На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


курсовая работа Применение тройных интегралов к решению задач

Информация:

Тип работы: курсовая работа. Добавлен: 08.10.2012. Сдан: 2012. Страниц: 13. Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%

Описание (план):


ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ 
Государственное образовательное учреждение 
высшего профессионального образования 
“ЛИПЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ” 
(ГОУ ВПО “ЛГПУ”)
Факультет физико-математических и компьютерных наук
 
 
Курсовая  работа:
 «Применение тройных интегралов
к решению  задач».
 
 
 
 
 
 
                                                                                         
 
 
 
                                                 
 
Липецк. 2010
 
Оглавление
Введение
1 Тройные интегралы 4
1.1 Определение тройного интеграла 4
1.2 Вычисление тройных интегралов 5
1.3 Замена переменных в тройном интеграле 7
2 Приложения тройного интеграла 11
3 Решение задач 14
3.1 Тройной интеграл  в декартовых координатах 14
3.2 Тройной интеграл в цилиндрических координатах 16
3.3 Тройной интеграл  в сферических  координатах 19
3.4 Вычисление объёмов с помощью тройного интеграла 23
3.5 Вычисление массы тела 26
Заключение
Литература
 
 
 
 
 
 
 
 
Введение
      Интеграл -  одно  из  важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую  путь,   пройденный движущейся точкой, по скорости этой  точки),  а  с  другой  -   измерять  площади,  объемы,  длины  дуг,  работу  сил  за   определенный   промежуток времени и т. п.
      Символ  введен  Лейбницем  (1675  г.).  Этот  знак   является изменением латинской буквы S  (первой буквы слова сумма).  Само  слово интеграл придумал  Я. Бернулли (1690  г.).  Вероятно,  оно происходит от латинского integero, которое переводится как  “приводить  в   прежнее состояние”,    “восстанавливать”. ( Действительно, операция  интегрирования “восстанавливает” функцию,  дифференцированием  которой получена подынтегральная функция.) Возможно происхождение слова интеграл иное: слово integer означает целый.
Строгое изложение теории интеграла появилось только в  прошлом веке,
решение этой задачи связано с именами  О.  Коши,  одного  из  крупнейших математиков немецкого ученого Б. Римана (1826 - 1866 гг.),  французского математика Г. Дарбу  (1842 - 1917).
       Ответы на многие вопросы, связанные  с  существованием  площадей   объемов фигур, были получены с созданием К. Жорданов (1826 -  1922  гг.)
теории меры.
       Различные обобщения понятия интеграла уже в начале нашего  столетия
были предложены французскими математиками А. Лебегом (1875 - 1941 гг.) и  А. Данжуа (1884 - 1974) советским математиком  А. Я. Хичиным (1894  -1959 гг.)
         В данной работе я рассматриваю способы вычисления тройных инте- гралов, вычисления тройных интегралов в различных системах координат, связь между ними и примеры решения часто встречающихся задач.
1. Тройные интегралы
1.1 Определение тройного интеграла. Тройной интеграл является аналогом двойного интеграла и вводится для функции трех переменных.
Пусть в некоторой замкнутой  ограниченной области трехмерного пространства задана ограниченная функция: 
 

Разобьем область  на n произвольных областей, не имеющих общих внутренних точек, с объемами .
В каждой области возьмем  произвольную точку  и составим сумму:
 
 
                                                               (1)
 
которая называется интегральной суммой для функции по области . Обозначим через наибольший из диаметров частичных областей.
Определение. Если интегральная сумма (1) при имеет предел, равный , то этот предел называется тройным интегралом от функции по области и обозначается одним из следующих символов:
    

 
В этом случае функция  называется интегрируемой в области ; -областью интегрирования; , и — переменными интегрирования; (или )- элементом объема.
В дальнейшем, поскольку  результаты, полученные для двойных интегралов, вместе с их доказательствами могут быть перенесены на тройные интегралы, ограничимся только формулировками утверждений и краткими пояснениями.
Тройные интегралы являются непосредственным обобщением двойных  интегралов на случай трехмерного пространства. Они обладают аналогичными двойным  интегралам необходимыми и достаточными условиями существования и свойствами. Если положить всюду в области , то из определения тройного интеграла следует формула для вычисления объема тела :
 
 
1.2 Вычисление тройных интегралов. Как и в случае двойных интегралов, вычисление тройных интегралов сводится к вычислению интегралов меньшей кратности.
Рассмотрим область , ограниченную снизу и сверху поверхностями и а с боковых сторон цилиндрической поверхностью, и пусть область — проекция области V на плоскость (рис. 1),

