На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


курсовая работа Дедекиндовы кольца

Информация:

Тип работы: курсовая работа. Добавлен: 16.10.2012. Сдан: 2012. Страниц: 5. Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%

Описание (план):


1.ОЗНАЧЕННЯ ДЕДЕКІНДОВИХ КІЛЕЦЬ
Нехай А- цілісне кільце. Очевидно, що наступні поняття еквівалентні:
    Ненульові прості ідеали із А попарно  не зрівнянні по відношенню до включення
    Ненульові прості ідеали кільця А максимальні
    Ненульові прості ідеали кільця А мають висоту 1
Означення
Дедекіндовим кільцем називається кільце Крулля , всі ненульові прості ідеали якого максимальні.
Моя перша задача –  довести, що в дедекіндовому кільці розклад ідеалів на прості ідеали однозначний. Кроки, направленні на доведення цього результату , приведуть нас до  інших важливих характеристик дедекіндових областей.
Ми почнемо з  доведення простих лемм , які розглядають обратимі  дробові ідеали.  В цих лемах R позначає область цілісності , К – її поле частних, І – множина всіх дробових ідеалів.
Лема 1
Якщо  обратім , то має єдиний обратний ; останній дорівнює R:. Отже необхідна і достатня умова обратимости  ідеалу – це рівність
Доведення
Якщо  , то . З іншого боку, . З цього випливає, що якщо  ' – обратний ідеал до , то , що і треба було довести. 

Лема 2
Якщо кожний ідеал  в , відмінний від (0), має обернений, то - група по множенню .
Доведення
Кожний дробовий ідеал а може бути у вигляді , де b- цілий ідеал, а d- ненульовий  елемент  R. Якщо b має обернений в, то допускає в ролі оберненого. Оскільки множення ідеалів асоціативне и кожен елемент І має обернений, то І – група.
Лема 3
Обратимий ідеал , що розглядається, як R- модуль , має скінченний базис.
Доведення
Оскільки , існує дві скінченних множини ,   (i=1,...,n) елементів і ', таких що .  Для кожного х із маємо включення , звідси , є скінченним базисом для .
Лема 4
Якщо скінченна  множина  цілих ідеалів така, що добуток ,обратимо, то кожний    обратим. Зокрема, якщо добуток    цілих ідеалів є головним ідеалом, то кожний    обратим.
Доведення
З отримаємо,що ,-, 
 

