На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Курсовик Нахождение собственных значений и собственных векторов матриц. Нетривиальное решение однородной системы линейных алгебраических уравнений. Метод нахождения характеристического многочлена, предложенный А.М. Данилевским. Получение формы Жордано: form.exe.

Информация:

Тип работы: Курсовик. Предмет: Математика. Добавлен: 29.08.2010. Сдан: 2010. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ
СУМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
КАФЕДРА ИНФОРМАТИКИ
Курсовая работа
по дисциплине «Численные методы»
на тему:
«Вычисление характеристических многочленов, собственных значений и собственных векторов»
Сумы, 2005

Содержание

СОДЕРЖАНИЕ

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ДАННЫЕ

ВВЕДЕНИЕ

МЕТОД ДАНИЛЕВСКОГО

УКАЗАНИЯ ПО ПРИМЕНЕНИЮ ПРОГРАММЫ

ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ

АНАЛИЗ ПРОГРАММЫ

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Теоретические данные

Введение

Большое количество задач с механики, физики и техники требует нахождение собственных значений и собственных векторов матриц, т.е. таких значений л, для которых существует нетривиальное решение однородной системы линейных алгебраических уравнений . Тут А-действительная квадратичная матрица порядка n с элементами ajk, а --вектор с компонентами x1, x2,…, xn Каждому собственному значению лi соответствует хотя бы одно нетривиальное решение. Если даже матрица А действительная, ей собственные числа (все или некоторые) и собственные векторы могут быть недействительными. Собственные числа являются корнями уравнения , где Е - единичная матрица порядка n

или

Данное уравнение называется характеристическим уравнением матрицы А. Собственным векторам , которым соответствует собственному значению лi, называют ненулевое решение однородной системы уравнений . Таким образом, задача нахождения собственных чисел и собственных векторов сводится к нахождению коэффициентов характеристического уравнения, нахождению его корней и нахождению нетривиального решения системы.

Метод Данилевского

Простой и изысканный метод нахождения характеристического многочлена предложил А.М.Данилевский. Рассмотрим идею метода. Рассмотрим матрицу A

Для которой находится характеристический многочлен, при помощи подобных преобразований преобразуется к матрице

,

которая имеет нормальную форму Фробениуса, то есть матрица имеет в явном виде в последнем столбце искомые коэффициенты характеристического уравнения. Т. к. подобные матрицы имеют один и тот же характеристический многочлен, а

, то и .

Поэтому для обоснования метода достаточно показать, каким образом из матрицы A строится матрица P.

Подобные преобразования матрицы A к матрице P происходят последовательно. На первом шаге матрица А преобразовывается к подобной до неё матрице А(1), в которой предпоследний столбец имеет необходимый вид. На втором шаге матрица А(1) преобразовывается на подобную к ней матрицу А(2), в которой уже два предпоследних столбца имеют необходимый вид, и т.д.

На первом шаге матрица А умножается справа на матрицу

и слева на матрицу ей обратную

Первый шаг даёт

,

где

На втором шаге матрица А(1) умножается справа на матрицу

и слева на обратную к ней матрицу

Очевидно, что элементы матрицы

.

Это означает, что два предпоследних столбца матрицы А(2) имеют необходимый вид. Продолжая этот процесс, после n-1 шагов придем к матрице

,

которая имеет форму Фробениуса и подобная к входной матрице А. При этом на каждом шаге элементы матрицы А(j) находятся по элементам матрицы А(j-1) также, как мы находили элементы матрицы А(2) по элементам А(1). При этом предпологается, что все элементы отличные от нуля. Если на j-ом шаге окажется, что , то продолжать процесс в таком виде не будет возможно. При этом могут возникнуть два случая:

1. Среди элементов есть хотя бы один, отличный от нуля, например . Для продолжения процесса поменяем в А(j) местами первый и -й строчки и одновременно 1-й и -й столбцы. Такое преобразование матрицы А(j) будет подобным. После того, как получим матрицу , процесс можно продолжать, т.к. столбцы матрицы А(j),приведённые к необходимому виду не будут испорчены.

2. Все элементы равны нулю. Тогда матрица А(j) имеет вид , где F- квадратичная матрица порядка j, которая имеет нормальный вид Фробениуса; В--квадратная матрица порядка n-j, но , то есть характеристический многочлен матрицы F является делителем характеристического многочлена матрицы А. Для нахождения характеристического многочлена матрицы А необходимо еще найти характеристический многочлен матрицы В, для которой используем этот же метод.

Подсчитано, что количество операций умножения и деления, необходимых для получения характеристического многочлена матрицы порядка n составляет n(n-1)(2n+3)/2.

На данном этапе работы мы получили характеристический полином, корнями которого будут собственные числа матрицы А. Процедура нахождения корней полинома n-ой степени не проста. Поэтому воспользуемся пакетом MathCAD Professional для реализации данной задачи. Для поиска корней обычного полинома р(х) степени n в Mathcad включена очень удобная функция polyroots(V). Она возвращает вектор всех корней многочлена степени n, коэффициенты которого находятся в векторе V, имеющим длину равную n+1. Заметим, что корни полинома могут быть как вещественными, так и комплексными числами. Таким образом мы имеем собственные числа, при помощи которых мы найдём собственные векторы нашей матрицы А. Для нахождения собственных векторов воспользуемся функцией eigenvec(A,vi), где А-исходная матрица, vi-собственное число, для которого мы ищем собственный вектор. Данная функция возвращает собственный вектор дня vi.

