На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Диплом Этапы развития теории описания пространства, сущность принципа относительности, сформулированного Галилеем. Геометрия Минковского как описание пространства времени, основные понятия ее описания. Разработка практических занятий по данным темам.

Информация:

Тип работы: Диплом. Предмет: Математика. Добавлен: 24.02.2010. Сдан: 2010. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


Дипломная работа
«Геометрии Галилея и Минковского как описания пространства-времени» (факультатив для старших школьников)

Введение
В материалистической картине мира понятие пространства возникло на основе наблюдения и практического использования объектов, их объема и протяженности.
Понятие времени возникло на основе восприятия человеком смены событии, последовательной смены состояний предметов и круговорота различных процессов.
Естественнонаучные представления о пространстве и времени прошли длинный путь становления и развития. Самые первые из них возникли из очевидного существования в природе и в первую очередь в макромире твердых физических тел, занимающих определенный объем. Здесь основными были обыденные представления о пространстве и времени как о каких-то внешних условиях бытия, в которые помещена материя и которые сохранились бы, если бы даже материя исчезла. Такой взгляд позволил сформулировать концепцию абсолютного пространства и времени, получившую свою наиболее отчетливую формулировку в работе И. Ньютона «Математические начала натуральной философии» Этот труд более чем на два столетия определил развитие всей естественнонаучной картины мира. В нем были сформулированы основные законы движения и дано определение пространства, времени, места и движения.
Современное понимание пространства и времени было сформулировано в теории относительности А. Эйнштейна, по-новому интерпретировавшей реляционную концепцию пространства и времени и давшей ей естественнонаучное обоснование. Исходным пунктом этой теории стал принцип относительности, классический принцип относительности был сформулирован еще Г. Галилеем.
80 лет назад Герман Минковский предложил геометрическую интерпретацию специальной теории относительности. В наши дни знакомство с теорией относительности стало необходимым элементом общего образования, однако преподавание и понимание этой теории до сих пор затруднено тем, что ее математическое описание находится в противоречии с теми представлениями о пространстве и времени, которые базируются непосредственно на чувственных восприятиях и закрепляются в процессе изучения классической физики. Геометрия мира Минковского остается для неспециалистов труднодоступной абстракцией. Между тем к математическим знаниям, даваемым теперь средней школой и первым курсом вуза, надо добавить не много, чтобы развить представление о псевдоевклидовом пространстве. Прежде всего, требуется понятие абстрактного линейного пространства и его разновидности - евклидова пространства, умение различать линейные и метрические свойства пространства. Эти понятия являются исходными для построения геометрической теории. Без достаточно свободного владения ими и связанным с ними алгебраическим аппаратом нельзя преодолеть привязанность к привычной наглядности образов и проникнуть в мир форм, скрытых от непосредственного зрительного восприятия.
1. Геометрические представления Галилея

