Здесь можно найти учебные материалы, которые помогут вам в написании курсовых работ, дипломов, контрольных работ и рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.
Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение оригинальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения оригинальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, РУКОНТЕКСТ, etxt.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии так, что на внешний вид, файл с повышенной оригинальностью не отличается от исходного.
Результат поиска
Наименование:
курсовая работа Математические методы
Информация:
Тип работы: курсовая работа.
Добавлен: 13.10.2012.
Год: 2012.
Страниц: 11.
Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%
Описание (план):
Изм.
Лист
№ Документа
Подпись
Дата
Лист
КР.230105.091.07
Введение
Математика необходима
в повседневной жизни, следовательно определенные
математические навыки нужны каждому
человеку. Нам приходится в жизни считать(например,
деньги), мы постоянно используем(часто
не замечая этого) знания о величинах,
характеризующих протяженности, площади,
объемы, промежутки времени, скорости
и многое другое. Все это пришло к нам на
уроках арифметики и геометрии и пригодилось
для ориентации в окружающем мире.
Математические знания и
навыки нужны практически во всех
профессиях, прежде всего, конечно, в
тех, что связаны с естественными
науками, техникой и экономикой. Математика
является языком естествознания и техники
и потому профессия естествоиспытателя
и инженера требует серьезного овладения
многими профессиональными сведениями,
основанными на математике.
Сегодня несомненна необходимость
применения математических знаний и
математического мышления врачу, лингвисту,
историку, и людям других специальностей.
Но особенно знание математики необходимы
людям точных профессий - финансистам,
экономистам.
Профессиональный уровень
экономиста во многом зависит от того,
освоил ли он современный математический
аппарат и умеет ли использовать
его при анализе сложных экономических
процессов и принятий решений. Поэтому
в подготовке экономистов широкого профиля
изучения математики занимает значительное
место. Математическая подготовка экономиста
имеет свои особенности, связанные со
спецификой экономических задач, а также
с широким разнообразием подходов к их
решению.
Задачи практической и
теоретической экономики очень
разносторонни. К ним относятся,
в первую очередь, методы сбора и
обработки статической информации,
а также оценка состояния и
перспективы развития экономических
процессов. Применяются различные
способы использования полученной
информации - от простого логического
анализа до составления сложных экономико-математиче ких
моделей и разработки математического
аппарата их исследования.
Таким образом, математика и
математическое образование нужны
для подготовки к будущей профессии.
Один из классов математических
моделей- задачи линейного программирования.
Одной из задач линейного программирования
является транспортная задача- задача
составления оптимального плана перевозок,
позволяющего минимизировать суммарный
километраж. Транспортная задача, как
и задача линейного программирования
была впервые поставлена советским экономистом
А.Н.Толстым в 1930 году.
Транспортная задача линейного
программирования получила в настоящее
время широкое распространение
в теоретических обработках и
практическом применении на транспорте
и в промышленности. Особенно важное
значение она имеет в деле рационализации
постановок важнейших видов промышленной
и сельскохозяйственной продукции, а также
оптимального планирования грузопотоков
и работы различных видов транспорта.
Кроме того, к задачам
транспортного типа сводятся многие
другие задачи линейного программирования
- задачи о назначениях, сетевые, календарного
планирования. Транспортная задача линейного
программирования получила в настоящее
время широкое распространение
в теоретических обработках и
практическом применении на транспорте
и в промышленности. Особенно важное
значение она имеет в деле рационализации
постановок важнейших видов промышленной
и сельскохозяйственной продукции, а также
оптимального планирования грузопотоков
и работы различных видов транспорта.
Существует
множество методов для решения
данной задачи. Выбрав один из методов
можно быстро рассчитать оптимальный
план распределения.
1 Постановка транспортной задачи
Транспортная
задача является частным типом задачи
линейного программирования и формулируется
следующим образом. Имеется m пунктов
отправления (или пунктов производства)
Аi ., Аm, в которых сосредоточены
запасы однородных продуктов в количестве
a1, ..., аm единиц.
Имеется
n пунктов назначения (или пунктов
потребления) В1, ..., В m, потребность
которых в указанных продуктах составляет
b1,
..., bn единиц.
Известны также транспортные расходы
Сij, связанные с перевозкой единицы
продукта из пункта Ai в пункт Вj,
i
1, ., m; j
1, n.
