На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


курсовая работа Использование асимптотических методов для решения уравнений

Информация:

Тип работы: курсовая работа. Добавлен: 07.10.2012. Сдан: 2012. Страниц: 14. Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%

Описание (план):


    МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
    ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ 

    ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ  УЧРЕЖДЕНИЕ
    ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
    «АМУРСКИЙ ГУМАНИТАРНО–ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ
    ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
    (ФГОУ  ВПО «АмГПГУ») 

    Использование асимптотических методов для  решения уравнений 

    Курсовая  работа
    по  математическому анализу- 

    Выполнил: студент гр. МИ-44,
    Малышева  Е.А.
    Проверил: Погорелова А.В. 
     

    Комсомольск-на-Амуре
    2011
    СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ                                                                                                    3
  1.ПРОСТЕЙШИЕ  АССИМПТОТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ.                         5
1.1.Символы ,о, О                                                                                        5
1.2.Простейшие  асимптотические оценки интегралов  и рядов                7
1.3. Преобразование  Абеля.                                                                        11
2.АССИМПТОТИЧЕСКОЕ  РАВЕНСТВО                                                12
3.АССИМПТОТИЧЕСКИЕ  РЯДЫ.                                                           14
4. ЭЛЕМЕТАРНЫЕ  ДЕЙСТВИЯ С АССИМПТОТИЧЕСКИМИ  
РЯДАМИ                                                                                                      19
4.1. Сложение  и умножение формальных степенных  рядов.                  19
4.2. Дифференцирование  и интегрирование формальных  рядов            21
5.АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ  УРАВНЕНИЯ.                                                      25
5.1. Квадратные  уравнения                                                                          25
5.2. Кубические  уравнения                                                                          44
5.3. Уравнения  высших порядков.                                                              52
ПРИЛОЖЕНИЯ.                                                                                           56
ЗАКЛЮЧЕНИЕ                                                                                             61
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК                                                          62 

    ВВЕДЕНИЕ.
         Методы  возмущений или асимптотические  методы малого параметра для решения  дифференциальных уравнений представляют собой одно из наиболее мощных средств  современной прикладной математики. Они позволяют получать приближенные аналитические представления решений  весьма сложных линейных и нелинейных краевых задач как для обыкновенных дифференциальных уравнений, так и  для уравнений в частных производных.
         Суть  асимптотических методов заключается  в том, что при их применении достигается  синтез простоты и точности за счет локализации: в окрестности некоторого предельного состояния находится  упрощенное решение задачи, которое  тем точнее, чем меньше эта окрестность.
         Аналитические методы обычно делятся на эвристические  и точные.
         Совмещая  в себе простоту эвристических представлений  с точностью аналитических оценок, асимптотические методы не ограничиваются ролью «золотой середины». В математике они занимают особое место. Главное отличие от классической математики состоит в том, что уровень точности конкурирует с размерами области действия; в заданной области точность асимптотического разложения всегда ограничена. Такая плата за эффективность оказывается вполне приемлемой не только на практике, но и в теории, если этот «принцип неопределенности» допустить хотя бы в ту область математики, которая занимается асимптотическими методами. Жизненность и перспективность асимптотических методов подтверждается также тем фактом, что активное взаимодействие численных методов с аналитическими происходит также через асимптотику.
         Эффективность асимптотических методов признана всеми в самых разных областях прикладной математики.
         Многие  задачи, с которыми сталкиваются сегодня  физики, инженеры и специалисты по прикладной математике, не поддаются  точному решению. Среди причин, затрудняющих точное решение, можно указать, например, нелинейные уравнения движения, переменные коэффициенты и нелинейные граничные  условия на известных или неизвестных  границах сложной формы. Для решения  подобных задач мы вынуждены пользоваться различного рода приближениями, комбинируя численные и аналитические методы. Среди аналитических методов  весьма мощными являются методы возмущений (асимптотических разложений) по большим  или малым значениям параметра  или координаты.
         В большинстве задач гидромеханики, динамики твердого тела и других разделов физики крайне редко оказывается  возможным получить точные решения— причиной этого служат обычно различного рода нелинейности, неоднородности или  сложные граничные условия. Поэтому  инженеры, физики и специалисты по прикладной математике вынуждены обращаться к приближенным решениям, которые  могут строиться либо численными методами, либо аналитическими, либо путем  комбинации численных и аналитических  подходов. 
     

