На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


методичка Изучение численных методов приближенного решения нелинейных систем уравнений. Составление на базе вычислительных схем алгоритмов; программ на алгоритмическом языке Фортран - IV. Приобретение практических навыков отладки и решения задач с помощью ЭВМ.

Информация:

Тип работы: методичка. Предмет: Математика. Добавлен: 27.11.2009. Сдан: 2009. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации
Саратовский государственный технический университет

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Методические указания

к самостоятельной работе по курсу «Высшая математика»

для студентов всех специальностей

под контролем преподавателя

Одобрено

редакционно-издательским советом

Саратовского государственного

технического университета

Саратов 2008

Введение

Данная работа ориентирована на изучение некоторых численных методов приближенного решения систем нелинейных уравнений с любым числом уравнений, составление на базе этих методов вычислительных схем алгоритмов и программ на алгоритмическом языке ФОРТРАН - IV.

Методические указания могут быть использованы как в процессе выполнения курсовой работы, так и для решения практических задач.

Задача настоящих указаний состоит в том, чтобы научить студентов решать системы нелинейных уравнений с помощью ЭВМ и затем полученные навыки использовать в курсовом и дипломном проектировании.

Предполагается, что студенты прослушали лекционный курс по основам алгоритмического языка ФОРТРАН - IV.

В качестве справочного пособия по языкам программирования может быть использована литература. [5]

Численные методы для решения нелинейных уравнений

Цель работы: изучение численных методов приближенного решения нелинейных систем уравнений, составление на базе вычислительных схем алгоритмов; программ на алгоритмическом языке ФОРТРАН - IV, приобретение практических навыков отладки и решения задач с помощью ЭВМ.

1. Определения и условные обозначения

- конечномерное линейное пространство, элементами (точками, векторами) являются группы из упорядоченных действительных чисел, например:

где - действительные числа, .

В введена операция сложения элементов, т. е. определено отображение ,

где

Оно обладает следующими свойствами:

1. ,

2. ,

3. , что (элемент называется нулевым),

4. , что (элемент называется противоположным элементу ).

В введена операция умножения элементов на действительные числа, т.е. определено отображение ,

где

Оно обладает следующими свойствами:

1. ,

2.

Операции сложения элементов и умножения их на числа удовлетворяют законам дистрибутивности:
1. ,
2. .
Каждой паре элементов поставлено в соответствие действительное число, обозначаемое символом и называемое скалярным произведением, где
и выполнены следующие условия:
1. ,
2. ,
3. ,
4. , причем - нулевой элемент.
Матрица вида
, (1)
где - действительные числа (,) определяет линейный оператор, отображающий линейное пространство в себя, а именно, для
,
где .
Над линейными операторами, действующими в линейном пространстве , вводятся следующие операции:
1. сложение операторов , при этом, если , то ,
2. умножение операторов на числа: при этом, если , то ,
3. умножение операторов: , при этом, если , то .
Обратным к оператору называется оператор такой, что , где - единичный оператор, реализующий тождественное отображение, а именно,
.
Пусть число и элемент , таковы, что .
Тогда число называется собственным числом линейного оператора , а элемент - собственным вектором этого оператора, соответствующим собственному числу .
Линейный оператор называется сопряженным к оператору , если для любых элементов выполняется равенство .
Для всякого оператора сопряженный оператор существует, единствен; если , то .
Справедливы равенства:
1. ,
2. ,
3. ,
4. , если существует.
Каждому элементу ставится в соответствие действительное положительное число, обозначаемое символом и называемое нормой элемента .
Введем в рассмотрение три нормы для :
,
,
.
При этом выполняются следующие неравенства:
.
Норма элемента удовлетворяет следующим условиям (аксиомам нормы):
1. , причем , лишь если ,
2. ,
3. .
Говорят, что последовательность элементов сходится к элементу ,
а именно, ,
или ,
если .
Определенная таким образом сходимость в конечномерном линейном пространстве называется сходимостью по норме.
Множество элементов , удовлетворяющих неравенству называется замкнутым (открытым) шаром в пространстве с центром в точке и обозначается .
Каждому линейному оператору, определяемому квадратной матрицей (1), ставится в соответствие действительное неотрицательное число, обозначаемое символом и называемое нормой линейного оператора .
Норма линейного оператора удовлетворяет следующим условиям аксиомам норм:
4.4 , причем , лишь если - нулевая матрица,
4.4 ,
4.4 .
Введем в рассмотрение три нормы для А отображающего в :
,
,
,
где i-ое собственное значение матрицы .
Эти нормы линейного оператора А согласованы с соответствующими нормами элемента (вектора) в смысле условия .
2. Основные сведения о системах нелинейных уравнений в

