На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Курсовик Сущность и основные понятия теории графов, примеры и сферы ее использования. Формирование следствий из данных теорий и примеры их приложений. Методы разрешения задачи о кратчайшем пути, о нахождении максимального потока. Графическое изображение задачи.

Информация:

Тип работы: Курсовик. Предмет: Математика. Добавлен: 14.11.2009. Сдан: 2009. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


34
Министерство науки и образования РФ
Новосибирского Государственного Педагогического Университета
Кафедра математического анализа
Курсовая работа

Элементы теории графов. Экономические приложения
Новосибирск 2009
Содержание
Введение
1. Основные понятия теории графов
2. Примеры графов
3. Эйлеровы графы
4. Примеры приложений теории графов
5. Задача о кратчайшем пути
6. Алгоритм нахождения максимального потока
Заключение
Список литературы
Введение
В последнее время наблюдается неуклонное вторжение математических методов в различные отрасли науки и техники. Процесс математизации затронул и экономическую науку.
Понятие графа, само по себе очень простое, оказалось весьма плодотворным в науке и часто употребляемым. Теория графов изучает графы как абстрактные математические образования, независимо от их конкретных истолкований, а полученные общие результаты затем прилагаются к самым различным дисциплинам.
Термин «граф» приобрел право гражданства и вошел в математический язык в 1936 г., после выхода в свет монографии Кёнига, в которой впервые графы изучаются как самостоятельные математические объекты независимо от их содержания.
Изучение графов актуально и на сегодняшний день. Найти кратчайший объездной путь или ближайший продуктовый магазин, спланировать оптимальный маршрут - все это примеры из нашей повседневной жизни. Эти и многие другие задачи могут быть решены при помощи графов.
В данной работе излагается ряд основных понятий, так же приведены примеры приложений теории графов и рассмотрены два подхода к решению экономических задач на основе теории графов.
1. Основные понятия теории графов

Граф - система, которая интуитивно может быть рассмотрена как множество кружков и множество соединяющих их линий (рис. 1).
Кружки называются вершинами графа, линии со стрелками - дугами, без стрелок - ребрами. Граф, в котором направление линий не выделяется (все линии являются ребрами), называется неориентированным (рис. 1, А); граф, в котором направление линий принципиально (линии являются дугами) называется ориентированным (рис. 1, Б).
Опр. 1. Задано конечное множество X, состоящее из n элементов (X = {1, 2,, n}), называемых вершинами графа, и подмножество V декартова произведения X ?X, то есть , называемое множеством дуг, тогда ориентированным графом G называется совокупность (X, V).
Опр. 2. Неориентированным графом называется совокупность множества X и множества неупорядоченных пар элементов, каждый из которых принадлежит множеству X.
Дугу между вершинами i и j, , будем обозначать (i, j). Число дуг графа будем обозначать m (V = ()).
Опр. 3. Подграфом называется часть графа, образованная подмножеством вершин вместе со всеми ребрами (дугами), соединяющими вершины из этого множества. Если из графа удалить часть ребер (дуг), то получим частичный граф.
Опр. 4. Две вершины называются смежными, если они соединены ребром (дугой). Смежные вершины называются граничными вершинами соответствующего ребра (дуги), а это ребро (дуга) - инцидентным соответствующим вершинам.
Опр.5. Путем называется последовательность дуг (в ориентированном графе), такая, что конец одной дуги является началом другой дуги.
Опр. 5.1. Простой путь - путь, в котором ни одна дуга не встречается дважды.
Опр. 5.2. Элементарный путь - путь, в котором ни одна вершина не встречается дважды.
Опр. 5.3. Контур - путь, у которого конечная вершина совпадает с начальной вершиной.
Опр. 5.4 Длиной пути (контура) называется число дуг пути (или сумма длин его дуг, если последние заданы).
Опр.6. Граф, для которого из (i, j) V следует (j, i) V называется симметрическим.
Опр. 7. Если из (i, j) V следует, что (j, i) V, то соответствующий граф называется антисимметрическим.
Опр. 8.1. Цепью называется множество ребер (в неориентированном графе), которые можно расположить так, что конец (в этом расположении) одного ребра является началом другого.