Исходным пунктом теории описания пространства стал принцип относительности, классический принцип относительности был сформулирован еще Г. Галилеем: во всех инерциальных системах отсчета движение тел происходит по одинаковым законам. Инерциальными называются системы отсчета, движущиеся друг относительно друга равномерно и прямолинейно.
Галилей разъяснял это положение различными наглядными примерами. Представим путешественника в закрытой каюте спокойно плывущего корабля. Он не замечает никаких признаков движения. Если в каюте летают мухи, они отнюдь не скапливаются у задней ее стенки, а спокойно летают по всему объему. Если подбросить мячик прямо вверх, он упадет прямо вниз, а не отстанет от корабля, не упадет ближе к корме.
Из принципа относительности следует, что между покоем и движением - если оно равномерно и прямолинейно - нет никакой принципиальной разницы. Разница только в точке зрения.
Например, путешественник в каюте корабля с полным основанием считает, что книга, лежащая на его столе, покоится. Но человек на берегу видит, что корабль плывет, и он имеет все основания считать, что книга движется и притом с той же скоростью, что и корабль. Так движется на самом деле книга или покоится?
На этот вопрос, очевидно, нельзя ответить просто «да» или «нет» Спор между путешественником и человеком на берегу был бы пустой тратой времени, если бы каждый из них отстаивал только свою точку зрения и отрицал точку зрения партнера. Они оба правы, и чтобы согласовать позиции, им нужно только признать, что книга покоится относительно корабля и движется относительно берега вместе с кораблем.
Таким образом, слово «относительность» в название принципа Галилея не скрывает в себе ничего особенного. Оно не имеет никакого иного смысла, кроме того, который мы вкладываем в утверждение о том, что движение или покой - всегда движение или покой относительно чего-то, что служит нам системой отсчета. Это, конечно, не означает, что между покоем и равномерным движением нет никакой разницы. Но понятия покоя и движения приобретают смысл лишь тогда, когда указана точка отсчета.
Если классический принцип относительности утверждал инвариантность законов механики во всех инерциальных системах отсчета, то в специальной теории относительности данный принцип был распространен также на законы электродинамики, а общая теория относительности утверждала инвариантность законов природы в любых системах отсчета, как инерциальных, и неинерциальных. Неинерциальными называются системы отсчета, движущиеся с замедлением или ускорением.
В соответствии со специальной теорией относительности, которая объединяет пространство и время в единый четырехмерный пространственно-временной континуум, пространственно-временные свойства тел зависят от скорости их движения. Пространственные размеры сокращаются в направлении движения при приближении скорости тела к скорости света в вакууме (300 000 км/с), временные процессы замедляются в быстродвижущихся системах, масса тела увеличивается.
Находясь в сопутствующей системе отсчета, то есть, двигаясь параллельно и на одинаковом расстоянии от измеряемой системы, нельзя заметить эти эффекты, которые называются релятивистскими, так как все используемые при измерениях пространственные масштабы и часы будут меняться точно таким же образом. Согласно принципу относительности, все процессы в инерциальных системах отсчета протекают одинаково. Но если система является неинерциальной, то релятивистские эффекты можно заметить и измерить. Так, если воображаемый релятивистский корабль типа фотонной ракеты отправится к далеким звездам, то после возвращения его на Землю времени в системе корабля пройдет существенно меньше, чем на Земле, и эта различие будет больше, чем дальше совершается полет, а скорость корабля будет ближе к скорости света. Разница может измеряться даже сотнями и тысячами лет, в результате чего экипаж корабля сразу перенесется в близкое или более отдаленное будущее, минуя промежуточное время, поскольку ракета вместе с экипажем выпала из хода развития на Земле.
Подобные процессы замедления хода времени в зависимости от скорости движения реально регистрируются сейчас в измерениях длины пробега мезонов, возникающих при столкновении частиц первичного космического излучения с ядрами атомов на Земле.
Итак, специальная теория относительности базируется на расширенном принципе относительности Галилея. Кроме того, она использует еще одно новое положение: скорость распространения света (в пустоте) одинакова во всех инерциальных системах отсчета.
Абсолютность скорости света не противоречит принципу относительности и полностью совместима с ним. Постоянство этой скорости " закон природы, а потому - именно в соответствии с принципом относительности - он справедлив во всех инерциальных системах отсчета.
Скорость света это верхний предел для скорости перемещения любых тел природы, для скорости распространения любых волн, любых сигналов. Она максимальна - это абсолютный рекорд скорости. Поэтому часто говорят, что скорость света - предельная скорость передачи информации. И предельная скорость любых физических взаимодействий, да и вообще всех мыслимых взаимодействий в мире.
Со скоростью света тесно связано решение проблемы одновременности, которая тоже оказывается относительной, то есть зависящей от точки зрения. В классической механике, которая считала время абсолютным, абсолютной является и одновременность.
В общей теории относительности были раскрыты новые стороны зависимости пространственно-временных отношений от материальных процессов. Эта теория подвела физические основания под неевклидовы геометрии и связала кривизну пространства и отступление его метрики от евклидовой с действием гравитационных полей, создаваемых массами тел. Общая теория относительности исходит из принципа эквивалентности инерционной и гравитационной масс, количественное равенство которых давно было установлено в классической физике. Кинематические эффекты, возникающие под действием гравитационных сил, эквивалентны эффектам, возникающим под действием ускорения. Так, если ракета взлетает с ускорением 2g, то экипаж ракеты будет чувствовать себя так, как будто он находится в удвоенном поле тяжести Земли. Именно на основе принципа эквивалентности масс был обобщен принцип относительности, утверждающий в общей теории относительности инвариантность законов природы в любых системах отсчета, как инерциальных, так и неинерциальных.

2. Геометрия Минковского как описание пространства - времени

Открытиями Коперника, Галилея, Кеплера, Ньютона заложен фундамент стройного естественнонаучного мировоззрения, которое позволило глубоко проникнуть в сущность вещей. Но на определенном этапе развития физической теории и точного эксперимента стали обнаруживаться расхождения между ними, свидетельствующие о наличии принципиальных недостатков в исходных теоретических предпосылках. Первоначально осознание этих недостатков и внесение поправок в теорию выразилось в постулатах, обобщающих новые экспериментальные факты. Из постулатов Эйнштейна развилась теория относительности, из постулатов Бора - квантовая теория - два главных направления революции в физике XX в. Эта научная революция, подобно коперниканской, внесла радикальные изменения в наши представления об устройстве мира.

