную единицу .
    Четырехмерная единственная ассоциативная, но некоммутативная, конечномерная нормированная алгебра  над полем действительных чисел R, обладающая единицей называется алгеброй кватернионов. Обозначается Q. Алгебра кватернионов - тело, т.е. в ней определено деление. Тело кватернионов - единственная конечно-мерная ассоциативная, но не коммутативная алгебра без делителей нуля.
    § 2. Структурные уравнения и структурные константы 

    Размерность векторного пространства A называется размерностью или рангом алгебры, а поле P – считать полем действительных чисел R.
    Если  в пространстве выбран базис  , то он называется базисом алгебры. Любой элемент алгебры A можно записать в виде:
    
.

    Таким образом  , где R, =1,2,…, n. Умножение элементов алгебры однозначно определяется заданием произведений базисных элементов .
    Действительно, если , то
    
.

    Здесь A, значит  A и поэтому
                                        (1)
    ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Уравнения (1) называются структурными уравнениями алгебры, а величины структурными константами алгебры. 
 

    § 3. Понятие главной  единицы алгебры 

    ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Считается, что элемент называется левой единицей, если ·а=а, ; правой единицей, если а· =а, ; двусторонней или главной единицей в An, если выполняется:                ·а = а · = a , .
    Главная единица ? в алгебре единственна. В самом деле, если  другая единица, то .
    Существование единицы – это несущественные ограничения. Если алгебра без единицы, то к ней единицу всегда можно  “присоединить”.
    Алгебра An называется унитальной (унитарной), если она имеет главную единицу . 

    § 4. Центр алгебры 

     п.1.Понятие центра алгебры.
    ОПРЕДЕЛЕНИЕ.  Центром алгебры называется совокупность   из , перестановочных со всеми элементами алгебры ,
    

    Лемма 1. Центр является алгеброй.
    Доказательство. Пусть центр алгебры  , два любых элемента из . Тогда если
    

    то 
    
,

    

    Утверждение доказано. 

        п.2.Уравнения  для нахождения
    (центра).

     центр. Пусть  произвольный элемент из  .   базис алгебры над полем P. Для нахождения центра положим
    
(1).

    Умножим (1) сначала справа на , затем слева на и вычтем из первого равенства второе, учитывая что  
                                                   (2)
или
     ,                                         ( )
                                             (3)
                                         (4) 
    
,

                                         (5)
или       
     ,   .                            (6) 
    Заменим в (6)  через структурные уравнения :
     ,               (7)
    Но  так как  составляет базис, т.е. линейно не зависим то из (7) получаем:
     ,   .                            (8)
    Получаем  систему  линейных однородных уравнений с неизвестными .
    Подробнее 

    Найдя  , найдем 
    Пример 1. Пусть N : координат. Единицы ,
      , .
                   
    
    
    
    
    Итак,
    
    
,

    
     любые, т.е.
    Центр совпадает с алгеброй комплексных  чисел, .
    Лемма 3. Если алгебра коммутативная, то и центр совпадает с самой алгеброй. 

    §5. Процедура удвоения чисел
    Существуют различные подходы к определению комплексных чисел, все они сводятся к определению комплексного числа как пары вещественных чисел, для которых определяются операции сложения и умножения. Мы определяем комплексные числа как линейные алгебры, поскольку такой подход позволяет определить процедуру «удвоения» чисел: удвоение вещеcтвенных чисел дает комплексные числа, удвоение комплексных чисел – кватернионы, удвоение кватернионов – октавы и т.д.
    Начнем  с некоторого анализа системы  кватернионов. Произвольный кватернион 

можно представить, пользуясь тем, что , в виде 

или 

где
    Посмотрим, как при таком способе изображения  кватернионов запишется их закон  умножения.
    Пусть наряду с задан еще один кватернион 

    Перемножив  и получим
                                                         (1)
(мы убрали скобки в произведениях, так как умножение кватернионов обладает свойством ассоциативности). Заметим теперь, что поскольку то т.е.
    Кроме того, легко проверить, что любые  два элемента и   вида перестановочны: 

    Исходя  из этих свойств, можно переписать второе и третье слагаемые в правой части (1) соответственно в виде   и , а вместо четвертого слагаемого написать , или Следовательно,
                       (2)
    Обращаясь к представлению кватернионов виде , отметим один важный момент. Поскольку, , то все , в частности, и , можно трактовать как комплексные числа. Вместе с формулой (2) это приводит нас к такому заключению:
    Кватернионы можно определить как выражения  вида , где , произвольные комплексные числа, а некоторый символ, причем закон умножения таких выражений задается формулой (2).
    Комплексные, двойные, дуальные числа и кватернионы охватываются более общим понятием гиперкомплексной (сверхкомплексной)  системы чисел.
    Введем  ряд определений. Пусть задана гиперкомплексная система U, состоящая из чисел вида  