Опр. 8.2. Цепь - последовательность смежных вершин.
Опр. 9. Замкнутая цепь называется циклом.
Опр. 10.1. Элементарная цепь (цикл, путь, контур), проходящая через все вершины графа называется гамильтоновой цепью (соответственно - циклом, путем, контуром).
Опр. 10.2. Простая цепь (цикл, путь, контур), содержащая все ребра (дуги) графа называется эйлеровой цепью (соответственно - циклом, путем, контуром).
Опр. 11. Если любые две вершины графа можно соединить цепью, то граф называется связным. Если граф не является связным, то его можно разбить на связные подграфы, называемые компонентами.
Опр. 12. Связностью графа называется минимальное число ребер, после удаления которых граф становится несвязным. Для ориентированных графов, если любые две вершины графа можно соединить путем, то граф называется сильно связным. Связный граф, в котором существует эйлеров цикл, называется эйлеровым графом.
Опр. 13. В неориентированном графе степенью вершины i называется число инцидентных ей ребер. Очевидно,. Граф, степени всех вершин которого равны n - 1, называется полным. Граф, все степени вершин которого равны, называется однородным.
Опр. 14. Вершина, для которой не существует инцидентных ей ребер (= 0) называется изолированной. Вершина, для которой существует только одно инцидентное ей ребро ( = 1) называется висячей.
Опр. 15. Определим матрицу смежности графа как квадратную матрицу n ?n, элемент которой равен единице, если (i, j) V, и нулю, если (i, j) V, i, jX. Для неориентированного графа матрица смежности всегда симметрическая.
Опр. 16. Определим матрицу инциденций для ребер графа как прямоугольную матрицу n?m, элемент которой равен единице, если вершина i инцидентна ребру j, и нулю в противном случае, i = 1, n, j = 1, m.
Опр. 17. Матрица инциденций для дуг графа - прямоугольная матрицу m xn, элемент rij которой равен плюс единице, если дуга исходит из вершины i, минус единице, если дуга заходит в вершину i, и нулю в остальных случаях, i = 1, n, j = 1, m
Опр. 18. Деревом называется связный граф без простых циклов, имеющий не менее двух вершин. Для дерева m = n - 1, а число висячих вершин равно Легко показать, что в дереве любые две вершины связаны единственной цепью.
Опр. 19. Прадеревом называется ориентированное дерево, у которого одна из вершин, называемая корнем, не имеет заходящих дуг, а степени захода остальных вершин равны единице.
Опр. 20. Плоским (планарным) называется граф, который можно изобразить на плоскости так, что различным вершинам соответствуют различные кружки и никакие два ребра не имеют общих точек, отличных от их границ (не пересекаются). Для плоского графа существует понятие грани - части плоскости, ограниченной ребрами и не содержащей внутри себя ни вершин, ни ребер.
Опр. 21. Степенью грани называется число ее граничных ребер (висячие ребра считаются дважды).
Любому связному плоскому графу G можно поставить в соответствие двойственный ему связный плоский граф G*, определяемый следующим образом: каждой грани графа G соответствует вершина графа G*, каждому ребру V графа G, являющемуся граничным для граней z1 и z2, соответствует ребро V* графа G*, соединяющее соответствующие граням z1 и z2 вершины.
2. Примеры графов

Вполне несвязные графы. Граф, у которого множество ребер пусто, называется вполне несвязным (или пустым) графом. Будем обозначать вполне несвязный граф с п вершинами через Nn; N4 показан на рис. 1. Заметим, что у вполне несвязного графа все вершины изолированы. Вполне несвязные графы не представляют особого интереса.
Полные графы. Простой граф, в котором любые две вершины смежны, называется полным графом. Полный граф с n вершинами обычно обозначается через . Графы и изображены на рис. 2 и 3. имеет ровно n (n - 1)/2 ребер.
Регулярные графы. Граф, у которого все вершины имеют одну и ту же степень, называется регулярным графом. Если степень каждой вершины равна r, то граф называется регулярным степени r. Регулярные графы степени 3, называемые также кубическими (или трехвалентными) графами (см., например, рис. 2 и 4). Другим известным примером кубического графа является так называемый граф Петерсена, показанный на рис. 5. Отметим, что каждый вполне несвязный граф является регулярным степени 0, а каждый полный граф Кn - регулярным степени n - 1.
