На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


реферат Степенные ряды

Информация:

Тип работы: реферат. Добавлен: 14.10.2012. Сдан: 2010. Страниц: 12. Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%

Описание (план):


Содержание

Введение

       Решение задачи, представленной в математических терминах, например, в виде комбинации различных функций, их производных  и интегралов, нужно уметь “довести до числа”, которое чаще всего и служит окончательным ответом. Для этого в различных разделах математики выработаны различные методы.
       Раздел  математики, позволяющий решить любую  корректно поставленную задачу с  достаточной для практического  использования точностью, называется теорией рядов.
       Даже  если некоторые тонкие понятия математического  анализа появились вне связи  с теорией рядов, они немедленно применялись к рядам, которые  служили как бы инструментом для  испытания значимости этих понятий.
       Целью данной работы ознакомиться с основными теоретическими сведениями о теории рядов, рассмотреть вопросы использования рядов для приближенного вычисления. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Ряд, его сходимость и  расходимость, необходимый  признак сходимости, свойства рядов
      Ряд, его сходимость и  расходимость
       Пусть дана числовая последовательность а1, а2, а3,…,ап,.. Выражение вида
                                      а1+ а2+ а3+…+ап+...=         (1)
называется  числовым рядом или просто рядом.
       Числа а1, а2,…,ап,.. называются членами ряда, член ап с произвольным номером – общим членом ряда.
       Суммы конечного числа членов ряда
             S1=a1, S2=a1+a2, S3=a1+a2+a3,…, Sn= a1+a2+a3+…+an,…
Называются  частичными суммами ряда (1). Так как  число членов ряда бесконечно, то частичные  суммы ряда образуют бесконечную последовательность частичных сумм
                                       S1, S2, S3,…,  Sn,…         (2)
       Ряд (1) называется сходящимся, если последовательность его частичным сумм (2) сходится к  какому – нибудь числу S, которое в этом случае называется суммой ряда (1). Символически это записывается так:
                                   S= a1+a2+a3+…+an+… или   .
       Если  же последовательность частичных сумм (2) расходится, то ряд (1) называется расходящимся.[1]
       Часто нумерацию членов ряда производят не натуральными числами, а целыми, начиная с нуля, т. е. числами 0, 1, 2,…, а иногда – начиная с некоторого целого п0, т. е. числами п0, п0+1,…
       Пример 1. Примером сходящегося ряда является ряд
       
,

       Членами которого являются элементы геометрической прогрессии {qn}, qIС, cqi< 1. В самом деле, в этом случае
                  , п=0, 1, 2,…,
и потому
       
.

Следовательно, ряд  при cqi< 1 сходится и
.

       Пример 2. Примером расходящегося ряда является ряд, все члены которого равны единице: ап=1, п=1, 2,…В этом случае поэтому
       
.[2]

      Необходимый признак сходимости рядов
       При рассмотрение рядов возникают две  задачи:
    исследовать ряд на сходимость;
    зная, что ряд сходится, найти его сумму.
Будем решать в основном первую задачу, имеющую  теоретический характер. Приведем необходимое  условие сходимости рядов.
ТЕОРЕМА. Если ряд  сходится, то его общий член стремится к нулю, т. е. .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По условию ряд  сходится. Обозначим через S его сумму. Рассмотрим частичные суммы ряда  Sn= a1+a2+…+ап-1+an и Sn-1= a1+a2+…+ап-1. Отсюда an= Sn - Sn-1. Так как Sn®S и Sn-1®S при п®?, то
.

       Условие является необходимым, но не достаточным условием сходимости ряда.
       Пример 3.  Рассмотрим ряд
       

Который называют гармоническим рядом. Очевидно, что для гармонического ряда выполнено необходимое условие сходимости, так как . Докажем, что этот ряд расходится. Действительно, если бы этот ряд сходился, то, обозначая его сумму через S, мы бы имели
.

