На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Диплом Концепция и основные аспекты профильного обучения на старшей ступени общего образования. Содержание, структура, пояснительная записка и учебно-тематический план элективного курса Многогранники, в том числе теоретический материал, вопросы и задачи.

Информация:

Тип работы: Диплом. Предмет: Математика. Добавлен: 26.09.2014. Сдан: 2009. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


2
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
КАФЕДРА информатики и теории преподавания математики
ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА
по специальности 050201.65 Математика-Физика 050203.65
Тема работы:
Элективный курс «Многогранники»

Выполнила: студентка 5 курса
физико-математического факультета
специальности математика-физика
Чеснокова Ирина Леонидовна
Научный руководитель: кандидат пед. наук,
доц. каф. информатики и методики
преподавания математики
Бондаренко Татьяна Евгеньевна
Воронеж-2008
Содержание
Введение 3
Глава I. Концепция профильного обучения на старшей ступени общего образования 5
1.1 Аспекты организации профильного обучения 5
1.1.1 Цели профильного обучения 5
1.1.2 Общественный запрос на профилизацию школы 6
1.1.3 Зарубежный опыт профильного обучения 8
1.1.4 Отечественный опыт профильного обучения 10
1.2 Содержательные аспекты профильного обучения 12
1.2.1 Возможные направления профилизации и структуры профилей 12
1.2.2 Возможные формы организации профильного обучения 14
1.2.3 Этапы введения профильного обучения 17
1.2.4 Примерные учебные планы для некоторых возможных профилей 18
Глава II. Элективный курс «Многогранники» 22
2.1 Структура элективного курса 22
2.1.1 Пояснительная записка 22
2.1.2 Учебно-тематический план элективного курса «Многогранники» 22
2.2 Содержание элективного курса 23
Заключение 76
Литература 77
Введение
Одно из направлений модернизации российского образования связано с переводом старшей школы на профильное обучение. В соответствии с «Концепцией профильного обучения на старшей ступени общего образования» дифференциация содержания обучения в старших классах осуществляется на основе различных сочетаний курсов трех типов: базовых, профильных, элективных.
Базовые общеобразовательные курсы отражают обязательную для всех школьников инвариантную часть образования и направлены на завершение общеобразовательной подготовки обучающихся.
Профильные курсы обеспечивают углубленное изучение отдельных предметов и ориентированы на подготовку выпускников школы к последующему профессиональному образованию.
Элективные курсы (курсы по выбору) связаны с удовлетворением индивидуальных образовательных интересов, потребностей и склонностей каждого школьника. Они являются важнейшим средством построения индивидуальных образовательных программ.
По назначению можно выделить несколько типов элективных курсов, одни из них являются как бы "надстройкой" профильных курсов и обеспечивают для наиболее способных школьников повышенный уровень изучения предмета. Другие - обеспечивают межпредметные связи и дают возможность изучать смежные учебные предметы на профильном уровне. Третий тип элективных курсов призван помочь школьнику, обучающемуся в профильном базовом уровне, подготовиться к сдаче ЕГЭ по этому предмету на повышенном уровне.
В связи с выше сказанным, актуальна проблема обеспечения учителя комплектом элективных курсов по математике.
Цель настоящей работы состояла в создании элективного курса для учащихся профильного уровня обучения математике.
В качестве темы элективного курса выбрана тема «Многогранники», содержащая богатые возможности для решения образовательных, воспитательных и развивающих задач обучения.
Выбор темы элективного курса определялся задействованностью понятия многогранники.
Для достижения поставленной цели было необходимо решить следующие задачи:
-- изучить нормативные документы, регламентирующие введение профильного обучения;
проанализировать литературу по выбранной теме "Многогранники";
-- отобрать содержание элективного курса, разработать его структуру и методические рекомендации по использованию.
Объектом нашего исследования был выбран процесс обучения математике на профильном уровне, а его предметом -- элективные курсы в системе профильного обучения.
Работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы.
В первой главе рассматривается концепция профильного обучения на старшей ступени общего образования. Во второй главе приводится содержание элективного курса " Многогранники ". В ней дано содержание девяти занятий элективного курса «Многогранники», в каждое из которых включены следующие вопросы: основной теоретический материал, вопросы для учащихся, задачи для решения на занятии, домашнее задание (общее для всей группы и индивидуальное), список литературы для самостоятельного изучения учащимися.
Разработанный элективный курс может быть полезен для учителей математики профильного уровня обучения, а также для студентов математических специальностей педагогических вузов.
Глава I. Концепция профильного обучения на старшей ступени общего образования
1.1 Аспекты организации профильного обучения
1.1.1 Цели профильного обучения
В соответствии с распоряжением Правительства Российской Федерации от 29 декабря 2001г. № 1756-р об одобрении Концепции модернизации российского образования на период до 2010г. на старшей ступени общеобразовательной школы предусматривается профильное обучение, ставится задача создания "системы специализированной подготовки профильного обучения в старших классах общеобразовательной школы, ориентированной на индивидуализацию обучения и социализацию обучающихся, в том числе с учетом реальных потребностей рынка труда <...> отработки гибкой системы профилей и кооперации старшей ступени школы с учреждениями начального, среднего и высшего профессионального образования ".
Прежде всего, следует разграничить понятия "профильное обучение" и "профильная школа".
Профильное обучение - средство дифференциации и индивидуализации обучения, позволяющее за счет изменений в структуре, содержании и организации образовательного процесса более полно учитывать интересы, склонности и способности учащихся, создавать условия для обучения старшеклассников в соответствии с их профессиональными интересами и намерениями в отношении продолжения образования. Профильная школа есть институциональная форма реализации этой цели. Это основная форма, однако, перспективными в отдельных случаях могут стать иные формы организации профильного обучения, в том числе выводящие реализацию соответствующих образовательных стандартов и программ за стены отдельного общеобразовательного учреждения.
Профильное обучение направлено на реализацию личностно ориентированного учебного процесса. При этом существенно расширяются возможности выстраивания учеником индивидуальной образовательной траектории.
Переход к профильному обучению преследует следующие основные цели:
-- обеспечить углубленное изучение отдельных предметов программы полного общего образования;
создать условия для существенной дифференциации содержания обучения старшеклассников с широкими и гибкими возможностями построения школьниками индивидуальных образовательных программ;
способствовать установлению равного доступа к полноценному образованию разным категориям обучающихся в соответствии с их способностями, индивидуальными склонностями и потребностями;
-- расширить возможности социализации учащихся, обеспечить преемственность между общим и профессиональным образованием, более эффективно подготовить выпускников школы к освоению программ высшего профессионального образования.