Платоновы графы. Среди регулярных графов особенно интересны так называемые Платоновы графы - графы образованные вершинами и ребрами пяти правильных многогранников - платоновых тел: тетраэдра, куба, октаэдра, додекаэдра и икосаэдра. Граф соответствует тетраэдру (рис. 2); графы, соответствующие кубу и октаэдру, показаны на рис. 5 и 6;
Двудольные графы. Допустим, что множество вершин графа можно разбить на два непересекающихся подмножества V1 и V2 так, что каждое ребро в G соединяет какую-нибудь вершину из V1 с какой-либо вершиной из V2 (рис. 7);
тогда G называется двудольным графом. Такие графы иногда обозначают G(V1,V2), если хотят выделить два указанных подмножества. Двудольный граф можно определить и по-другому - в терминах раскраски его вершин двумя цветами, скажем красным и синим. При этом граф называется двудольным, если каждую его вершину можно окрасить красным или синим цветом так, чтобы любое ребро имело один конец красный, а другой - синий. Следует подчеркнуть, что в двудольном графе совсем не обязательно каждая вершина из V1 соединена с каждой вершиной из V2; если же это так и если при этом граф G простой, то он называется полным двудольным графом и обычно обозначается где m, n - число вершин соответственно в V1 и V2. Например, на рис. 8 изображен граф K4,3. Заметим, что граф имеет ровно m + n вершин и mn ребер. Полный двудольный граф вида называется звездным графом; на рис. 9 изображен звездный граф .
Связные графы. Граф связный, если его нельзя представить в виде объединения двух графов, и несвязный в противном случае. Очевидно, что всякий несвязный граф G можно представить в виде объединения конечного числа связных графов - каждый из таких связных графов называется компонентой (связности) графа G. (На рис. 10 изображен граф с тремя компонентами.) Доказательство некоторых утверждений для произвольных графов часто бывает удобно сначала провести для связных графов, а затем применить их к каждой компоненте в отдельности.
Циклические графы и колеса. Связный регулярный граф степени 2 называется циклическим графом (или циклом); циклический граф. с п вершинами обозначается через Сn. Соединение графов и (п ? 3) называется колесом с п вершинами и обозначается Wn. На рис. 11 изображены С6 и W6; граф W4 уже появлялся на рис. 2.
3. Эйлеровы графы

Связный граф G называется эйлеровым, если существует замкнутая цепь, проходящая через каждое его ребро; такая цепь называется эйлеровой цепью. Отметим, что в этом определении требуется, чтобы каждое ребро проходилось только один раз. Если снять ограничение на замкнутость цепи, то граф называется полуэйлеровым; при этом каждый эйлеров граф будет полуэйлеровым. На рис. 13,14,15 изображены соответственно не эйлеров, полуэилеров и эйлеров графы.
Название «эйлеров» возникло в связи с тем, что Эйлер первым решил знаменитую задачу о кенигсбергских мостах, в которой нужно было узнать, имеет ли граф, изображенный на рис. 15, эйлерову цепь (не имеет). Сразу же возникает вопрос: можно ли найти необходимые и достаточные условия для того, чтобы граф был эйлеровым
Докажем простую лемму.
Лемма 1. Если степень каждой вершины графа G не меньше двух, то G содержит цикл.
Доказательство. Если в графе G имеются петли или кратные ребра, то утверждение очевидно; поэтому предположим, что G является простым графом. Пусть v - произвольная вершина графа G; построим по индукции маршрут , выбирая вершину v1 смежной вершине v, а для i?1 - выбирая vi+1 смежной vi и отличной от vi-1 (существование такой вершины vi+1 гарантировано условием леммы). Так как G имеет конечное число вершин, то в конце концов мы придем к вершине, которая уже была выбрана раньше. Предположим, что vk - первая такая вершина; тогда часть маршрута, лежащая между двумя вхождениями vh, и является требуемым циклом.
Теорема 1. Связный граф G является эйлеровым тогда и только тогда, когда каждая вершина в G имеет четную степень.