Но 
,

т. е. Отсюда следует, что равенство невозможно, т .е. гармонический ряд расходится.
       Таким образом, если общий член ряда стремится  к нулю, то еще нельзя сделать  вывод о сходимости ряда. Необходимо дополнительное исследование, которое может быть проведено с помощью достаточных условий (признаков) сходимости ряда.
       Если  же для некоторого ряда его общий  член не стремится к нулю, то теорема  позволяет сразу сказать, что  такой ряд расходится. [1]
      Свойства  рядов
ТЕОРЕМА 1. Если ряды и сходятся и их суммы соответственно равны S и ?, то и ряд сходится и его сумма равна S ± ?.[1]
       Эта теорема означает, что сходящиеся ряды «можно складывать и вычитать почленно» (п – й член с п – м), «можно» в том смысле, что справедливо равенство
. [2]
       ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Sп и ?п – частичные суммы рядов и , а tп – частичная сумма ряда . Тогда
       tп=(а1±b1)+ (а2±b2)+...+ (аn±bn)=
       =(a1+ a2+…+ an)± (b1+ b2+…+ bn)= Sп ± ?п.
       Отсюда, переходя к пределу при п®?, получаем
       
,

т. е. последовательность частичных сумм {tп } ряда сходится к
S ± ?. Следовательно, = S ± ?.[1]
ТЕОРЕМА 2. Если ряд  сходится и его сумма равна S, то и ряд , где с – некоторое число, также сходится, и его сумма равна с S. [1]
       Эта теорема означает, что числовой множитель «можно выносить за скобку» и в случае бесконечного множества слагаемых, если они образуют сходящийся ряд. «Можно» в том смысле, что справедливо равенство:
       
=с
.[2]

       ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Sп – частичная сумма ряда , а sп – частичная сумма ряда . Тогда
       sп=са1+са2+са3+…+сап=с(а123+…+ап)=с Sп.
Отсюда, переходя к пределу при п®?, получаем
,

т. е. последовательность частичных сумм {sп } ряда , сходится к сS. Следовательно, = сS. [1]
ТЕОРЕМА 3. Если сходится ряд
                       (3)
       то  сходится и ряд
                                                               (4)
       и обратно, если сходится ряд (4), то сходится и ряд (3).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть ряд (3) сходится и имеет сумму S,   т.   е.  .   Обозначим   через   Sk   сумму   отброшенных членов ряда (3), а через sп-к сумму n – k первых членов ряда (4). Тогда
                 Sn=Sk+ sп-к ,                                      (5)
где Sк — некоторое число, не зависящее от п. Из равенства (5) следует
       

т.  е.  последовательность частичных сумм {sп-к }   ряда   (4)   имеет предел, что означает сходимость ряда (4).
       Пусть теперь ряд (4) сходится и имеет сумму s, т. е. . Тогда из (5) следует
       

что означает сходимость ряда (3). [1]
       Из  этой теоремы следует, что отбрасывание или добавление конечного числа членов к данному ряду не влияет на его сходимость. [2] 
 
 
 

    Признак Лейбница сходимости знакочередующихся  рядов
       Ряды  с неположительными членами отличаются от соответствующих рядов с неотрицательными членами только множителем – 1. Перейдем теперь к рассмотрению знакочередующихся рядов, члены которых имеют чередующиеся знаки. Для удобства будем считать, что первый член такого ряда положителен. Тогда знакочередующийся ряд можно записать в виде
               а1234+…+(-1)п+1ап+…,                         (1)
где ап>0.
       Для знакочередующихся рядов имеет  место следующий очень простой  достаточный признак сходимости – признак Лейбница.
ТЕОРЕМА. Если абсолютные величины членов знакочередующегося ряда (1) монотонно убывают: а123>… и общий член ряда стремится к нулю: , то ряд сходится.
       ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть дан ряд (3) и пусть апп+1 и ап®?  при п®?.
       Рассмотрим  частичную сумму ряда с четным числом членов
       S2n= а1 - а23 - а4+…+ а2n-1 - а2n= (а1 - а2)+(а3 - а4)+…+( а2n-1 - а2n).
Все разности в скобках в силу первого условия положительны, поэтому последовательность частичных сумм {Sп } является возрастающей. Докажем, что она ограничена. Для этого представим S2n в виде
S2n= а1 – [(а2 - а3)+ ( а4 – а5)+ …+( а2n-2 - а2n-1)+ а2n].
Отсюда  следует, что S2n< а1 для любого п, т. е. {S2п} ограничена.
       Итак, последовательность {S2п} возрастающая и ограниченная, следовательно, она имеет предел
       Покажем теперь, что и последовательность частичных сумм нечетного числа  членов сходится к тому же пределу  S. Действительно, S2п+1= S2п+ а2n+1. Переходя в этом равенстве к пределу при п®? и используя второе условие (ап®?  при п®?), получаем
       
.

