На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


учебное пособие Понятие матрицы и линейные действия над ними. Свойства операции сложения матриц. Определители второго и третьего порядков. Применение правила Саррюса. Основные методы решения определителей. Элементарные преобразования матрицы. Свойства обратной матрицы.

Информация:

Тип работы: учебное пособие. Предмет: Математика. Добавлен: 04.03.2010. Сдан: 2010. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


Глава 1. Элементы линейной алгебры

§ 1. Понятие матрицы. Основные определения

Определение 1. Прямоугольная таблица из m?n действительных чисел вида
называется матрицей типа m?n. Числа аij, входящие в состав данной матрицы, называются ее элементами; первый индекс i - номер строки, второй индекс j -номер столбца, на пересечении которых находится данный элемент.
Обозначают матрицы большими буквами латинского алфавита А, В, С, … и ограничивают справа и слева либо круглыми скобками , либо двойными вертикальными чертами , либо квадратными скобками .
Употребляются и более краткие обозначения матрицы: , , . Если необходимо указать только размеры матрицы А, то пишут или .
Определение 2. Матрица, у которой m n, называется прямоугольной.
Например,
.
Определение 3. Матрица, у которой m = n, называется квадратной матрицей n - го порядка.
Например, матрицы (а1), и т. д. являются квадратными матрицами соответственно первого, второго и т. д. порядков.
Определение 4. Матрица размера 1 n называется матрицей - строкой. При записи матрицы - строки первый индекс не пишут:
.
Определение 5. Матрица размера m 1 называется матрицей - столбцом. При записи матрицы - столбца второй индекс не пишут:
.
В случае квадратной матрицы вводятся понятия главной и побочной (дополнительной) диагоналей.
Определение 6. Элементы а11, а22, …, апп (i = j), стоящие на диагонали, идущей из левого верхнего угла в правый нижний угол, т. е.
, образуют главную диагональ матрицы. Элементы а1п, а2п-1, …, ап1, стоящие на диагонали, идущей из правого верхнего угла в левый нижний угол
, образуют побочную или дополнительную диагональ.
Определение 7. Если в матрице элементы по одну сторону от главной диагонали равны нулю, а по другую отличны от нуля, то матрица называется треугольной. Например,
или
Определение 8. Если в квадратной матрице все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, то матрица называется диагональной. Например,
.
Определение 9. Если в диагональной матрице все элементы главной диагонали равны единице, то она называется единичной и обозначается Е.
Например,
Определение 10. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нуль-матрицей.
Единичная матрица и нуль-матрица в линейной алгебре играют ту же роль, что 0 и 1 в арифметике.
Определение 11. Матрицы А и В называются равными, если они имеют одинаковую размерность и соответствующие элементы этих матриц равны, т. е. А = В, если
А = (аij)m?n, В = (bij)m?n и aij = bij (;).
Определение 12. Пусть А = (аij)m?n. Если заменить в матрице А строки соответственно столбцами, а столбцы строками, то полученная матрица АТ = (аji)n?m называется транспонированной к данной, а процесс ее получения транспонированием.
Пример 1.
Линейные действия над матрицами.
Линейными действиями над матрицами называются сложение и вычитание матриц, умножение матрицы на число.
Действия сложения и вычитания возможны только над матрицами одной и той же размерности.
Определение 13. Суммой (разностью) двух матриц А = (аij)mn и В = (bij)mn называется третья матрица С = (сij)mn, каждый элемент которой равен сумме (разности) соответствующих элементов матриц А и В, т. е.
С = А В = (аij ± bij)mn.