1.1.2 Общественный запрос на профилизацию школы
Основная идея обновления старшей ступени общего образования состоит в том, что образование здесь должно стать более индивидуализированным, функциональным и эффективным.
Многолетняя практика убедительно показала, что, как минимум, начиная с позднего подросткового возраста, примерно с 15 лет, в системе образования должны быть созданы условия для реализации обучающимися своих интересов, способностей и дальнейших (послешкольных) жизненных планов.
Социологические исследования доказывают, что большинство старшеклассников (более 70%) отдают предпочтение тому, чтобы "знать основы главных предметов, а углубленно изучать только те, которые выбираются, чтобы в них специализироваться". Иначе говоря, профилизация обучения в старших классах соответствует структуре образовательных и жизненных установок большинства старшеклассников. При этом традиционную позицию "как можно глубже и полнее знать все изучаемые в школе предметы (химию, физику, литературу, историю и т. д.)" поддерживают около четверти старшеклассников.
К 15-16 годам у большинства учащихся складывается ориентация на сферу будущей профессиональной деятельности. Так, по данным социологических опросов, проведенных в 2002 году Центром социологических исследований Мин. образования России, "профессиональное самоопределение тех, кто в дальнейшем намерен учиться в ПТУ или техникуме (колледже) начинается уже в 8-м классе и достигает своего пика в 9-м, а профессиональное самоопределение тех, кто намерен продолжить учебу в вузе, в основном складывается в 9-м классе". При этом примерно 70-75 % учащихся в конце 9-го класса уже определились в выборе возможной сферы профессиональной деятельности.
В настоящее время в высшей школе сформировалось устойчивое мнение о необходимости дополнительной специализированной подготовки старшеклассников для прохождения вступительных испытаний и дальнейшего образования в вузах. Традиционная непрофильная подготовка старшеклассников в общеобразовательных учреждениях привела к нарушению преемственности между школой и вузом, породила многочисленные подготовительные отделения вузов, репетиторство, платные курсы и др.
Большинство старшеклассников считают, что существующее ныне общее образование не дает возможностей для успешного обучения в вузе и построения дальнейшей профессиональной карьеры. В этом отношении нынешний уровень и характер полного среднего образования считают приемлемым менее 12% опрошенных учащихся старших классов (данные Всероссийского центра изучения общественного мнения).
1.1.3 Зарубежный опыт профильного обучения
Реформы образования происходят сейчас в большинстве развитых стран мира. При этом особое место в них отводится проблеме профильной дифференциации обучения.
В большинстве стран Европы (Франция, Голландия, Шотландия, Англия, Швеция, Финляндия, Норвегия, Дания и др.) все учащиеся до 6-го года обучения в основной общеобразовательной школе формально получают одинаковую подготовку. К 7-му году обучения ученик должен определиться в выборе своего дальнейшего пути. Каждому ученику предлагаются два варианта продолжения образования в основной школе: "академический", который в дальнейшем открывает путь к высшему образованию, и "профессиональный", в котором обучаются по упрощенному учебному плану, содержащему преимущественно прикладные и профильные дисциплины. При этом многие ученые-педагоги европейских стран считают нецелесообразной раннюю профилизацию (в основной школе).
В США профильное обучение существует на последних двух или трех годах обучения в школе. Учащиеся могут выбрать три варианта профиля: академический, общий и профессиональный, в котором дается предпрофессиональная подготовка. Вариативность образовательных услуг в них осуществляется за счет расширения спектра различных учебных курсов по выбору. При этом прежде всего учитываются запросы и пожелания родителей, планирующих профиль для своих детей.
Анализ зарубежного опыта позволяет выделить следующие общие для всех изученных стран черты организации обучения на старшей ступени общего образования:
Общее образование на старшей ступени во всех развитых странах является профильным.
Как правило, профильное обучение охватывает три, реже два последних года обучения в школе.
Доля учащихся, продолжающих обучение в профильной школе, неуклонно возрастает во всех странах и составляет в настоящее время не менее 70%.
Количество направлений дифференциации, которые можно считать аналогичными профилей, невелико. Например, два в англоязычных странах (академический и неакадемический), три во Франции (естественно научный, филологический, социально-экономический) и три в Германии ("язык - литература - искусство", "социальные науки", "математика - точные науки - технология").
Организация профильной подготовки различается по способу формирования индивидуального учебного плана обучающегося: от достаточно жестко фиксированного перечня обязательных учебных курсов (Франция, Германия) до возможности набора из множества курсов, предлагаемых за весь период обучения (Англия, Шотландия, США и др.). Как правило, школьники должны выбрать не менее 15 и не более 25 учебных курсов продолжительностью до одного семестра. Аналогами таких курсов в России можно было бы считать учебные модули, из которых возможно строить множество самостоятельных курсов.
Количество обязательных учебных предметов (курсов) на старшей ступени по сравнению с основной существенно меньше. Среди них присутствуют в обязательном порядке естественные науки, иностранные языки, математика, родная словесность, физическая культура.
Как правило, старшая профильная школа выделяется как самостоятельный вид образовательного учреждения: лицей - во Франции, гимназия - в Германии, "высшая" школа - в США.
Дипломы (свидетельства) об окончании старшей (профильной) школы обычно дают право прямого зачисления в высшие учебные заведения за некоторыми исключениями, например, во Франции прием в медицинские и военные вузы проходит на основе вступительных экзаменов.
Весь послевоенный период количество профилей и учебных курсов на старшей ступени школы за рубежом постоянно сокращалось, одновременно росло число обязательных предметов и курсов. При этом все более отчетливо проявлялись влияние и возрастающая ответственность центральной власти за организацию и результаты образования. Это отражается на всех этапах проведения экзаменов, в разработке национальных образовательных стандартов, уменьшении разнообразия учебников и др.
1.1.4 Отечественный опыт профильного обучения
Российская школа накопила немалый опыт по дифференцированному обучению учащихся. Первая попытка осуществления дифференциации обучения в школе относится к 1864 г. Соответствующий указ предусматривал организацию семиклассных гимназий двух типов: классическая (цель - подготовка в университет) и реальная (цель - подготовка к практической деятельности и к поступлению в специализированные учебные заведения).
