На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


курсовая работа Дифференциальные уравнения n-го порядка

Информация:

Тип работы: курсовая работа. Добавлен: 14.10.2012. Сдан: 2012. Страниц: 11. Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%

Описание (план):


ОГЛАВЛЕНИЕ
1.ВВЕДЕНИЕ 2
2.ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ N-ГО ПОРЯДКА. 3
3.ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ N-ГО ПОРЯДКА. 6
3.1.ОДНОРОДНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ N-ГО ПОРЯДКА. 6
3.2.ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 7
3.3.ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 11
3.4.МЕТОД ВАРИАЦИИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПОСТОЯННЫХ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 15
3.5.ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ N-ГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 17
3.6.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА 18
Уравнение, не содержащее в явном виде неизвестную функцию и её младшие производные. 19
Уравнение, не содержащее в явном виде независимую переменную x. 20
4.НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 22
   4.1.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ. 23
5.ЗАКЛЮЧЕНИЕ 25
6.   ИСПОЛЬЗОВАННЫЕ ИСТОЧНИКИ 26
Введение
Эффективное решение задач  во многих областях  невозможно без  описания их дифференциальными уравнениями  различного порядка. Для получения  результатов необходимы доступные  и проверенные методы решения  дифференциальных уравнений. Особое место  занимают дифференциальные уравнения n-го порядка, поэтому тема курсовой работы представляет интерес и является актуальной.
Целью данной работы является описание методов решения дифференциальных уравнений n-го порядка с предварительной классификацией по видам уравнений.
Для достижения поставленной цели в рамках работы необходимо решить следующие задачи:
 
    Провести анализ существующих источников и привести определения и теоретические сведения по дифференциальным уравнениям n-го порядка.
    На основе проведенного анализа описать методы решений уравнений с наглядными примерами решений.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ОБЫКНОВЕННЫЕ  ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ N-ГО ПОРЯДКА.
Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида 
F(x, y, y', y'', ..., y(n)) = 0,  
где F - известная функция (n+2) переменных, определенная в области D М Rn+2, x - независимая переменная из интервала (a, b), y = y(x) - неизвестная функция, n - порядок уравнения.
Пример 1. Уравнение движения материальной точки.
Движение материальной точки  массы m под действием внешних сил F описывается вторым законом Ньютона ma = F .  
Пусть точка движется по оси 0x , тогда функция x = x(t) — абсцисса точки в момент времени t , удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению 2-го порядка mx'' = F(t, x, x'). 
Например, уравнение 
x'' + w2x=0 
— уравнение гармонического осциллятора, описывает периодические колебания материальной точки с периодом T=2p/w.
Пример 2. Уравнение изменения объема производства в замкнутой экономической системе.
Изменение объема производства в некоторой замкнутой экономической  системе описывает дифференциальное уравнение второго порядка 
y''+2|k|y'+w2y=0.  
В замкнутой экономической системе нет экспорта, импорта и притока капитала извне. Уравнение описывает поведение разности 
y(x)=Y(x)-G/s 
между объемом производства Y(x) и фиксированной величиной G/s отношения правительственных расходов к предельной склонности населения к сбережению. 
Ниже приведен график решения уравнения при k=0.25, w2=0.25. 
Колебания решения уравнения около нуля соответствуют периодам спада и подъема в экономике.  

В дальнейшем будем рассматривать  обыкновенные дифференциальные уравнения, разрешенные относительно старшей  производной - уравнения, записанные в нормальной форме: 
y(n)) = f(x, y, y', y'', ..., y(n-1)).
Функция y(x) называется решением дифференциального уравнения n-го порядка, если она n раз непрерывно дифференцируема на промежутке (a, b) и удовлетворяет  уравнению для всех  
xI (a, b).
Пример 3. Интегральная кривая для уравнения затухающих колебаний.
Уравнение второго порядка 
x'' + 2ax' + bx = 0 
при a2<b описывает затухающие (ангармонические) колебания.  
Ниже приведен график решения уравнения для a=0.1, b=1.