Рис. 1
 
в которой определены и  непрерывны функции  и . Предположим, далее, что каждая прямая, параллельная оси , пересекает границу области не более чем в двух точках. Тогда для любой функции , непрерывной в области , имеет место формула
 
позволяющая свести вычисление тройного интеграла к последовательному вычислению внутреннего определенного интеграла  по переменной (при постоянных и ) и внешнего двойного интеграла по области .
       Выражение
 
 
представляет собой функцию  двух переменных. Если для этой функции и области , по которой она интегрируется, выполнены условия теоремы 13.4, то, переходя от двойного интеграла
 
к повторному, получаем формулу
 
 

(2)
 
 
сводящую вычисление тройного интеграла к последовательному  вычислению трех определенных интегралов. Порядок интегрирования может быть и другим, т. е. переменные , и в формуле (2) можно менять ролями.
В частности, если —параллелепипед с гранями , , ,, , , то формула (2) принимает вид
 
 
(3)
 
В этом случае интегрирование можно производить в любом  порядке.
 
 
1.3 Замена переменных в тройном интеграле.
     Как для  двойных интегралов, так и для  тройных имеют место формулы  перехода от прямоугольных координат  к новым системам координат,  наиболее употребительными из  которых являются цилиндрические и сферические координаты.
Замену переменных в тройном  интеграле производят по следующему правилу.
Если ограниченная замкнутая  область  пространства взаимно однозначно отображается на область пространства с помощью непрерывно дифференцируемых функций
, , , и якобиан * в области не обращается в нуль:
 
 
то справедлива формула:
 
 
 
В частности, при переходе от прямоугольных координат  к цилиндрическим координатам , , (рис. 2), связанным с формулами:
 
 
 
 
 
 

 якобиан преобразования , поэтому:
 
 
(4)
 
Название “цилиндрические координаты” связано с тем, что координатная поверхность =const  (т. е. поверхность, все точки которой имеют одну и ту же координату ) является цилиндром, прямолинейные образующие которого параллельны оси .

Рис. 2
 
При переходе от прямоугольных  координат  к сферическим координатам , , (рис. 3), связанным с формулами:
  

 
 
 
 
якобиан преобразования , поэтому:
 
 
(5)
 
Название “сферические координаты” связано с тем, что координатная поверхность =const  (т. е. поверхность, все точки которой имеют одну и ту же координату ) является сферой. Сферические координаты иначе называют полярными координатами в пространстве.
При вычислении тройного интеграла  путем перехода к цилиндрическим или сферическим координатам область обычно не изображают, а пределы интегрирования расставляют непосредственно по виду области , используя геометрический смысл новых координат.
 
 Рис. 3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.Приложения тройного интеграла
Объем области выражается формулой:
 
 
 
В сферических координатах  этот интеграл имеет вид:
 
 
 
 
 
в цилиндрических координатах:
 
Если тело занимает объем и - плотность его в точке то масса тела равна:
 
 

Координаты центра тяжести  тела вычисляются по формулам:
 
 
 
 
 
Где - масса тела.
Моменты инерции тела относительно координатных плоскостей определяются интегралами:
 
 
 
 
Момент инерции тела относительно оси  определяется интегралом:
 
где - расстояние точки тела от оси . В частности, моменты инерции тела относительно координатных осей , , определяются формулами:
 
 
 
 
 
Момент инерции тела относительно начала координат определяется формулой l0 =  

 
Очевидно,  верны следующие  соотношения:  
 
  , ,   , 
 
Ньютоновым потенциалом  тела в точке  ,   называется интеграл:
 
 
 
где - объем тела, - плотность тела,.
 
Материальная точка массы  m притягивается телом с силой, проекции которой , , на оси координат , , равны:
 
 
 
 
 
 
 
3.Решение задач
3.1 Тройной интеграл в декартовых координатах
Постановка задачи. Вычислить тройной интеграл
 
где область  ограничена некоторыми поверхностями.
План решения :
1. Зададим область системой неравенств, например,
 
 
 
2. Перейдем от тройного интеграла к повторному:
 
3. Используя свойства определенного интеграла, последовательно интегрируем сначала по (считая и постоянными), затем по (считая постоянной), затем по .
Записываем ответ.
Пример. Вычислить тройной интеграл:
 
где ограничена плоскостями:
 