Новый импульс идея профильного обучения получила в процессе подготовки в 1915-1916 годах реформы образования, осуществлявшейся под руководством министра просвещения П. Н. Игнатьева. По предложенной структуре 4 - 7-е классы гимназии разделялись на три ветви: новогуманитарную, гуманитарно-классическую, реальную.
В 1918 г. состоялся первый Всероссийский съезд работников просвещения, и было разработано Положение о единой трудовой школе, предусматривающее профилизацию содержания обучения на старшей ступени школы. В старших классах средней школы выделялись три направления: гуманитарное, естественно-математическое и техническое.
В 1934 г. ЦК ВКП(б) и Совет народных комиссаров СССР принимают постановление "О структуре начальной и средней школы в СССР", предусматривающее единый учебный план и единые учебные программы. Однако введение на всей территории СССР единой школы со временем высветило серьезную проблему: отсутствие преемственности между единой средней школой и глубоко специализированными высшими учебными заведениями, что заставило ученых-педагогов в который раз обратиться к проблеме профильной дифференциации на старших ступенях обучения.
Академия педагогических наук в 1957 г. выступила инициатором проведения эксперимента, в котором предполагалось провести дифференциацию по трем направлениям: физико-математическому и техническому; биолого-агрономическому; социально-экономическому и гуманитарному. С целью дальнейшего улучшения работы средней общеобразовательной школы в 1966 г. были введены две формы дифференциации содержания образования по интересам школьников: факультативные занятия в 8 - 10-х классах и школы (классы) с углубленным изучением предметов, которые, постоянно развиваясь, сохранились вплоть до настоящего времени.
В конце 80-х - начале 90-х годов в стране появились новые виды общеобразовательных учреждений (лицеи, гимназии), ориентированные на углубленное обучение школьников по избираемым ими образовательным областям с целью дальнейшего обучения в вузе. Также многие годы успешно существовали и развивались специализированные (в известной мере, профильные) художественные, спортивные, музыкальные и др. школы. Этому процессу способствовал Закон Российской Федерации 1992 года "Об образовании", закрепивший вариативность и многообразие типов и видов образовательных учреждений и образовательных программ.
Таким образом, направление развития профильного обучения в российской школе в основном соответствует мировым тенденциям развития образования.
Вместе с тем сеть общеобразовательных учреждений с углубленным изучением предметов (гимназии, лицеи и др.) пока развита недостаточно. Для большинства школьников они малодоступны. Это ведет к таким негативным явлениям, как массовое репетиторство, платные подготовительные курсы при вузах и т.п. Профилизация обучения в старших классах школы должна внести позитивный вклад в разрешение подобных проблем.
1.2 Содержательные аспекты профильного обучения
1.2.1 Возможные направления профилизации и структуры профилей
Важнейшим вопросом организации профильного обучения является определение структуры и направлений профилизации, а также модели организации профильного обучения. При этом следует учитывать, с одной стороны, стремление наиболее полно учесть индивидуальные интересы, способности, склонности старшеклассников (это ведет к созданию большого числа различных профилей), с другой - ряд факторов, сдерживающих процессы такой во многом стихийной дифференциации образования: введение единого государственного экзамена, утверждение стандарта общего образования, необходимость стабилизации федерального перечня учебников, обеспечение профильного обучения соответствующими педагогическими кадрами и др.
Очевидно, что любая форма профилизации обучения ведет к сокращению инвариантного компонента. В отличие от привычных моделей школ с углубленным изучением отдельных предметов, когда один-два предмета изучаются по углубленным программам, а остальные- на базовом уровне, реализация профильного обучения возможна только при условии относительного сокращения учебного материала непрофильных предметов, изучаемых с целью завершения базовой общеобразовательной подготовки учащихся.
Модель общеобразовательного учреждения с профильным обучением на старшей ступени предусматривает возможность разнообразных комбинаций учебных предметов, что и будет обеспечивать гибкую систему профильного обучения. Эта система должна включать в себя следующие типы учебных предметов: базовые общеобразовательные, профильные и элективные.
Базовые общеобразовательные предметы являются обязательными для всех учащихся во всех профилях обучения. Предлагается следующий набор обязательных общеобразовательных предметов: математика, история, русский и иностранные языки, физическая культура, а также интегрированные курсы обществоведения (для естественно-математического, технологического и иных возможных профилей), естествознания (для гуманитарного, социально-экономического и иных возможных профилей).
Профильные общеобразовательные предметы - предметы повышенного уровня, определяющие направленность каждого конкретного профиля обучения. Например, физика, химия, биология- профильные предметы в естественно-научном профиле; литература, русский и иностранные языки - в гуманитарном профиле; история, право, экономика и др.- в социально-экономическом профиле и т. д. Профильные учебные предметы являются обязательными для учащихся, выбравших данный профиль обучения.
Содержание указанных двух типов учебных предметов составляет федеральный компонент государственного стандарта общего образования.
Достижение выпускниками уровня требований государственного образовательного стандарта по базовым общеобразовательным и профильным предметам определяется по результатам единого государственного экзамена.
Элективные курсы - обязательные для посещения курсы по выбору учащихся, входящие в состав профиля обучения на старшей ступени школы. Элективные курсы реализуются за счет школьного компонента учебного плана и выполняют две функции. Одни из них могут «поддерживать» изучение основных профильных предметов на заданном профильным стандартом уровне. Например, элективный курс «Математическая статистика» поддерживает изучение профильного предмета экономики. Другие элективные курсы служат для внутри профильной специализации обучения и для построения индивидуальных образовательных траекторий. Например, курсы «Информационный бизнес», «Основы менеджмента» и др. в социально-гуманитарном профиле; курсы «Химические технологии», «Экология» и др. в естественно-научном профиле. Количество элективных курсов, предлагаемых в составе профиля, должно быть избыточно по сравнению с числом курсов, которое обязан выбрать учащийся. По элективным курсам единый государственный экзамен не проводится.
При этом примерное соотношение объемов базовых общеобразовательных, профильных общеобразовательных предметов и элективных курсов определяется пропорцией 50:30:20.
Предлагаемая система не ограничивает общеобразовательное учреждение в организации того или иного профиля обучения (или нескольких профилей одновременно), а школьника в выборе различных наборов базовых общеобразовательных, профильных предметов и элективных курсов, которые в совокупности и составят его индивидуальную образовательную траекторию. Во многих случаях это потребует реализации нетрадиционных форм обучения, создания новых моделей общего образования. В приложении в качестве примера реализации одной из моделей профильного обучения предлагаются варианты учебных планов для четырех возможных профилей: естественно-математический, социально-экономический, гуманитарный, технологический. Следует отметить, что возможно такое построение образовательного процесса, когда комбинации общеобразовательных и профильных предметов дадут самые различные формы профилизации: для общеобразовательного учреждения, для отдельных классов, для групп учащихся.