Лема 5
Для добутку цілих  обратимих  простих ідеалів розклад на прості ідеали однозначний.
Доведення
Нехай - добуток простих обратимих ідеалів. Припустимо також, що , де - прості ідеали. Виберемо мінімальний елемент з множини , наприклад . Оскільки міститься в., то деякий наприклад , міститься в . Аналогічно, оскільки .. міститься в , деякий , припустимо , міститься в . Звідси .З мінімальності випливає , що . Перемножуючи співвідношення на. , отримаємо рівність . Тепер лема випливає з індукції (n); випадок n=1 тривіальний.
Теорема 1
В дедекіндовому кільці R кожен власний простий ідеал є обратимим та максимальним.
Доведення
Спочатку покажемо, що в R кожний обратимий  власний простий ідеал є максимальним. Розглянемо елемент ? з R, який не лежить в , та ідеали , . Оскільки R- дедекіндова область, то ;, де , - прості  ідеали. Нехай R- кільце класів вычетов та a- клас елемента a по модулю . Маємо рівності , іде ідеали  і прості. По лемі 4 ці прості ідеали обратимы. Оскільки , лема 5 показує , що ідеали - це  ідеали , повторені кожний два рази; більш точно: , і ми можемо перенумерувати таким чином, щоб . Це означає,   і . З цього випливає співвідношення .Таким  чином, кожний елемент з може бути записаний у вигляді ,,. Звідси, , звідки , так як ; іншими словами, міститься у . Оскільки включення очевидне, то отримаємо рівність .Так як обратим за припущенням , то ми помножимо цю рівність на і отримаємо ,що . Але - будь-який елемент доповнення в , і тим самим максимальність доведена.
Якщо це дійсно так, то для доведення теореми ми повинні  лиш показати. Що кожний простий  ідеал  обратим. Візьмемо ненульовий елемент і запишемо , де - прості ідеали. Оскільки містить , то він містить деякий . Але по лемі  4, кожний обратим. Звідси, кожний максимальний по першій частині доведення. Так як ідеал містить один з , наприклад , то , так що і обратим і максимальний.
 Теорема 2
Нехай - дедекіндова область. Кожний дробовий ідеал в обратим і може бути записаний єдиним чином у вигляді :                   , де - цілі числа, такі що для даного чисел , відмінних від нуля, скінченна кількість. Для того щоб , необхідно і достатньо, щоб для кожного . Мають місце співвідношення:
                    (2)
                 (3)
                              (4)
Ідеали i рівні, до того ж =   (5)
Доведення
Оскільки дробовий ідеал може бути записаний у вигляді , де і - цілі ідеали , і так як за означенням і можна подати у вигляді добутку простих ідеалів, теорема 1 показує, що ми можемо записати , де і – прості ідеали в . Таким чином, обратим за теоремою 1. Ми можемо припустити , що для всіх , . Якщо ми маємо інший розклад , наприклад , для всіх  і , то співвідношення , і однозначність розкладу цілих ідеалів показують, що , Це доводить однозначність розкладу для дробових ідеалів і формулу 1. Оскільки обратим , умовa еквівалентна включенню , тобто . Це в свою чергу еквівалентно нерівності для всіх простих ідеалів із ,так як цілі ідеали - це ті, що характеризуються умовою для всіх .Іншими словами, умова рівносильна тому, що , тобто    для всіх .Ця характеристика включення показує безпосередньо те, що де , є найменшим ідеалом , який містить і , що , де - найбільший ідеал , який містить і . Це доводить формули 2 і 3. Формула 4 тривіальна. І нарешті, так як , то . З іншого боку , , звідки маємо . Отже, . Це доводить твердження відносно , і формула 5 безпосередньо звідси випливає.
Теорема 3
Нехай - область цілісності. Для того щоб було дедекіндовою  областю, необхідно і достатньо, щоб множина дробових ідеалів була групою по множенню.
Доведення
Необхідність очевидна, оскільки кожний дробовий ідеал дедекіндової області обратим за теоремою 2. Навпаки, якщо - група. То кожний ідеал в   має скінченний базис і нетереве. Використовуючи нетеревість , ми можемо тепер довести , що кожний власний цілий ідеал з є добутком максимальних ідеалів, і це закінчить доведення теореми. Припускаючи супротивне, отримаємо, що серед ідеалів , які неє добутком максимальних ідеалів, існує максимальний, наприклад ; не є максимальним ідеалом в за припущенням. Звідси, він строго міститься в деякому максимальному ідеалі . Ідеал існує і є цілим ідеалом, який строго містить ; дійсно , з ми отримали б .З цього випливає,   - добуток максимальних ідеалів і - також добуток максимальних ідеалів. Це суперечить припущенню і доводить теорему 3.
Теорема 4
Нехай - область цілісності . Для того щоб була дедекіндовим кільцем, необхідно і достатньо, щоб вона задовольняла наступні умови:
    Область нетерова
    Кожний власний простий ідеал максимальний
    цілозамкнута
 