Найти опорный план
транспортной задачи, исходные данные
которой приведены в таблице
1.
Таблица 1
2 Математическая модель транспортной
задачи
Имеется
m пунктов отправления (или пунктов
производства) Аi ., Аm, в которых
сосредоточены запасы однородных продуктов
в количестве a1, ..., аm единиц.
Имеется n пунктов назначения (или пунктов
потребления) В1, ..., Вm, потребность
которых в указанных продуктах составляет
b1,..., bn единиц, Известны также
транспортные расходы Сij,
связанные с
перевозкой единицы продукта из пункта
Ai в пункт Вj, i
1, ., m; j
1, ..., n. Предположим, что
(1)
т. е. общий
объем производства равен общему
объему потребления. Требуется составить
такой план перевозок (откуда, куда
и сколько единиц продукта везти),
чтобы удовлетворить спрос всех
пунктов потребления за счет реализации
всего продукта, произведенного всеми
пунктами производства, при минимальной
общей стоимости всех перевозок.
Приведенная формулировка транспортной
задачи называется замкнутой транспортной
моделью. Формализуем эту задачу.
Пусть хij
- количество единиц продукта, поставляемого
из пункта А i в пункт
Вj. Подлежащие минимизации суммарные
затраты на
перевозку продуктов
из всех пунктов производства во все
пункты потребления
выражаются
формулой:
(2)
Суммарное количество
продукта, направляемого из каждого
пункта отправления во все пункты
назначения, должно быть равно запасу
продукта в данном пункте.
Формально это
означает, что
, i
1, ., m (3)
Суммарное
количество груза, доставляемого в
каждый пункт назначения из всех пунктов
отправления, должно быть равно потребности.
Это условие полного удовлетворения
спроса:
, j
1, ., n (4)
Объемы
перевозок - неотрицательные числа,
так как перевозки из пунктов
потребления в пункты производства
исключены:
xij
0, i
1, ..., m; j
1, ..., n
Транспортная
задача сводится, таким образом, к
минимизации суммарных затрат при
выполнении условий полного удовлетворения
спроса и равенства вывозимого количества
продукта запасам его в пунктах
отправления.
Определение 1.
Всякое неотрицательное
решение системы линейных уравнений
, j
1, ., n (5)
и
, i
1, ., m, (6)
определяемое
матрицей X=(xij)(i
1, ., m; j
1, ..., n), называется планом транспортной
задачи.
Определение 2.
План X*=(x*ij)(i
1, ., m; j
1, ..., n), при котором функция
(7)
принимает свое
минимальное значение, называется оптимальным
планом
транспортной
задачи.
Обычно
исходные данные записываются в виде
таблицы 2.
Таблица 2
Очевидно,
общее наличие груза у поставщиков
равно
, а общая
потребность в грузе в пунктах
назначения равна единице. Если
общая потребность в грузе
в пунктах назначения равна
запасу груза в пунктах отправления,
т.е.
, (8)
то модель
такой транспортной задачи называется
закрытой.
В ряде случаев
не требуется, чтобы весь произведенный
продукт в каждом пункте производства
был реализован. В таких случаях
баланс производства и
потребления
может быть нарушен:
, i
1, ..., m (9)
Введение
этого условия приводит к открытой
транспортной модели.
Любая транспортная
задача, у которой суммарный объем запасов
совпадает с суммарным объемом потребностей,
имеет решение.
3
Методы нахождение опорного плана
транспортной задачи
3.1 Правило
"северо-западн го угла"
При нахождении опорного плана
транспортной задачи методом "северо-западно о
угла" на каждом шаге рассматривают
первый из оставшихся пунктов отправления
и первый из оставшихся пунктов назначения.
Заполнение транспортной таблицы начинается
с левого верхнего угла (северо-западного),
двигаясь далее по строке вправо или по
столбцу вниз (увеличение i, увеличение
j). Переменной Х11 приписывают максимальное
значение, допускаемое ограничениями
на спрос и запасы.
После этого вычеркивают соответствующий
столбец или строку, фиксируя этим, что
остальные переменные вычеркнутого столбца (строки) полагаются
равными нулю. Если ограничения выполняются
одновременно, то можно вычеркнуть либо
строку, либо столбец. Процесс завершается
тогда, когда будет присвоено значение
переменной хmin.
