Здесь можно найти образцы любых учебных материалов, т.е. получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ и рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Лекции Функция многих переменных. Предел и непрерывность функции многих переменных. Частные производные. Дифференцируемость функции. Производная в направлении. Градиент. Локальные экстремумы. Интегральное исчисление функций. Неопределённный интеграл.

Информация:

Тип работы: Лекции. Предмет: Математика. Добавлен: 08.04.2008. Сдан: 2008. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


Функция многих переменных. Предел и непрерывность функции многих переменных. Частные производные.

План.
1. Определение функции многих переменных.
2. Предел функции многих переменных. Непрерывность функции многих переменных.
3. Частные производные.
1. Обозначим через D некоторое множество точек в п-мерном пространстве.
Если задан закон f , в силу которого каждой точке М(х;...;х) D ставится в соответствие число и, то говорят, что на множестве D определена функция и= f(х;...;х).
Множество точек М(х;...;х), для которых функция и= f(х;...;х) определена, называют областью определения этой функции и обозначают D(f).
Функции многих переменных можно обозначать одним символом и=f(М), указывая размерность пространства, которому принадлежит точка М.
Функции двух переменных можно изобразить графически в виде некоторой поверхности.
Графиком функции двух переменных z=f(х;у) в прямоугольной системе координат Оху называется геометрическое место точек в трехмерном пространстве, координаты которых (х;у;z) удовлетворяют уравнению z=f(х;у).
2. Обозначим через (М;М) расстояние между точками М и М. Если п=2, М(х;у), М(х;у), то
(М;М)=.
В п-мерном пространстве
(М;М)=.
Пусть на множестве D задано функцию и=f(М).
Число А называется пределом функции и=f(М) в точке М, если для произвольного числа >0 найдётся такое число >0, что для всех точек М D, которые удовлетворяют условию 0<(М;М)<, выполняется неравенство
.
Свойства пределов функций одной переменной сохраняются и для функций многих переменных, то есть если функции f(М) и g(М) имеют в точке М конечные пределы, то
1. = с,
2. =,
3. =.
4. если .
Заметим, что если предел существует, то он не должен зависеть от пути, по которому точка М стремится к точке М.
Функция и=f(М) называется непрерывной в точке М, если
= f(М).
Функция и=f(М) называется непрерывной на множестве D, если она непрерывна в каждой точке МD.
Точки, в которых непрерывность функции нарушается, называются точками разрыва функция. Точки разрыва могут быть изолированными, создавать линии разрыва, поверхности разрыва и т. д. Например, функция z= имеет разрыв в точке (0;0), а функция z= имеет разрыв на параболе
3. Множество точек М, которые удовлетворяют неравенству (М;М)<, называют -окрестностью точки М.
Пусть функция двух переменных z=f(x;у) (для большего количества переменных всё аналогично) определена в некоторой окрестности точки М (x;у). Дадим переменной х приращение так, чтобы точка (х+;у) принадлежала этой окрестности. При этом функция z=f(x;у) изменится на величину
,
которая называется частичным приращением функции z=f(x;у) по переменной х.
Аналогично величину
называют частичным приращением функции по переменной у.
Если существует предел
,
то его называют частной производной функции z=f(x;у) в точке М (x;у) по переменной х и обозначают такими символами:
,,,.
Аналогично
= .
Из таких определений следует, что правила вычисления производных, совпадают с правилами дифференцирования функций одной переменной. Следует только помнить, что при вычислении частной производной по одной переменной остальные переменные считаются постоянными.
Частные производные характеризуют скорость изменения функции в направлении соответствующих координатных осей.
Частные производные от частных производных , функции z=f(x;у) называются частными производными второго порядка. Функция двух переменных может иметь четыре частные производные второго порядка, которые обозначают так:
, ,
, .
Производные и называются смешанными. Можно доказать, что если они непрерывны, то равны между собой.
Частные производные от частных производных второго порядка называются частными производными третьего порядка и т. д.
Лекция 11. Тема - Дифференцируемость функции. Производная в направлении. Градиент. Локальные экстремумы.

