На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


реферат Метод конечных элементов

Информация:

Тип работы: реферат. Добавлен: 09.10.2012. Сдан: 2011. Страниц: 5. Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%

Описание (план):


Глава 1 МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ 
 
 

 Метод конечных элементов является численным  методом решения дифференциальных уравнений, встречающихся в физике и технике. Возникновение этого метода связано с решением задач космических исследований (1850 г.). Впервые он был опубликован- в работе Тернера, Клужа, Мартина и Топпа [4]. Эта работа способствовала появлению других работ; был опубликован ряд статей с применениями метода конечных элементов к задачам (строительной механики и механики сплошных сред. Важный вклад в теоретическую разработку метода сделал в 1963 г. Мелош [2], который показал, что метод конечных элементов .можно рассматривать как один из вариантов хорошо .известного метода Рэлея—Ритца. В строительной механике метод конечных элементов минимизацией потенциальной энергии позволяет свести задачу к системе линейных уравнений равновесия.
 Связь метода конечных элементов с процедурой минимизации привела к широкому использованию его при (решении  задач в других областях техники. Метод применялся к задачам, описываемым  уравнениями Лапласа или Пуассона. Решение этих уравнений также  связано с минимизацией .некоторого функционала. В первых публикациях с помощью метода конечных элементов решались задачи распространения тепла. Затем метод был применен к задачам гидромеханики, в частности к задаче течения жидкости в пористой среде.
 Область применения метода конечных элементов  существенно расширилась, когда  было показано [3, 8], что уравнения, определяющие элементы в задачах строительной механики, распространения тепла, гидромеханики, могут быть легко получены с помощью таких вариантов метода взвешенных невязок, как метод Галёркина или способ (наименьших квадратов. Установление этого факта сыграло важную роль в теоретическом обосновании метода конечных элементов, так как (позволило применять его при решении любых дифференциальных уравнений. Следует отметить, что более общие теоретические обоснования исключают необходимость вариационной формулировки физических задач.
 Метод конечных элементов из численной процедуры решения задач строительной механики превратился в общий метод числен-
•того решения дифференциального уравнения  или системы дифференциальных уравнений. Этот прогресс был достигнут за пятнадцатилетний период за счет совершенствования быстродействующих, цифровых 'Вычислительных машин, необходимых для более точного расчета конструкций летательных аппаратов, а также благодаря" помощи Национального комитета по исследованию космического пространства. Вычислительная машина позволила ускорить проведение многих сложных численных расчетов. Изучение космического пространства потребовало выделения средств на проведение фундаментальных исследований и стимулировало совершенствование универсальных вычислительных программ. Метод конечных элементов применяется при проектировании самолетов, ракет, различных пространственных оболочек и т. п.
1.1. Основная концепция метода конечных элементов
 Основная  идея метода конечных элементов состоит  в том, что любую  непрерывную величину, такую, как температура, давление и перемещение, можно аппроксимировать дискретной моделью, которая строится на множестве кусочно-непрерывных функций1'', определенных на конечном числе подобластей. Кусочно-непрерывные функции определяются с помощью значений непрерывной величины; с конечном числе точек рассматриваемой области.
  В общем случае непрерывная величина заранее неизвестна он нужно определить значения этой величины в некоторых  внутренних точках области. Дискретную модель, однако, очень легко построить, если сначала предположить, что числовые значения этой* величины в каждой внутренней точке области известны. После этого можно- перейти к общему случаю. Итак, при построении дискретной модели (непрерывной величины поступают следующим образом:
    В рассматриваемой области фиксируется конечное число точек. Эти точки называются узловыми точками или просто узлами.
    Значение непрерывной величины ев каждой узловой точке считается переменной, которая должна быть определена.
    Область определения непрерывной величины разбивается на конечное число подобластей, называемых элементами. Эти элементы имеют общие узловые точки и в совокупности аппроксимируют форму области.
 4. Непрерывная величина аппроксимируется на каждом элементе полиномом, который определяется с помощью узловых значений этой величины. Для каждого элемента определяется свой полином, но полиномы подбираются таким образом, чтобы сохранялась непрерывность величины вдоль границ элемента1*.
 Основная  концепция метода конечных элементов  может быть наглядно проиллюстрирована  на одномерном примере заданного распределения температуры в стержне, показанном на фиг. I.I. Рассматривается непрерывная величина Т(х), область определения—отрезок- OL вдоль оси х. Фиксированы и пронумерованы пять точек на оси х (фиг. 1.2,а). Это узловые точки; совсем не
 



