Здесь можно найти образцы любых учебных материалов, т.е. получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ и рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Диплом Построение объектов, изоморфных данным алгебраическим структурам. Решетки конгруэнций Ламбека по простым идеалам. Теоремы об изоморфизме и свойства пучковых представлений. Функциональные пучки Ламбека и Корниша для ограниченных дистрибутивных решеток.

Информация:

Тип работы: Диплом. Предмет: Математика. Добавлен: 12.06.2010. Сдан: 2010. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Вятский государственный гуманитарный университет
Физико-математический факультет
Кафедра высшей математики
Выпускная квалификационная работа
Функциональные представления ограниченных дистрибутивных решеток

Выполнил студент V курса физико-математического факультета
Марков Роман Владимирович
_________________________
Научный руководитель:
д.ф-м.н., профессор кафедры высшей математики
Чермных Василий Владимирович
__________________________
Рецензент:
д.ф-м.н., профессор, заведующий кафедрой высшей математики
Вечтомов Евгений Михайлович
__________________________
Киров 2010
Оглавление

    Вступление 3
    1. Основные определения 4
      1.1 Решетка 4
      1.2 Топологическое пространство 10
      1.3 Функциональный пучок 13
    2. Функциональные представления дистрибутивных решеток 25
      2.1 Теоремы об изоморфизме 25
      2.2 Свойства пучковых представлений 30
    Литература 33
Вступление

Все алгебраические объекты имеют абстрактную природу, их невозможно ни изобразить, ни визуализировать каким либо другим образом. Поэтому одной из важнейших задач алгебры является задача представления, заключающаяся в построении объектов иной природы, изоморфных данным алгебраическим структурам.
Примерами могут служить:
· Теорема Кэли о вложимости произвольной группы в некоторую симметрическую группу, результат об изоморфизме алгебры линейных операторов n-мерного векторного пространства и алгебры матриц nn над тем же полем;
· Теорема Стоуна об изоморфизме конечной булевой алгебры и решетки всех подмножеств некоторого конечного множества;
Одной из рассматриваемых идей о представлениях является представление алгебраических систем сечениями пучков: А. Гротендик(1960г), Р. Пирс(1967г), Дж. Ламбек(1971г), К. Хофман(1972г), К. Малви(1979г) и другие занимались представлениями колец. Первые работы по представлению дистрибутивных решеток появились в конце 60х годов. Различным типам пучковых представлений посвящены работы Корниша, Войкулеску, Георгеску и других.
Данная работа посвящена построению функциональных пучков Ламбека и Корниша для ограниченных дистрибутивных решеток. В работе вводятся основные определения, необходимые для реализации этих представлений и доказаны теоремы об изоморфизме данных функциональных представлений ограниченным дистрибутивным решеткам.
1. Основные определения

1.1 Решетка
Def1. Алгебраическая система называется решеткой, если выполняются:
аксиомы идемпотентности
; ;
аксиомы коммутативности
аксиомы ассоциативности
законы поглощения
;
Решетка называется дистрибутивной, если
Решетка называется ограниченной, если в существуют 0 и 1, нейтральные элементы по сложению (+) и умножению () соответственно.
В дальнейшем будут рассматриваться только ограниченные дистрибутивные решетки.
Пример 1. Легко проверить, что следующие объекты являются ограниченными дистрибутивными решетками:
Def2. Непустое подмножество дистрибутивной решетки называется идеалом решетки , если
Идеал дистрибутивной решетки называется собственным, если .
Собственный идеал дистрибутивной решетки называется простым, если .
Для любого идеала множество называется 0-компонентой идеала .
Пример 2. Простым идеалом решетки (пример 1, рисунок 2) является решетка (рис. 3):
0-компонентой идеала в решетке является множество
Def3. Бинарное отношение ~ в решетке называется конгруэнцией, если выполняются свойства:
1) ~ является отношением рефлексивности, симметричности и транзитивности;
2) ~ сохраняет операции:
Множество всех классов конгруэнтности с операциями образует решетку, называемую фактор-решеткой решетки по конгруэнции ~.
Доказательство. Операции и определяются через представителей классов, и необходимо показать их корректность, т.е. независимость результатов от выбора представителей. Это вытекает в силу гомоморфности
операции и ассоциативны, т.к. ассоциативны операции в , также сохраняются идемпотентность, коммутативность, законы поглощения и дистрибутивности. Классы [0] и [1] будут нейтральными элементами относительно и соответственно. Предложение доказано.
Пример 3. Конгруэнции на решетках.
1) Конгруэнция Ламбека ().
Для некоторого простого идеала решетки и отношение
называется конгруэнцией Ламбека по простому идеалу решетки .
Теорема Отношение конгруэнция на решетке
Доказательство. Рефлексивность и симметричность отношения очевидны. Пусть и , т.е. и для некоторых . В силу простоты идеала найдется такой элемент , что элемент не лежит в . Из равенства в силу определения решетки следует и учитывая, что , получаем, что , что доказывает транзитивность отношения .
Докажем сохранение операций. Пусть , , что означает для подходящих , а для некоторого . Из первого равенства получаем , а из второго . Почленно сложив равенства, получим , т.е. . Умножим на , а на и получим , откуда или .
2) Конгруэнция Корниша ().
Для некоторого простого идеала решетки и отношение
называется конгруэнцией Корниша по простому идеалу решетки .
Теорема Отношение конгруэнция на решетке
Доказательство. Рефлексивность и симметричность очевидны. Покажем транзитивность. Пусть и . Это значит, по определению конгруэнции Корниша, что и для некоторых . Прибавив к первому равенству получим
.
Осталось показать, что и . Это следует из определения : , для некоторых . Рассмотрим выражение .
Для рассуждения аналогичны.
Докажем сохранение операций.
Сложение: Пусть для некоторых . Требуется доказать, что . По определению конгруэнции: .
Складывая эти равенства, получаем:
,
Где . Тем самым, сохранение операции сложения доказано.
Умножение: Умножая равенства , получаем:
,
откуда очевидно, что операция умножения также сохраняется при этой конгруэнции.
Для некоторого простого идеала решетки и отношение
также определяет конгруэнцию Корниша.
Доказательство
· - очевидно.
: Пусть для некоторого простого идеала решетки и выполняется отношение , где для некоторых . Тогда , где по определению простого идеала. Или, .
Прибавляя к равенству получим: , что означает выполнимость .
В качестве иллюстрации рассмотрим фактор-решетки и (решетка из примера 2):
1.2 Топологическое пространство