Альберт Эйнштейн постулировал в качестве исходных истин такие утверждения, которые противоречили принципам классической физики, но не противоречили экспериментальным данным, и стал выяснять, какие поправки к классическим воззрениям вытекают логически из его постулатов. В первоначальной формулировке постулаты Эйнштейна гласят:

1. Законы, по которым изменяются состояния систем, не зависят от того, к которой из двух координатных систем, движущихся относительно друг друга равномерно и прямолинейно, эти изменения состояния относятся.

2. Каждый луч света движется в «покоящейся» системе координат с определенной скоростью V, независимо от того, испускается ли этот луч света покоящимся или движущимся телом» [19].

Из этих постулатов Эйнштейн сделал вывод, что длительность промежутка времени между двумя событиями и величина расстояния между двумя точками пространства должны быть разными в разных инерциальных системах координат, движущихся относительно друг друга. Парадоксальный вывод о непостоянстве пространства и времени (а вслед за ними и массы), считавшихся в классической физике фундаментальными абсолютными характеристиками мира, явился самой яркой чертой новой теории, что отразилось в закрепившемся за ней названии - теория относительности. До самого конца XIX в. в науке сохранялось убеждение в том, что мировое пространство в своей сущности таково, каким мы его воспринимаем посредством наших органов чувств. Самые характерные черты чувственно воспринимаемого пространства заключаются в том, что оно имеет три измерения и описывается геометрической теорией Евклида. По современной терминологии оно так и называется: трехмерное собственно евклидово пространство. Но если мировое пространство действительно таково, то расстояния между его точками (размеры и формы тел) должны быть инвариантными, не зависящими от выбора системы отсчета. Герман Минковский понял, что чувственно воспринимаемое пространство - это только внешняя видимость, форма проявления иных геометрических свойств реального мирового пространства. «Воззрения на пространство и время, которые я намерен перед вами развить, возникли на экспериментально-физической основе. В этом их сила. Их тенденция радикальна. Отныне пространство само по себе и время само по себе должны обратиться в фикции и лишь некоторый вид соединения обоих должен еще сохранить самостоятельность», - так начал Минковский свой доклад на 80-м собрании немецких естествоиспытателей и врачей в Кельне 21 сентября 1908 г. [9].

Как во времена Коперника трудно было принять вопреки внешней очевидности гелиоцентрическую систему мира, так в наше время нелегко понять и представить себе мир в пространстве, отличном от чувственно воспринимаемого. Для преодоления этого затруднения тоже необходимы познания из области геометрии, но более глубокие. Но было бы неправильно думать, что понимание геометрии мира Минковского доступно только специалистам с высшим физико-математическим образованием. В наши дни расширение и дифференциация научных знаний сопровождается обобщениями, вскрытием немногих глубочайших понятий и связей между ними, позволяющих строить точное и лаконичное изложение теории. Развитие геометрии в этом направлении идет по пути ее алгебраизации.

Глубина аксиоматических построений, используемых в линейной алгебре, позволяет не только упростить изложение известных геометрических истин, но и открывает новые возможности геометрических представлений. Если мы сможем выразить в немногих математических понятиях и соотношениях все существенные свойства чувственно воспринимаемого пространства, то поймем, как оно устроено, или, грубо говоря, каковы его основные «исходные компоненты». Тогда станет видно, как эти «компоненты» могут сочетаться в иных комбинациях, образуя иные типы пространств.

2.1 Основные понятия описания пространства-времени

2.1.1 Геометрические векторы и линейные операции над ними

Для математического описания пространства удобно пользоваться векторами. Этот объект достаточно прост и нагляден в чувственно воспринимаемом пространстве (где его называют геометрическим вектором) и вместе с тем пригоден для далеко идущих обобщений. Геометрическим вектором называется направленный отрезок, т.е. отрезок прямой, для которого указано, какая из его граничных точек является началом и какая концом [6].

Слово вектор происходит от латинского глагола vehere - перевозить, перемещать. Английское слово vehicle того же корня обозначает любое перевозочное средство от телеги до космического корабля (space vehicle) [5]. Геометрический вектор указывает прямолинейный переход из одной точки пространства в другую. Из такого представления естественно вытекает определение операции сложения векторов (рис. 1). Если выполнить переход из точки О в точку А, выражаемый вектором , а затем добавить к нему переход из точки А в точку S, выражаемый вектором , то результат двух переходов будет таким же, как прямолинейный переход из точки О в точку S, выражаемый вектором . Поэтому вектор s называют суммой векторов а и b и записывают операцию сложения векторов в виде алгебраического выражения

Рис. 1

(2.1)

Такой способ построения суммы векторов называют правилом треугольника.

