На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Курсовик Бесселевы функции с любым индексом. Формулы приведения для бесселевых функций. Интегральное представление бесселевых функций с целым индексом. Ряды Фурье-Бесселя. Асимптотическое представление бесселевых функций для больших значений аргумента.

Информация:

Тип работы: Курсовик. Предмет: Математика. Добавлен: 22.09.2008. Сдан: 2008. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


28
Содержание

Задание на курсовую работу 2
Замечания руководителя 3
1. Бесселевы функции с любым индексом 5
2. Формулы приведения для бесселевых функций 10
3. Бесселевы функции с полуцелым индексом 13
4. Интегральное представление бесселевых функций с целым индексом 15
5. Ряды Фурье-Бесселя 18
6. Асимптотическое представление бесселевых функций с целым индексом для больших значений аргумента 23
Список литературы 30
1. Бесселевы функции с любым индексом

Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах
Чтобы объяснить происхождение бесселевых функций, рассмотрим уравнение Лапласа в пространстве:
. (1)
Если перейти к цилиндрическим координатам по формулам:
, , ,
то уравнение (1) примет следующий вид:
. (2)
Поставим задачу: найти все такие решения уравнения, которые могут быть представлены в виде произведения трех функций, каждая из которых зависит только от одного аргумента, то есть найти все решения вида:
,
где , , предполагаются дважды непрерывно дифференцируемыми.
Пусть есть решение упомянутого вида. Подставляя его в (2), получим:
,
откуда (после деления на )
.
Записав это в виде:
,
найдем, что левая часть не зависит от , правая не зависит от , ; следовательно, общая величина этих выражений есть некоторая постоянная . Отсюда:
; ;
; ;
.
В последнем равенстве левая часть не зависит от , правая не зависит от ; следовательно, общая величина этих выражений есть некоторая постоянная . Отсюда:
, ;
, .
Таким образом, , , должны удовлетворять линейным дифференциальным уравнениям второго порядка:
,
(3)
, ,
из которых второе и третье есть простейшие линейные уравнения с постоянными коэффициентами, а первое является линейным уравнением с переменными коэффициентами нового вида.
Обратно, если , , удовлетворяют уравнениям (3), то есть решение уравнения (2). В самом деле, подставляя в левую часть (2) и деля затем на , получим:
.
Таким образом, общий вид всех трех решений уравнения (2), которые являются произведением трех функций, каждая из которых зависит от одного аргумента, есть , где , , - любые решения уравнений (3) при любом выборе чисел , .
Первое из уравнений (3) в случае , называется уравнением Бесселя. Полагая в этом случае , обозначая независимую переменную буквой (вместо ), а неизвестную функцию - буквой (вместо ), найдем, что уравнение Бесселя имеет вид:
. (4)
Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами играет большую роль в приложениях математики. Функции, ему удовлетворяющие, называются бесселевыми, или цилиндрическими, функциями.
Бесселевы функции первого рода
Будем искать решение уравнения Бесселя (4) в виде ряда:
.
Тогда
,
,
,
.
Следовательно, приходим к требованию
или к бесконечной системе уравнений
,
которая распадается на две системы:
Первая из них удовлетворится, если взять … Во второй системе можно взять произвольно; тогда … однозначно определяются (если не является целым отрицательным числом). Взяв
,
найдем последовательно:
,
,
,
и в качестве решения уравнения (4) получим ряд:
Этот ряд, формально удовлетворяющий уравнению (4), сходится для всех положительных значений и, следовательно, является решением уравнения (4) в области (в случае целого в области ).
Функция
(5)
называется бесселевой функцией первого рода с индексом . Она является одним из решений уравнения Бесселя (4). В случае целого неотрицательного индекса получим:
, (5`)
и, в частности,
. (5``)
Общее решение уравнения Бесселя
В случае нецелого индекса функции и являются решениями уравнения (4). Эти решения линейно независимы, так как начальные члены рядов, изображающих эти функции, имеют коэффициенты, отличные от нуля, и содержат разные степени . Таким образом, в случае нецелого индекса общее решение уравнения Бесселя есть:
. (6)
Если (целое отрицательное число), то функция, определяемая формулой (5) (учитывая, что равно нулю для …), принимает вид:
(5```)
или, после замены индекса суммирования на ,
, (7)
откуда видно, что удовлетворяет вместе с уравнению Бесселя
.
Но формула (6) в случае целого уже не дает общего решения уравнения (4).
Полагая
( - не целое) (8)
и дополняя это определение для (целое число) формулой:
, (8`)
получим функцию , удовлетворяющую уравнению Бесселя (4) и во всех случаях линейно независимую от (в случае , где - целое). Функция называется бесселевой функцией второго рода с индексом . Общее решение уравнения Бесселя (4) можно записать во всех случаях в виде:
. (9)
2. Формулы приведения для бесселевых функций