Общая форма систем нелинейных уравнений в имеет вид:
(2)

или F(x) = 0,
где - заданные функции n переменных, - неизвестные.
Функция при действительных значениях аргументов принимают действительные значения, т.е. являются действительнозначными. Вычислять будем только действительные решения.
Решением системы нелинейных уравнений (2) называется совокупность (группа) чисел , которые, будучи подставлены на место неизвестных , обращают каждое уравнение системы в тождество.
Частным случаем системы (2) является система линейных уравнений:
или ,
где А - матрица вида (1), порождающая линейный оператор, отображающий в
Система линейных уравнений (2) поставим в соответствие линеаризованное уравнение (первые два члена из разложения в ряд Тейлора (2)) в точке вида
(2)
или ,
где - квадратная матрица Якоби, составленная из частных производных первого порядка функций, а именно , вычисленных точке .
Для дальнейшего нам потребуется еще одна форма записи системы нелинейных уравнений в , а именно:
(3)

или ,
где .
Операции, с помощью которых осуществляется преобразование системы (2) к системе (3), могут быть любыми, необходимо только, чтобы искомое решение системы (3) удовлетворяло системе (2).
Функции удовлетворяют тем же условиям, что и функции .
3. Отделение решений

Задача отделения решений систем нелинейных уравнений состоит в определении достаточно малой окрестности (шара малого радиуса, центром которого является решение) около какого-нибудь одного решения и в выборе в этой окрестности начального приближения к решению. Начальное приближение должно попасть при этом в область сходимости метода.
Задача отделения решений не имеет достаточно эффективных методов общего характера. При решении уравнения предполагается знание начальных приближений к изолированному решению из постановки конкретной задачи. Если же таких данных нет, то можно дать лишь некоторые рекомендации для конкретных видов уравнений.
Так, если дано скалярное уравнение , то его решение с геометрической точки зрения можно рассматривать как абсциссы точек пересечения графика функции с осью абсцисс. Построив график функции y=f (x), приближенно определяем окрестности изолированных точек пересечения графика с горизонтальной осью. Сами точки пересечения берем за начальные приближения к точным решениям.
Безусловно, графические построения имеют большие погрешности, и выбранные начальные приближения могут не попасть в область сходимости применяемого метода.
Тогда нужно провести пробные решения на ЭВМ выбранным методом с исследованием сходимости.
Если приближения сходятся, то начальные приближения выбраны в области сходимости метода и можно получить приближенное решение с заданной точностью.
Если приближения расходятся, следует провести более точные графические построения и выбрать начальное приближение в области сходимости.
Аналогично отделяются решения для системы двух нелинейных уравнений
, .
В этом случае на плоскости x,y строятся линии уровня функции двух переменных и . Координаты точек пересечения графиков этих функций дают начальные приближения изолированных решений.
4. Методы решения нелинейных уравнений
4.1 Метод простой итерации

Метод простой итерации (см. [1]) применяется для решения систем нелинейных уравнений с любым числом уравнений. Его можно применять как для уточнения найденного решения, так и для первоначального нахождения решения. В последнем случае, однако, метод может не дать результата.
Для применения метода простой итерации система уравнений (2) приводится к виду (3).
Затем, взяв начальное приближение , которое предполагается либо известным, либо произвольным, строим последовательность
(4)
по следующим формулам
(5)
Замечание. Для приведения системы уравнений (2) к виду (3) можно использовать прием:
где - релаксационный параметр, определяется методом Зейделя.
4.2 Метод Зейделя

Метод Зейделя отличается от метода простой итерации тем, что вычисления ведутся по формулам:
и т.д.................


Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.