Дифференциальное  уравнение n-го порядка имеет, вообще говоря, бесконечное множество решений. Чтобы выделить единственное решение уравнения достаточно определить начальные условия: 
y(x0) = y0 , y'(x0) = y0,1 , y''(x0) = y0,2 , ..., y(n-1)(x0) = y0,n-1.
При определенных ограничениях на правую часть уравнения эта задача, она  называется задачей Коши, имеет единственное решение.
Пример4. Решения задачи Коши для уравнения изменения объема производства в замкнутой экономической системе при различных начальных условиях.
Изменение объема производства в некоторой замкнутой экономической  системе описывает дифференциальное уравнение второго порядка 
y'' +2|k|y' + w2y = 0. 
В замкнутой экономической системе нет экспорта, импорта и притока капитала извне. Уравнение описывает поведение разности y(x)=Y(x)-G/s 
между объемом производства Y(x) и фиксированной величиной G/s отношения правительственных расходов к предельной склонности населения к сбережению. 
Ниже приведены графики решений уравнения при k=0.25, w2=0.25 при различных начальных условиях. Видно, что колебания решений около нуля — периоды спада и подъема в экономике — зависят от начального состояния системы. 

 
Справедлива следующая теорема существования и единственности решения задачи Коши.  
Если правая часть уравнения  
y(n)) = f(x, y, y', y'', ..., y(n-1)
и ее частные производные по переменным y, y', y'', ..., y(n-1) непрерывны в области G Rn+1, то для любой точки (x0, y0, y0,1, y0,2, ..., y0,n-1) из G на некотором интервале (x0-h, x0+h) существует единственное решение y(x) уравнения, удовлетворяющее начальным условиям 
y(x0) = y0 , y'(x0) = y0,1 , y''(x0) = y0,2 , ..., y(n-1)(x0) = y0,n-1.
Численное решение задачи Коши 
y(n)) = f(x, y, y', y'', ..., y(n-1)), 
y(x0) = y0 , y'(x0) = y0,1 , y''(x0) = y0,2 , ..., y(n-1)(x0) = y0,n-1  
состоит в построении таблицы приближенных значений yi решения y=y(x) в точках x1, x2, ..., xi, ... .
Задача о численном решении  дифференциального уравнения порядка  выше первого чаще всего сводится к численному решению решению задачи Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений.  
Обозначив  
y(x)=y1(x), y'(x)=y2(x), y''(x)=y3(x), ..., y(n-1)(x)=yn (x),  
получим задачу Коши для системы n дифференциальных уравнений 1-го порядка 
y1'=y2 , y2'=y3 , ..., yn' =f(x, y1, y2 , ..., yn ),  
y1(x0 )=y0, y2(x0)=y1,0 , ..., yn-1(x0)=yn-1,0,  
которая в векторной форме имеет вид
`Y '= `F(x,`Y), `Y(x0) =`Y0,
`Y (x)=(y1(x), y2(x), ..., yn(x)), `Y '(x)=(y1'(x), y2'(x), ..., yn'(x)),
                                  `F(x,`Y)= (y2, y3, ..., yn, f(x, y1, y2 , ..., yn )).
 
Численное решение задачи Коши для этой системы состоит в построении таблицы приближенных значений yi,1 , yi,2 , ..., yi,N компонент yi(xj) вектора решения в точках x1 , x2 , ..., xN. Чтобы получить расчетные формулы метода Рунге—Кутты для систем дифференциальных уравнений, достаточно в расчетных формулах для уравнений первого порядка заменить 
y, f(x, y), k1, k2, k3, k4 на `Y, `F(x,`Y), `k1, `k2, `k3, `k4 .
 
