На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Контрольная Неравенство Маркова на индексационных классах и проблема моментов: экстремальная задача и доказательство теорем. Чебышевская экстремальная задача на бесконечности. Классы моментных пространств, матрицы индексационных функций и последовательностей.

Информация:

Тип работы: Контрольная. Предмет: Математика. Добавлен: 27.07.2010. Сдан: 2010. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


29
Содержание
Введение
Глава 1. Неравенство Маркова на индексационных классах
§ 1. Экстремальная задача
§ 2. Свойства отображения

§ 3. Доказательство теоремы
Глава 2. О чебышевской экстремальной задаче на [0, )
Литература
Введение

В работе вводится понятие индекса функции на [0,) относительно произвольного класса F функций на [0, ), основанное на сравнении двух функций через количество перемен знака их разности. С помощью понятия индекса аксиоматически определяется индексационный класс F. На индексационных классах изучается конечная проблема моментов.
Определение 1. Скажем, что функция (t), tR1, имеет k строгих перемен знака, если существуют множества A1<A2<…<Ak+1, такие, что
а) ;
б) знаки функции (t) на множествах A1, A2, …, Ak+1 перемежаются.
Пусть f(t) и g(t) - функции на R1. Пишем , если функция =g-f имеет k-1 строгих перемен знака, причем на последнем множестве строгого знакопостоянства она отрицательна.
Нетрудно видеть, что отношение выполнено тогда и только тогда, когда
а) не существует точки x1, …, xk (-<x1<…<xk<) такие, что
(-1)k-i f(xi) > (-1)k-i g(xi), ;
б) существуют точки y1, …, yk (-<y1<…<yk<) такие, что
(-1)k-i f(yi) > (-1)k-i g(yi), .
Пусть F - некоторый класс непрерывных слева функций на [0, ) и f, g F.
Определение 2. Пишем , если для любой функции hF, hg, выполнено одно из отношений: , , , . Пишем , если для любой функции hF, hf, выполнено одно из отношений: , ,, .
Функция f имеет индекс k- в F, если выполнено отношение и не выполнено . Функция g имеет индекс k+ в F, если выполнено и не выполнено .
Через Ik- (Ik+), k1, обозначим совокупность всех функций с индексом k- (k+) в F.
Пусть U - семейство функций на [0, ).
Через FU обозначим множество функций fF, для которых интегралы
, uU,
абсолютно сходятся.
В случае положим , fFU, AFU, :
, Fi(A)={Fi(f): fA},
, ,
.
Множество называется моментным пространством класса F относительно системы функций .
Лемма 1. Пусть системы u1(t), …, un(t) и u1(t), …, un(t), un+1(t) образуют T+-системы на [0, ) такие, что . Тогда отношение невозможно для и, если , то
.
Доказательство. Допустим, что , где kn, и A1, …, Ak - множества строгого знакопостоянства функции g - f. Для векторов рассмотрим матрицу
.
Так как
, ,
то есть
, (1)
где di(-1)k-i, и di=0, для всех векторов .
Из (1) следует, что detH()=0 для любых . С другой стороны, применив k раз теорему о среднем к H(), получим
, (2)
где 01<2<…<k<. Так как векторы линейно зависимы, то их можно дополнить до системы линейно независимых векторов . Из (2) получаем .

Пусть теперь и .

Так как

, (3)

где di=(-1)n+1-i, , то

,

где H - матрица, записанная в (3) слева, - матрица, получаемая из H удалением (n+1)-ых строки и столбца. Применив теорему о среднем, получаем detH>0, . Вместе с равенством dn+1=1 это означает, что d>0.

Определение 3. Скажем, что последовательность {fi}i1 функций на [0, ) относительно класса U слабо сходится к функции f , если

для всех uU.

Определение 4. Множество AFU назовем (k, U) окрестностью функции f в F, если fA и множество А имеет вид , где V открыто, при , при .

Множество AFU назовем (k, U)-открытым, если каждая функция fA имеет (k, U) окрестность, состоящую из функций множества А.