Исходный опорный план, построенный
по правилу "северо-западно о угла",
обычно оказывается весьма далеким от
оптимального, так как при его формировании
не учитывается стоимость перевозок (величина
сij). Более совершенным правилом
является правило "минимального элемента".
3.2 Правило
"минимального элемента"
В методе "северо-западно о
угла" на каждом шаге потребность первого
из оставшихся пунктов назначения удовлетворяется
за счет запасов первого из оставшихся
пунктов отправления. Очевидно, что выбор
пунктов назначения и отправления целесообразно
производить, ориентируясь на стоимость
перевозок, а именно на каждом шаге следует
выбирать какую-либо клетку, отвечающую
минимальному тарифу (если таких клеток
несколько, то следует выбирать любую
из них), и рассматривать пункты назначения
и отправления, соответствующие выбранной
клетке.
Правило "минимального элемента"
заключается в том, чтобы перевозить максимально
возможные объемы из пунктов отправления
маршрутами минимальной стоимости. Заполнение
таблицы начинаем с клетки, которой соответствует
наименьшая стоимость перевозки (элемент
cij) из всей таблицы. Переменной этой
клетки хij присваивается максимально
возможное значение с учетом ограничений.
Затем остаток по столбцу или строке помещается
в клетку того же столбца или строки, которой
соответствует следующее по величине
значение сij и т. д. Иными словами,
последовательность заполнения клеток
определяется по величине сij, а помещаемая
в этих клетках величина хij такая
же, как и в правиле "северо-западно о
угла".
3.3 Метод
аппроксимации Фогеля
При определении
опорного плана транспортной задачи
методом аппроксимации Фогеля находят
разность по всем столбцам и по всем
строкам между двумя записанными
в них минимальными тарифами. Эти
разности записывают в специально отведенных
для этого строке и столбце в таблице условий
задачи. Среди указанных разностей выбирают
минимальную. В строке (или в столбце),
которой данная разность соответствует,
определяют минимальная стоимость.
Если
минимальная стоимость одинакова
для нескольких клеток столбца (строки),
то для заполнения выбирают ту клетку,
которая расположена в столбце
(строке), соответствующем наибольшей
разности между двумя минимальными
стоимостями, находящимися в данном
столбце (строке).
4
Решение транспортной задачи
методом Фогеля Задача : У
поставщиков A1 , A2 , A3
находится соответственно 110,190,90
единиц однотипной продукции,
которая должна быть
доставлена потребителям B1 , B2 , B3 , B4
в количествах 80,60,170,80
единиц соответственно. Стоимость
доставки единицы
продукции от поставщика A1
к указанным потребителям
равна 8,1,9,7 ден.ед. Стоимость
доставки единицы
продукции от поставщика A2
к указанным потребителям
равна 4,6,2,12 ден.ед. Стоимость
доставки единицы
продукции от поставщика A3
к указанным потребителям
равна 3,5,8,9 ден.ед. Требуется
найти оптимальное
решение доставки
продукции от поставщиков
к потребителям с
максимальной прибылью. Решение
:
Математическая
модель транспортной задачи:
F = ??cijxij,
при условиях:
?xij =
ai, i = 1,2,…, m,
?xij =
bj, j = 1,2,…, n,
С целью составления
двойственной задачи переменные xij
в условии (2) заменим на u1, u2,
ui,.., um, а переменные xij
в условия (3) на v1, v2, vj,..,
vn.
Поскольку каждая
переменная xij входит в условия (2,3)
и целевую функцию (1) по одному разу, то
двойственную задачу по отношению к прямой
транспортной задаче можно сформулировать
следующим образом.
Требуется найти
не отрицательные числа ui (при
i = 1,2,…,m) и vj (при j = 1,2,..,n), обращающие
в максимум целевую функцию
G = ?aiui
+ ?bjvj
(10)
при условии
ui + vj
? cij, i = 1,2,..,m; j = 1,2,..,n
В систему
условий (4) будет mxn неравенств. По теории
двойственности для оптимальных планов
прямой и двойственной задачи для всех
i,j должно быть:
ui + vj
? cij, если xij = 0,
ui + vj
= cij, если xij ? 0,
Эти условия
являются необходимыми и достаточными
признаками оптимальности плана
транспортной задачи.
Числа ui
, vj называются потенциалами. Причем
число ui называется потенциалом
поставщика, а число vj – потенциалом
потребителя.
