На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Курсовик Особенности решения алгебраических, нелинейных, трансцендентных уравнений. Метод половинного деления (дихотомия). Метод касательных (Ньютона), метод секущих. Численные методы вычисления определённых интегралов. Решение различными методами прямоугольников.

Информация:

Тип работы: Курсовик. Предмет: Математика. Добавлен: 15.02.2010. Сдан: 2010. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


1
Содержание

    Решение алгебраических, нелинейных и трансцендентных уравнений
      Метод половинного деления (дихотомия)
      Метод простых итераций
      Метод касательных (Ньютона)
      Метод секущих
    Численные методы вычисления определённых интегралов
      Метод левых прямоугольников
      Метод правых прямоугольников
      Метод средних прямоугольников
      Метод трапеций
      Метод Симпсона
    Приближение функций
      Интерполяция
      Аппроксимация
      Список использованной литературы
Решение алгебраических, нелинейных и трансцендентных уравнений
Пусть задана непрерывная функция f(х) и требуется найти все или некоторые корни уравнения
f(x)=0. (1)
Эта задача распадается на несколько задач. Во-первых, надо исследовать количество, характер и расположение корней. Во-вторых, найти приближенные значения корней. В-третьих, выбрать из них интересующие нас корни и вычислить их с требуемой точностью.
Первая и вторая задачи решаются аналитическими и графическими методами.
Когда ищутся только действительные корни уравнения, то полезно составить таблицу значений f(x). Если в двух соседних узлах таблицы функция имеет разные знаки, то между этими узлами лежит нечетное число корней уравнения (по меньшей мере, один). Если эти узлы близки, то, скорее всего, корень между ними только один. Но выявить по таблице корни чётной кратности** Кратными корнями называются совпадающие по значению корни. Например, известно, что уравнение y=x2 имеет корень x=0, но правильнее утверждать, что это уравнение имеет 2 кратных корня x1=0 и x2=0. сложно. По таблице можно построить график функции у=f(х) и графически найти точки его пересечения с осью абсцисс. Этот способ более нагляден и дает неплохие приближенные значения корней. Во многих задачах техники такая точность уже достаточна. В технике еще популярны графические методы решения уравнений (номография). Построение графика позволяет выявить даже корни чётной кратности.
Иногда удается заменить уравнение (1) эквивалентным ему уравнением (х)=(х), в котором функции y1=(х) и y2=(х) имеют несложные графики. Например, уравнение хsinх--1=0 удобно преобразовать к виду sinx=l/x. Абсциссы точек пересечения этих графиков будут корнями исходного уравнения.
Приближенные значения корней уточняют различными итерационными методами. Рассмотрим наиболее эффективные из них.
Метод половинного деления (дихотомия)
Пусть мы нашли такие точки a и b что f(a)f(b)0, т. е. на отрезке [a,b] лежит не менее одного корня уравнения. Найдем середину отрезка xc=(a+b)/2 и вычислим f(xc). Из двух половин отрезка выберем ту, для которой f(xc)f(a или b)0, т.е. отрезок на котором функция меняет знак. Затем новый отрезок опять делим пополам и выберем ту половину, на концах которой функция имеет разные знаки, и т. д. (рис. 1).
Если требуется найти корень с точностью , то продолжаем деление пополам до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше 2. Тогда середина последнего отрезка даст значение корня с требуемой точностью. Дихотомия проста и очень надежна: к простому корню она сходится для любых непрерывных функций f(x), в том числе недифференцируемых; при этом она устойчива к ошибкам округления. Скорость сходимости невелика: за одну итерацию точность увеличивается примерно вдвое, т. е. уточнение трех цифр требует 10 итераций (т.к. длина отрезка, на котором лежит корень, после 10 итераций равна 1/210=1/102410-3). Зато точность ответа гарантируется.
Перечислим недостатки метода.
1. Для начала расчета надо найти отрезок, на котором функция меняет знак.
2. Если в этом отрезке несколько корней, то заранее неизвестно, к какому из них сойдется процесс (хотя к одному из них сойдется).