1.2.2 Возможные формы организации профильного обучения
Предлагаемая концепция профильного обучения исходит из многообразия форм его реализации.
Возможна такая организация образовательных учреждений различных уровней, при которой не только реализуется содержание выбранного профиля, но и предоставляется возможность учащимся осваивать интересное и важное для каждого из них содержание из других профильных предметов. Такая возможность может быть реализована как посредством разнообразных форм организации образовательного процесса (дистанционные курсы, факультативы, экстернат), так и за счет кооперации (объединения образовательных ресурсов) различных образовательных учреждений (общеобразовательные учреждения, учреждения
дополнительного, начального и среднего профессионального образования и др.). Это позволит старшекласснику одного общеобразовательного учреждения при необходимости воспользоваться образовательными услугами других учреждений общего, начального и среднего профессионального образования, обеспечивающих наиболее полную реализацию интересов и образовательных потребностей учащихся.
Таким образом, можно выделить несколько вариантов (моделей) организации профильного обучения.
1) Модель внутришкольной профилизации Общеобразовательное учреждение может быть однопрофильным (реализовывать только один избранный профиль) и многопрофильным (организовать несколько профилей обучения).
Общеобразовательное учреждение может быть в целом не ориентировано на конкретные профили, но за счет значительного увеличения числа элективных курсов предоставлять школьникам (в том числе в форме многообразных учебных межклассных групп) возможность в полной мере осуществлять свои индивидуальные профильные образовательные программы, включая в них те или иные профильные и элективные курсы.
2) Модель сетевой организации
В подобной модели профильного обучения учащихся конкретной школы осуществляется за счет целенаправленного и организованного привлечения образовательных ресурсов иных образовательных учреждений. Оно может строиться в двух основных вариантах.
Первый вариант связан с объединением нескольких общеобразовательных учреждений вокруг наиболее сильного общеобразовательного учреждения, обладающего достаточным материальным и кадровым потенциалом, которое выполняет роль "ресурсного центра". В этом случае каждое общеобразовательное учреждение данной группы обеспечивает преподавание в полном объеме базовых общеобразовательных предметов и ту часть профильного обучения (профильные предметы и элективные курсы), которую оно способно реализовать в рамках своих возможностей. Остальную профильную подготовку берет на себя "ресурсный центр".
Второй вариант основан на кооперации общеобразовательного учреждения с учреждениями дополнительного, высшего, среднего и начального профессионального образования и привлечении дополнительных образовательных ресурсов. В этом случае учащимся предоставляется право выбора получения профильного обучения не только там, где они учатся, но и в кооперированных с общеобразовательным учреждением образовательных структурах (дистанционные курсы, заочные школы, учреждения профессионального образования и др.).
Предложенный подход не исключает возможности существования и дальнейшего развития универсальных (непрофильных) школ и классов, не ориентированных на профильное обучение, и различного рода специализированных общеобразовательных учреждений (хореографические, музыкальные, художественные, спортивные школы, школы-интернаты при крупных вузах и др.).
Решение об организации профильного обучения в конкретном образовательном учреждении принимает его учредитель по представлению администрации образовательного учреждения и органов его общественного самоуправления.
Взаимосвязь профильного обучения со стандартами общего образования и единым государственным экзаменом
Важна связь профильного обучения на старшей ступени с общей установкой на введение государственного стандарта общего образования. Если модернизация образования предусматривает введение института единого государственного экзамена, если речь идет о становлении общенациональной системы контроля качества образования, то, очевидно, объективность и реализуемость подобной системы может быть обеспечена только введением соответствующих образовательных стандартов не только для базовых общеобразовательных, но и для профильных общеобразовательных предметов.
В связи с этим профилизация обучения в старшей школе должна быть прямо соотнесена с вводимым единым государственным экзаменом.
1.2.3 Этапы введения профильного обучения
При планировании введения профильного обучения следует принять во внимание объективную необходимость подготовительной работы по обновлению содержания образования и его обеспечения (стандарты, учебные планы, примерные программы, учебники и методические пособия, переподготовка кадров и проч.). Следует также учитывать необходимость соотнесения планируемых действий с рядом осуществляемых общесистемных нововведений в образовании. В частности, введение единого государственного экзамена. С учетом реально складывающейся ситуации предлагаются следующие этапы перехода на профильное обучение в среднесрочной перспективе.
Предварительным этапом введения профильного обучения является начало перехода на предпрофильное обучение в последнем классе основной ступени.
При содействии муниципальных и региональных органов управления образованием необходимо организовать повышение квалификации учителей и администрации общеобразовательных учреждений, принять меры по обеспечению школ учебными пособиями и при необходимости учебниками, отвечающими задачам профильного обучения.
Перед введением профильного обучения в общеобразовательных учреждениях должен быть проведен значительный объем работ по обеспечению предстоящего выбора учащимися профилей обучения (анкетирование, беседы с родителями и др.).
Параллельно должна быть осуществлена разработка процедуры приема выпускников предпрофильных классов в профильные школы (классы, группы). Органам управления образованием различных уровней целесообразно разработать предложения по сетевому взаимодействию образовательных учреждений, обеспечивающему наиболее сбалансированный спектр возможностей получения старшеклассниками полного среднего образования на профильном уровне, а также в непрофильных (общеобразовательных) школах, классах и группах.
На основе примерных нормативов и расчетов субъекты Российской Федерации должны представить предложения в проекты территориальных бюджетов с целью дополнительного бюджетного финансирования работы старших классов общеобразовательных учреждений, планирующих переход на профильное обучение.
На следующем этапе должна быть продолжена работа по созданию нового поколения учебной литературы, уточнению базисных учебных планов, разработке и принятию примерных учебных планов профилей и ежегодному расширению числа школ и обучающихся, переходящих на профильное обучения на основе соответствующих региональных программ.