 
 
 
 
 
 
 
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ N-ГО ПОРЯДКА.
Линейным дифференциальным уравнением n -го порядка называется уравнение вида  
y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y' + an(x) y = f(x),  
где y = y(x) — неизвестная функция,  
a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x),  f(x) — известные функции, которые будем полагать непрерывными на промежутке (a, b).
Выражение в левой части уравнения называется линейным дифференциальным оператором n -го порядка:  
L(y) = y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y' + an(x) y .  
Уравнения  
y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y' + an(x) y = 0 и  
y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y' + an(x) y = f(x),  f(x) № 0,  
называются соответственно однородным и неоднородным линейным дифференциальным уравнением n -го порядка.
Будем записывать однородное и неоднородное линейные дифференциальные уравнения  в виде:  
L(y) = 0 и L(y) = f(x).
Принцип суперпозиции основан на следующих свойствах решений линейных уравнений:  
а) Если  y1(x) и y2(x) — два решения однородного линейного уравнения L(y)=0, то их линейная комбинация y(x) = c1 y1(x) + c2 y2(x) 
при любых постоянных c1, c2   является решением однородного уравнения.  
б) Если y1(x) и  y2(x) — два решения неоднородного линейного уравнения  
L(y) = f(x), то их разность y(x) = y1(x) - y2(x) 
является решением однородного уравнения L(y) = 0.  
в) Любое решение неоднородного линейного уравнения L(y) = f(x) есть сумма частного (фиксированного) решения неоднородного уравнения и некоторого решения однородного уравнения.
Принцип суперпозиции: 
Если y1(x) и  y2(x) — решения неоднородных линейных уравнений  
L(y) =  f1(x) и L(y) =  f2(x), то их сумма y(x) = y1(x) + y2(x) является решением уравнения 
L(y) =  f1(x) +  f2(x).  
Пример  5. Проверка принципа суперпозиции для линейного дифференциального уравнения 2-го порядка.
Рассмотрим  два линейных дифференциальных уравнения 2-го порядка: однородное и неоднородное уравнения.  
Функции y1(x) = lnx и y2(x) = x — два решения однородного уравнения 
 
а функция 
 
— решение неоднородного уравнения 
.  
Подстановкой в уравнения легко проверить, что функция 
y(x) = c1 y1(x) + c2 y2(x)  
является решением однородного уравнения при любых значения констант c1, c2, а функция  
y(x) = c1 y1(x) + c2 y2(x) + y3(x) — решение приведенного выше неоднородного уравнения.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ  КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Для линейного однородного  дифференциального уравнения n-го порядка
y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y' + an(x) y = 0, 
где y = y(x) — неизвестная функция, a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x) — известные, непрерывные, справедливо:  
1) существуют n линейно независимых решений уравнения  
y1(x), y2(x), ..., yn(x); 
2) при любых значениях констант c1, c2, ..., cn функция 
y(x)= c1 y1(x) +  c2 y2(x) + ... + cn yn(x) 
является решением уравнения; 
3) для любых начальных значений x0,  y0,   y0,1, ..., y0,n-1 существуют такие значения c*1, c*n, ..., c*n, что решение  
y*(x)=c*1 y1(x) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x) 
удовлетворяет при x = x0 начальным условиям 
y*(x0)=y0, (y*)'(x0)=y0,1 , ...,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1.
Выражение  y(x)= c1 y1(x) +  c2 y2(x) + ... + cn yn(x) называется общим решением линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка.
Совокупность n линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка y1(x), y2(x), ..., yn(x) называется фундаментальной системой решений уравнения.
Для линейного однородного  дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами существует простой алгоритм построения фундаментальной системы решений. Будем искать решение уравнения в виде y(x) = exp(lx): 
exp(lx)(n) + a1exp(lx)(n-1) + ... + an-1exp(lx)' + anexp(lx)= 
=  (ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an)exp(lx) = 0,  
т.е. число l является корнем характеристического уравнения 
ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an = 0. 
Левая часть характеристического уравнения называется характеристическим многочленом  линейного дифференциального уравнения: 
P(l) = ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an
Таким образом, задача о решении линейного однородного уравнения n -го порядка с постоянными коэффициентами сводится к решению алгебраического уравнения.
Если характеристическое уравнение имеет n различных действительных корней  
l1, l2 ,... , ln,  
то фундаментальная система решений состоит из функций    
y1(x) = exp(l1x), y2(x) = exp(l2x), ..., yn(x) = exp(lnx),  
и общее решение однородного уравнения имеет вид: 
y(x)= c1 exp(l1x) +  c2 exp(l2x) + ... + cn exp(lnx).
Пример 6. Фундаментальная система решений и общее решение для случая простых действительных корней
Фундаментальная система  решений и общее решение для  случая простых действительных корней
Рассмотрим уравнение  y'' - 3y' + 2y = 0.  
Его характеристическое уравнение l2 - 3l + 2 = 0 имеет два различных действительных корня  l1 =1 и l2 =2.  
Фундаментальная система решений уравнения: 
y1 = exp(l1x)=exp(x) и y2 = exp(l2x)=exp(2x)  
Общее решение уравнения: y(x) = c1exp(x) + c2exp(2x)
 