 
Решение.
    Зададим область неравенствами. Очевидно, что . Для возможны неравенства или . Если , то и для х имеем . Если же то и область не примыкает к плоскости . Значит, мы должны принять, что и определить системой неравенств :
 
 
    Перейдем от тройного интеграла к повторному:
 
    Используя свойства определенного интеграла, последовательно интегрируем сначала по (считая и постоянными), затем по (считая постоянной), затем по :
 
Ответ:
3.2 Тройной интеграл в цилиндрических  координатах
 
Постановка задачи. Вычислить тройной интеграл:
 
где область  ограничена поверхностями
 
 
План решения.
1. Поскольку - тело вращения вокруг оси , удобно перейти к цилиндрическим координатам:
 
 
 
При этом а искомый интеграл определяется формулой:
 
 
2. Зададим область неравенствами. Для этого сначала заменим в уравнениях поверхностей на и на . Тогда определяется неравенствами или .
Чтобы выбрать правильные неравенства, решаем уравнение  относительно . Если оно имеет два решения и то исследуем, какая из функций или больше другой на промежутке . Предположим для определенности, что
 при . Тогда область определяется системой неравенств:
 
 
 
 
Если уравнение  имеет единственное положительное решение , то неравенства для имеют вид .
 
3. Переходим от тройного  интеграла к повторному:
 
 
и последовательно интегрируем, используя свойства определенного  интеграла.
Записываем ответ.
 
Пример. Вычислить тройной интеграл
 
 
 
 
 
где область  ограничена поверхностями:
 
,        .
 
Решение.
1. Поскольку - тело вращения вокруг оси , удобно перейти к цилиндрическим координатам:
 
 
При этом , а искомый интеграл определяется формулой:
 
 
2. Зададим область неравенствами. Для этого сначала заменим в уравнениях поверхностей на и на . Тогда определяется неравенствами или . Чтобы выбрать правильные неравенства, решаем уравнение:
 
Это уравнение имеет единственное положительное решение . Следовательно, . При :
 
 
 
Таким образом, область  определяется системой неравенств:
 
 
 
3. Переходим от тройного  интеграла к повторному:
 
 
 
Последовательно интегрируя, получаем:
 
 
Ответ:
 
 
3.3 Тройной интеграл  в сферических координатах
 
Постановка задачи. Вычислить тройной интеграл:
 
где область  ограничена поверхностями:
 
План решения.
1. Поскольку  ограничена сферой и круглым конусом, удобно перейти к сферическим координатам:
 
 
Возможные границы изменения  сферических координат :
 
 
 
При этом , а искомый интеграл определяется формулой :
 
 
2. Заменяем в уравнениях поверхностей на , на и на . Получаем:
 
 
 
3. Зададим область с помощью системы неравенств:
 
 
 
где границы изменения  находим, решая уравнение и учитывая, что может изменяться только от до -.
 
Замечание. Если , ограничена также плоскостями и проходящими через ось , уравнения которых в сферических координатах имеют вид и находим границы изменения , решая эти уравнения.
4. Переходим от тройного интеграла к повторному:
 
 
и последовательно интегрируем, используя свойства определенного  интеграла.
Записываем ответ.
 
Пример. Вычислить тройной интеграл:
 
 
где область  ограничена поверхностями:
 
Решение.
1. Поскольку — область, ограниченная верхней полусферой и верхним полуконусом , удобно перейти к сферическим координатам:
 
 
 
При этом , а искомый интеграл определяется формулой:
 
 
 
2. Заменяем в уравнениях поверхностей на , на и на . Получаем:
 
 
 
3. Зададим область с помощью системы неравенств:
 
 
 
    Переходя от тройного интеграла к повторному и последовательно интегрируя, получаем:
 
 
Ответ:.
 
3.4 Вычисление объёмов с помощью тройного интеграла
 
Постановка задачи. Найти объем тела , ограниченного заданными поверхностями.
 
План решения. Искомый объем равен:
 
1. Зададим область неравенствами.
2. Вычисляем тройной интеграл, сводя его к повторному, и записываем ответ, не забывая о размерности.
 
Пример 1. Найти объем тела , ограниченного поверхностями:
 
 
Решение.
1. Зададим область неравенствами. Поскольку , для имеем неравенства . Поскольку у фигурирует под знаком квадратного корня, . Для возможны неравенства или . В первом случае . Во втором случае, т.е. област
и т.д.................


Перейти к полному тексту работы


Скачать работу с онлайн повышением уникальности до 90% по antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru


Смотреть полный текст работы бесплатно


Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.