    Фиг. 1.1. Распределение температуры  в одномерном стержне
    Фиг. 1.2. Узловые точки  и предполагаемые значения Т(х).
обязательно располагать их ша равном расстоянии друг от друга. Очевидно, можно ввести в рассмотрение и более пяти точек, но этих пяти вполне достаточно, чтобы проиллюстрировать основную идею .метода. Значения Т{х) (в данном случае известны в каждой узловой точке. Эти фиксированные значения представлены графически на фиг. 1.2,6 и обозначены в соответствии с номерами узловых точек через Т\, Т2,JV
 Разбиение области на элементы может быть проведено  двумя различными способами. Можно, например, ограничить каждый элемент двумя соседними узловыми точками, образовав четыре элемента (фиг. 1.3, о), или разбить область на два элемента, каждый из которых содержит три узла (фиг. 1.3,6). Соответствующий элементу полином определяется по значениям Т(х) в узловых точках элемента. В случае разбиения области на четыре элемента,, когда на каждый элемент приходится по два узла, функция элемента будет линейна по х (две точки однозначно определяют прямую линию). Окончательная аппроксимация Т(х) будет состоять, из четырех кусочно-линейных функций, каждая из которых определена на отдельном элементе (фиг. 1.4, о).
Другой способ разбиения области  на два элемента с тремя узловыми точками .приводит к представлению функции элемента в виде полинома второй степени. В этом случае окончательной аппроксимацией Т(х) будет совокупность двух кусочно-непрерывных квадратичных функций. Отметим, что это приближение будет имению кусочно-непрерывным, так как углы наклона графиков обеих этих функций .могут иметь разные значения в третьем узле. 