Доказательство. Предположим, что Р является эйлеровой цепью в графе G. Тогда при всяком прохождении цепи Р через любую из вершин графа степень этой вершины увеличивается на два. А так как каждое ребро встречается в Р ровно один раз, то каждая вершина должна иметь четную степень.
Проведем доказательство индукцией по числу ребер в G. В силу связности G, степень каждой вершины не меньше двух, а отсюда, по предыдущей лемме, заключаем, что граф G содержит цикл С. Если С проходит через каждое ребро графа G, то доказательство завершено; если нет, то, удаляя из G ребра, принадлежащие циклу С, получим новый (быть может, и несвязный) граф Н. Число ребер в Н меньше, чем в G, и любая вершина в Н по-прежнему имеет четную степень. Согласно индуктивному предположению, в каждой компоненте графа Н существует эйлерова цепь. В силу связности графа G, каждая компонента в Н имеет по крайней мере одну общую вершину с циклом С, поэтому искомую эйлерову цепь графа G можно получить так: идем по ребрам цикла С до тех пор, пока не встретим неизолированную вершину графа Н, затем следуем по эйлеровой цепи той компоненты в Н, которая содержит указанную вершину; далее продолжаем путь по ребрам цикла С, пока не встретим вершину, принадлежащую другой компоненте графа Н, и т.д.; заканчивается процесс тогда, когда мы попадаем обратно в начальную вершину (рис. 17).
Следствие 1. Связный граф является эйлеровым тогда и только тогда, когда семейство его ребер можно разбить на непересекающиеся циклы.
Следствие 2. Связный граф является полуэйлеровым тогда и только тогда, когда в нем не более двух вершин имеют нечетные степени.
4. Примеры приложений теории графов
1. «Транспортные» задачи, в которых вершинами графа являются пункты, а ребрами - дороги (автомобильные, железные и др.) и / или другие транспортные (например, авиационные) маршруты. Другой пример - сети снабжения (энергоснабжения, газоснабжения, снабжения товарами и т.д.), в которых вершинами являются пункты производства и потребления, а ребрами - возможные маршруты перемещения (линии электропередач, газопроводы, дороги и т.д.). Соответствующий класс задач оптимизации потоков грузов, размещения пунктов производства и потребления и т.д., иногда называется задачами обеспечения или задачами о размещении. Их подклассом являются задачи о грузоперевозках.
2. «Технологические задачи», в которых вершины отражают производственные элементы (заводы, цеха, станки и т.д.), а дуги потоки сырья, материалов и продукции между ними, заключаются в определении оптимальной загрузки производственных элементов и обеспечивающих эту загрузку потоков.
3. Обменные схемы, являющиеся моделями таких явлений как бартер, взаимозачеты и т.д. Вершины графа при этом описывают участников обменной схемы (цепочки), а дуги - потоки материальных и финансовых ресурсов между ними. Задача заключается в определении цепочки обменов, оптимальной с точки зрения, например, организатора обмена и согласованной с интересами участников цепочки и существующими ограничениями
4. Управление проектами. (Управление проектами - раздел теории управления, изучающий методы и механизмы управления изменениями (проектом называется целенаправленное изменение некоторой системы, осуществляемое в рамках ограничений на время и используемые ресурсы; характерной чертой любого проекта является его уникальность, то есть нерегулярность соответствующих изменений.)). С точки зрения теории графов проект - совокупность операций и зависимостей между ними. Хрестоматийным примером является проект строительства некоторого объекта. Совокупность моделей и методов, использующих язык и результаты теории графов и ориентированных на решение задач управления проектами, получила название календарно-сетевого планирования и управления (КСПУ). В рамках КСПУ решаются задачи определения последовательности выполнения операций и распределения ресурсов между ними, оптимальных с точки зрения тех или иных критериев (времени проекта, затрат, и др.).
5. Модели коллективов и групп, используемые в социологии, основываются на представлении людей или их групп в виде вершин, а отношений между ними (например, отношений знакомства, доверия, симпатии и т.д.) - в виде ребер или дуг. В рамках подобного описания решаются задачи исследования структуры социальных групп, их сравнения, определения агрегированных показателей, отражающих степень напряженности, согласованности, взаимодействия и др.
