Здесь можно найти учебные материалы, которые помогут вам в написании курсовых работ, дипломов, контрольных работ и рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.
Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение оригинальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения оригинальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, РУКОНТЕКСТ, etxt.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии так, что на внешний вид, файл с повышенной оригинальностью не отличается от исходного.
Результат поиска
Наименование:
курсовая работа Метод половинного деления
Информация:
Тип работы: курсовая работа.
Добавлен: 12.10.2012.
Год: 2010.
Страниц: 9.
Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%
Описание (план):
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Паскаль
? один из наиболее распространенных
процедурно-ориентир ванных языков
программирования 80 - 90-х годов, имеет
свою достаточно интересную историю, начало
которой положило объявление в 1965 г. конкурса
по созданию нового языка программирования
- преемника Алгола - 60. Участие в конкурсе
принял швейцарский ученый Николаус Вирт,
который работал на факультете информатики
Стэндфордского университета. Проект,
предложенный им, был отвергнут комиссией
в 1967 г. Но Вирт не прекратил работу. Вернувшись
в Швейцарию, совместно с сотрудниками
Швейцарского федерального института
технологии в Цюрихе, он уже в 1968 г. разработал
новую версию языка Паскаль, названного
так в честь великого французского математика
и механика Блеза Паскаля, создавшего
в 1642 г. первую счетную машину. В 1971 г. Н.
Вирт выпустил описание своего языка,
а в 1975 г. было разработано руководство
для пользователей версии Паскаля, которая
практически легла в основу стандарта
языка. Но стандарт языка появился только
в 1982 г.
Предназначенный
для обучения, язык оказался очень
простым и одновременно строгим.
Однако вскоре выяснилось, что он также
является достаточно эффективным в самых
различных приложениях. Pascal поддерживает
самые современные методологии проектирования
программ (нисходящее, модульное проектирование,
структурное программирование). В связи
с этим появились многочисленные реализации
языка для разных машинных архитектур
и наиболее удачной и популярной оказалась
разработка фирмы Borland International для персональных
IBM - совместимых ЭВМ. Эта реализация языка
получила название Turbo Pascal (Турбо Паскаль)
и имеет уже несколько версий.
Turbo
Pascal представляет собой систему
программирования, включающую в себя текстовый
редактор, компилятор, компоновщик, загрузчик,
отладчик, файловую систему, системную
библиотеку, справочную систему. Все эти
компоненты объединены в интегрированную
среду с многооконным интерфейсом и развитой
системой меню, что обеспечивает высокую
производительность труда программиста
при создании программ производственного,
научного и коммерческого назначения.
1.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Написать
программу на языке программирования
Pascal, выполняющую решение нелинейного
уравнения. Результат работы программы
должен выводиться на экран и в файл.
В программе реализовать следующее
меню:
1-Ввести данные
из файла
2-Ввести данные
с клавиатуры
3-Отобразить
результат
4-Сохранить
результат в файл
0-Выход
Отладить
программу на уравнении f(x)=x2-x-6
с точностью 0,001
2.
ВЫБОР И ОПИСАНИЕ
МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ
Процесс
нахождения приближенного значения
корней уравнения можно подразделить
на два этапа 1) отделение корней;
2) уточнение корней до заданной степени
точности. Корень ? считается отделённым
на отрезке [a,b], если на этом отрезке уравнение
:
метод половинного деления, Ньютона
2.1.
МЕТОД ПОЛОВИННОГО ДЕЛЕНИЯ
Пусть
дано уравнение f(x) = 0, где f
(х) – непрерывная функция. Требуется
найти корень этого уравнения ? с точностью
до ?, где е – некоторое положительное
достаточно малое число.
Будем
считать, что корень ? отделен и находится
на отрезке [а, b], т. е. имеет место
неравенство а ? ? ? b. Числа
а и b – приближенные значения корня
? соответственно с недостатком и с избытком.
Погрешность этих приближений не превышает
длины отрезка b – а. Если b
– а ??, то необходимая точность вычислений
достигнута, и за приближенное значение
корня ? можно принять либо а, либо
b. Но если b – а > ?, то требуемая
точность вычислений не достигнута и необходимо
сузить интервалов котором находится
корень ?, т. е. подобрать такие числа
а и b, чтобы выполнялись неравенства
a < ? < b и . При вычисления следует прекратить и за
приближенное значение корня с точностью
до ? принять либо а, либо b. Следует
отметить, что значение корня будет более
точным, когда за приближенное значение
корня приняты не концы отрезка а и
b, а середина этого отрезка, т.е. . Погрешность в этом случае не превышает
величины . Метод
проб. Пусть дано уравнение f(x)
= 0 [f(x) – непрерывная функция] и
корень ? отделен на отрезке [а, b],
т. е. f(а) • f(b) < 0, причем
b – а > ?. Требуется найти значение
корня ? с точностью до ? (рис. 2.1)
Рис. 2.1
Принцип
решения уравнения типа y=f(x) методом
проб
Рис.