Фиг. 1.5. Моделирование  двумерной скалярной  функции с помощью  треугольных и  четырехугольных  элементов.
Фиг. 1.6. Моделирование двумерной  скалярной fhraaimi с помощью квадратичного треугольного элемента.
 В общем  случае распределение температуры  неизвестно и мы хотим определить значения этой величины в некоторых точках. Методика построения дискретной модели остается точно такой же, как описано выше, но с добавлением одного дополнительного шага. Снова определяются множество узлов л значения температуры в этих узлах Ti, Т2, Тз  которые теперь являются переменными,
 так как они заранее неизвестны. Область  разбивается на элементы, и в каждом мз которых определяется соответствующая функция элемента. Узловые значения Т (х) должны быть теперь «отрегулированы» таким образом, чтобы обеспечивалось «наилучшее» приближение к истинному распределению температуры. Это «регулирование осуществляется путем минимизации некоторой величины связанной с физической сущностью задачи. Если рассматривается задача распространения тепла, то минимизируется функционал связанный с соответствующим дифференциальным уравнением. Процесс минимизации сводится к решению систем линейных алгебраических уравнений относительно узловых значений Т(х).
  При .построении дискретной модели непрерывной величины, •определенной в двух- или трехмерной области, основная концепция метода конечных элементов используется аналогично. В двумерном случае элементы описываются функциями от х, у, при этом чаще (всего рассматриваются элементы в форме треугольника или четырехугольника. Функции элементов изображаются теперь плоскими (фиг. 1.5) или криволинейными (фиг. 1.6) поверхностями. Функция элемента будет представляться плоскостью, если для" данного элемента взято минимальное число узловых точек, которое для треугольного элемента равняется трем, .а для четырехугольного— четырем.
 Если  используемое число узлов больше минимального, то. функции элемента будет соответствовать криволинейная  поверхность. Кроме того, избыточное число узлов- позволяет рассматривать элементы с криволинейными границами. Окончательной аппроксимацией двумерной непрерывной (величины ц>(х, у) будет служить совокупность кусочно-непрерывных поверхностей, каждая из которых определяется на отдельном элементе с помощью значений <р(х, у) в соответствующих узловых точках.
 Важным  аспектом метода конечных элементов  является возможность выделить из набора элементов типичный элемент при определении функции элемента. Это позволяет определять функцию элемента независимо от относительного положения элемента в общей связной модели и от других функций элементов. Задание функции элемента через произвольное множество узловых значений и координат позволяет использовать функции элемента для аппроксимации геометрии области.
1.2. Преимущества и  недостатки
  В настоящее время область применения метода конечных элементов очень обширна и схватывает все физические задачи, которые могут быть описаны Дифференциальными уравнениями. Наиболее важными преимуществами метода конечных элементов, благодаря которым он широко .используется, являются следующие:
    Свойства материалов смежных элементов не должны быть обязательно одинаковыми. Это позволяет применять метод к телам, составленным из нескольких материален.
    Криволинейная область может быть аппроксимирована с помощью прямолинейных элементов иди описана точно с помощью криволинейных элементов. Таким образом, методом можно пользоваться не только для областей с «хорошей» формой границы.
    Размеры элементов могут быть переменными. Это позволяет укрупнить или измельчить сеть разбиения области на элементы, если (в этом есть необходимость.
 4. С помощью метода конечных элементов не представляет труда рассмотрение граничных условий с разрывной поверхностной нагрузкой, а также смешанных граничных условий.
 й. Указанные  выше преимущества метода конечных элементов  могут быть использованы при составлении  достаточно общей прот граммы для  решения частных задач определенного  класса. Например, с помощью программы для осесимметрической задачи о распространении тепла можно решать любую частную задачу этого типа. Факторами, препятствующими расширению круга задач, решаемых методом конечных элементов, являются ограниченность машинной памяти и высокая стоимость вычислительных работ.
 Главный недостаток метода конечных элементов  заключается в (необходимости составления  вычислительных программ и применения вычислительной техники. Вычисления, которые требуется проводить "при использовании метода конечных элементов, слишком громоздки для ручного .счета даже -в случае решения очень простых задач. Для решения сложных задач необходимо использовать быстродействующую ЭВМ, обладающую большой памятью.
 (В  настоящее время имеются технологические  возможности для создания достаточно  мощных ЭВМ. Некоторые коммерческие  и управляющие организации располагают  обширными комплектами вычислительных  программ. Смягчить основной (недостаток  метода конечных элементов .могут  совершенствование вычислительных  программ и создание мощных ЭВМ.
1.3. Структура книги
 Целью этой книги является обсуждение тех  аспектов метода конечных элементов, которые связаны с решением задач механики сплошных сред, в частности задач переноса тепла, гидромеханики, двумерных и трехмерных задач теории упругости. Наряду с основами теории рассматривается реализация метода на ЭВМ, так как конечной целью является получение численного решения физических задач.
 ¦В  следующих шести главах рассматриваются  основные аспекты метода конечных элементов:
 1. Дискретизация области; определение узловых точек и элементов.
2. Определение функции элемента для отдельного элемента.
    Получение из функций элементов кусочно-непрерывной функции, определенной на всей области.
    Составление системы уравнений путем минимизации функционала, связанного с физической задачей.
    Решение указанной системы уравнений относительно узловых значений.
6. Вычисление искомых .величин в элементе.
  Главы 8—12 посвящены приложениям в различных конкретных областях .механики сплошных сред: к задачам распространения тепла и гидродинамики, осесимметрическим задачам теории поля, .нестационарным задачам теории поля и задачам теории упругости. Для иллюстрации основ теории в гл. 6 приводится задача -о кручений цилиндра некругового сечения. В гл. 13—16 рассматриваются элементы высокого порядка. В гл. 17 обсуждается метод Галёркина. Гл. 18 содержит .некоторые вычислительные программы, которые могут быть использованы для решения задач, рассмотренных <в книге. Эта глава должна использоваться совместно с гл. 2 и гл. 6—12. Вычислительные программы в гл. 18 составлены специально для учебных целей. Они не относятся к общим программам, с помощью которых решаются сложные задачи. 