Два вектора считаются равными, если посредством параллельного переноса можно совместить точки их начала и конца соответственно. При таком определении равенства векторов становится безразлично, в какой точке приложен вектор (какова точка его начала), и возникает понятие свободного вектора. Свободный вектор не имеет определенной точки начала, и мы имеем право представлять его приложенным в любой точке пространства по своему желанию. Совмещая на рис. 1 начало свободного вектора b с началом вектора а, построим параллелограмм OASB, для которого суммарный вектор является диагональю, исходящей из общего начала складываемых векторов. Такой способ построения суммы векторов называется правилом параллелограмма.

Оба правила (треугольника и параллелограмма) выявляют важное свойство суммарного вектора - он лежит в одной плоскости с векторами-слагаемыми. Пользуясь латинским термином, говорят, что складываемые векторы и суммарный вектор компланарны («соплоскостны»). Для свободных векторов понятие компланарности расширяется: компланарные векторы могут и не лежать в одной плоскости, но существует плоскость, которой параллельны все они и в которую при желании их можно привести посредством параллельного переноса.

Частным случаем перехода из одной точки пространства в другую является отсутствие перехода. Тогда точка конца геометрического вектора совпадает с точкой его начала. Такой вектор называют нулевым и обозначают символом 0. Очевидно соотношение

(2.2)

которое служит алгебраическим определением нулевого вектора.

2.1.2 Псевдоевклидова плоскость

Мир Минковского четырехмерен, но увеличение размерности - не самая главная трудность на пути овладения этим понятием. Гораздо труднее преодолеть барьер необычности метрических свойств пространства Минковского. На первый взгляд они кажутся фантастическими. И если даже математика ручается за их логическую непротиворечивость, остается впечатление, что здесь речь идет о такой математической абстракции, которой нет места в природе. Репутация нереальности метрики мира Минковского тесно связана с сохраняющимся в качестве пережитка представлением о нереальности комплексных чисел, чему сильно способствует и терминология («мнимые» числа). Вот почему необходим небольшой экскурс в эту область.

На протяжении истории науки понятие числа развивалось, приобретая все большую общность. И теперь каждому человеку при получении математического образования приходится в сжатом виде повторять этот процесс расширения понятия числа.

В простейшем представлении число есть количество предметов. Такому представлению соответствует понятие натурального числа (целого положительного). Множество N натуральных чисел замкнуто относительно операций сложения и умножения. Это значит, что, складывая или перемножая любые натуральные числа, мы необходимо будем получать в результате натуральные числа, т.е. не выйдем из множества N.

Операция деления натуральных чисел может привести к дроби, которая не является натуральным числом. Признание дробей числами не вызывало затруднений даже в древние времена. Этот выход за пределы множества N заставил расширить понятие числа. Числом стали называть не только количество предметов, но и отношение количеств.

Несравненно медленнее и труднее формировалось в науке понятие отрицательного числа. Сталкиваясь с необходимостью вычитать из меньшего числа большее, древние математики истолковывали решение как недостаток некоторого количества, но само это количество выражали положительным числом. У них не было числа, которым можно выразить результат такого, например, действия: 2-5 =… И когда они получали при решении уравнения отрицательный корень, то просто отбрасывали его как «недопустимый». «В Европе математики XVI в., хотя и пользовались иногда отрицательными числами, все же называли их «ложными» и «неясными», «меньше, чем ничто» и т.п.» [2]. Лишь в XVII в., после того как Декарт ввел в употребление координатные системы и установил взаимно однозначное соответствие между числами и точками координатной оси, в математике окончательно утвердилось представление о равноправии положительных и отрицательных чисел. Сложилось понятие рационального числа как отношения любых целых чисел т та п. Множество Q рациональных чисел замкнуто относительно операций сложения и вычитания, умножения и деления.

Так потребность в увеличении набора операций, которые можно выполнять над числами, приводила к обобщению понятия числа. Сталкиваясь с задачами, решение которых не могло быть выражено числом в прежнем, узком его понимании, математики приходили к расширению множества объектов, заслуживающих названия числа, формировали новое, более емкое определение числа, включающее в себя и такие числа, которые считались прежде несуществующими или по крайней мере неполноценными. Объективная значимость нового, расширенного понятия числа заключается в том, что с его помощью удается более полно и логически непротиворечиво выражать отношения, существующие в природе.

Точки координатной оси, которым соответствуют рациональные числа, расположены всюду плотно. Это значит, что, сколь бы малый отрезок оси мы ни взяли, на нем найдется бесконечно много точек, служащих образами рациональных чисел. Вместе с тем на любом отрезке координатной оси имеется бесконечно много таких точек, которые не являются образами рациональных чисел. Классическим примером тому, поразившим древних математиков, является задача о сравнении длин стороны квадрата и его диагонали.