Доведення
Необхідність 1) випливає з теореми 2 і леми 3; необхідність 2)- із теореми 1. Що стосується 3), то розглянемо елемент поля частних області , що є цілим над існує спільний знаменник в , такий, що для кожного . Значить, для кожного простого ідеалу має місце рівність ,для всіх . Так як і - цілі числа, то з цього , тобто для кожного простого ідеалу , і . Звідси, область цілозамкнута.  Оскільки в даному випадку нам дано,що нетереве , то для доведення дедекіндовості ми повинні лишень показати, що кожний власний простий ідеал в має обернений. Зазначимо, що якщо - деякий ненульовий елемент з , то повинен містити якийсь простий ідеал головного ідеалу і звідси сам повинен бути прости ідеалом ідеалу , так як всі власні прості ідеали в максимальні. Доведення теореми буде завершене, якщо ми доведемо наступну лему:
Лема 6
Нехай - нетерова цілозамкнута область , і нехай )  - максимальний ідеал в . Якщо - простий ідеал головного ідеалу , то має обернений.
Доведення
За припущенням, . Якщо тоді - деякий елемент з , що не лежить в , то ;  . Отже, ми показали, що .Припустимо  тепер, що не має оберненого. Тоді , і так як максимальний, то . Далі, ) і - скінченний - модуль, оскільки нетереве; на кінець, - область цілісності. Тому звідси випливає, що при кожний елемент цілий над , і значить, належить , так як цілозамкнуте. Іншими словами , всупереч нерівності , доведеної вище.
Теорема 6
Нехай - цілозамнена нетерова область, що має єдиний максимальний ідеал . Якщо дробовий ідеал відмінний від , то є головним ідеалом ; кожний ненульовий елемент із може бути записаний однозначно у вигляді , де - елемент , що має обернений; єдиними власними ідеалами кільця є ідеали виду
Теорема  7
В цілозамкнутій нетеровій області прості ідеали будь-якого власного головного ідеалу суть мінімальні  прості ідеали в .
2. РОЗКЛАД ІДЕАЛІВ  В ДОБУТОК ПРОСТИХ ІДЕАЛІВ 
Нехай - дедекіндове кільце, - впорядкована мультиплікативна  група ненульових дробових ідеалів кільця і - група дивізорів кільця .Ізоморфізм групи на групу ставе у відповідність ненульовим простим ідеалам із екстремальні девізори; звідси,мультиплікативна група допускає в ролі базиса множину ненульових простих ідеалів кільця . Іншими словами, будь-який ненульовий дробовий ідеал кільця допускає , і до того ж єдиний, розклад наступного вигляду:
,                       (1)
де добуток розповсюджується на всі ненульові прості ідеали кільця , а показники , за винятком деякого скінченого числа, дорівнює нулю. При цьому ідеал є цілим тоді і тільки тоді, коли всі , невід’ємні.  Співвідношення (1)  називається розкладом на прості множники. Зокрема, якщо - головний ідеал, то для будь-якого маємо , де , означає суттєве нормування, відповідаючи . Нехай                                      - два ненульових дробових ідеали з . Тоді має місце рівність:
.         (2)
Окрім того, 
,    (3)
,        (4)
.       (5)
 Дійсно, співвідношення (2) очевидне. Співвідношення (3) випливає з (2). Оскільки, рівність рівносильна формулі
div = div – div .
3. ТЕОРЕМА ПРО АПРОКСИМАЦІЇ  В ДЕДЕКІНДОВИХ КІЛЬЦЯХ.
Нехай - дедекіндове кільце, - його поле частих і - множина ненульових простих ідеалів кільця *. Для позначимо через відповідне значиме нормування кільця . Нехай - попарно різні елементи множини , - цілі раціональні числа і - елементи поля .Тоді існує такий елемент , що для i для будь-якого , відмінного від .  Замінюючи, якщо це необхідно, числа на великі, ми можемо допустити, що всі невід’ємні. Розглянемо спочатку випадок, коли лежать в ; нам, очевидно, необхідно знайти елемент , що задовольняє порівнянням , а як нам вже відомо такий існує. Перейдемо до загального випадку. Можна записати , де , лежать  в . Положив , ми прийдемо до питання про знаходження такого , щоб, з однієї сторони, була виконана умова і, з іншого боку, умова для будь-якого , відмінного від . Оскільки, для всіх, окрім скінченного числа, індексів , ми прийшли до попереднього випадку ; припущення доведено.
Припущення 2 можна  представити у вигляді теореми  про щільність. Тобто, для будь-якого нехай означає поповнення поля відносно нормування ; розглянемо добуток . Елемент цього добутку називають обмеженим аделем кільця , якщо для всіх , за винятком скінченного числа, . Зрозуміло,що множина обмежених аделів є підкільцем  кільця , яке містить добуток . Розглянемо на топологію добутку, відносно узгоджена зі структурою адитивної групи, в котрій околі нуля в утворює фундаментальну систему околів нуля. Топологія узгоджена й зі структурою кільця на . Дійсно, зрозуміло, що аксіома (AVII) з загальної топології виконується, оскільки топологія , індукційна топологією * на , узгоджена із структурою кільця на . З іншого боку, для будь-якого існує така скінченна підмножина в що якщо покласти то ,так як відкрита в при будь-якому, то * є фундаментальною системою околів нуля в топології добутку   ;  ця остання узгоджена із структурою кільця на вказаному добутку, в силу чого виконується також і аксіома (AVI). Таким чином наше припущення доведено. Зрозуміло, що є відкритим підкільцем в , отже і також представляє собою повне кільце.
Для будь-якого нехай ? () позначає елемент , такий,  що для будь-якого ; оскільки для всіх, окрім скінченного числа, значень , справедливе включення ? () ; звідси, визначений гомоморфізм , котрий ін'єктивний, якщо . Елементи множини називають головними обмеженими аделями: зрозуміло, що
Припущення 3. Кільце (відповідно ) ототожнюється с поповненням кільця (відповідно поля ) відносно топологіі кільця, фундаментальна система околів нуля якої утворена усіма цілими ненульовими ідеалами кільця . Можна довести, що ?
и т.д.................


Перейти к полному тексту работы


Скачать работу с онлайн повышением уникальности до 90% по antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru


Смотреть полный текст работы бесплатно


Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.