Глава 2 ДИСКРЕТИЗАЦИЯ ОБЛАСТИ 
 
 

 Разбиение области на подобласти представляет собой первый шаг на тута к решению  задачи, и именно этот шаг не имеет теоретического обоснования. Искусство .разбиения области зависит от имеющихся инженерных навыков. Плохое или несовершенное разбиение будет приводить к ошибочным результатам, если даже остальные этапы метода осуществляются с достаточной точностью.
 Дискретизация области (тела) включает задание числа, размеров и формы подобластей, которые используются для построения дискретной модели реального тела. Как инженеры мы сталкиваемся при этом с довольно деликатной ситуацией. С одной стороны, элементы должны быть выбраны достаточно малыми, чтобы получались приемлемые результаты, а с другой стороны, применение достаточно крупных элементов сокращает вычислительную работу. Нужно иметь некоторые общие соображения об окончательных значениях, с тем чтобы можно было уменьшить размеры элементов в тех областях, где ожидаемый результат может очень сильно меняться (большие величины градиентов), н увеличить их там, где ожидаемый результат почти постоянен.
 Навыки  в дискретизации области приходят с опытом. Однако некоторые общие  правила можно сформулировать. Эти .правила и некоторые советы относительно дискретизации и обсуждаются  в этой главе.
2.1. Типы конечных элементов
 При решении задач методом конечных элементов используются элементы различных  типов. Некоторые, наиболее общие из них, обсуждаются в этом разделе. 
 

2.1.1. Одномерные элементы
Простейшим  среди элементов является одномерный элемент. Схематически он обычно изображается в виде отрезка (фиг. 2.1,о), хотя н имеет поперечное сечение. Площадь поперечного сечения может изменяться по длине, но во многих встречающихся задачах она считается постоянной. Наиболее часто такой элемент используются в одномерных задачах распространения тепла и в задачах строительной механики при расчете стержневых элементов конструкций (типа ферм).
Простейший  одномерный элемент имеет два  узла, по одному на каждом конце. Элементы более высокого порядка, трехузловые (квадратичные) и четырехузловые (кубические), изображены па фнг. 2.1,6 и е. Одномерный элемент может быть криволинейным (фиг. 2.1, е) при условии, что длина дуги входит в уравнения, определяющие элементы. 

2.1.2. Двумерные элементы
Для построения дискретной модели двумерной области  используются два основных семейства элементов: треугольники и четырехугольники. Стороны линейных элементов каждого семейства представляют собой прямые линии (фиг. 2.2, о). Квадратичные и кубические элементы могут иметь как прямолинейные, так и криволинейные стороны или те а другие (фиг. 2.2,6). Возможность .моделирования криволинейных границ достигается добавлением узлов в середину сторон элементов. Оба семейства элементов могут быть использованы одновременно внутри области, если только они имеют одинаковое число узлов на стороне (фиг. 2.2, е). Толщина элемента может быть или постоянной, или являться функцией координат.
 


2.1.3. Трехмерные элементы
 Наиболее  часто встречающимися трехмерными  элементами являются тетраэдр и параллелепипед (фиг. 2.3, а и 6). В обоих случаях линейные элементы ограничены прямолинейными сторонами (плоскостями), тогда как элементы более высокого порядка могут иметь в качестве границ криволинейные поверхности. При разбиении трехмерного тела трудно наглядно представить расположение
элементов в дискретной модели, поэтому, вероятно, более желательным из этих двух типов элементов является параллелепипед. 