Выберем на прямой линии единицу измерения и построим квадрат ОАВС со стороной, равной этой единице. Отложив длину диагонали ОВ на координатной оси, получим отрезок OD (рис. 2). Его длина, очевидно, должна равняться отношению длин отрезков ОB и ОА:

Между тем это отношение отрезков не может быть выражено никаким отношением целых чисел, т.е. никаким рациональным числом. Действительно, по теореме Пифагора имеем

Если допустить, что существуют такие целые числа m и n, отношение которых равно длине отрезка OD, выраженной в единицах :

то придем к противоречию. Мы вправе считать, что числа m и n не имеют общих множителей (при наличии общего множителя можно произвести сокращение на него и в дальнейшем рассматривать уже несократимую дробь). Кроме того, , т.е. не является целым числом, так как из неравенства следует . Возводя равенство в квадрат, мы

Рис. 2

получили бы . Но числа и не имеют общих множителей, поскольку их не имеют числа и n, причем . Значит, - несократимая дробь, которая не может равняться целому числу 2. Мы доказали, что не существует такого рационального числа, квадрат которого был бы равен 2 [1].

Если считать, что числа могут быть только рациональными, то нельзя выполнять операцию извлечения квадратного корня да числа 2 и символ следует признать лишенным смысла. Он обозначает нечто «потустороннее», не имеющее места в множестве чисел (рациональных чисел). Но такая точка зрения не согласуется с геометрическим содержанием рассмотренной задачи.

Ведь символ в данном случае выражает вполне реальную геометрическую величину - длину диагонали квадрата, сторона которого принята за единицу. Точка D (см. рис. 2), отстоящая на расстоянии этой длины от точки О, реально существует на координатной прямой ОА. Положение этой точки может быть указано приближенно с любой точностью посредством рациональных чисел, которые соответствуют границам сколь угодно малого отрезка, содержащего в себе точку D.

Немаловажно и следующее обстоятельство. Пусть есть только символ, которому не соответствует число (в смысле определения рационального числа). Но в ряде случаев операции над такими «потусторонними» объектами, выполняемые по правилам оперирования «настоящими» числами, могут приводить к вполне посюстороннему результату - рациональному числу. Например,

.

Подобные соображения настоятельно склоняли математиков к мысли, что символам , и т.д. соответствуют некоторые реальные числа, хотя они и не могут быть выражены в виде отношения целых чисел. Удивление перед этими «невыразимыми» числами отразилось в их названии - иррациональные числа, т.е. числа, не поддающиеся разумному истолкованию (racio - разум). Именно, в противовес иррациональным числам, числа, которые могут быть выражены в виде отношения целых чисел, получили название рациональных.

К концу XIX в. была построена теория, истолковывающая рациональные и иррациональные числа с единой точки зрения (теория сечений Дедекинда) [15]. Объединение множеств рациональных и иррациональных чисел называется множеством вещественных (или действительных) чисел R. Каждому вещественному числу соответствует определенная точка на координатной оси, и каждой точке координатной оси соответствует определенное вещественное число.

Проблемы становления понятия вещественного числа поучительны для постижения еще более широкого представления о числе, каковым является число комплексное. Необходимость введения комплексных чисел связана с потребностью выразить результаты определенных операций над вещественными числами, не являющиеся вещественными числами. Не существует такого вещественного числа, квадрат которого был бы отрицательным числом. Поэтому в множестве вещественных чисел R нет квадратных корней (а следовательно, и корней любой четной степени) из отрицательных вещественных чисел. Так как квадрат любого вещественного числа есть неотрицательное число , символ удобно применять для обозначения любого отрицательного вещественного числа. Задача извлечения квадратного корня из числа сводится к задаче извлечения квадратного корня из отрицательной единицы:

.

От Леонарда Эйлера идет обычай обозначать символ буквой (начальной буквой французского слова imaginaire - мнимый, воображаемый):

(2.3)

Этот символ называют мнимой единицей. Тогда для квадратного корня из произвольного отрицательного вещественного числа получаем обозначение

, (2.4)

называемое «мнимым числом ».

В этом названии отразилось то представление, что корень квадратный из отрицательного числа не является числом в «реальном» смысле, что с символом если и связывается какое-либо понятие о числе, то о числе «не настоящем», «выдуманном», «в действительности не существующем». «Выдумка» в данном случае отстоит гораздо дальше от «реальности», подтверждаемой внешней видимостью, чем выдумка иррациональных чисел.

Каждому иррациональному числу, по крайней мере, соответствует определенная точка на координатной оси, а для мнимого числа не удается найти никакого геометрического истолкования или применения. Длины любых отрезков в чувственно воспринимаемом пространстве выражаются вещественными числами, и нет такого отрезка, для выражения длины которого потребовалось бы мнимое число.