Имеем:
; ;
, ;
.
Следовательно,
. (10)
Таким образом, операция (состоящая в дифференцировании с последующим умножением на ), примененная к , повышает в этом выражении индекс на единицу и меняет знак. Применяя эту операцию раз, где - любое натуральное число, получаем:
. (10`)
Имеем:
;
Следовательно,
. (11)
Таким образом, операция , примененная к , понижает в этом выражении индекс на единицу. Применяя эту операцию раз, получаем:
. (11`)
Из выведенных формул можно получить некоторые следствия. Используя (10), получим:
; ; .
Отсюда, в частности, следует, что . Используя (11), получим:
; ; .
Почленное сложение и вычитание полученных равенств дает:
, (12)
. (13)
Формула (13) позволяет выразить все бесселевы функции с целыми индексами через , . Действительно, из (13) находим (полагая ):
, (13`)
откуда последовательно получаем:
,
, …………………
3. Бесселевы функции с полуцелым индексом

Бесселевы функции, вообще говоря, являются новыми трансцендентными функциями, не выражающимися через элементарные функции. Исключение составляют бесселевы функции с индексом , где - целое. Эти функции могут быть выражены через элементарные функции.
Имеем:
,
,
следовательно,
.
Но , значит:
. (14)
Далее
,
,
следовательно,
.
Но , поэтому
. (15)
С помощью (10`) находим:
,
а учитывая (14)
,
следовательно, при целом положительном
. (14`)
С помощью (11`) находим:
,
но в силу (15)
,
и, следовательно, при целом положительном
. (15`)
4. Интегральное представление бесселевых функций с целым индексом

Производящая функция системы функций
Рассмотрим систему функций (с любой общей областью определения), пронумерованных с помощью всех целых чисел:
Составим ряд
,
где - комплексная переменная. Предположим, что при каждом (принадлежащем области определения рассматриваемых функций) этот ряд имеет кольцо сходимости, содержащее внутри себя единичную окружность . В частности, это кольцо может представлять собой полную плоскость комплексной переменной без точек 0 и ?.
Функция
(16)
(где x лежит в области определения функций системы , - внутри кольца сходимости, соответствующего рассматриваемому значению ) называется производящей функцией системы .
Обратно, пусть задана функция , где пробегает некоторое множество, находится внутри некоторого кольца, зависящего от , с центром 0 и содержащего внутри себя единичную окружность. Тогда, если при каждом аналитична относительно внутри соответствующего кольца, то есть производящая функция некоторой системы функций. В самом деле, разложив при каждом функцию в ряд Лорана по степеням :
,
найдем, что система коэффициентов этого ряда будет искомой системой .
Формулы для коэффициентов ряда Лорана позволяют выразить функции рассматриваемой системы через производящую функцию. Применяя эти формулы и преобразовывая затем интеграл вдоль единичной окружности в простой интеграл, получим:
. (17)
Производящая функция системы бесселевых функций с целыми индексами
Покажем, что для системы бесселевых функций первого рода с целыми индексами (…) производящая функция есть:
.
Имеем:
, ,
откуда после почленного перемножения этих равенств найдем:
(так как в предпоследней внутренней сумме и были связаны зависимостью , то мы могли положить , получив суммирование по одному индексу ). В последней внутренней сумме суммирование производится по всем целым , для которых , следовательно, при это бу и т.д.................


Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.