Def4. Пусть дано множество X. Система его подмножеств называется топологией на X, если выполнены следующие условия:
1. Объединение произвольного семейства множеств, принадлежащих , принадлежит , то есть если , то
.
2. Пересечение конечного семейства множеств, принадлежащих , принадлежит , то есть если , то .
3. .
Пара называется топологическим пространством.
Множества, принадлежащие , называются открытыми множествами.
Пример 4. Обозначим через множество всех простых идеалов решетки . Для любого идеала решетки положим
и покажем, что является топологическим пространством с семейством открытых множеств вида .
Множество пусто, а . Пусть - идеалы решетки . Тогда
={
.
Таким образом, на введена топология, названная топологией Стоуна-Зарисского. Топологическое пространство с топологией Стоуна-Зарисского называется простым спектром решетки .
Иллюстрация простого спектра для решетки (Пример1, Рис.1):
Пусть дано множество X. Семейство множеств называется покрытием X, если
Если C -- покрытие множества X, то любое подмножество , также являющееся покрытием X, называется подпокрытием.
Компактное пространство -- это топологическое пространство, в любом покрытии которого открытыми множествами найдётся конечное подпокрытие.
компактное пространство с базисом открытых множеств .
Доказательство Пусть для произвольного семейства идеалов . Тогда и идеал не лежит ни в одном идеале из . Это возможно лишь в случае, когда . Получим, что , значит, , для некоторых , , из семейства . Поскольку идеал содержит 1, то , что означает компактность простого спектра.
Def5. Пусть и -- два топологических пространства. Функция называется гомеоморфизмом, если она взаимно однозначна, а также f и f ? 1 непрерывны, то есть прообраз любого открытого множества при этих отображениях открыт.
Гомеоморфизм называется локальным, если каждая точка обладает окрестностью, гомеоморфно отображающейся на некоторое открытое подмножество пространства .

1.3 Функциональный пучок
Def6. Тройка называется пучком решеток, если выполняются следующие условия:
1) топологические пространства;
2) локальный гомеоморфизм;
3) Для каждой точки множество является решеткой;
4) Решеточные операции непрерывны;
5) Отображения , ставящие каждой точке соответственно ноль и единицу решетки , непрерывны;
Через обозначен полный прообраз точки при отображении , которое называется проекцией.
Решетка называется слоем пучка в точке .
Пространство является объединением своих слоев , причем для различных слои и считаются непересекающимися, хотя и могут быть изоморфными. Такое объединение называется дизъюнктивным и обозначается .
Пространства и называются накрывающим и базисным пространствами соответственно.
Пусть - пучок полуколец над , и - подпространство в . Сечением пучка над называется такое непрерывное отображение , что - тождественное отображение множества . Сечение над открытым подмножеством называется локальным, а сечение, определенное над всем пространством - глобальным.
Поточечная сумма и произведение двух сечений над снова являются сечениями над т.е. для любого множества множество всех сечений над является решеткой. В случае рассмотрения сечений над всем базисным пространством , говор и т.д.................


Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.