На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Лекции Понятие о непрерывности функции. Производная

Информация:

Тип работы: Лекции. Добавлен: 26.10.2012. Сдан: 2012. Страниц: 7. Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%

Описание (план):


 
Понятие о непрерывности  функции. Производная.
Лекция №1 (2 часа)
Понятие о  производной функции, ее геометрический и физический смысл.
             
             
             
             
            Производная функции
Определение производной функции. Пусть функция у=f(x) определена на некотором  промежутке, ?х — точка этого промежутка и число х таково, что х+?х тоже принадлежит этому промежутку. Тогда производной функции у = f{x) называется предел  отношения приращения функции ?у к приращению аргумента х при ?х >0:        

если  этот предел существует.
Если производная  существует для каждого значения х в области определения функции f(x), то она представляет собой новую функцию от аргумента х.        Процесс вычисления производной называется дифференцированием,                     С физической точки зрения производная от f(x) в точке х представляет собой скорость изменения функции f{x) относительно ее аргумента при данном значении х.Производная функции имеет следующие обозначения: у?, f '(x),  
 
                 Алгоритм  определения производной функции 

вычисляют приращение   ;
находят среднюю  скорость изменения функции   ;
вычисляют истинную скорость изменения функции при  стремлении  
 

или
                                               

Пример 
Определить  производную функции  при
РЕШЕНИЕ. Вычисляем:  = ,
следовательно,
Средняя скорость изменения функции  
Тогда истинная скорость изменения функции  
 

Находим значение производной при
                                            

 2. Связь производной функции с непрерывностью.
 
Сформулируем  зависимость между непрерывностью и наличием производной функции.                                                                                                                                           Если функция f(x) имеет производную при некотором значении аргумента х, то при этом значении х данная функция непрерывна. Допустим, что при некотором значении х функция f(x) имеет производную, т. е. 
 

По определению  предела   
                                                        
Где при отсюда . Находим предел этого выражения при : 
 

Так как                         ,  то
  

Функцию у = f{x) при данном значении х называют непрерывной, если бесконечно малому приращению аргумента х соответствует бесконечно малое приращение функции у, т. е. если       

3. Геометрический смысл  производной.
Касательной к данной кривой в данной ее точке А называется предельное положение секущей АВ, когда точка В, перемещаясь по кривой, неограниченно приближается к точке А. Прямая, проходящая через точку А перпендикулярно касательной, называется нормалью к кривой в точке А.
Рассмотрим  непрерывную кривую у = f(x).
Отметим на этой кривой фиксированную точку А(х; y), а также перемещающуюся по кривой точку В(х + х; у+ у).  

Тогда расстояние от точки В до оси абсцисс B у + y = f(x + х).
Проведем прямую АВ, пересекающую кривую f(x) в точках А и В, и прямую A, параллельную оси Ох.                                                                       Обозначим в прямоугольном треугольнике угол тогда , т. е. с геометрической точки зрения tg равен тангенсу угла наклона секущей АВ к оси Ох.
При х О точка В, перемещаясь по кривой f(x), неограниченно приближается к точке А, секущая АВ, поворачиваясь около точки А, стремится занять предельное положение касательной в точке А к кривой f(x). При этом  , где а — угол, образуемый касательной AM с положительным направлением оси Ох, т. е.

Из равенства tg следует, что
или    
       
 
 
 

   но , поэтому =  tg а или = k, где k — угловой                              коэффициент касательной AM к графику функции у = f(x) в точке А, равный тангенсу угла наклона касательной к оси Ох, т. е.               

Итак, производная функции у=f(x) в точке А равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции У = f(x) в этой точке А.
 
