На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Реферат Понятие функции как одно из важнейших понятий математики. Сюръекции, инъекции и биекции. Композиция или сложная функция и ее иллюстрация. Зависимость множеств Х и У, их области, элементы и простейших операций над ними. История математической функции.

Информация:

Тип работы: Реферат. Предмет: Математика. Добавлен: 11.03.2009. Сдан: 2009. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


РЕФЕРАТ
Функции
Понятие функции - одно из важнейших понятий математики. Пусть даны два множества Х и У и каждому элементу х Х поставлен в соответствие единственный элемент у У, который обозначен через f(х). В этом случае говорят, что на множестве Х задана функция f и пишут:
f : Х У.
Например, пусть Х = а; b; с; d, У = ; ; ; и функция f:Х У определена так:
f(a) = , f(b) = , f(c) = f(d) = .
Наглядно эту функцию можно представить следующим образом: множества Х и У изобразим в виде областей, элементы множеств - в виде точек, а установленное соответствие - в виде стрелок:
Идея функциональной зависимости зародилась в античной математике, но она еще не была явно выражена и не являлась самостоятельным объектом исследования, хотя и был известен широкий круг конкретных систематически изучавшихся функциональных соответствий. В зачаточной форме понятие функции появляется в трудах ученых в средние века, но лишь в работах математиков 17 века, и прежде всего П. Ферма, Р. Декарта, И. Ньютона и Г. Лейбница, это понятие стало оформляться как самостоятельное. Термин «функция» впервые появился у Г. Лейбница. Для задания функции использовались геометрические, аналитические и кинематические концепции, но постепенно стало превалировать представление о функции как о некотором аналитическом выражении. В четкой форме это было сформулировано в 18 веке. И. Бернулли принадлежит определение, что «функцией переменной величины… называется количество, составленное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных». Л. Эйлер, приняв это определение, заменил в нем слово «количество» словами «аналитическое выражение». Несколько позже у Л. Эйлера появился уже и более общий подход к понятию функции как зависимости одной переменной величины от другой. Эта точка зрения получила свое дальнейшее развитие в трудах Ж. Фурье, Н.И. Лобачевского, П. Дирихле, Б. Больцано, О. Коши, где стало выкристаллизовываться представление о функции как о соответствии между двумя числовыми множествами. Так, в 1834 году Н.И. Лобачевский писал: «Общее понятие функции требует, чтобы функцией от х называть число, которое дается для каждого х и вместе с х постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, которое подает средство испытывать все числа и выбрать одно из них; или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной». Определение функции как соответствия между двумя произвольными (не обязательно числовыми) множествами в 1887 году было сформулировано Р. Дедекиндом.
Понятие соответствия, а следовательно, и понятие функции иногда сводится к другим понятиям (множеству, отношению или другим теоретико-множественным и логико-математическим концепциям), а иногда принимается за первичное, неопределяемое понятие, поскольку, как это выразил, например, А. Черч: «В конечном счете понятие функции - или какое-либо сходное понятие, например, понятие класса, - приходится считать первоначальным, или неопределимым».
Ниже рассматривается понятие функции, основанное на понятии множества и простейших операций над множествами.
Пусть даны два множества Х и У. Всякое множество f = (х; у) упорядоченных пар (х; у), х Х, у У, такое, что для любых пар (х; у) f и (х; у) f из условия уу следует, что х х, называется функцией, или, что то же самое, отображением из Х в У.
В рассмотренном выше примере функция представляет собой следующее множество упорядоченных пар: f = (а; ), (b; ), (с; ), (d; ). Таким образом, функция есть не что иное, как спецификация подмножества декартова произведения Х У.
Множество всех первых элементов упорядоченных пар (х; у) некоторой функции f называется областью определения этой функции и обозначается Хf, а множество всех вторых элементов - множеством значений функции, которое обозначается Уf . Если f = (х; у) есть функция, то пишут f: Хf У и говорят, что f отображает множество Хf во множество У. В случае Х = Хf пишется просто f: ХУ.
Если f: ХУ - функция и (х; у) f, то пишут у = f(х), а также f: ху,
х Х, у У, и говорят, что функция f ставит в соответствие элементу х элемент у или, что тоже самое, элемент у соответствует элементу х. В этом случае говорят также, что элемент у является значением функции f в точке х или образом элемента х при отображении f.
Иногда сама функция f обозначается символом f(х). Обозначение функции f:ХУ и ее значения в точке х Х одним и тем же символом f(х) обычно не приводит к недоразумению, так как в каждом конкретном случае, как правило, всегда бывает ясно, о чем именно идет речь. Обозначение f(х) часто оказывается удобнее обозначения f:х у при вычислениях. Например, запись f(х) = х2 удобнее и проще использовать при аналитических преобразованиях, чем запись f:х х2.
Вспомним еще, что бинарное отношение из множества Х во множество У мы определили как всякое подмножество декартова произведения Х У. Таким образом, функция f:ХУ - это просто специальный вид бинарных отношений из Х в У, который удовлетворяет условию: для каждого х Х существует единственный у У такой, что (х; у) f. Подчеркнем, что один и тот же образ могут иметь несколько элементов области определения, и что не все элементы множества У обязаны быть образами некоторых элементов Х, т.е. множество значений функции Уf может совпадать с множеством У, а может быть его собственным подмножеством.
При заданном у У совокупность всех таких элементов х Х, что
f(х) = у называется прообразом элемента у и обозначается f -1(у). Таким образом,
f -1(у) = х х Х, f(х) = у.
Очевидно, что если у У\ Уf, то f -1(у) = .
Сюръекции, инъекции и биекции

Пусть задано отображение f:Х У. Иначе говоря, каждому элементу х Х поставлен в соответствие и притом единственный элемент у У, и каждый элемент у Уf У поставлен в соответствие хотя бы одному элементу х Х. Если У=Х, то говорят, что отображение f отображает множество Х в себя. Если У= Уf , т.е. множество У совпадает с множеством значений функции f, то говорят, что f отображает множество Х на множество У, или что отображение f является сюръективным отображением, короче сюръекцией. Таким образом, отображение f:Х У есть сюръекция, если для любого элемента у У существует, по крайней мере, один такой элемент х Х, что f(х) = у.

Если при отображении f У разным элементам х Х соответствуют разные элементы у У, т.е. при х х имеет место f) f), то отображение f называется инъективным отображением или инъекцией. Таким образом, отображение f У инъективно тогда и только тогда, когда прообраз каждого элемента у, принадлежащего множеству значений функции f, т.е. y Уf, состоит в точности из одного элемента. Если отображение f У является одновременно инъекцией и сюръекцией, то оно называется биективным отображением или биекцией.

Примеры.

1. Функция f:R R, f(х) = х2 не является ни инъекцией, ни сюръекцией, так как разным элементам, например, х = 2 и х = -2 соответствует одинаковый образ 4, и любое отрицательное действительное число не является образом ни для одного из элементов области определения.

2. Функция f: a; b; c; d , , , , , заданная следующим образом: f(а) = , f(b) = , f(c)=, f(d) = является инъективной и не является сюръективной.

Эта функция инъективная, потому что у нее ни для одной пары элементов области определения образы не совпадают, но сюръекцией эта функция не является, потому что элемент множества У не является образом какого-либо элемента множества Х.

3. С другой стороны, функция g:a; b; c; d; e ; ; ; , определенная так g(a) = , g(b) = , g(c) = , g(d) = , g(e) = является сюръективной и не является инъективной.

Эта ф и т.д.................


Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.