По первой
теореме двойственности в оптимальном
решении значения целевых функций прямой
и двойственных задач совпадают: F = G.
Стоимость доставки
единицы груза из каждого пункта
отправления в соответствующие
пункты назначения задана матрицей тарифов
Проверим
необходимое и достаточное условие
разрешимости задачи.
?a = 110 + 190 + 90
= 390
?b = 80 + 60 + 170
+ 80 = 390
Условие баланса
соблюдается. Запасы равны потребностям.
Следовательно, модель транспортной задачи
является закрытой.
Занесем исходные
данные в распределительную таблицу.
Поиск первого
опорного плана.
1. Используя метод
Фогеля, построим первый опорный план
транспортной задачи. Для каждой строки
и столбца таблицы условий найдем разности
между двумя минимальными тарифами, записанными
в данной строе или столбце, и поместим
их в соответствующем дополнительном
столбце или строке.
Данный метод
состоит в следующем:
1. на каждой
итерации находят разности между
двумя наименьшими тарифами во
всех строках и столбцах, записывая
их в дополнительные столбец
и строку таблицы;
2. находят
максимальную разность и заполняют
клетку с минимальной стоимостью
в строке (столбце), которой соответствует
данная разность.
Находим
разности по строкам.
Для строки
N=1 первый минимальный элемент min11
= 1, второй минимальный элемент min21
= 7. Их разность равна d = min21
- min11 = 6.
Для строки
N=2 первый минимальный элемент min12
= 2, второй минимальный элемент min22
= 4. Их разность равна d = min22
- min12 = 2.
Для строки
N=3 первый минимальный элемент min13
= 3, второй минимальный элемент min23
= 5. Их разность равна d = min23
- min13 = 2.
Находим
разности по столбцам.
Для столбца
N=1 первый минимальный элемент min11
= 3. второй минимальный элемент min21
4. Их разность d = min21 - min11
= 1.
Для столбца
N=2 первый минимальный элемент min12
= 1. второй минимальный элемент min22
5. Их разность d = min22 - min12
= 4.
Для столбца
N=3 первый минимальный элемент min13
= 2. второй минимальный элемент min23
8. Их разность d = min23 - min13
= 6.
Для столбца
N=4 первый минимальный элемент min14
= 7. второй минимальный элемент min24
9. Их разность d = min24 - min14
= 2.
Вычислив
все эти разности, видим, что наибольшая
из них соответствует строке (1). В
этой строке минимальный тариф записан
в клетке, находящейся на пересечении
строки (1) и столбца (2).
Искомый элемент
равен 1
Для этого
элемента запасы равны 110, потребности
60. Поскольку минимальным является
60, то вычитаем его.
x12 = min(110,60)
= 60.
Находим
разности по строкам.
Для строки
N=1 первый минимальный элемент min11
= 7, второй минимальный элемент min21
= 8. Их разность равна d = min21
- min11 = 1.
Для строки
N=2 первый минимальный элемент min12
= 2, второй минимальный элемент min22
= 4. Их разность равна d = min22
- min12 = 2.
Для строки
N=3 первый минимальный элемент min13
= 3, второй минимальный элемент min23
= 8. Их разность равна d = min23
- min13 = 5.
Находим
разности по столбцам.
Для столбца
N=1 первый минимальный элемент min11
= 3. второй минимальный элемент min21
4. Их разность d = min21 - min11
= 1.
Для столбца
N=3 первый минимальный элемент min13
= 2. второй минимальный элемент min23
8. Их разность d = min23 - min13
= 6.
Для столбца
N=4 первый минимальный элемент min14
= 7. второй минимальный элемент min24
9. Их разность d = min24 - min14
= 2.
Вычислив
все эти разности, видим, что наибольшая
из них соответствует столбцу (3).
В этом столбце минимальный тариф
записан в клетке, находящейся
на пересечении строки (2) и столбца
(3).
Искомый элемент
равен 2
Для этого
элемента запасы равны 190, потребности
170. Поскольку минимальным является
170, то вычитаем его.
x23 = min(190,170)
= 170.
Находим
разности по строкам.
Для строки
N=1 первый минимальный элемент min11
= 7, второй минимальный элемент min21
= 8. Их разность равна d = min21
- min11 = 1.