Определение 5. Класс F непрерывных слева, неотрицательных функций на [0, ) назовем нижним U-индексационным с дефектом n, если:

1. Класс F равномерно ограничен, то есть существует L>0, такое, что f(t)L при t0, fF;

2. ;

3. Множества Ik- (k-1, U) - открыты для всех k>n+1;

4. Из любой последовательности {fi}i1I-k+1 (k>n) такой, что

,

можно выделить подпоследовательность, слабо относительно класса U сходящуюся к некоторой функции .

Пусть система образует T+ - систему на [0, ).

Рассмотрим систему функций , такую, что wi=ui для и - T+ - системы для mn (см. [1]).

Теорема 1. Пусть система образует T+ - систему на [0, ), F-нижний W-индексационный с дефектом n класс функций на [0, ). Тогда

.

Доказательство. Пусть . Согласно условию 2 определения индексационного класса, существует последовательность {fj}j1Ik- такая, что . Зафиксируем произвольное fl.

Если flIk-, где kn+1, то положим fl*=fl.

Пусть k>n+1 и ={} - (k-1, W) окрестность fl в Ik-.

Рассмотрим произвольные и . Допустим, что . Согласно лемме 1, отношения и невозможны для sk-1. Следовательно, и , что невозможно.

Таким образом, отображение непрерывно и взаимно однозначно. Из принципа инвариативности области (см. [3]) следует, что - открытое множество в Rk-1, содержащее .

Пусть , и - многочлен по системе , имеющий k-2 нулей x1, …, xk-2. Условие k-1=0 противоречит чебышевости системы . Положим k-1>0. Тогда (см. [5]) P(t)>0 при t>xk-2.

Имеем

,

где cli - i-ая компонента вектора , и, следовательно,

.

Так как константа К не зависит от f, то ml >-.

Кроме того, .

Возьмем последовательность , такую, что

Fk-1(flp)>Fk-1(flq)=ml при p<q и

,

Рассмотрим произвольные flp и flq, где p<q. Так как , то отношения и невозможны для sk-2. Отношения и невозможны, так как flp, flqIk-. Из леммы 1 получаем .

Так как , то найдется функция , такая, что Fk-1(fl')=ml.

Отношение fl'Ik- невозможно, в силу определения числа ml и принципа инвариативности области. Отношения fl'Im- для m<k-1 невозможны, так как . Следовательно .

Продолжая таким образом, через k-n-2 шагов получим функцию , такую, что . Из условия следует утверждение теоремы 1.

Замечание 1. Класс F непрерывных слева, неотрицательных функций на [0, ) назовем верхним U-индексационным с дефектом n, если:

1. Класс F равномерно ограничен;

2. ;

3. Множества Ik+ (k-1, U) - открыты для всех k>n+1;

4. Для k>n из любой последовательности {fi}i1Ik+ такой, что

,

можно выделить подпоследовательность, относительно класса U слабо сходящуюся к некоторой функции ;

5. Ik+FU для kn+1.

Теорема 2. Пусть система образует T+-систему на [0, ), F-верхний W-индексационный с дефектом n класс функций на [0, ). Тогда

.

Определение 6. Систему непрерывных на [0, ) функций назовем T+1-системой, если она является T+-системой, и, кроме того, системы u1, …, ul-1, ul+1, …, un также являются T+-системами для .

Лемма 2. Пусть - T+1-система на [0, ), функции f и g таковы, что

(-1)n-i Fi(f) (-1)n-i Fi(g), .

Тогда отношения , и , , невозможны.

Доказательство. Допустим, что имеет место отношение и 1pn.

Пусть x1, …, xp-1 (-<x1<…<xp-1<) - точки перемен знака функции ; xо=-, xn=; . Выберем точки xn-1<xn-2<…<xp<xp-1 так, чтобы , , . Рассмотрим систему равенств

, (4)

где hi=1. Из условия следует, что hn=1. С другой стороны, из (4) получаем

,

где А - матрица, записанная в (4) слева, Ani - матрица, получаемая из А удалением i-ой строки и n-го столбца. Так как - T+1-система на [0, ), то detA>0, detAni>0, . Следовательно, hn0. Получили противоречие.