Если какой-либо из действительных корней характеристического уравнения  повторяется r раз (r-кратный корень), то в фундаментальной системе решений ему отвечают r функций; если  
lk=lk+1 = ... = lk+r-1,  
то в фундаментальную систему решений уравнения входят r функций: 
yk(x) = exp(lkx), 
yk+1(x) = xexp(lkx),  
yk+2(x) = x2exp(lkx), ...,  
yk+r-1(x) =xr-1 exp(lnx).
Пример 7. Фундаментальная система решений и общее решение для случая кратных действительных корней.
Фундаментальная система  решений и общее решение для  случая кратных действительных корней
Рассмотрим уравнение y''- 2y' + y = 0.  
Его характеристическое уравнение l2 - 2l + 1 = 0
имеет один кратный действительный корень l 1 = l 2 = 1.  
Фундаментальная система решений уравнения:  y1 = exp(x) и y2= xexp(x) 
Общее решение уравнения: y(x) = c1exp(x) + c2xexp(x).
Если характеристическое уравнение имеет комплексные корни, то каждой паре простых (имеющих кратность 1 ) комплексных корней 
lk,k+1=ak ± ibk  
в фундаментальной системе решений отвечает пара функций 
yk(x) = exp(akx)cos(bkx), yk+1(x) = exp(akx)sin(bkx).
Пример 8. Фундаментальная система решений и общее решение для случая п простых комплексных корней.
Фундаментальная система  решений и общее решение для  случая простых комплексных корней
Рассмотрим уравнение y'' - 2y' + 5y = 0.  
Его характеристическое уравнение  l2 - 2l + 5 = 0 
имеет пару комплексно сопряженных корней  l1 = 1-2i, l2 = 1+ 2i. 
Фундаментальная система решений уравнения: exp(x)cos2x, exp(x)sin2x. 
Общее решение уравнения: y(x) = c1exp(x)cos2x + c2exp(x)sin2x.
ПРИМЕР 4. Фундаментальная система решений и общее решение для случая простых комплексных корней. Мнимые корни.
Фундаментальная система  решений и общее решение для  случая простых комплексных корней. Мнимые корни
Рассмотрим уравнение y'' + y = 0. 
Его характеристическое уравнение l2 + 1 = 0 
имеет пару комплексно сопряженных корней l1 =i, l2 = -i. 
Фундаментальная система решений уравнения: cosx, sinx 
Общее решение уравнения: y(x) = c1cosx + c2sinx.
Если же комплексная пара корней имеет кратность r, то  такой паре  
lk=lk+1 = ... = l2k+2r-1=ak ± ibk,  
в фундаментальной системе решений отвечают функции  
    exp(akx)cos(bkx),          exp(akx)sin(bkx), 
   xexp(akx)cos(bkx),        xexp(akx)sin(bkx), 
  x2exp(akx)cos(bkx),      x2exp(akx)sin(bkx), 
................ 
xr-1exp(akx)cos(bkx),    xr-1exp(akx)sin(bkx).
ПРИМЕР 5. Фундаментальная система решений и общее решение для случая кратных комплексных корней.
Фундаментальная система  решений и общее решение для  случая кратных  комплексных корней
Рассмотрим уравнение y''''- 4y''' + 14y'' - 20y' + 25y = 0.  
Его характеристическое уравнение l4- 4l3 + 14l2 - 20l + 25 = 0 
имеет пару кратных комплексно сопряженных корней 
l1,2 =1- 2i, l3,4 = 1 + 2 i.  
Фундаментальная система решений уравнения: 
y1 = exp(x)cos2x, y2= exp(x)sin2x, y3 = xexp(x)cos2x и y4 = xexp(x)sin2x.  
Общее решение уравнения:  
y(x) = c1exp(x)cos2x + c2exp(x)sin2x + c3xexp(x)cos2x + c4xexp(x)sin2x.
Таким образом, для отыскания общего решения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами следует: 
записать характеристическое уравнение; 
найти все корни характеристического уравнения l1, l2, ... , ln
записать фундаментальную систему решений y1(x), y2(x), ..., yn(x); 
записать выражение для общего решения y(x)= c1 y1(x) +  c2 y2(x) + ... + cn yn(x). 
Для решения задачи Коши нужно подставить выражение для общего решения в начальные условия и определить значения постоянных c1,..., cn, которые являются решениями системы линейных алгебраических уравнений   
c1 y1(x0) +  c2 y2(x0) + ... + cn yn(x0) = y0
c1 y'1(x0) +  c2 y'2(x0) + ... + cn y'n(x0)   =y0,1
......... , 
c1 y1(n-1)(x0) +  c2 y2(n-1)(x0) + ... + cn yn(n-1)(x0) = y0,n-1
ПРИМЕР 6. Решение задачи Коши.
Решение задачи Коши
Рассмотрим задачу Коши для  однородного дифференциального  уравнения 
y'' + 2y' + 3y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 1.  