1.2.4 Примерные учебные планы для некоторых возможных профилей
Таблица. Естественно-математический профиль
Учебные курсы
Число недельных учебных часов за 2 года
Базовые общеобразовательные предметы
Русский язык и литература
6
Иностранный язык
6
История
4
Обществоведение
4
Физическая культура
6
Профильные общеобразовательные предметы
Математика (базовый общеобразовательный и профильный курсы)
12
физика
8
Химия
6
География
4
Биология
16
Элективные курсы (три курса на выбор)
5-6 курсов, предлагаемых школой
Всего 12
Учебные практики, проекты, исследовательская деятельность
Не менее 70 учебных часов за 2 года
Таблица. Социально-экономический профиль
Учебные курсы
Число недельных учебных часов за 2 года
Базовые общеобразовательные предметы
Русский язык и литература
6
Иностранный язык
6
Естествознание
6
Математика
8
Физическая культура
6
Профильные общеобразовательные предметы
История (базовый общеобразовательный и профильный курсы)
10
Экономика
6
Право
6
Экономическая и социальная география
4
Социология
4
Элективные курсы (три курса на выбор)
5-6 курсов, предлагаемых школой
Всего 12
Учебные практики, проекты, исследовательская деятельность
Не менее 70 учебных часов за 2 года обучения
Таблица. Гуманитарный профиль
Учебные курсы
Число недельных учебных часов за 2 года
Базовые общеобразовательные предметы
Математика
6
Естествознание
6
Физическая культура
6
Профильные общеобразовательные предметы
Русский язык и литература (базовый общеобразовательный и профильный курсы)
12
Иностранный язык (базовый общеобразовательный и профильный курсы)
10
История (базовый общеобразовательный и профильный курсы)
8
Обществоведение (базовый общеобразовательный и профильный курсы)
8
Искусство
6
Элективные курсы (три курса на выбор)
5-6 курсов, предлагаемых школой
Всего 12
Учебные практики, проекты, исследовательская деятельность
Не менее 70 учебных часов за 2 года обучения
Таблица. Технологический профиль (специализация - информационные технологии)
Учебные курсы
Число недельных учебных часов за 2 года
Базовые общеобразовательные предметы
Русский язык и литература
6
История и обществоведение
8
Естествознание
6
Физическая культура
6
Профильные общеобразовательные предметы
Иностранный язык (базовый общеобразовательный и профильный курсы)
8
Математика (базовый общеобразовательный и профильный курсы)
10
Физика
6
Информатика и ИКТ
10
Элективные курсы (три курса на выбор)
5-6 курсов, предлагаемых школой
Всего 24
Учебные практики, проекты, исследовательская деятельность
Не менее 140 учебных часов за 2 года обучения
Таблица. ПРИМЕРНЫЙ УЧЕБНЫЙ ПЛАН для универсального обучения (непрофильные школы и классы)
Учебные курсы
Число недельных учебных часов за 2 года
Базовые общеобразовательные предметы
Русский язык и литература
8
Математика
8
Иностранный язык
6
История
4
Обществоведение (включая экономику и право)
8
Естествознание
10
Физическая культура
6
Информатика
4
Технология
4
Элективные курсы (4 курса на выбор и (или) часы на углубление базовых курсов)
5-6 курсов, предлагаемых школой
Всего 16
Учебные практики, проекты, исследовательская деятельность
Не менее 70 учебных часов за 2 года обучения
Глава II. Элективный курс «Многогранники»
2.1 Структура элективного курса
2.1.1 Пояснительная записка
Элективный курс для профильной подготовки учащихся посвящен систематическому изложению учебного материала, показана связь теории многогранников с современными разделами математики: топологией, теорией графов.
Для курса характерна практическая направленность. Введены элементы истории и практических приложений. Изложение практических приемов решения сопровождается необходимыми теоретическими сведениями.
Элективный курс "Многогранники" способствует воспитанию чувства красоты математики посредством широкого использования многогранников в архитектуре, живописи, декоративно-прикладном искусстве. Изготовление моделей правильных, полуправильных и правильных звёздчатых многогранников служит развитию пространственного воображения и конструктивных навыков учащихся.
Таким образом, основная роль элективного курса «Многогранники» состоит в совершенствовании подготовки учащихся старших классов физико-математического профиля.
2.1.2 Учебно-тематический план элективного курса «Многогранники»
№ п/п
Тема занятия
Количество часов
1
Многогранники. Основные определения.
1
2
Выпуклые многогранники и их свойства.
1
3
Теорема Эйлера.
1
4
Применение теоремы Эйлера к решению некоторых задач.
2
5
Правильные многогранники.
2
6
Полуправильные и звездчатые многогранники.
2
7
Модели многогранников.
1
8
Равновеликость и равносоставленность.
1
9
Симметрия многогранников.
2
Всего
13
2.2 Содержание элективного курса
ЗАНЯТИЕ №1. Многогранники. Основные определения.
Будем использовать определение многогранника как тела, граница которого состоит из конечного числа многоугольников. При этом понятия тела и границы тела нуждаются в уточнении. Хотя они имеют довольно наглядный смысл, их строгое определение является сложным и использует такие начальные понятия топологии, как внутренняя и граничная точки, внутренность, граница, связность, ограниченность.
Определение: Точка х0 пространственной фигуры Ф называется внутренней, если вблизи этой точки нет точек, не принадлежащих фигуре Ф, т.е. существует шар с центром в точке х0, целиком лежащий в фигуре Ф.
Определение: Точка х0 в пространстве называется граничной точкой фигуры Ф, если сколько угодно близко от точки х0 имеются как точки, принадлежащие фигуре Ф, так точки, не принадлежащие фигуре Ф, т.е. любой шар с центром в точке х0 содержит как точки, принадлежащие фигуре Ф, так и точки, не принадлежащие фигуре Ф. Например, центр О куба со стороной 1 является внутренней точкой куба, так как шар с центром в точке О и радиусом целиком содержится в кубе. Точка А является граничной точкой этого куба, поскольку любой шар с центром в точке а содержит точки, принадлежащие кубу (например, точка А), и точки не принадлежащие кубу (например, точка Е).
Определение: Внутренностью фигуры Ф называется фигура Ф° , состоящая из всех ее внутренних точек. Фигура Ф называется открытой, если Ф = Ф°.
Определение: Границей фигуры Ф называется фигура Г(Ф), состоящая из всех ее граничных точек фигуры Ф. Фигура Ф называется замкнутой если она содержит свою границу, т.е. Г(Ф)Ф. Например, куб является замкнутой фигурой, и граница куба состоит из шести квадратов.
Определение: Фигура Ф называется связной, если любые две ее точки можно соединить содержащейся в ней ломаной и даже отрезком.
