Здесь можно найти образцы любых учебных материалов, т.е. получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ и рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


творческая работа В работе рассматриваются доказательства неразрешимости в рациональных ненулевых числах двух систем, которые легко касаются не только чисел, но и распространяются на рациональные функции, что, в конечном счёте, позволяет анализировать решение уравнения.

Информация:

Тип работы: творческая работа. Предмет: Математика. Добавлен: 04.09.2010. Сдан: 2010. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


Три задачи по теории чисел
Задача 1
Утверждение 1
Пусть р1, р2 и р3 являются ненулевыми рациональными числами, причем р1 + р2 = р3. Тогда произведение р1* р2 * р3 не является точным кубом никакого (отличного от нуля) рационального числа, то есть р1* р2 * р3 ? R3, где R - некоторое рациональное число (R ? 0).
Доказательство
Положим
и
Очевидно, что а (а?0) и b - рациональные числа, так как рациональными являются числа р1 и р2 .
(Если а=0, т.е. р1 = - р2, то р1 + р2 = р3 = 0, что противоречит нашему утверждению (р3 0).
Если b=0, т.е. р1 = р2, то р3 = 2 р1 р1* р2 * р3 = р1* р1 * 2р1 =2р, т.е. р1* р2 * р3 = 2р? R3 и противоречие с нашим утверждением отсутствует.)
Тогда имеем:
Теперь нетрудно выразить старые переменные через новые:
(1)
Таким образом, замена р1 и р2 на a и b является обратимой (число Р3 в обоих случаях является зависимой переменной).
Предположим теперь, что Утверждение 1 неверно, и число является точным кубом (R3) некоторого рационального числа R (R ? 0) .
Обозначим (2), где r0, т.к. при r = 0 либо р1=0, либо р2=0, либо р3=0.
где q0 (пояснение ниже).
Числа r и q являются рациональными числами, если рациональны числа a и b. Далее имеем:
Пояснение
При q=0 , где r00 - рациональное число (т.к. r0).
Из (2) следует , откуда R не является рациональным числом, что противоречит условию. Следовательно, q0.
Отсюда число является кубом некоторого ненулевого рационального числа , обозначим это число через (3), где С0 (С > 0).
Обозначим: , тогда:
(с учетом (2) и (3)) (4)
Так как r, q - рациональные числа, то и числа A, B, (CR) -также рациональны числа.
Но тогда они будут рациональными решениями уравнения Ферма 3й степени, которое, как хорошо известно, неразрешимо в рациональных числах. Полученное противоречие доказывает наше утверждение.
Примечание. А если А = 0, или В = 0? Ведь в этом случае могут, наверно, появиться и ненулевые рациональные числа р1, р2, р3, R, удовлетворяющие условию нашего Утверждения! Покажем, что они не появятся.
Если В = r - q = 0, то r = q.
Отсюда, учитывая
имеем ) = 0
откуда следует не только из
r = q (что ожидаемо), но и r = 0 r = q = 0 R=0, что противоречит условию нашего «Утверждения», ч.т.д.
Для А = r + q = 0 рассуждения аналогичные.
Теперь сформулируем некоторое обобщение нашего Утверждения 1 на рациональные функции. Напомним, что рациональной функцией называется выражение вида , где p(x) и q(x) - некоторые многочлены. Заметим, что и многочлены и даже числа являются частным случаем рациональных функций при соответствующем выборе коэффициентов многочленов p(x) и q(x).
Утверждение 2
Пусть являются рациональными функциями с рациональными коэффициентами, причём для всех x. Тогда функция ни в одной рациональной точке x не является кубом никакого (отличного от нуля) рационального числа, то есть
либо , где R - рациональное число (R ? 0);
либо , где R(x) - рациональная функция, которая при каждом фиксированном рациональном x является рациональным числом.
Доказательство
Действительно, при каждом фиксированном рациональном x мы получаем утверждение для рациональных чисел, которое сформулировано в предыдущем Утверждении 1, что и требовалось доказать.
Утверждение 3
Пусть являются рациональными функциями с рациональными коэффициентами от нескольких переменных x, y, z,…, причем для всех x, y, z,….
Тогда функция ни в одной из рациональных точек x, y, z,… не является кубом никакого (отличного от нуля) рационального числа, то есть либо:
где R - рациональное число (R ? 0);
либо
где R(x,y,z,…) - рациональная функция, которая при каждом фиксированном рациональном x, y, z,… является рациональным числом.
Доказательство
Действительно, при каждом фиксированном рациональном x, y, z,… мы получаем утверждение для рациональных чисел, то есть Утверждение 1, что и требовалось доказать.
Где и как можно использовать вышеприведенные утверждения?
Для анализа неразрешимости некоторых уравнений в рациональных числах практически по внешнему виду.
Примеры:
1. - куб рациональной функции R(x) = 3x2, которая при рациональном x является рациональным числом. Следовательно, уравнение неразрешимо в рациональных числах.
2. - куб рациональной функции R(x) = неразрешимо в рациональных числах.
3. - куб рационального числа 3, отсюда неразрешимо в рациональных числах