2.2
Принцип
решения уравнения типа y=f(x) методом
половинного деления
На отрезке [a, b] выберем произвольным
образом точку a1, которая разделит
его на два отрезка [a, a1] и [a1,b].
Из этих двух отрезков следует выбрать
тот, на концах которого функция принимает
значения, противоположные по знаку. В
нашем примере f(а) • f(a1)
> 0, f(a1) • f(b) < 0;
поэтому следует выбрать отрезок [a1,b].
Затем на этом суженом отрезке опять произвольным
образом возьмем точку а2 и найдем
знаки произведений f(a1) •
f(a2) и f(a2) •
f(b). Так как f(a2)? f(b)
< 0, то выбираем отрезок [a2,
b]. Этот процесс продолжаем до тех пор,
пока длина отрезка, на котором находится
корень, не станет меньше ?. Корень ? получим
как среднее арифметическое концов найденного
отрезка, причем погрешность корня не
превышает ?/2. Метод
проб в таком виде на ЭВМ не применяется.
Для составления программ и расчетов на
ЭВM метод проб применяется в виде так
называемого метода
половинного деления.
Пусть
корень ? уравнения f(х) = 0 отделен
и находится на отрезке [a, b], т.е.
f(a) • f(b) < 0, причем b
– а > ? [здесь f(х) – непрерывная
функция]. Как и ранее, возьмем на отрезке
[a, b] промежуточную точку, однако
не произвольным образом, а так, чтобы
она являлась серединой отрезка [a,
b], т. е. с = (а + b)/2. Тогда отрезок
[a, b] точкой с разделится на два
равных отрезка [а, с] и [с,
b], длина которых равна (b – а)/2
(рис. 2.2). Если f(с) = 0, то с –
точный корень уравнения f(х) = 0.
Если же f(с) ? 0, то из двух образовавшихся
отрезков [a, с] и [с, b] выберем
тот, на концах которого функция f(х)
принимает значения противоположных знаков;
обозначим его [al, b1].
Затем отрезок [al, b1]
также делим пополам и проводим те же рассуждения.
Получим отрезок [а2, b2],
длина которого равна (b – а)/22.
Процесс деления отрезка пополам производим
до тех пор, когда на каком-то n-м этапе
либо середина отрезка будет корнем уравнения
(случай, весьма редко встречающийся на
практике), либо будет получен отрезок
[an, bn] такой, что bn
– аn = (b – а)/2n ? ? и
аn ? ? ? bn (число n
указывает на количество проведенных
делений). Числа аn и bn
– корни уравнения f(х) = 0 с точностью
до ?. За приближенное значение корня,
как указывалось, выше, следует взять ?
= (an + bn)/2, причем погрешность
не превышает (b – а)/2n+1.
2.2.
МЕТОД ХОРД
Метод
хорд является одним из распространенных
методов решения алгебраических
и трансцендентных уравнений. В литературе
он также встречается под названиями «метода
ложного положения» (regula falsi), «метода линейного
интерполирования» и «метода пропорциональных
частей».
Пусть
дано уравнение f(х) = 0, где f (х) – непрерывная
функция, имеющая в интервале [а, b] производные
первого и второго порядков. Корень считается
отделенным и находится на отрезке [а,
b], т.е. f(a)-f (b) < 0.
Идея
метода хорд состоит в том, что
на достаточно малом промежутке [а,
b] дуга кривой у = f (x) заменяется стягивающей
ее хордой. В качестве приближенного значения
корня принимается точка пересечения
хорды с осью Ох.
Ранее
мы рассмотрели четыре случая расположения
дуги кривой, учитывая значения первой
и второй производных.
Рассмотрим
случаи, когда первая и вторая производные
имеют одинаковые знаки, т. е, f'(х) •
f'' (х) > 0.