Определение: Открытая пространственная фигура называется пространственной областью.
Определение: Фигура Ф называется ограниченной, если существует шар, целиком содержащий фигуру Ф.
Определение: Телом называется ограниченная пространственная область вместе со своей границей.
Определение: Связные фигуры, у которых вместе с любыми двумя их точками им принадлежит и отрезок, соединяющий эти точки, называются выпуклыми.
Определение: Многогранник называется выпуклым, если он является выпуклой фигурой.
Теорема. Пусть А- внутренняя точка фигуры Ф; В- точка, не принадлежащая фигуре Ф. Тогда отрезок, соединяющий точки А и В, содержит хотя бы одну граничную точку фигуры Ф.
Доказательство:
Разделим отрезок АВ пополам и рассмотрим его середину С1. Она либо принадлежит, либо не принадлежит фигуре Ф. В первом случае возьмем правую половину отрезка АВ, а во втором - его левую половину. В том и другом случае у взятого отрезка левый конец принадлежит фигуре Ф, а правый конец -не принадлежит фигуре Ф.
Разделим полученный отрезок пополам точкой С2 и, повторив выше описанную процедуру, опять получим отрезок, левый конец которого принадлежит фигуре Ф, а правый - не принадлежит Ф. Повторяя деление отрезков пополам, получим последовательность вложенных отрезков, левый концы которых принадлежат Ф, а правые- не принадлежат Ф.
Обозначим через С точку, являющуюся пересечением этих отрезков, тогда сколь угодно близко от нее имеются точки, принадлежащие фигуре Ф (левые концы отрезков) и сколь угодно близко от нее имеются точки, не принадлежащие фигуре Ф (правые концы отрезков). Следовательно, С- искомая граничная точка фигуры Ф.
Задачи:
Для перечисленных ниже пространственных фигур Ф указать точки, которые являются граничными, и точки, которые не являются граничными: а) Ф-шар; б) Ф-сфера; в) Ф- плоскость; г) Ф- пространство; д) Ф- фигура, состоящая из точек пространства с рациональными координатами.
Из перечисленных в задаче 1 фигур указать те, для которых Ф = Ф°, и те, для которых Ф Ф°.
Указать, какие фигуры, рассмотренные в задаче 1, являются ограниченными, не являются ограниченными.
Доказать, что объединение двух ограниченных фигур является ограниченной фигурой.
Указать, какие фигуры, рассмотренные в задаче 1, являются замкнутыми.
Указать какие фигуры, рассмотренные в задаче 1, являются связными, а какие - несвязными. Привести пример связной фигуры, в которой не все пары точек можно соединить отрезком.
Указать какие фигуры, рассмотренные в задаче 1, являются телом, а какие нет, и почему.
Указать какие фигуры, изображенные на рисунке 1, являются многогранниками, а какие нет, и почему.
Всегда ли является многогранником: а) объединение двух многогранников; б) пересечение двух многогранников?
Многогранник разделили плоскостью на две части. Является ли каждая из них многогранником?
Задание на дом
Общее задание
Задачи:
Для перечисленных ниже пространственных фигур Ф указать внутренние и граничные точки: а) Ф- тетраэдр; б) Ф- прямая; в) Ф- полупространство; г) Ф- фигура, состоящая из точек куба с рациональными координатами.
Будет ли фигура ограниченной, если она содержится в тетраэдре?
Доказать, что пересечение связных фигур связно. Верно ли это для объединения?
Индивидуальное задание. Сообщение по статье: Савин А. Кое-что о выпуклости // Квант, 1979, №1. С.42, 43.
ЗАНЯТИЕ №2. Выпуклые многогранники и их свойства
Целью данного занятия является: ознакомить учащихся с понятиями выпуклости, выпуклого многогранника; рассмотреть примеры выпуклых многогранников, отличных от выпуклых призм и выпуклых пирамид, и некоторые свойства выпуклых многогранников.
Выше было определено понятие связной фигуры. Выделим связные фигуры, у которых вместе с любыми двумя их точками им принадлежит отрезок, соединяющий эти точки. Такие фигуры называются выпуклыми.
Среди свойств выпуклых фигур выделим следующее.
Пусть х0- внутренняя точка выпуклой фигуры Ф, тогда для любой точки х1є Ф отрезок х0 х1, за исключением, может быть, самой точки х1 состоит из внутренних точек.
Действительно пусть - такое положительное число, что
и , .
Рассмотрим
;
тогда и, следовательно, х- внутренняя точка Ф.
Многогранник называется выпуклым, если он является выпуклой фигурой.
Задачи:
Доказать, что пересечение двух (или даже нескольких) выпуклых фигур будет выпуклой фигурой.
Является ли выпуклая фигура связной? Связная - выпуклой? Привести примеры.
Определить многогранники, которые являются выпуклыми и не выпуклыми пространственными фигурами, на рисунке 2.
Свойства выпуклых многогранников
Выпуклый многогранник лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани.
Доказательство
Пусть М-выпуклый многогранник и - его произвольная грань, -плоскость, в которой лежит многоугольник. Пусть х0 -произвольная внутренняя точка М и х1 - произвольная точка М. Тогда полуинтервал состоит из внутренних точек и, следовательно, не пересекается с , т.е. х1 лежит по ту же сторону от , что и х0.
Если выпуклый многогранник лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани, то он выпуклый.
Доказательство
Пусть М- многогранник, лежащий по одну сторону от плоскости каждой своей грани. Из этого следует, что М есть пересечение полупространств. Действительно, ясно, что М содержится в пересечении полупространств. Покажем, что верно и обратное включение. Предположим противное, т.е. что существует точка X1, не принадлежащая многограннику М и не принадлежащая пересечению полупространств.
Рассмотрим какую-нибудь внутреннюю точку Х0 многогранника М. Тогда отрезок, соединяющий точки Х0 и X1, пересекается с границей М и, следовательно, с некоторой гранью М. Рассмотрим плоскость, проходящую через эту грань. Тогда точки Х0 и X1 лежат по разные стороны от этой плоскости, это противоречит предположению о том, что многогранник М лежит по одну сторону от каждой своей грани, чем и завершается доказательство того, что М является пересечением полупространств. Так как полупространство является выпуклой фигурой (задача 5), и пересечение выпуклых фигур является выпуклой фигурой (задача 1), получаем, что М является выпуклой фигурой.