Однако у мнимых чисел есть та важная, общая с иррациональными числами черта, что в некоторых случаях операции над символом iy, который не выражает вещественного числа, приводят все-таки к вещественным числам. Это, прежде всего операция возведения любого мнимого числа в квадрат:

. (2.5)

И более сложные выражения, составленные из мнимых величин, могут сводиться к функциям вещественного аргумента, принимающим вещественное значение. Например, если с учетом (2.5) сложить два бесконечных степенных ряда

,

то получится ряд, состоящий только из вещественных членов, сходящийся к функции 2 cos у:

По мере того как углублялось исследование мнимых чисел и функций от мнимого аргумента, раскрывалась их важная роль в решении коренных теоретических проблем математики, а также прикладных задач. Все настоятельнее пробивало себе дорогу убеждение в противоестественности отношения к мнимому числу как к не реальному, «потустороннему» математическому объекту.

Даже в простейших задачах можно усмотреть признаки того, что мнимое число в органическом единстве с числом вещественным представляет некий аспект более глубокого и совершенного понятия числа.

Рассмотрим проблему существования решений некоторых квадратных уравнений. Если в уравнении

(2.6)

дискриминант отрицателен, то в множестве вещественных чисел R не найдется корней этого уравнения. В общем случае их нет и среди мнимых чисел, а лишь специфическое сочетание вещественных и мнимых чисел позволяет дать выражение корню. Например, применяя формулу решения квадратных уравнений

(2.7)

к уравнению

(2.8)

получим

(2.1.9)

Подставляя любое из этих выражений в уравнение (2.8) и выполняя действия обычным образом с учетом (2.5), придем к верным числовым равенствам:

Таким образом, есть основания считать выражения 2+3i и 2-3i корнями уравнения (2.8), хотя и нелегко понять, что они означают.

Операция сложения применяется в математике для весьма разнообразных классов объектов: вещественных чисел, векторов, матриц, операторов и т.д., но в каждом случае в роли слагаемых и суммы выступают элементы одинаковой природы. Не так получается с корнями уравнения (2.8). По смыслу общей формулы корней квадратного уравнения, каждый корень является суммой двух членов. Но если дискриминант отрицателен, второй член оказывается мнимым числом, тогда как первый член - число вещественное. Непонятно, как можно складывать столь различные объекты и что представляет собой их сумма, не являющаяся ни вещественным, ни мнимым числом. Впрочем, именно эта непонятная сумма и дает ключ к решению проблемы. Во-первых, с ней необходимо считаться, поскольку она выражает корни квадратного уравнения. Во-вторых, она объединяет в себе оба типа чисел - и вещественные, и мнимые. Так, может быть на вещественные и мнимые числа и следует смотреть как на составные части более сложного числового объекта? В отрыве друг от друга каждая из них имеет лишь ограниченное применение, а в едином комплексе они образуют более полноценное понятие числа. Если в таком комплексном числе мнимая составляющая равна нулю, мы воспринимаем число как вещественное, а если нулю равна вещественная составляющая, то мы воспринимаем комплексное число как мнимое. При сложении комплексных чисел отдельно складываются их вещественные компоненты и мнимые. Исторически сложился обычай обозначать мнимую компоненту с помощью множителя . При такой трактовке проблемы мы получаем вместо бессмысленного сложения вещественного числа мнимым сложение двух комплексных чисел (объектов одинаковой природы) и в качестве суммы их - тоже комплексное число:

В записи комплексного числа знак плюс (минус) перед мнимой компонентой отнюдь не означает, что не нужно прибавлять (вычитать) к вещественной компоненте. Просто это собственный знак мнимой компоненты, которая может быть положительной или отрицательной. Чтобы избавиться от иллюзии, будто вещественная и мнимая компоненты комплексного числа складываются, можно записывать их, разделяя точкой с запятой. Заодно можно отказаться и от символического множителя при мнимой компоненте. Достаточным признаком различий вещественной и мнимой составляющих послужит их paс положение в записи комплексного числа - на первом месте вещественная, а на втором мнимая.