 На  фиг. 2.3, в показан другой вид элементов, которые используются при рассмотрении тел цилиндрической формы. Эти элементы подобны двумерному треугольнику я позволяют еще учесть изменение неизвестной величины вдоль третьей координаты.  

 



Фиг. 2.4. Осесиметричный конечный элемент
      На  фигуре 2.4 показан элемент, широко используемый в осесиметрических задачах. Этот элемент  образуется поворотом треугольника на 360 градусов. Подобный элемент может  быть получен вращением четырехугольника.
2.2. Разбиение области на элементы
 Процесс дискретизации может быть разделен иа два этапа: разбиение тела иа элементы и нумерация элементов и узлов. Последний -этап логически совершенно прост, но усложняется в связи с нашим желанием повысить эффективность вычислений.
 В этом разделе рассматривается разбиение  двумерной области на линейные треугольные  элементы. Двумерная область выбрана  для удобства иллюстрации; кроме  того, еден, представленные здесь, могут  быть обобщены на случай трехмерного  тела.

Фиг. 2.5. Деление области  треугольного вида иа линейные треугольные  элементы.. 

Дискретизация одномерного тела почти тривиальна, так как она сводится: только1 к делению отрезка на более короткие участки.
 Разбиение двумерного тела на треугольники .выделено потому,, что этот элемент простейший из двумерных элементов в смысле аналитической формулировки. Требование простоты элемента связано с тем, что при моделировании области должно быть использовано большое число элементов, поэтому деление области на треугольники, вероятно, наилучший способ разбиения.
 При разбиении любой двумерной области  на элементы сначала тело делятся  на четырехугольные и треугольные подобласти,, или зоны, которые затем подразделяются на треугольники. Границы между подобластями должны .проходить там, где изменяются геометрия, приложенная нагрузка или свойства материала.
 Наиболее  просто можно разбить треугольную  подобласть на элементы, если выбрать  определенное число узлов вдоль  каждой стороны, соединить соответствующие  узлы прямыми линиями и точки  пересечения этих линий считать  узлами. Треугольная зона, показанная на фиг. 2.5, о, разбита на девять элементов после размещения четырех узлов ша каждой стороне. Узлы на сторонах зоны не обязательно располагать на равных расстояниях. Варьирование-расстояния между ними позволяет изменять размеры элементов.
 Если  треугольная подобласть криволинейная, криволинейные границы элементов  заменяются иа прямые отрезки. Разбиение  криволинейной треугольной зоны иа линейные треугольники показано иа фиг. 2.5,б. Штриховой линией представлена исходная форма, сплошными линиями изображены элементы.
  
  Если  иа стороне треугольной подобласти выбрано п узлов, число треугольных элементов в результате разбиения равняется
  Четырехугольные зоны обычно разбивают та элементы соединением узлов на противоположных сторонах (фиг. 2.6, о). Пересечения линий определяют внутренние узловые точки. Внутренние четырехугольники .могут рассматриваться как элементы; они могут быть разбиты на треугольные элементы проведением короткой .диагонали в каждом внутреннем четырехугольнике (фиг. 2.6. б). -Разбиение с использованием короткой диагонали предпочтительно, глотом у что элементы, близкие по форме к равностороннему треугольнику, приводят к более точным результатам, чем длинные •узкие треугольники.
  Число узлов на смежных сторонах четырехугольника может быть различным, но на противоположных сторонах узлов должно быть поровну, если только сеть разбиения не измельчается (дли укрупняется). Расстояние между граничными узлами можно варьировать, чтобы получать элементы различных размеров. В четырехугольнике будет 2(n—l)(m—1) элементов, если на смежных сторонах его фиксировано nиm узлов.
 Треугольная и четырехугольная подобласти могут  иметь общую границу. Число узлов  на этой границе для обеих подобластей должно быть одинаковым и относительное положение узлов должаю совпадать. Это требование необходимо для сохранения непрерывности рассматриваемых величин .вдоль общей границы элементов.
 Применение  изложенных идей дискретизации проиллюстрировано  на фиг. 2.7. Расстояния между узлами вдоль границ четырехугольной зоны изменяются, так, чтобы элементы вблизи криволинейной части границы были малыми.
 Равномерное .разбиение, когда все элементы имеют одинаковую форму и размеры, обычно не (проводится, потому что существуют концентрация .напряжений, температурные градиенты и т. п. Возможность варьировать размеры элемента важное достоинство метода конечных элементов. Наиболее простой способ существенного изменения размеров элементов заключается в применении четырехугольных подобластей с неравным числом узлов на: противоположных сторонах. Хорошим вариантом является случай, расположения двух узлов ша одной .стороне против каждых трех, узлов на противоположной стороне. Такая подобласть показана, на фиг. 2.8. 