Заметим также, что из свойств I и II следует, что многогранник выпуклый тогда и только тогда, когда он лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани. Этим свойством часто определяют выпуклый многогранник.
Литература
Александров А.Д. Выпуклые многогранники. М.,Л.: Гостехиздат, 1950. С.13-29.
Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия для 9 - 10-х классов: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. М.: Просвещение, 1984. С.157, 158, 189-192, 224-227.
Болтянский В.Г., Яглом И.М. Выпуклые фигуры. Н.'Л.: Гостехиздат, I95I-. С. 13-29.
Болтянский В.Г., Яглом И.М. Выпуклые многоугольники и ' многогранники // Математика в школе, 1966, I» 3. C.I2-25.
Люстерник Л.А. Выпуклые фигуры и многогранники. M.JJI.: Гостехиздат, 1956.
Савин А. Кое-что о выпуклости // Квант, 1979, * I. С.42-44.
Задание на дом.
Общее задание.
Задачи:
1. На рис. 3 указать, какие многогранники являются выпуклыми и какие не являются выпуклыми.
2. Доказать, что каждая грань выпуклого многогранника является выпуклым многоугольником.
3. Доказать, что пирамида является выпуклым многогранником тогда и только тогда, когда ее основание - выпуклый многоугольник.
4. Доказать, что любой выпуклый многогранник можно разбить на конечное число тетраэдров.
Индивидуальное задание. Сообщение по статье: Мышкис А., Садовский Л. Прикладная математика // Квант, 1979, № 6. с.41-48.
ЗАНЯТИЕ № 3. Теорема Эйлера.
На данном занятии рассматривается еще одно интересное свойство выпуклых многогранников, связанное с числом граней, вершин и ребер выпуклого многогранника.
Сначала с учащимися рассматриваются модели многогранников и заполняется следующая таблица (где Г - число граней, В - число вершин, Р - число ребер рассматриваемого многогранника):
Название:
Число ребер при вершине
Число сторон грани
Число граней
Число ребер
Число вершин
Тетраэдр
3
3
4
6
4
Куб
3
4
6
12
8
Октаэдр
4
3
8
12
6
Додекаэдр
3
5
12
30
20
Икосаэдр
5
3
20
30
12
После заполнения таблицы убеждаемся, что для всех выбранных многогранников
.
Оказывается, это соотношение справедливо не только для всех этих многогранников, но и для - произвольного выпуклого многогранника. Впервые это свойство было доказано Л.Эйлером в 1752 г. и получило название теоремы Эйлера.
Теорема Эйлера. Для любого выпуклого многогранника справедливо соотношение
(*)
где Г - число граней, В - число вершин, Р - число ребер данного многогранника.
Доказательство:
Представим поверхность данного многогранника сделанной из эластичного материала. Удалим (вырежем) одну из его граней и оставшуюся поверхность "растянем" на плоскость. Тогда на плоскости получается сетка (рис. 4), содержащая областей (которые по-прежнему назовем гранями), вершин и ребер (которые могут искривляться).
Рис. 4
Для данной сетки нужно доказать соотношение
= ,(**)
тогда для многогранника будет справедливо соотношение (*).
Докажем, что соотношение (**) не меняется, если в сетке провести какую-нибудь диагональ. Действительно, после проведения некоторой диагонали в сетке будет граней, вершин и ребер, т.е.
=
Пользуясь этим свойством, проведем в сетке диагонали, разбивающие ее на треугольники, и докажем соотношение (**) методом математической индукции по числу n треугольников в сетке.
Пусть n=1, т.е. сетка состоит из одного треугольника. Тогда , , , и выполняется соотношение (**). Пусть теперь соотношение (**) имеет место для сетки, состоящей из n треугольников. Присоединим к ней еще один треугольник. Его можно присоединить двумя способами (рис. 12):
а) как АВС. Тогда сетка состоит из граней, вершин и ребер и, следовательно,
б) как MNL. Тогда сетка состоит из граней, вершин и ребер и, следовательно,
.
Таким образом, в обоих случаях, т.е. при любом присоединении (n+1)-го треугольника, выражение (**) не меняется, и если оно равнялось 1 для сетки из n треугольников, то оно равняется 1 и для сетки из (n+1) треугольника. Итак, соотношение (**) имеет место для любой сетки из треугольников, значит, для любой сетки вообще. Следовательно, для данного многогранника справедливо соотношение (*).
Замечание. Теорема Эйлера доказана для выпуклых многогранников. Во времена Эйлера не существовало понятия невыпуклого многогранника. Позже многие ученые обращались к доказательству этого красивого факта. Было замечено, что равенство Эйлера справедливо не только для выпуклых многогранников, но и для некоторых невыпуклых многогранников, например для призмы, изображенной на рис. 5, а. Для нее ,, т.е. . Это многогранники так называемого нулевого рода. Наглядно их поверхность, сделанную из эластичного материала, можно натянуть на сферу. Все выпуклые многогранники относятся к многогранникам нулевого рода. Их поверхность не имеет "дыр" в отличие от многогранников с одной "дырой" (рис. 5, б), c двумя дырами (рис. 5, в),…, с р "дырами". Многогранник с одной "дырой" называется многогранником первого рода, с двумя "дырами" - второго рода,…,с р "дырами" - многогранником p-го рода.
Для произвольного многогранника p-го рода доказана обобщенная теорема Эйлера.
Обобщенная теорема Эйлера. Для произвольного многогранника рода р справедливо следующее соотношение:
.
Задачи:
Как изменится число вершин, граней и ребер выпуклого многогранника, если: а) к одной из его граней пристроить пирамиду, основанием которой является эта грань; б) отсечь от него такую пирамиду?
Гранями выпуклого многогранника являются только треугольники. Сколько у него вершин и граней, если он имеет:
а) 12 ребер; б) 15 ребер? Нарисуйте эти многогранники.
3. Из каждой вершины выпуклого многогранника исходят три ребра. Сколько он имеет вершин и граней, если у него: а)12 ребер;
б) 15 ребер?
Литература по доказательству теоремы Эйлера
Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия 9-Ю. М.: Просвещение, 1984. С.230-233.
Бескин Л.Н. Стереометрия. М.: Просвещение, 1971. С.195,196.
Делоне Б.Н. Леонард Эйлер // Квант, 1974, № 5. С.27-35.
Ермолаев Н.К. О правильных многогранниках на занятиях кружка // Математика в школе, 1979, № 3. С.73, 74.