План.
1. Дифференцируемость функции. Полный дифференциал. Дифференциалы высших порядков.
2. Производная в направлении. Градиент и его свойства.
3. Локальные экстремумы функции высших порядков.
1. Пусть функция z=f(x;у) непрерывна в некоторой окрестности точки М (x;у) вместе со своими частными производными (х;у),(х;у). Выберем приращение и так, чтобы точка (х+;у+) принадлежала рассматриваемой окрестности.
Если полное приращение функции z=f(x;у) в точке М (x;у)
= f(x+;у+)- f(x;у)
можно записать в виде
=(х;у)+ (х;у)+,
где - бесконечно малые функции при , , то функция z=f(x;у) называется дифференцированной в точке М (x;у), а линейная относительно и часть её полного приращения называется полным дифференциалом функции и обозначается
dz=+.
Дифференциалами независимых переменных называют приращения этих переменных dх=, dу=. Поэтому
dz= dх + dу,
или в других обозначениях
dz= dх + dу.
Для функции трёх переменных и= f(x;у; z)
dи= dх + dу+ dz.
Полный дифференциал функции z=f(x;у)
dz= dх + dу,
который ещё называют дифференциалом первого порядка, зависит от независимых переменных х, у и от их дифференциалов dх, dу. Заметим, что дифференциалы dх, dу не зависят от х, у.
Дифференциалы второго порядка определяют по формуле
d2 z= d(dz).
Тогда
d2 z= d(dх+ dу)= (dх+ dу) dх+(dх+ dу) dу=dх2+ dу dх+
+ dх dу+dу2,
откуда
d2 z=dх2+2 dх dу+dу2.
Символически это можно записать так:
d2 z=(dх+ dу)2 z.
Аналогично можно получить формулу для полного дифференциала п-го порядка:
dп z= d(dп-1 z) =(dх+ dу)п z.
2. Производная функции z=f(x;у) в направлении вектора вычисляется по формуле
+,
где , - направляющие косинусы вектора :
= , = .
Если частные производные характеризуют скорость изменения функции в направлении соответствующих координатных осей, то производная в направлении вектора определяет скорость изменения функции в направлении вектора .
Градиентом функции z=f(x;у) называется вектор
grad z=(,).
Свойства градиента
1. Производная имеет наибольшее значение, если направление вектора совпадает с направлением градиента, причём это наибольшее значение производной равно .
2. Производная в направлении вектора, перпендикулярного градиенту, равна нулю.
3. Пусть функция z=f(x;у) определена на множестве D и точка М(х;у)D. Если существует окрестность точки М, которая принадлежит множеству D, и для всех отличных от М точек М выполняется неравенство
f(М)< f(М0) (f(М)> f(М0)),
то точку М называют точкой локального максимума (минимума) функции z=f(x;у), а число f(М0) - локальным максимумом (минимумом) этой функции. Точки максимума и минимума функции называют её точками экстремума.
Теорема 5.1 (необходимые условия экстремума). Если функция z=f(x;у) в точке М( х;у) имеет локальный экстремум, то в этой точке частные производные , равны нулю или не существуют.
Точки, в которых == 0, называются стационарными. Стационарные точки и точки, в которых частные производные не существуют, называются критическими.
Поэтому функция может достигать экстремальных значений только в критических точках; однако не всякая критическая точка является точкой экстремума.
Пусть в стационарной точке М( х;у) и некоторой её окрестности функция z=f(x;у) имеет непрерывные частные производные второго порядка. Введём обозначения:
А=( х;у), В=( х;у), С=( х;у), =АС-В2.
Теорема 5.2 (достаточные условия экстремума).
1. Если >0, то функция z=f(x;у) в точке М имеет экстремум, причём максимум при А<0 и минимум при А>0.
2. Если <0, то в точке М нет экстремума.
Для случая, когда количество переменных п>2, пользуются такой теоремой.
Теорема 5.3 Функция и= f(х;...;х) имеет минимум в стационарной точке М, если дифференциал второго порядка этой функции в точке М положителен d2f(М)>0, и максимум, если d2f(М)<0.
Пример. Исследовать на экстремум функцию
z=(х+2)2+(у -1)2.
Решение.
Функция имеет одну критическую точку М(-2;1).
А=2, В=0, С=2,
=АС-В2= 2*2-02= 4>0, А>0.
Значит, в точке М(-2;1) функция имеет минимум: min z=z(-2;1)=(-2+2)2+(1-1)2=0.
Лекция 12. Тема - Интегральное исчисление функций. Первообразная. Неопределённный интеграл. Методы интегрирования.