4. - куб рациональной функции R(x,y) = не разрешимо в рациональных числах
5. - куб рациональной функции R(x) = х37 => уравнение не разрешимо в рациональных числах.
Следовательно, система уравнений неразрешима в ненулевых рациональных числах x, y, z , где R - рациональное число (R?0).
Задача 2
Утверждение 1
Пусть р1, р2, р3 и р4 являются рациональными ненулевыми числами, причем (1). Тогда произведение не может равным ни , то есть не может выполняться соотношение
(2)
где = 1;2;3;4 и если - рациональное число.
Доказательство
Положим . Очевидно, x, y и z - это рациональные ненулевые числа, так как рациональными ненулевыми числами являются р1, р2, р3 . Так как р1, р2, р3 в (1) и (2) равноправны, то за в (2) мы можем принять любое из них, т.е. = 1;2;3. Пусть для определенности (3), тогда р4 на основании (1) принимает вид:
(4)
Таким образом, замена р1, р2, р3 на x, y и z является обратимой (число р4 в обоих случаях является зависимой переменной).
Предположим теперь, что Утверждение 1 неверно, и число
Тогда имеем:
(5)
где x, y и z - ненулевые рациональные числа, а (5) равносильно
(6)
Действительно, можно из уравнения (6) получить (5):
, (6)
, ,
,
(5), что и требовалось доказать.
Обозначим . Тогда (6) примет вид: . Так как x, y и z - рациональные числа, то и числа A, B и C также рациональные числа. Но тогда они будут рациональными решениями уравнения Ферма 3-й степени , которое, как хорошо известно, неразрешимо в рациональных числах.
Полученное противоречие доказывает наше утверждение.
Примечание:
1). Легко понять, что суммой P4 в (1) может быть являться любое из слагаемых (например: ), а произведение новых членов остается прежним, то есть
,
где i может принимать и значение 4, тогда в произведении
2). . А если А = 0, или В = 0? Ведь в этом случае могут, наверно, появиться и ненулевые рациональные числа р1, р2, р3, R, удовлетворяющие условию нашего Утверждения! Покажем, что они не появятся.
Случаи, когда А=0, или В=0, противоречат нашему утверждению.
Действительно, если, например,
то из В = С
= x = 0 x = 0 х=0, что противоречит нашему утверждению.
Аналогичные рассуждения и для В=0.
Утверждение 2
Пусть являются рациональными функциями с рациональными коэффициентами, причем для всех x. Тогда функция ни в одной рациональной точке x не может быть равной ни , то есть не может выполняться соотношение .
Доказательство
Действительно, при каждом фиксированном рациональном x мы получаем утверждение для рациональных чисел, которое сформировано в предыдущем Утверждении 1, что и требовалось доказать.
Утверждение 3.
Пусть являются рациональными функциями с рациональными коэффициентами от нескольких переменных x, y, z , …, причем для всех x, y, z, …. Тогда функция ни в одной из рациональных точек x, y, z, … не может быть равной ни
то есть не может выполняться соотношение
где i=1;2;3;4
Доказательство
Действительно, при каждом фиксированном рациональном x, y, z, … мы получаем утверждение для рациональных чисел, то есть Утверждение 1, что и требовалось доказать.
Где и как можно использовать вышеприведенные утверждения?
Для анализа разрешимости некоторых уравнений в рациональных числах практически по внешнему виду.
Примеры
1.
где x2 - второе слагаемое, которое при рациональном x является рациональным числом => уравнение не разрешимо в рациональных числах.
2.
где x - второе слагаемое, которое при рациональном x - рациональное число. не разрешимо в рациональных числах.
3.
где y - третье слагаемое, которое при рациональном y - рациональное число не разрешимо в рациональных числах.
Следствие
Система уравнений
неразрешима в рациональных числах, где - переменные (не равные 0).
Задача 3
Утверждение (n=3) Уравнение
a3 = b2 + cd2 (1)
где с = const, имеет следующее решение:
a = ?2 + c?2 b = ?3 - 3c??2 d = 3?2? - c?3
где ? и ? - произвольные числа.
Доказательство
Рассмотрим тождество
(2) (x2+cy2)(u2+c?2)?(xu-cy?)2+c(x?+yu)2
где с = const (некоторое число); x,y,u,? - переменные (произвольные числа).
Если один из 2x сомножителей в скобках левой части тождества (2) является квадратом другого (например: (x2+cy2)2=u2+c?2), то тождество (2) можно записать не через четыре переменных x,y,u,?, а только через две (? и ?), где ? и ?-другие переменные.
Действительно, если (x2+cy2)2=u2+c?2 (3), общий вид которого
(4) a12=u2+c?2 (случай, когда(n=2)), а его решения (это специалистам известно):
(5) a1=?2+c?2,
(6) u=?2-c?2,
(7) ?=2??, где ? и ?-произвольные числа ((эти решения специалистам известны).
(Действительно, если в (4) подставить его решения (5), (6) и (7), то получим тождество: (?2+c?2)2 ? (?2-c?2)2+c(2??)2 (8). Следовательно, имеем следующее:
(9) x2+cy2=?2+c?2
(6) u=?2-c?2
(7) ?=2??
Уравнение (9) обращается в тождество при x=? (10) и y=? (11), значит
(10) и (11) являются решениями (9).
Учитывая (3), тождество (2) запишется в виде уравнения:
(x2+cy2)(x2+cy2)2=(xu-cy?)2+c(x?+yu)2=>
=> (12) (x2+cy2)3=(xu-cy?)2+c(x?+yu)2