Пусть,
например, f(a) < 0, f(b) > 0, f'(х) > 0, f''(х) >
0 (рис. 3.18, а). График функции проходит через
точки А0 (a; f(a)), В(b; f(b))- Искомый корень
уравнения f(х) = 0 есть абсцисса точки пересечения
графика функции у = f(х) с осью Ох. Эта точка
нам неизвестна, но вместо нее мы возьмем
точку x1 пересечения хорды А и В
с осью Ох. Это и будет приближенное значение
корня.
Уравнение
хорды, проходящей через точки А0
и В, имеет вид
Найдем
значение х = х1, для которого у = 0:
Эта
формула носит название формулы
метода хорд. Теперь корень ? находится
внутри отрезка [x1, b]. Если значение
корня х1 нас не устраивает, то его
можно уточнить, применяя метод хорд к
отрезку [х1, b].
Рис
Соединим точку А1 (x1;
f (x1) с точкой В (b; f (b)) и найдем х2
– точку пересечения хорды А1В с
осью Ох:
Продолжая
этот процесс, находим
и
вообще
Процесс
продолжается до тех пор, пока мы не
получим приближенный корень с заданной
степенью точности.
По
приведенным выше формулам вычисляются
корни и для случая, когда f(а) > 0, f(b) <
0, f'(x) < 0, f''(x) < 0 (рис. 3.18, б).
Теперь
рассмотрим случаи, когда первая и
вторая производные имею разные знаки,
т.е. f'(x) • f'(x) < 0.
Пусть,
например, f(a) > 0, f(b) < 0, f'(х) < 0, f''(х) >
0 (рис. 3.19, а). Соединим точки A (a; f (а)) и В0
(b; f (b)) и запишем уравнение хорды, проходящей
через А и B0:
Найдем
х1, как точку пересечения хорды
с осью Ох, полагая у = 0:
Корень
? теперь заключен внутри отрезка [a,
x1]. Применяя меч од хорд к отрезку
[а, x1], получим
и
вообще
По
этим же формулам находится приближенное
значение корня и для случая, когда
f(а) < 0, f(b)>0, f'(х) > 0, f''(х) < 0 (рис. 3.19,
б).
Итак,
если f'(х) • f"(х) > 0, то приближенный
корень вычисляется по формулам (1) и (2);
если же f(х) • f"(x) < 0, то – по формулам
(3) и (4).
Однако
выбор тех или иных формул можно
осуществить, пользуясь простым правилом:
неподвижным концом отрезка является
тот, для которого знак функции совпадает
со знаком второй производной.
Если
f(b) • f'' (х) > 0, то неподвижен конец b, а
все приближения к корню ? лежат со стороны
конца а [формулы (1) и (2)]. Если f(а)?f''(x) >
0. то неподвижен конец а, а все приближения
к корню ? лежат со стороны конца b [формулы
(3) и (4).
2.3.
МЕТОД НЬЮТОНА (МЕТОД
КАСАТЕЛЬНЫХ)
Пусть
корень уравнения f (х) = 0 отделен
на отрезке [а, b], причем f'(х)
и f"(x) непрерывны и сохраняют
постоянные знаки на всем отрезке [а, b].
Геометрический
смысл метода Ньютона состоит в
том, что дуга кривой у = f(х) заменяется
касательной к этой кривой (отсюда и второе
название: метод касательных). Первый
случай. Пусть f(a) < 0, f(b)
> 0, f’(х) > 0, f”(х) > 0 (рис.
1, а) или f(а) > 0, f(b) < 0, f’(х)
< 0, f ''(х) < 0 (рис. 1, б). Проведем
касательную к кривой у = f(x)
в точке B0(b; f(b)) и
найдем абсциссу точки пересечения касательной
с осью Oх. Известно, что уравнение
касательной в точке В0(b;
f(b)) имеет вид
Полагая у = 0, х =
х1, получим (1)
Теперь корень
уравнения находится на отрезке
[а, х1]. Применяя снова метод
Ньютона, проведем касательную к кривой
в точке B1 (x1; f(x1))
и полечим
и вообще (2)
Получаем последовательность
приближенных значений x1, х2,
…, xn, …, каждый последующий
член которой ближе к корню ?, чем предыдущий.
Однако все хn, остаются больше
истинного корня ?, т.е. хn – приближенное
значение корня ? с избытком. Второй
случай. Пусть f(а) < 0, f (b)
> 0, f '(х) > 0, f ''(х) < 0
(рис. 2, а) или f(а)> 0, f(b) < 0,
f '(х) < 0, f ''(x) > 0 (рис. 2,
б). Если снова провести касательную к
кривой у= f (x) в точке В,
то она пересечет ось абсцисс в точке,
не принадлежащей отрезку [a, b]. Поэтому
проведем касательную в точке A0(a;
f(а)) и запишем ее уравнение для данного
случая:
Полагая у = 0, x =
x1 находим (3)
Корень ? находится
теперь на отрезке [х1, b].