Для строки
N=2 первый минимальный элемент min12
= 4, второй минимальный элемент min22
= 12. Их разность равна d = min22
- min12 = 8.
Для строки
N=3 первый минимальный элемент min13
= 3, второй минимальный элемент min23
= 9. Их разность равна d = min23
- min13 = 6.
Находим
разности по столбцам.
Для столбца
N=1 первый минимальный элемент min11
= 3. второй минимальный элемент min21
4. Их разность d = min21 - min11
= 1.
Для столбца
N=4 первый минимальный элемент min14
= 7. второй минимальный элемент min24
9. Их разность d = min24 - min14
= 2.
Вычислив
все эти разности, видим, что наибольшая
из них соответствует строке (2). В
этой строке минимальный тариф записан
в клетке, находящейся на пересечении
строки (2) и столбца (1).
Искомый элемент
равен 4
Для этого
элемента запасы равны 20, потребности
80. Поскольку минимальным является
20, то вычитаем его.
x21 = min(20,80)
= 20.
Находим
разности по строкам.
Для строки
N=1 первый минимальный элемент min11
= 7, второй минимальный элемент min21
= 8. Их разность равна d = min21
- min11 = 1.
Для строки
N=3 первый минимальный элемент min13
= 3, второй минимальный элемент min23
= 9. Их разность равна d = min23
- min13 = 6.
Находим
разности по столбцам.
Для столбца
N=1 первый минимальный элемент min11
= 3. второй минимальный элемент min21
8. Их разность d = min21 - min11
= 5.
Для столбца
N=4 первый минимальный элемент min14
= 7. второй минимальный элемент min24
9. Их разность d = min24 - min14
= 2.
Вычислив
все эти разности, видим, что наибольшая
из них соответствует строке (3). В
этой строке минимальный тариф записан
в клетке, находящейся на пересечении
строки (3) и столбца (1).
Искомый элемент
равен 3
Для этого
элемента запасы равны 90, потребности
60. Поскольку минимальным является
60, то вычитаем его.
x31 = min(90,60)
= 60.
Находим
разности по строкам.
Для строки
N=1 первый минимальный элемент min11
= 7, второй минимальный элемент min21
= 7. Их разность равна d = min21
- min11 = 0.
Для строки
N=3 первый минимальный элемент min13
= 9, второй минимальный элемент min23
= 9. Их разность равна d = min23
- min13 = 0.
Находим
разности по столбцам.
Для столбца
N=4 первый минимальный элемент min14
= 7. второй минимальный элемент min24
9. Их разность d = min24 - min14
= 2.
Вычислив
все эти разности, видим, что наибольшая
из них соответствует столбцу (4).
В этом столбце минимальный тариф
записан в клетке, находящейся
на пересечении строки (1) и столбца
(4).
Искомый элемент
равен 7
Для этого
элемента запасы равны 50, потребности
80. Поскольку минимальным является
50, то вычитаем его.
x14 = min(50,80)
= 50.
Находим
разности по строкам.
Для строки
N=3 первый минимальный элемент min13
= 9, второй минимальный элемент min23
= 9. Их разность равна d = min23
- min13 = 0.
Находим
разности по столбцам.
Для столбца
N=4 первый минимальный элемент min14
= 9. второй минимальный элемент min24
9. Их разность d = min24 - min14
= 0.
Вычислив
все эти разности, видим, что наибольшая
из них соответствует строке (3). В
этой строке минимальный тариф записан
в клетке, находящейся на пересечении
строки (3) и столбца (4).
Искомый элемент
равен 9
Для этого
элемента запасы равны 30, потребности
30. Поскольку минимальным является
30, то вычитаем его.
x34 = min(30,30)
= 30.
Сведем все
вычисления в одну таблицу.
В результате
получен первый опорный план, который
является допустимым, так как все
грузы из баз вывезены, потребность
магазинов удовлетворена, а план
соответствует системе ограничений
транспортной задачи.
2. Подсчитаем
число занятых клеток таблицы,
их 6, а должно быть m + n - 1 = 6. Следовательно,
опорный план является невырожденным.