Учитывая (6), (7), (10) и (11), уравнение (12) запишется:
(?2+с?2)3=[?·(?2-c?2)-c?·2??]2+c[?·2??+?(?2-c?2)]2=
=[?3-c??2-2c??2]2+c[2?2?+??2-c?3]2=(?3-3c??2)2+c(3?2?-c?3)2 =>
=> (13) (?2+c?2)3?(?3-3c??2)2+c(3?2?-c?3)2
где ? и ? - произвольные.
Т.к. (13) - тождество, то решением уравнения (1) a3 = b2 + cd2 (случай, когда(n=3)), являются:
а = ?2 + c?2 b = ?3 - 3c??2
d = 3?2? - c?3, где ? и ? - произвольные числа, ч.т.д..
Утверждение 2. (n = 2;3;4;5;6;7)
Уравнение an=b2+cd2 (1), где c = const, имеет следующее решение:
a=?2+c?2
b=?n-?3c?n-2?2+?5c2?n-4?4-?7c3?n-6?6+…
d=n?n-1?-?4c?n-3?3+?6c2?n-5?5-?8c3?n-7?7+…,
где ?i - биноминальные коэффициенты степени n, где i = 3;4;5;6;7;8;…;
?1=1 - первые два биноминальных коэффициента в
?2= п биноме Ньютона при ?n и ?n-1?;
n - натуральная степень (n>1).
Доказательство
(методом анализа частных случаев, когда n = 2;3;4;5;6;7)
I этап
Рассмотрим частные случаи.
Нам уже известны решения уравнения (1) an=b2+cd2 для степени n=2 и n=3 (смотри доказательствоУтверждение1).
n = 2
(2) a2 = b2 + cd2, где
a=?2+c?2
b=?2-c?2 (2') - при этих значениях a, b и c уравнение (2) превращается в d=2?? тождество (?2+c?2)2 ? (?2-c?2)2+c(2??)2 (2'').
n=3
(3) a3=b2+cd2,
где
a=?2+c?2
b=?3-3c??2 (3') - при этих значениях a,b и c уравнение (3) превращается в d=3?2?-c?3 тождество (?2+с?2)3 ? (?3-3с??2)2+с(3?2?-с?3)2 (3'').
Пример: при ? = ? = 1 и c=2 имеем верное равенство:
(1+2·1)3 = (1-3·2·1)2 + 2·(3-2·1)2 33 ? 52 +2·12
Напомню, что при нахождении решения уравнения (1) для степени n = 3 мы в доказательстве Утверждения1опирались на тождество (2)
(x2+cy2)(u2+c?2) ? (xu-cy?)2+c(x?+yu)2,
и на решение уравнения (1) второй степени, т.е. степени на единицу меньшую. Аналогичным методом можно найти решение уравнения (1) для других натуральных степеней n.
n=4
Пусть в тождестве (2) (x2+cy2)(u2+c?2) ? (xu-cy?)2+c(x?+yu)2
a = x2+cy2
a3 = u2+c?2 (5)
тогда имеем соотношение (x2+cy2)3 = u2+c?2 (6), которое есть ничто иное, как уравнение (1) с n=3: a3 = b2 + cd2 (3) (см. случай n=3).
Учитывая (3') и (6), получаем:
а = x2+cy2 = ?2+c?2 (7')
u = ?3-3c??2 (7) (7'')
? = 3?2?-c?3 (7''')
Учитывая формулы (10) и (11) в доказательстве Утверждения1 (x=? , y=? (8)) при нахождении решения уравнения (1) для n=3, автоматически распространим его и при нахождении решения уравнения (1) для n>3. Тогда, с учетом (5) тождество (2) принимает вид:
a4 = (xu-cy?)2 + c(x?+yu)2 => a4 = b2 + cd2 (9)
где
a = x2+cy2
b = xu-cy? (10)
d = x?+yu
Учитывая (8), (7'),…, (7'''), запишем a, b, d в системе (10) через ? и ?:
a = ?2+c?2
b =xu-cy?=?(?3-3c??2)-c?(3?2?-c?3)=?4-3c?2?2-3c?2?2+c2?4 = ?4-6c?2?2+c2?4
d = x?+yu=?(3?2?-c?3)+?(?3-3c??2)=3?3?-c??3+??3-3c??3 = 4?3?-4c??3