(2.10)

Именно такая форма записи принята в современной теории комплексных чисел, хотя в практике вычислений сохраняется и исторически сложившаяся алгебраически форма . Если требуется указать комплексное число как единый объект, не различая в нем вещественную и мнимую компоненты, то пользуются однобуквенным обозначением

(2.11)

Запишем в этих обозначениях правило сложения комплексных чисел:

(2.12)

Когда мы убеждались в том, что комплексные числа и являются корнями квадратного уравнения (2.8), то перемножали комплексные числа (возводили в квадрат) по обычному правилу умножения многочленов с учетом соотношения. В общем виде это выглядит так:

Если же записывать комплексные числа не в алгебраической форме, а в виде упорядоченных пар чисел, то правило умножения примет вид

(2.13)

Это выражение нетрудно запомнить в следующей формулировке: первая компонента произведения равна разности произведений предшествующих членов комплексных сомножителей, записанных рядом, и последующих их членов, а вторая компонента равна сумме произведений внешних членов и внутренних .

Мы описали подход к понятию комплексного числа и арифметическим действиям с комплексными числами в качестве догадки, которая возникает при рассмотрении частной задачи решения квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом. В определение комплексных чисел органически включается определение операций над ними: комплексные числа z представляют собой упорядоченные пары вещественных чисел , которые складываются по правилу (2.12) и перемножаются по правилу (2.13). Множество комплексных чисел принято обозначать буквой С.

Операции вычитания и деления комплексных чисел определяются как обратные операциям сложения и умножения. Разностью чисел и называется такое комплексное число z, которое удовлетворяет соотношению

Отсюда следует

(2.14)

Частным от деления на , , называется такое комплексное число z, которое удовлетворяет соотношению . Из этого условия нетрудно найти

(2.15)

Исходя из определения комплексных чисел и операций над ними, убедимся в том, что комплексные числа, у которых вторая компонента равна нулю, ведут себя в операциях так же, как вещественные числа:

Результатами всех этих операций являются комплексные числа, у которых вторая компонента тоже равна нулю. Отбросив ее всюду, мы получим обычные однокомпонентные вещественные числа с привычными операциями над ними. Поэтому комплексное число с нулевой второй компонентой позволительно для краткости называть вещественным числом (понимая условность этого выражения). В множестве комплексных чисел есть такое число, квадрат которого равен вещественному числу -1, т.е. комплексному числу (-1; 0). Согласно правилу умножения (2.13) имеем

(0; 1) (0; 1) = (0 * 0 - 1 * 1; 0 * 1 + 1 * 0) = (-1; 0).

Значит, комплексное число (0; 1) и есть тот математический объект, который скрывался за символом . Всякое комплексное число, у которого равна нулю первая компонента, даст при возведении в квадрат отрицательное вещественное число:

(0; y) (0; y) = (0 * 0-y * y; 0 * у + у * 0) = (-y 2; 0).

Значит, комплексное число (0; у) и есть тот математический объект, который скрывался за символом . Поэтому комплексное число с нулевой первой компонентой позволительно для краткости называть мнимым числом (помня об условности этого выражения). Всякое комплексное число такого типа может быть представлено в виде произведения соответствующего вещественного числа на мнимую единицу:

(y; 0) (0; 1) = (y * 0 - 0 * 1; y * 1 + 0 * 0) = (0; y)=yi.

Наконец, оперирование с комплексными числами подтверждает, что произведение вещественного числа на мнимое есть число мнимое:

(u; 0) (0; y) = (u * 0 - 0 * y; uy + 0 * 0) =

= (0; uy)=u(iy)=i(uy).

Пока математика не осознала роль комплексного числа как более общего и глубокого понятия числа, считалось, что символу не соответствует никакое «настоящее» число, что это число воображаемое, мнимое. Инерция мышления и то обстоятельство, что вплоть до начала XX в. в природе не были обнаружены отношения, требующие для своего выражения комплексных чисел, заставляли относиться к этим объектам как к искусственному математическому ухищрению, способному, как ни странно, приводить к правильным реальным результатам. В наше время общетеоретические представления, использование комплексных чисел для выражения фундаментальных физических законов (в квантовой механике и теории относительности), а также для решения многочисленных прикладных задач убедительно обосновывают реальную полноценность комплексных чисел. В этих условиях термин «мнимое число» можно сохранять как дань исторической традиции, как привычное название определенного подмножества комплексных чисел (с нулевой первой компонентой), но совершенно недопустимо истолковывать его как условное обозначение выдуманного объекта, которому нет места в объективной, реальности. Приведем в этой связи слова известного советского алгебраиста А.Г. Куроша: «…для современной математики, в отличие, например, от математики XVIII в., в понятии комплексного числа нет ничего таинственного, эти числа являются столь же мало «мнимыми», как и числа отрицательные или числа иррациональные» [8].