с некоторым  законом умножения.
          Условимся называть элемент 

сопряженным к .
    Удвоением системы U называется новая гиперкомплексная система U (2) размерности вдвое большей (чем U), которая строится следующим образом. Ее элементы представляют собой выражения вида
    1+2,                                       (3)
где  1,2 – произвольные элементы из U, а - некоторый символ. Сложение элементов из U (2) производится естественным образом:
          ( 2                          (4)
а  умножение  определяется по формуле
         ( 2            (5)
(черта обозначает сопряжение в U ).
    Определяя систему U (2), мы отступили, во-первых, от обычного способа записи гиперкомплексных чисел, и, во вторых, от задания умножения с помощью таблицы. Числа из U (2) должны были бы иметь вид
    ,           (6)
однако  мы предпочитаем более короткую запись (3). Дело в том, что каждому выражению (6) можно сопоставить два элемента исходной гиперкомплексной системы:
     ,
     ,
а значит, и выражение (3) (оно является как  бы «кодом» гиперкомплексного числа (6)); и обратно, разумеется, если задано выражение вида (6), то по нему можно  составить (3). Краткая запись (3) по сравнению  с (6) имеет существенное преимущество; вместо того, чтобы задавать умножение  в U (2) с помощью таблицы мы можем записать его в обозримой форме (5). Конечно, из формулы (5) можно извлечь таблицу умножения «мнимых единиц» В общем виде заниматься этой таблицей мы не будем, но для наиболее интересующего нас случая октав приведем ее дальше полностью.
    Итак, мы определили процедуру удвоения. Примером может служить переход  от комплексных чисел к кватернионам: то, что было сделано в начале, фактически означает, что система  кватернионов есть удвоение системы комплексных чисел.  
 

    §6. Группы автоморфизмов алгебр 

    Пусть An – произвольная конечномерная алгебра над полем R или C, и пусть ее базис. Ясно, что обратимое линейное отображение AnAn тогда и только тогда является автоморфизмом алгебры An , когда   для любых . Следовательно, если и и, значит,  
 

то  тогда и только тогда является автоморфизмом когда  

для любых  Это означает, что матрицы (), соответствующие автоморфизмам алгебры An , составляют алгебраи-ческую и, значит, гладкую группу. Таким образом, задание базиса определяет изоморфизм группы автоморфизмов AutAn  алгебры An на некоторую матричную алгебраическую группу Ли. Перенесенная в AutAn с помощью этого изоморфизма структура группы Ли не зависит, очевидно, от выбора базиса . Таким образом, группа AutAn автоморфизмов произвольной конечномерной алгебры An является группой Ли.
          Найдем алгебру  Ли этой группы.
    Теорема 1. Алгеброй Ли группы AutAn  является алгебра Ли Der An всех дифференцирований алгебры An :
    g( AutAn) = Der An
    Доказательство. Выбрав в An произвольный базис, мы можем считать группу Aut A и алгебру Ли Der A состоящими из матриц.
    Пусть D Der A . Тогда для любых элементов x, y A  и любого p 0 будем иметь место равенство
      (формула Лейбница), а значит и равенство 

()
(сходимость  всех рядов обеспечивается стандартными вычислениями с матричными нормами). Это означает, что Aut A и, значит, что (Aut A )
    Обратно, пусть  (Aut A ), т. е. Aut A . Тогда
,
и потому 

      Следовательно, Der A
    Теорема доказана
    Пусть, в частности, A является алгеброй Ли g односвязной группы Ли G. Поскольку на категории односвязных групп Ли функтор Ли вполне унивалентен, любой автоморфизм g g алгебры Ли  g реализуется некоторым автоморфизмом GG группы Ли G. Это показывает, что группа автоморфизмов AutG односвязной группы Ли G изоморфна группе автоморфизмов Aut g ее алгебры Ли:
     g
    Перенеся  посредством этого изоморфизма  гладкость из Aut g в AutG, мы определим AutG как группу Ли. При этом в силу сказанного выше алгеброй Ли AutG будет алгебра Ли Der g: 

    
и т.д.................


Перейти к полному тексту работы


Скачать работу с онлайн повышением уникальности до 90% по antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru


Смотреть полный текст работы бесплатно


Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.