Применяя снова метод Ньютона, проведем
касательную в точке A1 (x1;
f(x1)) и получим
и вообще
(4)
Получаем последовательность
приближенных значений х1,
х2, … ,хn,…, каждый последующий
член которой ближе к истинному корню
?, чем предыдущий, т.е. хn – приближенное
значение корня ? с недостатком.
Сравнивая
эти формулы с ранее выведенными,
замечаем, что они отличаются друг
от друга только выбором начального приближения:
в первом случае за х0 принимался
конец b отрезка, во втором – конец
а.
При
выборе начального приближения корня
необходимо руководствоваться следующим
правилом: за исходную точку следует выбирать
тот конец отрезка [а, b], в котором
знак функции совпадает со знаком второй
производной. В первом случае f(b)
• f ''(х) > 0 и начальная точка
b = x0, во втором f(a) • f
"(x) > 0 и в качестве начального
приближения берем а = х0.
3 .СООТВЕТСТВИЕ
МЕЖДУ ПЕРЕМЕННЫМИ,
ПРИНЯТЫМИ ПРИ ОПИСАНИИ
ЗАДАЧИ И В ПРОГРАМЕ
Соответствие
между переменными, используемыми в
блок-схеме и в программном коде главной
программы приведено в Таблице 1.
Соответствие
между переменными, используемыми
в блок-схеме и в программном
коде процедуры Save приведено в Таблице
2.
Таблица 1
Соответствие
между переменными, используемыми
в блок-схеме и в программном
коде главной программы
Таблица 2
Соответствие
между переменными, принятыми при описании
задачи и в процедуре Save
4.
СТРУКТУРНАЯ СХЕМА ПРОГРАММ
И ЕЕ ОПИСАНИЕ
Структурная
схема главной программы приведена
на рис. 4.1.
ввод клавиши
выбора пункта меню;
если выполняется
условие Key=’1’ то выполнить блок, 3 иначе
выполнить блок 4;
обращение
к процедуре ввода исходных данных Vvod;
если выполняется
условие Key=’2’ то выполнить блок 5, иначе
выполнить блок 6;
обращение
к процедуре поиска корня и вывода его
на экран VivRez;
если выполняется
условие Key=’3’ то выполнить блок 7, иначе
выполнить блок 8;
обращение
к процедуре поиска корня и сохранения
его в файл;
если выполняется
условие Key=’0’ то выйти из программы,
иначе вернуться к блоку 1.
Структурная
схема подпрограммы функции f изображена
на Рис. 4.2.
присваивание
заголовку функции заданного варианта.
Структурная
схема подпрограммы процедуры PolDel
изображена на Рис. 4.3.
вычисление
начального значения х;
если значение
функции в точке х отстоит от 0 на величину
превышающую заданную точность е то выполнить
цикл уточнения – перейти к блоку 3, иначе
выйти из подпрограммы;
если функция
в точке а и в точке х имеет одинаковый
знак то выполнить блок 4, иначе выполнить
блок 5;
левая граница
перемещается в точку х;
правая граница
перемещается в точку х;
вычисление
нового значения х.
Структурная
схема подпрограммы процедуры Vvod изображена
на Рис. 4.4.
вывод запроса
на ввод левой границы интервала;
ввод а –
левой границы интервала;
вывод запроса
на ввод правой границы интервала;
ввод b – правой
границы интервала;
вывод запроса
на ввод точности вычисления корня уравнения;
ввод е –
точности вычисления корня уравнения.
Структурная
схема подпрограммы процедуры Vivrez
изображена на Рис. 4.5.
обращение
к процедуре вычисления корня уравнения
PolDel;
вывод найденного
корня.
Структурная
схема подпрограммы процедуры Save
изображена на Рис. 4.6.
вывод запроса
названия файла;
ввод названия
файла;
обращение
к процедуре подключения файла с введённым
именем;
обращение
к процедуре открытия файла для записи;
обращение
к процедуре вычисления корня уравнения
PolDel;
вывод в файл
полученного значения корня;
обращение
к процедуре закрытия файла.
5.
ЛИСТИНГ ПРОГРАМЫ
Листинг
программы находится в приложении А.
6.