1.ПРОСТЕЙШИЕ  АССИМПТОТИЧЕСКИЕ  ОЦЕНКИ.
§1.1.Символы ,о, О.
         Пусть функции f(x), g(x) определены на некотором множестве М и а - предельная точка множества М. Как правило, независимое переменное x является вещественным или комплексным числом.
         Используем  следующие общепринятые обозначения.
    Формула
    Определение
   
   
 
    Существует  постоянная С такая, что
    , при всех 
 
    Существует  постоянная С и окрестность U точки a такие, что
    , при
 
         В данных формулах указание на множество  М будем опускать в тех случаях, когда это не вызовет недоразумений.
         Соотношение означает, что функция есть бесконечно малая по сравнению с при . Аналогично соотношение ) означает, что функция ограничена по сравнению с функцией при . Отсюда получаем ряд правил действий с символами о, О: 
     
     

         В этих формулах , множество и точка а – одни и те же в левой и правой части каждого равенства.
         Расшифруем  и докажем первую формулу, остальные  доказываются аналогично.
         Пусть , при ; тогда при - это содержание первой формулы.
         Доказательство:  

         Точно такие же формулы справедливы  для символа .
         Далее имеют место формулы 
     
     

         Во всех формулах
         Определение: соотношение вида 

    называют  асимптотическими формулами или асимптотическими оценками.
    §1.2.Простейшие асимптотические оценки интегралов и рядов.
         Приведем простые достаточные условия, при которых асимптотические оценки можно интегрировать.
         Предложение 1.1. Пусть функции , непрерывны, при
         a<x<b, и пусть  

         где a<<b. Тогда:
           Если , то 

           Утверждение  остается в силе, если всюду заменить на.
           Если , то  

         Докажем Применяя правило Лопиталя, получаем 

         Остальные утверждения доказываются аналогично.
         В этом предложении достаточно потребовать  измеримости функции  и суммируемости на каждом отрезке
         1.Если 
     

         2. Если 
     

         3. Пусть . Тогда при  

         4. Пусть  

         5.
         Приведем  простейшие оценки рядов.
         Предложение 1.2. Пусть функции непрерывна, положительна и монотонна при x Тогда 

         Пусть возрастает для определенности. Тогда 

         суммируя  эти неравенства при получаем 
     

         Тем самым (1.4.) доказано.
         Предложение 1.3. Пусть функция  непрерывно дифференцируема при x Тогда 

         Имеем 
     

         Следовательно, 

         Суммируя  тождества (1.6) от k=1 до k=n и учитывая последнее неравенство, получаем (1.5).
         Предложения 1.2 и 1.3 удобны при вычислении асимптотики  сумм типа если растёт не быстрее некоторой степени x при
         При n имеем
         6.
         7.
         8.
         9.
    1.3. Преобразование Абеля.
    Это преобразование – аналог формулы интегрирования по частям: 
     
     

         Этим  преобразованием удобно пользоваться в случае, когда поведение при  суммыизвестно, а , где - гладкая функция. Пусть функция непрерывно дифференцируема при x0 и
         ,так что - ступенчатая функция:0 при x<1, при Тогда формулу (1.3.1) можно записать в виде 
     
     
     
     

2.АССИМПТОТИЧЕСКОЕ  РАВЕНСТВО
         Определение: асимптотически равны при , если отношение стремиться к единице. 

         Это обозначение используется также  и при любом другом способе  стремления переменной к пределу (скажем, ).
         Строго  говоря, символ является излишним, так как соотношение вполне удобно записывать в виде или в виде
         Пример 2.1:
         Пример 2.2:
         Пример 2.3:
         по формуле Стирлинга:
         Пример 2.4:
         по  закону распределения простых чисел:
         Говоря об «асимптотическом поведении» данной функции , можно иметь в виду асимптотическую информацию любого рода. Однако обычно под этими словами подразумевают простую функцию асимптотически равную «Простая » означает, что способ вычисления ее значений не становится исключительно сложен, когда x очень велико. Например, с некоторой точки зрения много проще, чем но с точки зрения асимптотических свойств последнее выражение проще.
         Слова «асимптотическая формула для  » обычно употребляются в том же узком смысле, т.е. в них речь идёт о формуле  
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     

3.АССИМПТОТИЧЕСКИЕ  РЯДЫ.
         Часто бывает так, что для функции при имеется бесконечная последовательность - оценок, причем каждая следующая оценка как бы совершенствует предыдущую. Особенно часто встречаются последовательности вида: имеется последовательность функций удовлетворяющим условиям
         (3.3.1)
         и последовательность постоянных таких, что для имеет место последовательность O – оценок 

         Очевидно, что вторая формула усовершенствует  первую, поскольку 

         Аналогично  третья формула усовершенствует  вторую и т.д.
         Чтобы записать все множество формул (3..3.2) одной формулой, воспользуемся обозначением: 

         Правая  часть выражения (3.3.3) – асимптотический ряд для или асимптотическое разложение функции .
         Нетрудно  убедиться, что при данных и величины определяются единственным образом, если асимптотическое разложение по существует. В самом деле, допустим, что справедливо соотношение (3..3.3) и что имеется ругой асимптотический ряд 