       Таким образом, последовательность частичных  сумм {Sп} ряда (1) сходится к пределу S. Это и означает, что ряд (1) сходится. [6]
         Пример 4. Ряд сходится, так как удовлетворяет условиям признака Лейбница:

Заметим, что этот ряд отличается от гармонического ряда только знаками четных членов. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Признаки  сходимости рядов  с положительными числами
       Рассмотрим  ряды, все члены которых - неотрицательные действительные числа.
       ЛЕММА 1. Пусть все члены ряда а1+ а2+ а3+…+ап+...=    неотрицательны.
       ап ? 0п = 1, 2.....
       Для того чтобы этот ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы существовала хотя бы одна сходящаяся подпоследовательность последовательности его частичных сумм.
       Действительно, из условии ап ? 0п = 1, 2..... следует, что
       
,

       т. е. последовательность частичных сумм {Sn} рассматриваемого ряда является возрастающей. Монотонная же последовательность сходится в том и только в том случае, когда сходится хотя бы одна ее подпоследовательность. ?
       ЛЕММА 2. Для того чтобы ряд а1+ а2+ а3+…+ап+...= с неотрицательными членами сходился, необходимо, чтобы последовательность его частичных сумм была ограниченной сверху, и достаточно, чтобы была ограниченной, сверху хотя бы одна подпоследовательность {Sn?} последовательности {Sn} его частичных сумм, причем если
       
,

то s является суммой ряда а1+ а2+ а3+…+ап+...= .
       В самом деле, сходимость ряда означает сходимость последовательности его частичных сумм, а всякая сходящаяся последовательность ограничена, в частности ограничена сверху. Таким образом, первая часть леммы справедлива и без предположения неотрицательности членов ряда.
       Однако  в общем случае условие ограниченности даже всех частичных сумм ряда (а  не только некоторой их подпоследовательности) не является достаточным для сходимости ряда. Поэтому условие неотрицательности членов ряда существенно для справедливости второй части леммы 2. Докажем ее.
       Из  неотрицательности членов ряда, как  мы убедились при доказательстве предыдущей леммы, следует,  что последовательность его частичных сумм – возрастающая. Поэтому, если существует ограниченная сверху подпоследовательность {Sn?} последовательности частичных сумм {Sn} рассматриваемого ряда, то она тоже возрастающая (как всякая подпоследовательность возрастающей последовательности) и, следовательно, сходится, причем
       
.

       Согласно  предыдущей лемме, из сходимости подпоследовательности частичных сумм {Sn?} следует сходимость ряда, т. е. существование конечного предела   ,  а так как предел сходящейся последовательности совпадает с пределом любой ее подпоследовательности, то
       

       Из  леммы 2 следует, что если ряд с  неотрицательными членами расходится, то последовательность его частичных сумм не ограничена сверху и в силу ее монотонности  . Поэтому для расходящихся рядов с неотрицательными членами, пишут   [2].
       Перейдем  теперь к рассмотрению некоторых  достаточных условий сходимости рядов с неотрицательными членами. Рассмотрим теорему, которая будет использована в последующих рассуждениях.
       ТЕОРЕМА 1.  Для того  чтобы ряд с неотрицательными членами сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность частичных сумм этого ряда была ограничена.
       Достаточные условия сходимости ряда. Установим  ряд признаков, позволяющих сделать вывод о сходимости (расходимости) рассматриваемого ряда.
       Признак   сравнения.
       ТЕОРЕМА 2.   Пусть даны  два ряда  с неотрицательными членами    и    и для всех  п   выполняется неравенство an ? bn.  Тогда из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда   следует расходимость ряда .
       Существуют  признаки сходимости рядов, позволяющие  непосредственно судить о сходимости (или расходимости) данного ряда, не сравнивая его с другим рядом, о котором известно, сходится он или расходится. Рассмотрим два из них.
       Признак   Даламбера.
       ТЕОРЕМА 3.   Пусть   дан   ряд    с   положительными членами   и  существует  предел  .   Тогда  а)   при  r < 1 ряд сходится; б) при r > 1 ряд расходится.
       Интегральный   признак.
       ТЕОРЕМА 4. Пусть дан ряд
       f(1) + f (2) + f(3) +...+ f(n)+...=
.