План.
1. Первообразная функции. Неопределённный интеграл. Свойства неопределённого интеграла.
2. Таблица основных интегралов. Метод подстановки (замены переменной).
3. Интегрирование по частям. Интегралы, которыене берутся.

Интеграл - одно из центральных понятий математики. Оно возникло в связи с двумя задачами: 1) о восстановлении функции по её производной; 2) о вычислении площади криволинейной трапеции. Эти задачи приводят к двум связанным между собой видам интегралов: определённого и неопределённого. Термин ”интеграл” ввёл Якоб Бернулли в 1690 году.
1. Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на некотором промежутке, если во всех точках этого промежутка выполняется равенство F'(x)= f(x).
Например. первообразными функции f(x)=3х2 будут функции х3, х3+1, х3+0,5 и вообще F(x)= х3+С, где С - произвольная постоянная, поскольку F'(x)=( х3+С)'=3х2. Этот пример показывает, что если функция f(x) имеет одну первообразную, то она имеет их бесконечно много. Возникает вопрос: как найти все первообразные данной функции, если известна одна из них? Ответ даёт такая теорема.
Теорема 6.1 Если F(x) - первообразная функции f(x) на некотором промежутке, то всякая другая первообразная функции f(x) на этом промежутке имеет вид F(x) +С, где С - произвольная постоянная.
Множество всех первообразных F(x) +С функции f(x) называют неопределённым интегралом функции f(x) и обозначают . Таким образом, по определению
= F(x) +С, если F'(x)= f(x).
При этом f(x) называют подынтегральной функцией, f(x)dх - подынтегральным выражением, х - переменной интегрирования, знак - знаком интеграла, С - постоянной интегрирования.
Операцию нахождения первообразной функции f(x) называют интегрированием этой функции.
Операции дифференцирования и интегрирования являются обратными по отношению друг к другу.
Возникает вопрос: для каждой ли функции f(x) существует первообразная, а значит, и неопределённый интеграл? Оказывается не для каждой. Но справедлива такая
Теорема 6.2. Всякая непрерывная на промежутке [a;b] функция имеет на этом промежутке первообразную.
СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА
1. ()'= f(x).
2. = F(x) +С.
3. d= f(x)dх.
4. =.
5. Если = F(x) +С и и=- произвольная функция, которая имеет непрерывную производную, то
= F(и) +С.
В частности,
= F(ax+b) +С.
Из очень важного свойства 5 следует, что таблица интегралов остаётся верной независимо от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной или произвольной дифференцированной функцией. Таким образом, из одной формулы можно получать много других.
Пример.
=+С ==+С, ==+С, =+С.
2. ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
1. .
2.
3. а>0, .
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
Непосредственным интегрированием называют вычисление интегралов с помощью основных свойств неопределённого интеграла и таблицы интегралов.
Пример.
Метод подстановки является одним из основных методов интегрирования. Больше того, изучение методов интегрирования в основном сводится к выяснению того, какую подстановку надо сделать в том или ином случае.
Пример.
Этот пример можно было бы решить и так:
Такой метод интегрирования называется методом введения функции под знак дифференциала.
3. Пусть и(х), v(x) - функции, которые имеют на некотором промежутке непрерывные производные. Тогда
d(uv) = udv + vdu
или
udv= d(uv) - vdu.
Интегрируя это равенство, получим
или, учитывая свойство 2 неопределённых интегралов,
.
Эту формулу называют формулой интегрирования по частям.
Укажем некоторые интегралы, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям:
1) в интегралах , где k - натуральное число, за и следует брать хk, а за dv - выражение, которое осталось;
2) в интегралах , следует обозначать dv= хkdx.
Неопределённый интеграл существует для произвольной непрерывной функции f(x), то есть = F(x) +С. Но при этом не всегда первообразная F(x) является элементарной функцией. О таких интегралах говорят, что они ”не берутся”. Например,
= F(x) +С, где F(x) = х - +-+... .
Не берутся такие интегралы:
- интегральный логарифм, - интегральный синус, - интегральный косинус, , - интегралы Френеля и другие.
В связи с этим важно выделить такие классы функций, интегралы от которых всегда выражаются через элементарные функции. Одним из таких классов функций, интегралы от которых всегда ”берутся”, является класс рациональных функций.
Лекция 13. Тема - Элементарные дроби и их интегрирование. Интегрирование некоторых иррациональных и тригонометрических функций.