Его характеристическое уравнение l2 + 2l + 3 = 0 
имеет пару комплексно сопряженных корней l1 = -1- i, l2 = -1 + i. 
Фундаментальная система решений содержит два решения  
exp(-x)cos x, y=exp(-x)sin x, 
его общее решение имеет вид  
y(x) = c1exp(-x)cos x + c2exp(-x)sin x. 
Решение задачи Коши y(0)=1, y'(0)=1 находим из условий 
y(0) = c1exp(0)cos(0) + c1exp(0)sin(0) = c1 =1,  
y'(0) = -c1exp(0)cos(0) -c1 exp(0)sin(0) - c2exp(0)sin(0) + c2 exp(0)cos(0) =  
= - c1 + c2 =1,  откуда c1 = 1 и c2 = . Подставив константы в выражение для общего решения получим решение задачи Коши  
y(x) = exp(-x)cos x + exp(-x)sin x.
ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ.
Для линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка
y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y' + an(x) y = f(x), 
где y = y(x) — неизвестная функция, a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x), f(x) — известные, непрерывные, справедливо:  
1) если y1(x) и y2(x) — два решения неоднородного уравнения, то функция 
y(x) = y1(x) - y2(x) — решение соответствующего  однородного уравнения; 
2) если y1(x) решение неоднородного уравнения, а  y2(x) — решение соответствующего однородного уравнения, то функция 
y(x) = y1(x) + y2(x) — решение неоднородного уравнения; 
3) если  y1(x), y2(x), ...,  yn(x) — n линейно независимых решений однородного уравнения, а yч(x) — произвольное решение неоднородного уравнения,  
то для любых начальных значений  
x0,  y0,   y0,1, ..., y0,n-1  
существуют такие значения  
c*1, c*n, ..., c*n, что решение  
y*(x)=c*1 y1(x) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x) + yч(x) 
удовлетворяет при x = x0 начальным условиям 
y*(x0)=y0, (y*)'(x0)=y0,1 , ...,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1.
Выражение  
y(x)= c1 y1(x) +  c2 y2(x) + ... + cn yn(x)   + yч(x)  
называется общим решением линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка.
Для отыскания частных  решений неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с правыми частями вида:  
Pk(x)exp(ax)cos(bx) + Qm(x)exp(ax)sin(bx),  
где Pk(x), Qm(x) — многочлены степени k и m соответственно, существует простой алгоритм построения частного решения, называемый методом подбора.
Метод подбора, или метод  неопределенных коэффициентов, состоит  в следующем.  
Искомое решение уравнения записывается в виде: 
(Pr(x)exp(ax)cos(bx) + Qr(x)exp(ax)sin(bx))xs,  
где Pr(x), Qr(x) — многочлены степени r = max(k, m) с неизвестными коэффициентами 
pr , pr-1, ..., p1, p0, qr, qr-1, ..., q1, q0.  
Сомножитель xs называют резонансным сомножителем. Резонанс имеет место в случаях, когда среди корней характеристического уравнения есть корень 
l =a ± ib  кратности s. 
Т.е. если среди корней характеристического уравнения соответствующего однородного уравнения есть такой, что его действительная часть совпадает с коэффициентом в показателе степени экспоненты, а мнимая — с коэффициентом в аргументе тригонометрической функции в правой части уравнения, и кратность этого корня s, то в искомом частном решении присутствует резонансный сомножитель xs. Если же такого совпадения нет (s=0),  то резонансный сомножитель отсутствует.
Подставив выражение для  частного решения  в левую часть уравнения, получим обобщенный многочлен того же вида, что и многочлен в правой части уравнения, коэффициенты которого неизвестны.  
Два обобщенных многочлена равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при сомножителях вида xtexp(ax)sin(bx), xtexp(ax)cos(bx)  с одинаковыми степенями t.  
Приравняв коэффициенты при таких сомножителях, получим систему 2(r+1) линейных алгебраических уравнений относительно 2(r+1) неизвестных. Можно показать, что такая система совместна и имеет единственное решение.
Пример 8.
Решить  уравнение
Общее решение данного уравнения будем  искать в виде:   где
общее решение  соответствующего однородного уравнения,   частное решение.
Решим соответствующее однородное уравнение 
Характеристическое  уравнение:
 