3. Метод неприменим к корням четной кратности.
4. Для корней высокой нечетной кратности он сходится, но менее точен и хуже устойчив к ошибкам округления, возникающим при вычислении f(x).
5. Наконец, на системы уравнений дихотомия не обобщается.
Утверждение 1. С помощью данного метода невозможно найти корни чётной кратности.
Доказательство.
Чётно кратный корень это корень уравнения вида
(x+a)2n=0, где n - целое, n[0,]. (2)
Решением этого уравнения будет корень x=-a кратности 2n. В общем виде уравнение может иметь как чётно, так и нечётно кратные корни. Можно записать общий вид уравнения имеющего (k+m) только действительных корней так:
(x+x1)2n1(x+x2)2n2…(x+xk)2nk(x+xk+1)2n(k+1)+1(x+xk+2)2n(k+2)+1…(x+xk+m)2n(k+m)+1=0, (3)
где n1,…,n(k+m) [0,] - целые числа; x1 x2… xk+m.
В уравнении (3) k чётно кратных и m нечётно кратных корней. Оно раскладывается на (k+m) уравнений, из которых легко получаются корни. Если задать начальный отрезок [-x1-r,-x1+r], где r - мало, и проверить условие смены знака функции на его границах, то обнаружим, что знак не меняется в силу чётности степени. А если аналогично проверить нечётно кратные корни, то получим обратную ситуацию.
Следствие 1.
Если корень имеет чётную кратность, то на границах бесконечно малого отрезка с центром в этом корне функция имеет одинаковые знаки.
Следствие 2.
Если корень имеет нечётную кратность, то на границах бесконечно малого отрезка с центром в этом корне функция имеет разные знаки.
Пусть на заданном отрезке [a,b] лежит 1 корень чётной кратности, тогда в силу следствия 1 на границах отрезка знак меняться не будет, что означает остановку выполнения итераций и недостижение необходимой точности. Если же на отрезке [a,b] лежит 1 чётно кратный корень и 1 нечётно кратный корень, то чётно кратный корень будет просто игнорирован методом, т.к. условие смены знака являющееся также основным условием, с помощью которого определяется корень на текущем полуотрезке, в силу следствия 1 не выполнится. Следовательно, чётно кратный корень не может быть найден с помощью данного метода.
Утверждение 2. Если на концах начального отрезка значения функции имеют один знак, то метод может не сойтись, то есть, возможно, ни один из корней не будет найден с заданной точностью.
Доказательство.
Первым вариантом постоянства знака функции на границах отрезка является отсутствие корня на нём, поэтому исключим этот случай как тривиальный, будем считать, что на отрезке хотя бы один корень существует. Вторым вариантом - существование чётного количества корней.
Если f(a)f(b)0, то продолжать итерации невозможно, т.к. условие смены знака не подтверждается. Если же, тем не менее, на первом шаге не проверять условие смены знака и разделить отрезок пополам, то может возникнуть ситуация, в которой корни распределяться по чётному количеству в каждой половине отрезка. А чётное количество корней означает чётное количество пересечений оси Ox, даже если существуют кратные корни.
Следовательно, условие смены знака вновь не подтвердится для обеих половинок исходного отрезка. Следовательно, дальнейшие итерации не будут выполнены, и не будет достигнута заданная точность.
Утверждение 3. Если на концах начального отрезка значения функции имеют разные знаки, то будет найден с заданной точностью один из корней лежащих на нём.
Доказательство.
В силу утверждения 1 будем рассматривать только корни нечётной кратности. Так как функция меняет знак на концах отрезка, предположим, f(a)?0, f(b)?0. Тогда если f(xc)?0, то для дальнейшего приближения выберем отрезок [xc,b], т.к. f(b)f(xc)?0. Если же f(xc)?0, то для дальнейшего приближения выберем отрезок [a,xc], т.к. f(a)f(xc)?0.Для второго случая, когда f(a)?0, f(b)?0 аналогично доказывается существование одного из полуотрезков, на котором функция меняет знак. Из чего следует, что после каждой итерации для одного из полуотрезков условие смены знака обязательно будет выполнено. Следовательно, нет причин для остановки итерационного процесса, который завершится лишь по достижении заданной точности.