План.
1. Рациональные функции. Элементарные дроби и их интегрирование.
2. Разложение правильной рациональной дроби на элементарные дроби.
3. Интегрирование некоторых иррациональных и тригонометрических функций.

1. Рациональной функцией или рациональной дробью называют дробь
где Рт(х), Qn(x) - многочлены степени т и п:
Qn(x) = хп+хп -1+...+, Рт(х) = хт+хт -1+...+.
Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя т< п, и неправильной, если тп.
Неправильную дробь всегда можно записать в виде суммы многочлена и правильной дроби.
Поскольку многочлены интегрируются очень легко, то задача интегрирования рациональных функций сводится, таким образом, к интегрированию правильных дробей. Правильные дроби, в свою очередь раскладываются на элементарные дроби. Поэтому рассмотрим интегрирование элементарных дробей.
Различают четыре вида элементарных дробей:
І., ІІ. , ІІІ. , ІV. ,
где п=2,3,..., а трехчлен х2+рх+q не имеет действительных корней, то есть D2-4 q<0.
Рассмотрим, как интегрируются эти дроби.
І.
ІІ.
ІІІ. Пример.
---= -.
2. Как известно из алгебры, многочлен Qn(x) степени п может быть разложен на линейные и квадратичные множители
Qn(x) = (х-х)k(х-хr)k(x2+px+q)l…( x2+p x+q)l,
где , х, p, q - действительные числа; k, I - натуральные числа; k+…+ k+2(I+…+ I)=n, р2- 4 q<0.
Рассмотрим правильную рациональную дробь
знаменатель которой уже разложен на линейные и квадратичные множители. Тогда эту дробь можно разложить на сумму элементарных дробей по таким правилам:
1) множителю (х-а) k соответствует сумма дробей вида
++…+;
2) множителю (x2+px+q) I соответствует сумма дробей вида
++…+,
где А, М, N - неопределённые коэффициенты.
Искать эти неопределённые коэффициенты можно исходя из того, что равные многочлены имеют равные коэффициенты при одинаковых степенях х.
Пример. Вычислить интеграл
.
Решение.
+,
х+5=А(х+2)+В(х+1),
А=4, В=-3.
= 4-3= 4ln-3ln+C.
3. 1. Интегралы вида
где R(х, у) - рациональная функция относительно х и у, , сводятся к интегралам от рациональных функций с помощью подстановки
ax+b=t.
2. Интегралы вида
где R - рациональная функция, p, q - целые числа, сводятся к интегралам от рациональных функций с помощью подстановки
=t,
где п - общий знаменатель дробей ,,… .
3. Интегралы вида
(6.1)
всегда сводятся к интегралам от рациональных функций с помощью, так называемой, универсальной тригонометрической подстановки
, , ,
х=2arctgt, dx=.
Замечание. Универсальная тригонометрическая подстановка всегда приводит к цели, но в силу своей универсальности она часто требует неоправданно громоздких вычислений. Поэтому во многих случаях удобнее пользоваться другими подстановками. Рассмотрим некоторые из них.
1) Если в интеграле (6.1) R(-sin x, cos x)= - R(sin x, cos x), то удобно делать подстановку cos x=t.
2) Если R(sin x,-cos x)= - R(sin x, cos x), то удобно делать подстановку sin x=t.
3) Если R(-sin x, -cos x)= R(sin x, cos x), то удобно делать подстановку
tg x=t, , ,
х=arctgt, dx=.
4. Рассмотрим более детально интегралы вида
,
где т, п - целые числа.
1) Если т - нечётное положительное число, то удобно делать подстановку cos x=t.
2) Если п - нечётное положительное число, то удобно делать подстановку sin x=t.
3) Если оба показателя т и п - чётные неотрицательные числа, то надо делать понижение степени синуса и косинуса по формулам
, .
4) Для нахождения интегралов вида
,
удобно пользоваться формулами
5. В интегралах
, , ,
надо подынтегральную функцию записать в виде суммы функций с помощью формул
Лекция 14. Тема - Задача о площади криволинейной трапеции. Определённый интеграл его геометрический смысл и свойства.
Формула Ньютона-Лейбница.