Итак, уравнение (9) a4=b2+cd2 имеет следующее решение:
a = ?2 + c?2
b = ?4-6c?2?2+c2?4 (11) и соответствующее тождество:
d = 4?3? - 4c??3
(12) (?2+с?2)4?(?4-6с?2?22?4)2+с(4?3?-4с??3)2
Пример:
при ? = ? = 1 и с = 2 => 34 = (1-12+4)2+2·(4-8)2 => 81 ? 49 + 32.
n=5
Рассуждения аналогичны.
Пусть в тождестве (2) (x2+cy2)(u2+c?2) ? (xu-cy?)2+c(x?+yu)2
a = x2+cy2 (13)
тогда получаем соотношение:
a4 = u2+c?2
(x2+cy2)4 = u2+c?2 которое есть ничто иное, как уравнение (1) с n=4: (9) a4=b2+cd2) (см. случай n=4), решение которого есть система (11). Отсюда:
a =x2+cy2=?2+c?2
u =?4-6c?2?2+c2?4 (14)
? =4?3?-4c??3
С учетом (13) тождество (2) принимает вид:
a5 = (xu-cy?)2 + c(x?+yu)2 => a5=b2+cd2 (15)
где
a = x2+cy2
b = xu-cy? (16)
d = x?+yu
Учитывая (8) (x=? , y=?) и (14), запишем a,b,d в системе (16) через переменные ? и ?:
a = ?2 + c?2
b = xu-cy? =?(?4-6c?2?

Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.