КОНТРОЛЬНЫЙ ПРИМЕР
И АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТА
Для
контрольного примера найдём значение
корня на интервале от 0 до 5. Найдём
этот корень графически с использованием
программы Microsoft Excel (см. табл 6.1., рис. 6.1).
Найдём
этот корень при помощи программы (см.
рис 6.2.-6.3). Полученное при помощи программы
значение корня соответствует расчётному.
Таблица. 6.1
Расчетные
точки графика функции f(x)=x2-x-6,
полученные при помощи программы Microsoft
Excel
Рис.
6.1.
Рис.
6.1.
Рис.
6.2.
7.
ИНСТРУКЦИЯ ПОЛЬЗОВАТЕЛЯ
Для
работы с программой нужно запустить
программу POLDEL.EXE, находящийся на дискете
в приложении D, занимающий 20 кБ.
После
запуска программы на экране появляется
меню программы в котором содержатся следующие
пункты (см. Прил. Б).
1-Ввести данные
2-Отобразить
результат
3-Сохранить
результат в файл
0-Выход
Для
ввода исходных данных необходимо в
меню нажать 1 ввести по очереди значение
левой границы интервала, затем правой,
затем точности вычисления.
Для
просмотра результата
вычисления необходимо в меню нажать
2. По окончанию просмотра нажмите любую
клавишу.
Для
сохранения результата необходимо нажать
в главном меню 3 и после появления запроса
ввести имя файла, в который следует записать
результат.
Для
выхода из программы необходимо в меню
нажать 0.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В
данной курсовой работе была разработана
программа, решающая нелинейное уравнение.
Для его решения был выбран метод половинного
деления.
СПИСОК
ЛИТЕРАТУРЫ
Кетков
Ю.Л., Кетков А.Ю. Практика программирования:
Бейсик, Си, Паскаль. Самоучитель. – СПб.:
БХВ-Петербург, 2001. 408 с.: ил.
Любиев О.Н.,
Филиппенко Л.Н., Филиппенко Г.Г. Методические
указания к выполнению курсовой работы
по дисциплинам «Программирование на
ЯВУ, Информатика», Новочеркасск, ЮРГТУ,
2003г. – 256 с.
Фаронов В.В.
«Турбо Паскаль 7.0» Начальный курс. Учебное
пособие. Издание 7-е, переработанное. –
М.: «Нлидж», издатель Молчалева С.В., 2001.-576
с. с ил.
Абрамов В.Г.,
Трифонов Н.П. Введение в язык Паскаль.
– М. :Наука, 1988.-320 с.
ПРИЛОЖЕНИЯ
ПРИЛОЖЕНИЕ
А
ЛИСТИНГ
ПРОГРАМЫ
Program PolD;
Uses
CRT;
Var
a,b,e,x:real;
Function F(var x:real):real;
begin
f:=sqr(x)-x-6;
end;
{======}
Procedure PolDel(a,b,e:real;
var x:real);
begin
x:=(a+b)/2;
while abs(F(x))>e
do
begin
if F(a)*F(x)>0
then a:=x
else b:=x;
x:=(a+b)/2;
end;
end;
{=====}
Procedure Vvod;
begin
Clrscr;
Writeln('Vvedite levuju
granicu intervala');
Readln(a);
Writeln('Vvedite pravuju
granicu intervala');
ReadLn(b);
Writeln('Vvedite tochnost');
ReadLn(e);
end;
{=====}
Procedure Vivrez;
begin
Clrscr;
PolDel(a,b,e,x);
Writeln('Uravneni x^2-x-6
na intervale (',a:0:2,',& 39;,b:0:2,')' );
Writeln('Imeet reshenie
',x:0:2);
ReadKey
end;
{=====}
Procedure Save;
var
f:text;
S:string;
begin
Clrscr;
Writeln('Vvedite nazvanie
faila');
ReadLn(S);
Assign(f,s);
{$I-}
ReWrite(f);
{$I+}
PolDel(a,b,e,x);
Writeln(f,'Uravne ie
x^2-x-6 na intervale (',a:0:2,',& 39;,b:0:2,')' );
Writeln(f,'Imeet reshenie
',x:0:2);
Close(f)
end;
{=====}
var
Key:Char;
Begin
repeat
Clrscr;
Writeln('1-Vvesti
dannie');
Writeln('2-Otobra it
rezultat');
Writeln('3-Sohran t
rezulat v fail');
Writeln('0-Vihod& 39;);
Key:=ReadKey;
Case Key
of
'1':Vvod;
'2':VivRez;
'3':Save;
end;
until Key='0';