Значение
целевой функции для этого
опорного плана равно:
F(x) = 1*60 + 7*50 +
4*20 + 2*170 + 3*60 + 9*30 = 1280
Этап
II. Улучшение опорного плана.
Проверим
оптимальность опорного плана. Найдем предварительные
потенциалы ui, vi. по занятым
клеткам таблицы, в которых ui + vi
= cij, полагая, что u1 = 0.
u1 + v2
= 1; 0 + v2 = 1; v2 = 1
u1 + v4
= 7; 0 + v4 = 7; v4 = 7
u3 + v4
= 9; 7 + u3 = 9; u3 = 2
u3 + v1
= 3; 2 + v1 = 3; v1 = 1
u2 + v1
= 4; 1 + u2 = 4; u2 = 3
u2 + v3
= 2; 3 + v3 = 2; v3 = -1
Опорный план
является оптимальным, так все оценки
свободных клеток удовлетворяют
условию ui + vi <= cij.
Минимальные
затраты составят:
F(x) = 1*60 + 7*50 +
4*20 + 2*170 + 3*60 + 9*30 = 1280
Проверим
оптимальность найденного плана
по первой теореме двойственности (в
оптимальном решении значения целевых
функций прямой и двойственных задач
совпадают: F = G).
G = 0*110 + 3*190 +
2*90 + 1*80 + 1*60 + -1*170 + 7*80 = 1280
Аналитическое решение нахождения опорного плана транспортной задачи методом Фогеля
6
Программная реализация нахождения
опорного плана транспортной
задачи методом Фогеля
Рисунок 1.-Окно
MS Excel
Рисунок 2.-Окно
MS Excel
7 Анализ полученных результатов
Заключение
В курсовой
работе изложены основные подходы и
методы решения транспортной задачи
методом Фогеля, являющейся одной
из наиболее распространенных задач
линейного программирования. Решение
данной задачи позволяет разработать
наиболее рациональные пути и способы
транспортирования товаров, устранить
чрезмерно дальние, встречные, повторные
перевозки. Все это сокращает
время продвижения товаров, уменьшает
затраты предприятий и фирм, связанные
с осуществлением процессов снабжения
сырьем, материалами, топливом, оборудованием
и т.д.
Алгоритм
и методы решения транспортной задачи
могут быть использованы при решении
некоторых экономических задач,
не имеющих ничего общего с транспортировкой
груза. В этом случае величины тарифов
cij имеют различный смысл в зависимости
от конкретной экономической задачи. К
таким задачам относятся следующие: оптимальное
закрепление за станками операций по обработке
деталей. В них cij является таким экономическим
показателем, как производительность.
Задача позволяет определить, сколько
времени и на какой операции нужно использовать
каждый из станков, чтобы обработать максимальное
количество деталей. Так как транспортная
задача требует нахождения минимума, то
значения cij берутся с отрицательным знаком;
оптимальные назначения, или проблема
выбора. Имеется m механизмов, которые
могут выполнять m различных работ с производительностью
cij. Задача позволяет определить, какой
механизм и на какую работу надо назначить,
чтобы добиться максимальной производительности;
задача о сокращении производства с учетом
суммарных расходов на изготовление и
транспортировку продукции; увеличение
производительности автомобильного транспорта
за счет минимизации порожнего пробега.
Уменьшение порожнего пробега сократит
количество автомобилей для перевозок,
увеличив их производительность; решение
задач с помощью метода запрещения перевозок.
Используется в том случае, если груз от
некоторого поставщика по каким-то причинам
не может быть отправлен одному из потребителей.
Данное ограничение можно учесть, присвоив
соответствующей клетке достаточно большое
значение стоимости, тем самым в эту клетку
не будут производиться перевозки. Таким
образом, важность решения данной задачи
для экономики несомненна. Приятно осознавать,
что у истоков создания теории линейного
программирования и решения, в том числе
и транспортной задачи, стоял русский
ученый - Леонид Витальевич Канторович.
Список использованной
литературы
1. Еремин И.И., Астафьев Н.Н. Введение
в теорию линейного и выпуклого программирования
М.; Наука, 1976
2. Карманов В.Г. Математическое
программирование. - М.; Наука, 1986г.
3. Моисеев Н.Н., Иванов Ю.П.,
Столярова Е.М. Методы оптимизации. - М.;
Наука, 1978г.
4. Иванов Ю.П., Лотов А.В.
Математические модели в экономике.
- М.; Наука, 1979г.
5. Бронштейн И.Н., Семендяев
К.А. Справочник по математике.
- М.; Наука, 1986г
5