Построим блок-схему алгоритма вычисления корня уравнения вида (1) с помощью метода дихотомии. Пусть на начальном отрезке [a,b] функция меняет знак, т.е. на этом отрезке существует нечётное количество нечётно кратных корней. Пример такой функции изображён на рис. 1. Необходимо найти корень xт с точностью е. Будем считать xт точным значением корня, xч - значение корня полученное данным методом, тогда задача считается выполненной, если xч[xт-е,xт+е].
1
Дихотомия применяется тогда, когда требуется высокая надежность счета, а скорость сходимости малосущественна.
Метод простых итераций
Основной принцип метода заключается в том, что уравнение (1) представляется в виде:
x=ц(x), (4)
где ц(x) можно определить многими способами, например, так:
ц(x)=x-бf(x), б=const, или
ц(x)=x+ш(x)f(x),
где ш(x) - произвольная, непрерывная, знакопостоянная функция на отрезке [a,b].
Метод простых итераций в силу (4) определяется следующей рекурсивной формулой:
1
xn+1=ц(xn), где n=0,1,2,… (5)
Здесь n имеет смысл номера итерации, x0 - некоторое начальное приближение. Из (5) видно, что если xn>xт, то этот предел и есть корень уравнения (рис. 2).
Пусть в окрестности точки xт (xт-Д,xт+Д), где Д>0 функция ц(x) удовлетворяет условию Липшица:
|ц(x2)-ц(x1)|?q|x2-x1| (6)
для любых x2,x1(xт-Д,xт+Д),
0<q<1, (7)
при этом x0(xт-Д,xт+Д), (8)
причём, (xт-Д,xт+Д) [a,b].
В связи с этим допущением можно сделать несколько утверждений.
Утверждение 1.
Полученные с помощью (5) xn(xт-Д,xт+Д) для любого целого n?0.
Доказательство
В силу (8)
|x0-xт|<Д,
из (5),(6) и (7) получим
|x1-xт|=|ц(x0)-ц(xт)|?q|x0-xт|,
|x2-xт|=|ц(x1)-ц(xт)|?q|x1-xт|?q2| x0-xт|,
|xn-xт|=|ц(xn-1)-ц(xт)|?q|xn-1-xт|?q2| xn-2-xт|?…? qn| x0-xт|<Д, (9)
Из последнего неравенства |xn-xт|<Д следует, что для любого целого n?0 верно утверждение 1.
Утверждение 2.
Последовательность {xn} сходится при n>? к пределу xт, являющемуся корнем уравнения.
Доказательство.
В силу (5) и (6):
|xn+m-xn|=|ц(xn+m-1)-ц(xn-1)|?q|xn+m-1-xn-1|?q2|xn+m-2-xn-2|?…?qn|xm-x0| (10)
Следовательно, в силу (7) для любого целого
m?0
Значит в силу признака Коши** Признак Коши. Для того чтобы последовательность {xn} имела предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого как угодно малого положительного числа е существовал такой номер N=Nе, при котором для любых n?N и всех целых положительных m выполнялось неравенство |xn+m-xn|<е, другими словами предел существует . Докажем теперь, что xlim=xт. Из (10) следует (для определённости возьмём m=1), что , т.е. при n>? xlim=xn+1=xn, а в силу (5) xn+1=ц(xn) => xlim=xn=ц(xn) => xlim=ц(xlim). Из этого равенства следует, что xlim есть корень уравнения (4), т.е. xlim=xт.
Утверждение 3.
На интервале (xт-Д,xт+Д) существует только 1 корень уравнения (2).
Доказательство.
Пусть существует 2 корня
x1 и x2?x1, тогда в силу (4) x1=ц(x1), x2=ц(x2).
Из (6) следует |x2-x1|=|ц(x2)-ц(x1)|?q|x2-x1|, т.е. |x2-x1|?q|x2-x1|.
Из этого следует, что q=1, а это противоречит (7). Следовательно, корень только 1.
Следует так же отметить, что если ц(x) имеет на интервале (xт-Д,xт+Д) непрерывную производную, то (6) выполняется, когда
|ц?(x)|?q => |ц?(x)|<1 для x(xт-Д,xт+Д). (11)
Если |ц?(xт)|<1, x0(xт-Д,xт+Д), то итерации сойдутся.
Если |ц?(xт)|>1, то в силу непрерывности производной |ц?(x)|>1 и на некотором интервале (xт1,xт1), поэтому итерации не сойдутся к корню. Если же |ц?(xт)|<1, но x0(xт-Д,xт+Д), т.е. |ц?(x0)|>1, то в данном случае о сходимости процесса можно судить только после дополнительного анализа функции ц(x).
Как и при поиске решения методом дихотомии будем считать задачу выполненной, если найденное некоторое значение xч[xт-е,xт+е], где е - заданная точность. Для определения того, когда можно прекратить итерации, т.е. когда достигнута заданная точность, подробнее рассмотрим неравенство (9). По сути, нам необходимо добиться выполнения следующего неравенства:
|xn+1-xт| ? е, (12)
а в силу того, что из (9) можно получить неравенство
|xn+1-xт| ? qn+1|x0-xт|,
где q можно определить как для любого целого n?1, выведем условие достижения заданной точности (12). Введём обозначения
дn+1=|xn+1-xт|. Из (9) ,
а так же очевидно, что д0n+1=|x0-xn+1|=о, тогда:
д0n+1
дn+1=gд=g(дn+1+о)