Физический  смысл производной.
При прямолинейном  движении точки скорость v в данный момент t = есть производная от пути S по времени t, вычисленная для момента .
Ускорение в данный момент t = есть производная от скорости v по времени t, вычисленная для момента
  ПРИМЕР: Точка движется прямолинейно по закону S = - 4. Найти величину скорости и ускорения в момент времени = 4 с.
РЕШЕНИЕ. Скорость движения точки в любой момент времени :


                                             
 
 

При вращательном движении угловой  скоростью называется скорость со изменения угла поворота за время t. Угловая скорость равна производной угла поворота по времени t 

                                                  
Угловое ускорение  равно производной от угловой скорости по времени t:  
 
 
 
 
 
 

                                   

Лекция 2 (2часа)
Производная  постоянной, производная суммы, произведения, частного. 
 Производная постоянной.
Пусть y = С, где С — постоянное число.
Тогда             
 

Производная постоянной 0:   С'=0.
Производная алгебраической суммы  функций.
Для вывода ограничимся суммой двух слагаемых y=u + v , где и и v — функции от аргумента x:, имеющие производные по х:
  
 
 

Слагаемые правой части являются производными функций и и v, поэтому
у' = u’ + v' или (u + v)' = u' + v’
Вывод можно  распространить на алгебраическую сумму конечного числа слагаемых
Производная алгебраической суммы конечного  числа функций равна сумме производных слагаемых.
Например, у = 1 + х, тогда у' = 1.
Производная произведения двух функций.
Пусть у = uv, где uuv—функции от аргумента x:, имеющие производные по х. Находим:  
 
 
 

Функции u и v не зависят от х, поэтому будем считать их постоянными; по   определению
Функция u дифференцируема следовательно, она непрерывна, поэтому , и последний член в () равен нулю.
Тогда имеем:  

    Производная произведения двух функций  равна сумме произведений первой функции на производную второй и второй на производную первой.
 
Производная произведения постоянной на функцию.
Пусть у = Си, где С — постоянная, а и — f(x), имеющая производную по х:
 

    Производная произведения постоянной на функцию равна  произведению постоянной на производную функции (постоянную можно выносить за знак производной).
Производная частного.
Дана функция y = где u и v — функции  аргумента x, имеющие производные по х (v0). Тогда : 
 
 
 

Итак,  
 

    Производная частного равна дроби, числитель которой  есть разность между  произведением делителя на производную делимого и произведением делимого на производную делителя, а знаменатель есть квадрат делителя.
Следствия:
Если  знаменатель дроби есть постоянная С, y = , то
 
 
 

    Если  знаменатель дроби  — постоянная величина, то производная дроби равна производной от числителя, деленной на знаменатель.
                      Q
П. Если числитель дроби есть постоянное число С, у = , то  
 
 
 

    Если  числитель дроби  — постоянная величина С, то производная равна числителю С, умноженному на производную знаменателя и деленному на квадрат знаменателя, взятому с противоположным знаком.
 
 
                      

                
                    Лекция 3 (2часа)
Производные основных элементарных функций. Применение производной к исследованию функций и построению графиков.
    Производные основных элементарных функций:
Производная функции у - . При вычислении производной функции у = , где и = f(x), заменим корень дробным показателем и применим формулу
 
 
 
 

 

Производная функции.  При выводе формулы производной функции , где u=f(x) заменим   на   тогда = ‘ = -1 , т.е.
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Применение  производной к  исследованию функций  и построению графиков.
Исследование  функций с помощью  производных.
Возрастание и убывание функций. 

Возрастание и убывание функции у=f(x) характеризуется знаком ее производной: если на некотором промежутке f'{x)> О, то функция на этом промежутке возрастает; если же f'(x)< О, то функция на этом промежутке убывает.
На  промежутке возрастания функции  у=f(x) касательная к графику функции образует с осью абсцисс острый угол, и график функции направлен вверх, т. е. f  ‘ () = tg   > О < а < /2 ,
а в  промежутке убывания функции касательная  к графику образует тупой угол, и график функции направлен вниз, т. е. f'() = = tg < О, /2 < < .
ПРИМЕР:
Найти промежутки возрастания и убывания функции:
    f(x)=
    F(x)=
    ( x )=
    ( x )= ln x     
РЕШЕНИЕ. 1) Производная f’ (x) — 2х - 8; она принимает значение, равное нулю ( f “ (x) = 0) при x = 4. Вычислив значения f’ (x) для любого значения х > 4, заключаем, что на этом интервале производная f’ (х) > О, следовательно, функция f(x) на этом интервале возрастает, и наоборот, f’(1)=-6, при x<4 производная f(x) < О, следовательно, на этом интервале функция f(x) убывает.
и т.д.................


Перейти к полному тексту работы


Скачать работу с онлайн повышением уникальности до 90% по antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru


Смотреть полный текст работы бесплатно


Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.