Указания по применению программы

Данная курсовая работа выполнена на языке программирования Pascal. В курсовую работу входит файл danil.exe. Danil.exe предназначен для нахождения характеристического полинома методом Данилевского. Входными параметрами является размерность матрицы и сама матрица, а выходным -- характеристический полином.

Программная реализация

Программный код программы danil.exe

uses wincrt;

label 1;

type mas=array[1..10,1..10]of real;

var A,M,M1,S:mas;

z,max:real;

f,jj,tt,ww,v,h,b,y,i,j,w,k,e,l,q,x,u:byte;

p,o:array[1..10]of real;

t:array [1..10]of boolean;

procedure Umnogenie(b,c:mas; n:byte; var v:mas);

var i,j,k:byte;

begin

for i:=1 to n do

for j:=1 to n do

begin

v[i,j]:=0;

for k:=1 to n do

v[i,j]:=b[i,k]*c[k,j]+v[i,j];

end;

end;

procedure dan(n:byte; var a:mas);

label 1,2;

var y:byte;

begin

For y:=1 to n-1 do

begin

if a[1,n]=0 then

begin

if y>1 then begin

max:=abs(a[1,n]);

w:=1;

for i:=1 to n-y do

if abs(a[i,n])>max then begin max:=abs(a[i,j]); w:=i; end;

if max=0 then

begin

for l:=n downto n-y+1 do

begin

p[f]:=a[l,n];

t[f]:=false;

f:=f-1;

end;

t[f+1]:=true;

x:=x+1;

u:=n-y;

if y=n-1 then begin o[q]:=a[1,1]; q:=q+1; end else dan(u,a);

goto 2;

end;

for j:=1 to n do

begin

z:=a[1,j];

a[1,j]:=a[w,j];

a[w,j]:=z;

end;

for k:=1 to n do

begin

z:=a[k,1];

a[k,1]:=a[k,w];

a[k,w]:=z;

end;

goto 1;

end

else

begin

max:=abs(a[1,2]);

w:=1;e:=2;

for i:=1 to n-1 do

if abs(a[i,n])>max then begin max:=abs(a[i,j]); w:=i; e:=n; end;

for j:=2 to n do

if abs(a[1,j])>max then begin max:=abs(a[i,j]); w:=1; e:=j; end;

if abs(a[n,1])>max then begin max:=abs(a[n,1]); w:=n; e:=1; end;

if max=0 then

begin

o[q]:=a[n,n];

q:=q+1;

u:=n-1;

if n=2 then begin o[q]:=a[1,1]; q:=q+1; o[q]:=a[n,n]; q:=q+1; end else dan(u,a);

goto 2;

end;

if (w>1) and (e=n) then

begin

for j:=1 to n do

begin

z:=a[1,j];

a[1,j]:=a[w,j];

a[w,j]:=z;

end;

for k:=1 to n do

begin

z:=a[k,1];

a[k,1]:=a[k,w];

a[k,w]:=z;

end;

goto 1;

end;

if (w=n) and (e=1) then

begin

for j:=1 to n do

begin

z:=a[1,j];

a[1,j]:=a[n,j];

a[n,j]:=z;

end;

for k:=1 to n do

begin

z:=a[k,1];

a[k,1]:=a[k,n];

a[k,n]:=z;

end;

goto 1;

end;

if w=1 then

begin

for j:=1 to n do

begin

z:=a[n,j];

a[n,j]:=a[e,j];

a[e,j]:=z;

end;

for k:=1 to n do

begin

z:=a[k,n];

a[k,n]:=a[k,e];

a[k,e]:=z;

end;

goto 1;

end;

end;

end;

1:

for i:=1 to n do

for j:=1 to n do

if i<>(j+1) then M[i,j]:=0

else M[i,j]:=1;

for i:=1 to n do

for j:=1 to n do

if (i+1)<>j then M1[i,j]:=0

else M1[i,j]:=1;

for i:=1 to n do

if i<>n then begin M[i,n]:=a[i,n]; M1[i,1]:=-a[i+1,n]/a[1,n]; end

else begin M[i,n]:=a[i,n]; M1[i,1]:=1/a[1,n]; end;

Umnogenie(M1,A,n,S);

Umnogenie(S,M,n,A);

if y=n-1 then

begin

for l:=n downto 1 do

begin

p[f]:=a[l,n];

t[f]:=false;

f:=f-1;

end;

t[f+1]:=true;

x:=x+1;

end;

end;

2:

end;

begin

writeln('Vvedite razmernost` matrici A');

readln(ww);

f:=ww;

for i:=1 to ww do

begin

for j:=1 to ww do

begin

write('a[',i,j,']=');

Readln(A[i,j]);

end;

end;

q:=1;

x:=0;



Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.