         Обозначив через k наименьшее из чисел n, для которых , после вычитания получим  

         Разделив  на , получим что противоречит условию
         Если  все коэффициенты в формулах (3.3.2) равны нулю. Тогда пишем 

         Это значит, что  для всех n (но не обязательно равномерно по n).
         Например, поскольку  при всех n, то можно написать 

         Ряд вида (3.3.3) не обязательно сходится. Причина в том, что сходимость является некоторым свойством ряда при фиксированном , в то время как - оценки (3.3.2) относятся не к фиксированному , а к . Сходимость ряда (3.3.3) , скажем, что для всех x>0, означает, что для каждого фиксированного x ряд обладает некоторым свойством при С другой стороны, утверждение, что ряд является асимптотическим разложением функции , означает, что этот ряд обладает тем же свойством при фиксированном и при .
         Более того, даже если асимптотический ряд  сходится, его сумма не обязана  быть равной ; формула (3.3.4) дает пример. Можно подобрать функции таким образом, чтобы ряд (3.3.3) сходился при всех и в то же время не являлся бы асимптотическим рядом своей суммы.
         Простейшим  примером расходящегося асимптотического ряда является следующий. Рассмотрим функцию  , определенную формулой 

         (с  точностью до постоянного слагаемого  эта функция совпадает с интегральной  экспонентой Ei x). Интегрируя по частям, получаем 

         Первый  член в правой части равен , а второй – более высокого порядка малости. Разбивая интеграл на два слагаемых, получаем 
     

         Так как – , и равны, то , то  

         Дальнейшее  усовершенствование оценки мы получаем, повторяя ту же операцию. Интегрируя по частям интеграл в равенстве (3.3.6), находим 

         и вообще (n=1,2,3 …): 

         Последний интеграл равен  при и при фиксированном n. Это можно доказать разбивая промежуток на две части, а именно (1,) и (, x). При каждом n имеем 

         следует, что  

         Ряд в правой части не сходится ни при  одном значении
         Простым, хотя и тривиальным, классом асимптотических  рядов является класс, сходящийся степенных рядов. Пусть  

         Причем  , где - любое положительное число, меньше радиуса сходимости. Тогда 

         Доказательство.
         Из  сходимости ряда при  следует ограниченность его общего члена, т.е. при всех . При любом и при имеем  

         откуда  

         Это доказывает утверждение.
    4. ЭЛЕМЕТАРНЫЕ ДЕЙСТВИЯ С АССИМПТОТИЧЕСКИМИ РЯДАМИ
    4.1. Сложение и умножение  формальных степенных  рядов.
         Определение: ряд   является степенным рядом (по степеням ) и не зависимо от его сходимости называется формальным степенным рядом.
         Если  для таких формальных степенных  рядов определить единственным образом  сложение и умножение, то множество  всех формальных степенных рядов станет коммутативным кольцом, единицей которого будет ряд (обозначим ряд за I). Для рядов и (обозначим ряды за А и В соответственно) определим сумму и произведение равенствами 
     

         Если  , то существует единственный ряд С, такой, что АС=I. Его коэффициенты определяются последовательно из уравнений 

         Предположив, что , можно определить формальный степенной ряд, получающийся в результате подстановки ряда В в ряд А (обозначим через ). Для определения его предположим, что – коэффициент при в ряде Видно, что …
         Полагая , запишем
         ……
         Положим, что
         ……
         Ряд получается подстановкой ряда в ряд вместо и приведением подобных членов.
    §4.2. Дифференцирование формальных рядов.
         Производную ряда определим формулой 

         при помощи формального почленного дифференцирования.
         Известно, что если А и В – степенные ряды с отличным от нуля радиусом ходимости , то все эти формальные действия в точности соответствуют тем же действиям над суммами этих рядов.
         Например, если = С, то ряд С имеет отличный от нуля радиус сходимости, и внутри круга этого радиуса .
         Говоря  о асимптотических рядах вместо сходящихся степенных рядов, то имеем  совершенно аналогичное положение, за исключением того, что вопрос о дифференцировании требует  особой осторожности.
         Пусть – функции, определенные в окрестности x=0 и имеющие разложения  

           обозначает функцию, обозначает формальный ряд
          . Т.к коэффициенты ряда определяются по функции ряда единственным образом, то имеет асимптотическое разложение.
         Нетрудно  убедиться, что  
     

         Если  , то 

           по – прежнему решение уравнения Далее, если , то сложная функция определена для всех достаточно малых значений и 