члены   которого  являются   значениями   некоторой  функции   f (х), положительной,   непрерывной   и   убывающей   на   полуинтервале [1; +?). Тогда,  если   сходится,  то  сходится  и ряд ;   если же расходится,  то  ряд   также расходится[1].
       Признак Коши.
       ТЕОРЕМА 5. Пусть для ряда
       
,  an
?0,
существует  предел
       
.

Тогда если r < 1,  то ряд сходится, а если r > 1,  то расходится.
       Среди рядов  с неотрицательными членами, для которых , соответственно , имеются как сходящиеся, так и расходящиеся ряды[2]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Степенной ряд и его область  сходимости
       Ряд вида
                                      а0+ а1х+ а2х2+ а3 х3+…+ап хп+...=        (1)
называется степенным рядом.
       Числа а0, а1, а2, а3,…,ап,… называются коэффициентами степенного ряда.
       Придавая  х различные числовые значения, будем  получать различные числовые ряды, которые могут оказаться сходящимися или расходящимися. Множество тех значений х, при которых ряд (1) сходится, называется областью его сходимости. Это множество всегда не пусто, так как любой степенной ряд сходится при х = 0.
       Очевидно, что частичная сумма степенного ряда Sn(x)= а0+ а1х+ а2х2+ а3 х3+…+ап хп является функцией переменной х. Поэтому и сумма ряда S также является некоторой функцией переменной х, определенной    в    области    сходимости    ряда:    S=S(x)= [1]
       Интервал  сходимости степенного ряда.
       Докажем теорему, имеющую важное значение в  теории степенных рядов и касающуюся области сходимости степенного ряда.
       ТЕОРЕМА 1 (теорема Абеля). 1) Если степенной ряд (1) сходится при х=х0 (х0?0), то он сходится, и притом абсолютно, для всех х, удовлетворяющих условию |х|<|х0|; 2) если ряд (1) расходится при х = х1, то он расходится для всех х, удовлетворяющих условию |х|>|х1|.
       Отсюда  вытекает следующая теорема.
       ТЕОРЕМА 2.   Если   ряд    сходится   не   при   всех значениях х и не только при х=0, то существует число R>0 такое, что ряд абсолютно сходится при |х|<R и расходится при |х|>R.
       Таким образом, решен вопрос об области  сходимости степенного ряда. Интервал (—R, R) называется интервалом сходимости степенного ряда. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда.
       Отметим, что интервал сходимости некоторых рядов охватывает всю числовую прямую (в этом случае пишут R = ?), у других вырождается в одну точку R = 0).
       Итак, всякий степенной ряд имеет свой радиус сходимости R.
       При х = ± R ряд может либо сходиться, либо расходиться. Этот вопрос решается для каждого конкретного ряда[6]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Ряды  Тейлора и Маклорена, разложение элементарных функций в ряд  Маклорена
       Пусть имеется полином от степени :
       

       Сосчитаем все производные от этого полинома до -го порядка включительно:
       

       

       

       

       

       

       

Положим во всех этих выражениях . Тогда получим
        ; ; ; ; ;
Отсюда  получаем
        ; ; ; ;
и поэтому  исходный полином может быть записан  в виде
        =
аналогичным образом можно получить
        =
Эта формула  носит название формулы Тейлора[5].
При х0=0, получаем ряд Маклорена, рассмотрим это в следующей теореме.
       ТЕОРЕМА 1. Если функция f{x) на интервале (— R, R) разлагается в степенной ряд
       f (x)=а
и т.д.................


Перейти к полному тексту работы


Скачать работу с онлайн повышением уникальности до 90% по antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru


Смотреть полный текст работы бесплатно


Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.