   

 
 В задачах  механики твердого деформируемого тела необходимо  отметить узлы, которые имеют определенные перемещения».
Для обозначения  неподвижных узлов применяется  символ неподвижного шарнира (фиг. 2.9,0). Если узел может перемещаться только, в одном направлении, используется символ подвижного шарнира (фиг. 2.9,6). Подвижные шарниры, изображенные на

            6
¦Фиг. 2.9. Неподвижные узлы и узлы, которые могут перемещаться в одном направлении.
фиг. 2.9,6, допускают перемещения в вертикальном (направлении н не позволяют двигаться  ни в одном из горизонтальных направлений.- Учет узловых условий такого типа осуществляется путем видоизменения  системы уравнений, решение которой  определяет узловые перемещения.
Многие физические задачи не имеют четко установленных  границ области анализа. .В задаче 5 .рассмотрен один из таких примеров—процесс распространения тепла. Земля простирается бесконечно далеко .вниз от тротуара, а  излучающие тепло кабели простираются направо и налево на неопределенное расстояние.
Моделирование тел, бесконечно протяженных в одном  или нескольких направлениях,  представляет  определенную  трудность для (инженера, так как он должен иметь дело с ограниченной моделью. Для анализа следует выбирать при этом достаточно большую область, чтобы вычисляемые вдоль ее границ .величины были согласованы с теми значениями, которые встречаются в физической задаче. В задаче 5, например, необходимо выбрать достаточно большую по глубине область с тем, чтобы значения в узлах, расположенных та значительном расстоянии от кабелей, были равны между собой.
  Вероятно, лучшим руководящим принципом в  данном случае 1являются опыт и .изучение чужого опыта в моделировании подобных неограниченных областей.
2.3. Нумерация узлов
 Нумерация узлов была бы тривиальной операцией, если бы номера узлов не влияли на эффективность вычислений, необходимых для получения решения. Использование метода конечных элементов приводит к системе линейных алгебраических уравнений, большое число коэффициентов которой равно нулю. Рассмотрение матрицы коэффициентов системы показывает, что вое ненулевые коэффициенты н некоторые нулевые находятся между двумя линиями, параллельными главной диагонали (фиг. 2.10). Расстояние
    I Ширина полосы    11
    
      Фиг. 2.10. Ширива полосы матрицы системы уравнений. (С обозначает, ненулевые коэффициенты.)
между главной диагональю и этими линиями  называется шириной полосы матрицы. Все коэффициенты вне этой полосы равны нулю, и они не должны сохраняться  в машинной памяти. Правильная вычислительная программа использует только те коэффициенты матрицы, которые находятся внутри указанной полосы. Уменьшение ширины полосы приводит к сокращению размеров требуемой •машинной памяти, а также к сокращению времени вычислений. Ширина полосы В ..вычисляется по формуле
B=(R+1)Q, (2.1)
где R—-максимальная по элементам величина наибольшей разности, между номерами узлов в отдельном элементе, Q — число неизвестных (число степеней свободы) в каждом узле. Минимизация величины В
и т.д.................


Перейти к полному тексту работы


Скачать работу с онлайн повышением уникальности до 90% по antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru


Смотреть полный текст работы бесплатно


Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.