. (13)
Неравенство (13) является условием остановки процесса итераций, т.е. условием достижения заданной точности. В завершение рассмотрения данного метода остаётся только построить блок-схему его алгоритма. Будем считать, что |ц?(xт)|<1, x0(xт-Д,xт+Д).
1
1
Метод касательных (Ньютона)

1

Метод Ньютона называют также методом касательных и методом линеаризации. Суть метода заключается в том, что в точке приближения к функции строится касательная (Рис. 3). Следующая точка приближения - это точка пересечения полученной прямой с осью Ox. Процесс продолжается вплоть до достижения заданной точности.
Из рисунка очень легко получить итерационную формулу метода, используя геометрический смысл производной. Если f(x) имеет непрерывную производную f'(x)?0, тогда получим
Аналогично получаем x2, x3, и т.д. Таким образом, можем записать общую формулу:
Метод Ньютона можно рассматривать, как частный случай метода простых итераций, если задать
.
В этом случае
Условие сходимости метода простых итераций можно переписать для метода Ньютона следующим образом:
(14)
Рассуждения по поводу выбора начального приближения в методе Ньютона такие же, как и в методе простых итераций, только вместо (11) используется (14). Для данного метода также применимо (13). Напишем блок-схему алгоритма метода Ньютона.
1
1
Метод секущих

1

В данном методе, в отличие от метода Ньютона, проводятся не касательные, а секущие (Рис. 4).
Из рисунка легко получить итерационную формулу:
. (15)
В качестве начального приближения необходимо задать не только x0, но и x1. Метод секущих имеет одно преимущество перед методом Ньютона - здесь не нужно вычислять производную. Но этот метод имеет также существенные недостатки. Сходимость итераций может быть немонотонной не только вдали от корня, но и в малой окрестности корня.
В знаменателе формулы (15) стоит разность значений функции. Вдали от корня это не существенно; но вблизи корня, особенно корня высокой кратности, значения функции малы и очень близки. Возникает потеря значащих цифр, приводящая к «разболтке» счёта. Это ограничивает точность, с которой можно найти корень; для простых корней это ограничение не велико, а для кратных может быть существенным.
От «разболтки» страхуются так называемым приёмом Гаврика. Выбирают не очень малое е, ведут итерации до выполнения условия |xn+1-xn|<е и затем продолжают расчёты до тех пор, пока |xn+1-xn| убываю и т.д.................


Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.