 
Частное решение ищем в виде:
 
Подставим эти производные в данное уравнение, получим:
 
 
 
Таким образом, для отыскания общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами следует
    найти общее решение соответствующего однородного уравнения (записать характеристическое уравнение, найти все корни характеристического уравнения l1, l2, ... , ln, записать фундаментальную систему решений y1(x), y2(x), ..., yn(x));
    найти любое частное решение неоднородного уравнения yч(x);
    записать выражение для общего решения
y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) + yч(x);
Для решения задачи Коши нужно подставить выражение для общего решения в начальные условия и определить значения постоянных c1,..., cn, которые являются решениями системы линейных алгебраических уравнений
c1 y1(x0) + c2 y2(x0) + ... + cn yn(x0) + yч(x0)= y0,
c1 y'1(x0) + c2 y'2(x0) + ... + cn y'n(x0) + yч(x0)=y0,1,
......... ,
c1 y1(n-1)(x0) + c2 y2(n-1)(x0) + ... + cn yn(n-1)(x0) + yч(x0)= y0,n-1
Пример 9.
Решить  задачу Коши 
Общее решение данного уравнения будем  искать в виде:   где
общее решение  соответствующего однородного уравнения,   частное решение.
Решим соответствующее однородное уравнение 
Характеристическое  уравнение 
 
 
Подставим в исходное уравнение, получим:
 
 
Найдем  и ,  используя начальные условия:
 