Свойства операции сложения матриц:

А + В = В + А.
А + 0 = А.
(А + В) + С = А + (В + С).
А + (- А) = 0.
(А + В)Т = АТ + ВТ.
Определение 14. Чтобы умножить матрицу на число б 0, нужно умножить на это число каждый элемент матрицы А, т. е.
б•А = (б•аij)m?n.
Произведение матрицы на число обладает следующими свойствами:

б?А = А•б.
б•(в•А) = (б?в)?А.
(б + в) А = б?А + в?А.
б•(А + В) = б•А + б•В.
Умножение матриц.
Определение 15. Произведением матрицы А = (аij)mn на матрицу В = (bjk)np называется такая матрица С = (сik)mp, каждый элемент которой сik равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы А на соответствующие элементы k-того столбца матрицы В, т. е.
сik = ai1b1k + ai2b2k + … + aijbjk + … + ainbnk.
Из определения следует, что матрица-произведение содержит строк столько, сколько их в матрице А, а столбцов - сколько в матрице В.
Умножение матрицы на матрицу не всегда выполнимо. Две матрицы можно перемножить только тогда, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Схематически это можно записать так
.
Произведение двух матриц А и В обозначаются символом АВ.
Пример 2.
По отношению к произведению двух матриц переместительный закон, вообще говоря, не выполняется: А•В В•А.
Действие умножения матриц обладает следующими свойствами:

1. А•В•С = (А•В)•С = А•(В•С).
2. (А + В)•С = А•С + В•С.
3. А•Е = Е•А = А.
4. (А•В)Т = ВТАТ.
Определение 16. Матрицы, для которых выполняется условие А•В = В•А, называются перестановочными (коммутативными).
§ 2. Определители второго и третьего порядков

Любая квадратная матрица А имеет свой определитель. Прямоугольная, неквадратная матрица определителя не имеет.
Определение 17. Определителем (или детерминантом) второго порядка, соответствующим матрице
,
называется число, обозначаемое
и вычисляется по правилу
.
Определение 18. Определителем (или детерминантом) третьего порядка, соответствующим матрице
,
называется число, обозначаемое
и вычисляемое по правилу Саррюса
.
Для того чтобы запомнить формулу вычисления определителя третьего порядка проиллюстрируем правило Саррюса, которое символически можно записать так
или
Определение 19. Любое число будем называть определителем первого порядка.
Определение 20. Минором Мij элемента аij (i-номер строки, j-номер столбца) данного определителя называется определитель, полученный из данного путем вычеркивания i-строки и j-столбца.
Пример 3.
- минор элемента а12 определителя второго порядка;
Пример 4.
- минор элемента а23 определителя третьего порядка.
Определение 21. Алгебраическим дополнением элемента аij данного определителя называется число Аij=(- 1)i+jMij, где Mij - минор элемента аij.
Пример 5. А12 = ? а21 - алгебраическое дополнение элемента а12 определителя второго порядка.
Пример 6.
- алгебраическое дополнение элемента а23 определителя третьего порядка.
§ 3. Свойства определителей

Свойство 1. (о разложении определителя по элементам строки или столбца). Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (или любого столбца) на их алгебраические дополнения.
Например, разложим определитель третьего порядка по элементам первой строки:
Сравнивая с результатом применения правила Саррюса (определение 18) видим их полное совпадение.
Свойство 2. (об определителе транспонированной матрицы). При транспонировании матрицы ее определитель не меняется, т. е.
det A = det AT.
Пример 7.
Свойство 3. (об умножении определителя на число). Общий множитель элементов какого-либо столбца или какой-либо строки можно вынести за знак определителя.
Например,
.
Другими словами, если определитель умножается на число, то умножаются на это число все элементы какой-нибудь строки или какого-нибудь столбца.
Свойство 4. (об определителе с нулевой строкой или нулевым столбцом). Определитель, у которого все элементы какой-нибудь строки или какого-нибудь столбца равны нулю, равен нулю.
Свойство 5. (о взаимной перестановке двух столбцов (строк)). Если в определителе поменять местами две любые строки (столбца), то знак определителя изменится.
Свойство 6. (о нулевом определителе). Если в определителе элементы какой-либо строки (столбца) равны или пропорциональны соответствующим элементам другой строки (столбца), то он равен нулю.
Свойство 7. Если в определителе элементы какой-нибудь строки (столбца) представляют собой суммы двух слагаемых, то он может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей, например:
.
Свойство 8. (о тождественном преобразовании определителя). Если к элементам некоторого столбца (строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки), умноженные на любой общий множитель, то величина определителя при этом не изменится. Например,
.
Свойство 9. (о нулевом разложении определителя). Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) на алгебраические дополнения другой строки (столбца) равна нулю. Например,
а11 А12 + а21 А22 + а31 А32 = 0.
Свойство 10. (об определителе произведения матриц). Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей этих матриц, т. е. если А и В квадратные матрицы одного порядка, то |AB| = |A|•|B|.
Аналогично можно ввести определители четвертого, пятого,…, n-порядков, их миноры и алгебраические дополнения и показать, что они обладают рассмотренными выше свойствами.
Сводная таблица основных методов решения определителей
Определители
Методы решение определителей
1. Определители второго порядка:.
2. Определители третьего порядка:
.
а) По формуле Саррюса:
.
б) Методом треугольников:
.
в) Разложение по строке или столбцу. Например, разложим определитель по первой строке:
3. Определители четвертого порядка:
.
а) Разложение по строке или столбцу. Например, разложим определитель по первому столбцу:
б) - С помощью элементарных преобразований получить в любом столбце или строке элементы равные нулю (кроме одного элемента);
- раскладываем получившийся определитель по элементам этого столбца или строки;
- полученный определитель третьего порядка решаем тем способом, который наиболее понятен Вам.
§ 4. Элементарные преобразования матрицы