План.
1. Задача о площади криволинейной трапеции. Определение и существование определённого интеграла.
2. Геометрический смысл определённого интеграла. Свойства определённого интеграла.
3. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.
1. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная линией у= f(x) и прямыми х=а, х=b, у=0. Будем считать, что f(x)на [a;b].
у у= f(x)


0 а х хх b x
Разобьём отрезок [a;b] произвольным образом на п частей точками а=х<x<…< х< х<… <х=b.
На каждом отрезке [х; х] возьмём произвольную точку и вычислим значение f(). Тогда площадь Sзаштрихованного прямоугольника, будет равна
S= f(), где = х- х.
Площадь S всей трапеции приблизительно равна
S.
Пусть . Естественно считать, что
S. (6.2)
К пределам вида (6.2) приводят много других задач, поэтому возникает необходимость всестороннего изучения таких пределов независимо от конкретного содержания той или иной задачи.
Пусть функция у= f(x) определена на отрезке [a;b]. Разобьём этот отрезок на п произвольных частей точками
а=х<x<…< х< х<… <х=b.

На каждом из созданных отрезков [х; х] возьмём произвольную точку и составим сумму
, где = х- х,
которую будем называть интегральной суммой функции f(x).
Обозначим . Если существует конечный предел интегральной суммы , при , который не зависит ни от способа разбиения отрезка [a;b], ни от выбора точек, то этот предел называется определённым интегралом функции f(x) на отрезке [a;b] и обозначается символом, где функция f(x) называется интегрированной на отрезке [a;b].
То есть, по определению,
=.
Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределом интегрирования.
Относительно существования определённого интеграла имеет место такая теорема
Теорема 6.3. Если функция f(x) ограничена на отрезке [a;b] и непрерывна на нём везде, кроме конечного числа точек, то она интегрируема на этом отрезке.
2. Если f(x), то равен площади соответствующей криволинейной трапеции: =S. Если f(x)<0, то = -S.
Отсюда следует, что если на симметричном относительно начала координат отрезке [-a;а], а>0 задана нечётная функция, то=0. Например, Если функция f(x) чётная, то =2.
Свойства определённого интеграла
Будем считать, что все интегралы, которые рассматриваются, существуют.
1. =. Величина определённого интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования.
2. =0.
3. = -.
4. =+.
5. =А.
6. =.
7. Если на отрезке [a;b] f(x), то .
8. Если т и М - соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x), на отрезке [a;b], то
т(b-a) M(a-b) и т.д.................


Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.