МЕТОД ВАРИАЦИИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПОСТОЯННЫХ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ  ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО  УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Доказано, что для линейного неоднородного дифференциального уравнения  
y(n) + a1 y(n-1) + ... + an-1 y' + an y = f(x) 
при непрерывной правой части f(x), для любых начальных значений  
x0,  y0,   y0,1, ..., y0,n-1  
существует и единственно решение задачи Коши  
y(x0)=y0, (y)'(x0)=y0,1 , ...,(y)(n-1)(x0)=y0,n-1.
Решение задачи Коши для  неоднородного дифференциального  уравнения с постоянными коэффициентами можно найти методом вариации произвольных постоянных (методом Лагранжа), который состоит в следующем:  
Записываем искомое решение задачи Коши для неоднородного уравнения  в виде  
y(x)= c1(x) y1(x) +  c2(x) y2(x) + ... + cn(x) yn(x), 
где  y1(x),  y2(x), ..., yn(x)  — линейно независимые решения соответствующего однородного уравнения, и находим неизвестные функции 
c1(x) ,  c2(x), ...,  cn(x), 
такие, чтобы функция y = y(x) удовлетворяла неоднородному уравнению и заданным начальным условиям.
Опишем алгоритм решения задачи Коши для уравнения  второго порядка 
y'' + a1 y' + a2 y = f(x), y(x0)=y0, (y)'(x0)=y0,1.  
Будем искать решение задачи в виде 
y(x)= c1(x) y1(x) +  c2(x) y2(x),  
где  y1(x),  y2(x) — линейно независимые решения однородного уравнения 
y'' + a1 y' + a2 y = 0. 
Вычислим  y'(x), y''(x)  и подставим полученные выражения в уравнение.  
Вычислим первую производную 
y'(x)= (c1'(x) y1(x) +  c2(x)' y2(x)) + (c1(x) y1'(x) +  c2(x) y2'(x)),  
положим  
c1'(x) y1(x) +  c2(x)' y2(x)  = 0 
и тогда  
y'(x)= c1(x) y1'(x) +  c2(x) y2'(x), 
y''(x)= (y'(x))'= (c1(x) y1'(x) +  c2(x) y2'(x))'= 
=c1'(x) y1'(x) +  c2(x)' y2'(x) + c1(x) y1''(x) +  c2(x) y2''(x). 
 
Подставив y(x) и ее производные в уравнение, получим: 
y'' + a1 y' + a2 y = 
= c1'(x) y1'(x) +  c2(x)' y2'(x) + c1(x) y1''(x) +  c2(x) y2''(x) +  
+ a1(c1(x) y1'(x)+c2(x) y2'(x)) + a2(c1(x) y1(x)+c2(x) y2(x)) = 
= c1(x)( y1''(x)+a1 y1'(x)+a2 y1(x)) + c2(x)( y2''(x)+a1 y2'(x)+a2 y2(x)) + 
+ c1'(x) y1'(x) +  c2(x)' y2'(x) = 0 + 0 + c1'(x) y1'(x) +  c2(x)' y2'(x) = f(x), 
при условии c1'(x) y1(x) +  c2(x)' y2(x)  = 0.
Тогда неизвестные функции c1(x) и c2(x) являются решениями системы линейных дифференциальных уравнений  
c1'(x) y1'(x) +  c2(x)' y2'(x) =  f(x), 
c1'(x) y1(x) +  c2(x)' y2(x)  = 0 
с известными y1(x) и y2(x). 
Эта система легко разрешима относительно c1(x) и c2(x): 
c1'(x) =  f(x)y2(x)/(y1'(x)y2(x)-y1(x)y2'(x)), 
c1'(x)= f(x)y1(x)/(y1(x)y2'(x)-y1'(x)y2(x)). 
Вычислив интегралы в правой части системы, получим 


Произвольные константы C и  C2   определяются из начальных условий.
Заметим, что разрешимость системы дифференциальных уравнений  для  
c1'(x) и c2'(x) и однозначная разрешимость системы начальных условий для произвольных констант C и    C гарантированы линейной независимостью  y1(x) и y2(x), 
(y1'(x)y2(x)-y1(x)y2'(x))№0 для линейно независимых y1(x) и y2(x).
Для того чтобы  решить задачу Коши для уравнения  более высокого порядка действуем  аналогично.  
Решение задачи Коши ищем в виде 
y(x)= c1
и т.д.................


Перейти к полному тексту работы


Скачать работу с онлайн повышением уникальности до 90% по antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru


Смотреть полный текст работы бесплатно


Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.