Определение 22. Элементарными преобразованиями строк матрицы А называются преобразования следующих трех типов:
перестановка двух строк;
умножение элементов какой-либо строки на одно и то же число, отличное от нуля;
прибавление к элементам одной строки матрицы соответствующих элементов другой строки, умноженных на число, отличное от нуля;
Аналогично определяются элементарные преобразования столбцов матрицы.
Определение 23. Матрица вида
называется ступенчатой.
Определение 24. Матрица В называется эквивалентной матрице А, если она получена из матрицы А путем конечного числа элементарных преобразований матрицы А. При этом пишут А ~ В.
Теорема 1. Любую матрицу можно привести к ступенчатой матрице при помощи конечного числа элементарных преобразований строк.
Обратная матрица. Матричные уравнения.
Определение 25. Обратной матрицей для квадратной матрицы А называется такая матрица А-1, которая при умножении как слева так и справа на матрицу А, дает в произведении единичную матрицу Е

АА- 1 = А- 1А = Е.
Определение 26. Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю. В противном случае матрица называется вырожденной.
Теорема 2. Для того чтобы матрица была обратимой необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной.
Свойства обратной матрицы.

1. .
2. (A•B)- 1 = B- 1•A- 1.
3. .
I способ получения обратной матрицы основан на элементарных преобразованиях над матрицами. Составляем матрицу (А | Е) и преобразуем ее к
(Е | А- 1), т. е. (А | Е) > (Е | А- 1).
Например,
II способ нахождения обратной матрицы.

(1)
где Аij - алгебраическое дополнение элементов аij данной матрицы, |А| - определитель А, причем |А| 0.
Матричные уравнения простейшего вида с неизвестной матрицей Х записываются следующим образом
А•Х = В (2)
Х•А = В (3)
В этих уравнениях А, В, Х - матрицы таких размеров, что все используемые операции умножения возможны, и с обеих сторон от знаков равенства находятся матрицы одинаковых размеров.
Если в уравнениях (2) и (3) матрица А невырожденная, то их решения соответственно записываются следующим образом
Х = А- 1В.
Х = В•А- 1.
§ 5. Системы линейных алгебраических уравнений

Основы теории определителей заложены в 1750 году швейцарским математиком Г. Крамером (1704-1752)
Определение 27. Системы уравнений, содержащие неизвестные только в первой степени называются линейными.
Рассмотрим систему уравнений, у которой число уравнений равно числу неизвестных
, (4)
где х1, х2, …, хп - неизвестные, а11, а12, …, апп - коэффициенты (заданные числа), b1, b2, …, bn - свободные члены (заданные числа).
Если в (4) все свободные члены равны нулю, то система, имеющая вид
, (5)
называется однородной.
Система (4), в которой хотя бы один и и т.д.................


Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.