Случай , , рассматривается аналогично.

Теорема 3. Пусть - T+1-система на [0, ), F-нижний W-индексационный с дефектом n класс функций на [0, ). Тогда

.

Доказательство. Пусть . Возьмем последовательность векторов так, чтобы при и

для , j1.

Согласно теореме 1, для любого найдется последовательность такая, что .

Существует j1, такое, что , где - какая-либо метрика в Rn, и

, .

Выберем j2 так, чтобы и

, .

Продолжая таким образом, получим последовательность такую, что и

(5)

Рассмотрим произвольные и . Отношения и для k>n невозможны, в силу условий .

Из неравенств (5), в силу леммы 2, имеем

,

т. е. существует функция такая, что . Включение противоречит условию , в силу принципа инвариативности области.

Из произвольности следует утверждение теоремы 2.

Глава 1 Неравенство Маркова на индексационных классах

§ 1 Экстремальная задача

Пусть - некоторый класс функций распределения (ФР) на [a, b], -<a<b<; (t) - (n+1) раз непрерывно дифференцируемая функция на [a, b], причем (k)(t)>0 для t[a, b] и ; c1, …, cn - вещественные константы; [a, b].

Экстремальная задача. Найти супремум и инфимум интеграла

на множестве ФР из , удовлетворяющих ограничениям

, .

Для классов o - всех ФР на [a, b] и ВL - ФР на [a, b], удовлетворяющих условию , -<x<y<, задача решена в [1].

Важность решение экстремальных задач на разных классах ФР обоснована, например, в [1 - 5].

Задача при b решена в [4] для мажоризационных классов.

Анализ задачи на мажоризационных классах в общем случае наталкивается на трудности. Выход мы видим в рассмотрении классов с иной структурой - индексационных классов ФР.

Ниже предполагается, что - индексационный с дефектом n класс ФР на [a, b]. Определение индексационного с дефектом n класса приведено в [5]. Индексационными являются многие важные классы ФР, например, o, BL, класс унимодальных ФР на [a, b] и др.

Обозначим (k A, ): Ik+ (Ik-) -множество всех ФР из , имеющих индекс k+ (k-); ; - пространство моментов порядка k; ; ; , .

Основной результат работы содержится в утверждении.

Теорема. Пусть , . Тогда:

,

,

,

.

§ 2 Свойства отображения

Нам понадобятся два факта из [6].

1. Для любого существует и единственная ФР .

2. Если , то множество одноэлементно. Если , то существуют непрерывные, однопараметрические семейства (т. е. при и (значок обозначает слабую сходимость)) и ФР такие, что ,, , для и для .

Пусть и , где , a, b.

Функция непрерывна слева на [a, b] и (a)=0 для всех . Так как t>0 при t[a, b], то не убывает по .

Далее, из k при k следует . Следовательно, семейства распределений {} и {} непрерывны.

Определение 1. Функция f имеет на [a, b] m строгих перемен знака, если существуют множества B0(f)<…<Bm(f) (под X<Y (X, YR1) понимаем x<y для всех xX, yY) из [a, b] такие, что (-1)j f(x)>0 (или (-1)j+1f(x)>0 при xBj(f), и f(x)=0 при .

Лемма 1. Для любого распределения () и для любого , , функция - ( - ) имеет либо n+1, либо n+2 строгих перемен знака на [a, b].

Доказательство. Предположим, что функция - имеет более n+2 строгих перемен знака. Тогда существуют a<x0<x1<…<xn+3b такие, что (-1)i [ -] > 0, . Кроме того, (a)=(a)=0. Следовательно, существуют точки y0[a, x0), y1[x0, x1), …, yn+3[xn+2, xn+3) такие, что функция (-1)i [t - (t)] возрастает в точке yi, , что противоречит условию .

Равенство запишем в виде

tci, ,

где , , с0 = 1.

Очевидно, что последовательности u0, …, uk, , образуют T+ - системы на [a, b]. Из условия (k)(t)>0 для t[a, b] и следует (см. [1]), что последовательности -u0, …,-uk , и т.д.................


Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.