         Формула (4.2.1) очевидна. Докажем (4.2.2).
         Пусть, имеем для любого n 
     

         и, следовательно 

         Но,  

         является  линейной комбинацией ,, … , и поэтому равно при . Отсюда 

         что и требовалось доказать.
         Аналогичные доказательства можно дать для утверждений (4.2.3) и (4.2.4), причем соотношение (4.2.3) можно  рассматривать как частный случай соотношения (4.2.4), так как где   а
         Предположим теперь, что 

         и что интеграл существует для достаточно малых значений x. Тогда законно почленное интегрирование  

         Доказательство. Для любого n существуют такие постоянные А и , что  

         откуда при получаем 

         соотношение (4.2.5) доказано.
         При рассмотрении дифференцирования имеем  иное положение.
         Если  имеет асимптотическое разложение  то производная не обязательно существует, а если и существует, то может не иметь асимптотического разложения. Например, функция имеет асимптотический ряд
          
         а ее производная  

         не  имеет подобного асимптотического разложения.
         Однако  почленное дифференцирование асимптотических  рядов все же является законным, если удается показать, что производная  тоже имеет асимптотическое разложение (в виде формального степенного ряда). Действительно, пусть 
     

         Докажем, что Рассматривая при функцию 

         получаем  

         Из  теоремы о среднем следует, что произвольно, значит 

         Теперь  формула сразу получается, так как коэффициенты асимптотического ряда определяются единственным образом. 
     
     
     
     
     

5.АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ.
§5.1. Квадратные уравнения.
         Проанализируем  квадратные уравнения и рассмотрим примеры, сравнивая полученные разложения с точными решениями.
         Пример 1.
         Найдем  корни уравнения  

         При малом . В случае имеем уравнение 

         с корнями и Уравнение (5.1.1) называется возмущенным уравнением, а (5.1.2) – невозмущенным или невырожденным уравнением. При малом, но конечном естественно ожидать, что корни уравнения (5.1.1) будут лишь немного отличаться от значений 1 и 2.
         Первый  шаг при нахождении приближенного  решения заключается в выборе формы разложения. Предположим, что искомые корни можно представить в виде  

         где многоточие заменяет слагаемыми со степенями , для которых показатель степени
         Второй  шаг заключается в подстановке  выбранного разложения (5.1.3) в исходное уравнение (5.1.1), что даёт 
     

         Третий  шаг – выполнение элементарных операций типа сложения, вычитания, умножения, возведения в степень и т.д. и, наконец, группировку коэффициентов при одинаковых степенях .Используя для разложения первого члена биноминальную формулу, получаем 
     
     

         здесь в соответствии с выбранной формой разложения (5.1.3) сохранены лишь члены порядка Если искать разложение с точностью до членов порядка где , то в выражении (5.1.5) следовало бы сохранить члены того же порядка. Выполнив умножение во втором члене в (5.1.4), находим 
     

         Здесь так же в соответствии с выбранной  формой исходного разложения сохранены лишь члены порядка Подставляя (5.1.5) и (5.1.6) в (5.1.4), имеем 
     

         Собирая коэффициенты при одинаковых степенях  
     

         Четвертый шаг состоит в приравнивании к нулю коэффициентов при последовательных степенях Для оправдания этого шага устремим к нулю в выражение (5.1.7). В результате получим уравнение  

         а (5.1.7) примет вид 

         Разделив  на  приходим к равенству 
     

         которое при  дает  

         При этом (5.9) переходит в равенство 

         после деления на  

         Устремив в (5.11) к нулю, получаем  

         Соотношения (5.1.8), (5.1.10) и (5.1.12) можно получить непосредственно из формулы (5.1.7), приравнивая нулю коэффициенты при последовательных степенях
         Пятый шаг состоит в последовательном решении упрощенных уравнений (5.1.8), (5.1.10), и (5.1.12).  Уравнение (5.1.8) совпадает с вырожденным уравнением (5.1.2), и, следовательно, его решениями будут  

         Зная  из уравнения (5.1.10) найдем   (5.1.10) линейно относительно . В большинстве задач уравнения каждого приближения оказываются линейными, за исключением, быть может, первого. В случае уравнение (5.1.10) дает 

         Зная  и , можно разрешить уравнение (5.1.12) относительно .
         При из уравнения (5.1.12) получаем 

         В случае из (5.1.10) находим 

         а из (5.1.12)  

         Последний шаг, заключается в подстановке  полученных значений в исходное разложение (5.1.3). При , и это разложение приобретает вид  

         а при  и разложение (5.1.3) можно представит как  

         Формулы (5.1.13 ) и (5.1.14) дают приближенные выражения для обоих корней уравнения (5.1.1). Для того чтобы выяснить, насколько удачны эти приближения, сравним их с точным решением
    и т.д.................


Перейти к полному тексту работы


Скачать работу с онлайн повышением уникальности до 90% по antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru


Смотреть полный текст работы бесплатно


Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.