6. Модели организационных структур, в которых вершинами являются элементы организационной системы, а ребрами или дугами - связи (информационные, управляющие, технологические и др.) между ними.
5. Задача о кратчайшем пути
Пример 1. Задача о волке, козе и капусте. Коза, капуста и волк находятся на берегу реки; перевозчику надо переправить их через реку, но его лодка так мала, что он может взять с собой не более одною из этих трех «пассажиров». По очевидным причинам нельзя оставлять без надзора волка с козой, а козу с капустой. Как должен поступить перевозчик?
Эта широко известная задача легко решается в уме благодаря малому числу вариантов, подлежащих рассмотрению, тем не менее перед нами типичный пример задачи, о нахождении кратчайшего пути: чертится граф изображенный на рис 1 и ищется путь, ведущий из положения а (когда коза К, капуста Кап, волк В и перевозчик П находятся на правом берегу) в положение b (когда все переправлены на левый берег), искомый путь показан на рисунке жирными линиями.
В более общем случае необходим систематический алгоритм, изложим несколько методов.
Задача о кратчайшем пути
Пусть задана сеть из n + 1 вершины, то есть ориентированный граф, в котором выделены две вершины - вход (нулевая вершина) и выход (вершина с номером n). Для каждой дуги заданы числа, называемые длинами дуг. Длиной пути (контура) называется сумма длин входящих в него дуг
(если длины дуг не заданы, то длина пути (контура) определяется как число входящих в него дуг). Задача заключается в поиске кратчайшего пути (пути минимальной длины) от входа до выхода сети.
Для существования кратчайшего пути необходимо и достаточно отсутствия в сети контуров отрицательной длины.
Предположим, что в сети нет контуров. Тогда всегда можно пронумеровать вершины таким образом, что для любой дуги (i, j) имеет место j > i. Такая нумерация называется правильной. Легко показать, что в сети без контуров всегда существует правильная нумерация.
Обозначим - длину дуги (i; j). Кратчайший путь в сети, имеющей правильную нумерацию, определяется следующим алгоритмом.
Алгоритм 1.
Шаг 0: Помечаем нулевую вершину индексом ;
Шаг k: помечаем вершину k индексом i<k;
Индекс выхода будет равен длине кратчайшего пути. (Алгоритм 1 для задач динамического программирования отражает принцип оптимальности Беллмана: если ищется кратчайший путь между двумя точками, то длина пути между любыми двумя точками кратчайшего пути также должна быть минимальна.) На рисунке 2 приведен пример применения алгоритма 1 для определения кратчайшего пути (числа у дуг равны длинам дуг, индексы вершин помещены в квадратные скобки, кратчайший путь выделен двойными линиями).
Когда индексы (называемые в некоторых задачах потенциалами вершин) установятся, кратчайший путь определяется методом обратного хода от выхода к входу, то есть кратчайшим является путь , такой, что и т.д.
Следующий алгоритм дает возможность определять кратчайший путь в общем случае (то есть при произвольной нумерации вершин).
Алгоритм 2 (алгоритм Форда).
Шаг 0: Помечаем нулевую вершину индексом , все остальные вершины индексами , i = 1, n;
Шаг k: Рассматриваем все дуги. Если для дуги (i; j) >, то вычисляем новое значение ;
Индексы устанавливаются за конечное число шагов. Обозначим - установившиеся значения индексов, которые обладают следующим свойством: величина равна длине кратчайшего пути из нулевой вершины в вершину i. Кратчайший путь из вершины 0 в вершину i определяется методом обратного хода.
Если длины всех дуг неотрицательны, то для поиска кратчайшего пути применим следующий алгоритм.
Алгоритм 3.
Шаг 0: Помечаем нулевую вершину индексом ;
Шаг k: Пусть уже помечено некоторое множество вершин. Обозначим Q - множество непомеченных вершин, смежных с помеченными. Для каждой вершины вычисляем величину где минимум берется по всем помеченным вершинам i, смежным с вершиной k. Помечаем вершину k, для которой величина минимальна, индексом .
Подобную процедуру повторяем до и т.д.................


Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.