Методика преподавания геометрии. /Под ред. А.И. Фетисова. М.: Просвещение, 1967. С.70,71.
Пойа Д. Математическое открытие. М.: Наука, 1976. С.343-349.
Литература о жизни и деятельности Л.Эйлера
Гиндикин С.Г. Леонард Эйлер // Квант, 1983, № 10. C.I7-24; №2. С.17-23.
Рюдигер Тиле. Леонард Эйлер. Киев: Вища школа, 1983. 192 с.
Юшкевич А.П. Леонард Эйлер и математическое просвещение в Росси. // Математика в школе, 1983, № 5. С.71-74.
Яковлев А.Я. Леонард Эйлер / Из серии "Люди науки". М.: Просвещение, 1983. 80 с.
Задание на дом.
Общее задание.
Задачи:
Внутри выпуклого многогранника возьмите точку и разбейте этот многогранник на пирамиды, вершины которых находятся в этой точке, а основаниями служат грани данного многогранника. Как изменится число , и , если из данного многогранника удалить одну из таких пирамид? Изменится ли для получившегося многогранника формула из теоремы Эйлера? Не возникает ли у вас идея еще одного доказательства теоремы Эйлера?
Докажите, что не существует многогранник с семью ребрами.
Выпуклый многогранник имеет своими гранями только четырехугольники. Сколько он имеет вершин и граней, если:
а) ребер12;
б) ребер 15?
Нарисуйте такие многогранники.
Из каждой вершины выпуклого многогранника выходит четыре ребра. Сколько он имеет вершин и граней, если:
а) ребер 12;
б) ребер 20?
Нарисуйте такие многогранники.
Докажите, что в любом выпуклом многограннике имеется треугольная грань или трехгранный угол.
Индивидуальное задание. Сообщение на тему "Проблема четырех красок" /Болтянский В.Г., Ефремович В.А. Наглядная топология. М.: Наука, 1982. С.74-76 /Библиотечка Квант, вып. 21; Беве Л. Любая карта на плоскости может быть раскрашена в четыре цвета // Квант, 1977, № I. С.60; Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. М.: Мир, 1971. С.440-450.
ЗАНЯТИЕ № 4. Применение теоремы Эйлера к решению некоторых задач.
Теорему Эйлера историки математики называют первой теоремой топологии - раздела математики, который занимается изучением свойств фигур, тел и поверхностей, не меняющихся при деформациях, допускающих любые растяжения и сжатия без разрывов. Такие свойства называются топологическими. Соотношение Эйлера для выпуклых многогранников является как раз таким топологическим свойством. При доказательстве теоремы поверхность многогранника "натягивают на плоскость". При этом грани, ребра деформируются, но их число, а следовательно, и соотношение Эйлера не меняются. Заметим, что на плоскости образуется сетка, состоящая из точек и отрезков, которые их соединяют. Такое множество точек и множество отрезков (или даже дуг), оба конца которых принадлежат заданному множеству точек на плоскости, называется графом. Точки называются вершинами графа, отрезки (или дуги) - ребрами графа. Граф, соответствующий выпуклому многограннику, называется плоским графом (у него никакие два ребра не имеют других общих точек, кроме их общей вершины). Итак, для плоского графа также справедливо соотношение Эйлера. Гранью плоского графа называется часть плоскости, ограниченная последовательностью ребер, в которой каждые два соседних ребра имеют общую вершину, никакое ребро не встречается более одного раза, начальная и конечная вершины совпадают. Таким образом, подмечена связь между тремя важными разделами математики Примерами графов могут служить схемы метрополитена, железных и шоссейных дорог, планы выставок, структурные формулы молекул и т.д., другими словами, схемы, планы, карты без указания масштабов, показывающие лишь связь между принадлежащими им объектами.
Рассмотрим следующие задачи:
Задача 1. О трех домиках и трех колодцах.
Три соседа имеют три общих колодца. Можно ли провести непересекающиеся дорожки от каждого домика к каждому колодцу?
Решение:
Предположим, что это можно сделать. Отметим домики точками D1, D2, D3, а колодцы точками K1, K2, K3. Каждую точку-домик соединим с каждой точкой-колодцем. Получим девять отрезков, которые попарно не пересекаются (рис.6).
Всякие две точки, изображающие домики или колодцы, будут соединены цепочкой отрезков и, в силу теоремы Эйлера, эти девять отрезков разделят плоскость на пять граней, так как В = 6, Р = 9. Каждая из пяти граней ограничена, по крайней мере, четырьмя отрезками, поскольку по условию задачи ни одна из дорожек не должна непосредственно соединять два дома или два колодца. Поэтому число отрезков должно быть не меньше - , и, следовательно, наше предположение неверно.
Задача 2.
Доказать, что на всякой карте найдется страна, граничащая не более чем с пятью странами (любую карту можно рассматривать как граф, а страны на ней - как грани графа).
Решение.
Если число стран на карте не превосходит шести, то утверждение задачи очевидно. Докажем, что на карте, имеющей больше шести стран, найдутся даже четыре страны, каждая из которых граничит не более чем с пятью странами. Окрасим вершины и ребра исходной карты в черный цвет, а красной краской отметим в каждой стране по одной точке. Всякие две отмеченные точки, лежащие в соседних странах (странах, имеющих общую граничную точку), соединим внутри этих стран красным ребром так, чтобы красные ребра попарно пересекались. Тогда всякие две красные точки будут соединены цепочкой ребер, а поскольку никакие два ребра не будут соединять одни и те же точки, то каждая страна на карте, состоящей из точек и ребер красного цвета, будет ограничена не менее чем тремя ребрами. Если какая-нибудь страна на карте ограничена более чем тремя ребрами, то на ее границе можно выбрать две вершины, не соединенные ребрами, и соединить их красным ребром внутри этой страны. Повторяя несколько раз эту операцию, получим красную карту, на которой каждая страна ограничена ровно тремя ребрами. Так как, кроме того, на этой карте никакие две дуги не соединяют одни и те же вершины и число вершин больше трех, то из каждой вершины выходит не менее трех ребер. Обозначим: Р - число ребер, Г - число стран и, В - число вершин красной карты, А - число вершин, из которых выходит менее чем шесть ребер. Тогда (‹); (‹‹). Из соотношения (‹) и теоремы Эйлера, примененной к красной карте, следует: ; , что показывает . Остается заметить, что если некоторая страна на черной карте имеет бол и т.д.................


Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.