В связи с тем, что множество С комплексных чисел имеет большую мощность, чем множество R вещественных чисел, и остается замкнутым относительно большего числа операций, в множестве С оказываются определенными такие функции, которые не имеют смысла в множестве R. Прежде всего в множестве С определены корни любой целой степени из всех комплексных (в частности, из вещественных и мнимых) чисел. С этим связан важнейший теоретический результат - так называемая основная теорема алгебры: всякий многочлен степени с любыми числовыми коэффициентами имеет n корней. Если бы это было не так, то множество комплексных чисел нуждалось бы в дальнейшем расширении. В множестве вещественных чисел нет логарифмов отрицательных чисел. В множестве С определены логарифмы и отрицательных (вещественных, и любых комплексных чисел (кроме нуля). Основные элементарные функции - степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические и обратные тригонометрические - имеют смысл в множестве комплексных чисел С. Это значит, что аргумент названных функций может быть комплексным числом и сами функции принимают комплексные значения (в частных случаях - вещественные или мнимые).

Известный современный математик Е. Вигнер пишет в статье «Непостижимая эффективность математики в естественных науках» [3]: «Неискушенному уму комплексные числа не покажутся естественными и простыми а результаты физических наблюдений сами по себе не могут содержать комплексные числа… Ничто в нашем повседневном опыте не вынуждает нас вводить такие числа. С другой стороны, если у математика попросить объяснить его интерес к комплексным числам, то он не без негодования укажет вам на прекрасные теоремы, касающиеся алгебраических уравнений, степенных рядов и вообще аналитических функций, доказательство которых стало возможным только благодаря введению комплексных чисел. Математиков никогда не перестанет интересовать это прекрасное достижение их гения…».

Был бы весьма эклектичным в наше время такой взгляд, будто комплексные числа при всех их достоинствах в области математики являются абстракцией, не имеющей реального существования вне сознания математиков. Естествознание прошлого века, и в первую очередь физика, имели дело с таким уровнем познания явлений природы, что для их математического описания достаточно было одних вещественных чисел. Более глубокий взгляд современной физики обнаруживает в природе отношения, выражаемые на языке комплексных чисел. Это именно то, чего не хватало прежде для осознания реальности комплексных чисел. В цитированной выше статье [3] Е. Вигнер замечает, что «использование комплексных чисел в квантовой механике не является вычислительным трюком прикладной математики; они входят в самую суть формулировки основных законов квантовой механики». Другое направление физики XX в. - теория относительности - также не обходится без комплексных чисел, о чем и пойдет речь ниже.

2.1.3 Линейные пространства комплексных чисел

С введением комплексных чисел мы можем расширить понятие линейного пространства. Линейным пространством называется такое множество, в котором определены две линейные операции: сложение элементов множества и умножение элементов множества на вещественные числа. Теперь можно рассматривать множества, в которых вторая линейная операция есть умножение элементов множества на комплексные числа, причем операции удовлетворяют тем же восьми аксиомам линейного пространства. Такие множества называются комплексными линейными пространствами, или линейными пространствами над полем комплексных чисел. В отличие от них, линейные множества, в которых вторая операция является умножением элементов на вещественные числа, называются вещественными линейными пространствами, или линейными пространствами над полем вещественных чисел.

Множество комплексных чисел является комплексным линейным пространством, поскольку элементы этого множества можно складывать друг с другом и умножать на комплексные числа. Исходя из определений (2.12) и (2.13) этих операций, нетрудно показать, что для них выполняются все восемь аксиом линейного пространства. Линейное пространство комплексных чисел над полем комплексных чисел имеет размерность, равную единице. Действительно, выбрав в качестве базиса некоторый ненулевой элемент (комплексное число ), мы сможем представить любое комплексное число в виде линейной комбинации , где - комплексный коэффициент.

2.2 Геометрия четырехмерного мира Минковского

2.2.1 Основные характеристики специальной теории относительности и геометрии Минковского

Рассмотрим основные понятия специальной теории относительности, необходимые для понимания геометрии Минковского. Будем называть мировой точкой четыре величины: время и три пространственные координаты. Мировой линией будем называть непрерывную линию мировых точек. Очевидно, движение материальной точки может быть представлено в виде мировой линии. Если с мировой точкой происходит какое-то «событие», способное повлиять на другие точки, считаем, что она посылает «сигнал». Сигнал распространяется с максимальной скоростью распространения взаимодействия (сигнала). Иногда инвариантность максимальной скорости распространения взаимодействия выносят в отдельный постулат, но вообще-то в этом особого смысла нет - это есть следствие принципа относительности и того экспериментального факта, что скорость распространения взаимодействия конечна
Пусть сигнал проходит за малое время расстояние . При этом пространственные координаты изменились на , и . Следовательно,
(2.16)
(по теореме Пифагора, ибо малое перемещение мы можем считать прямолинейным) или же, . Теперь, пусть , , , - расстояние между двумя произвольными близкими событиями. Введем интервал:
. (2.17)
Так как скорость распространения сигнала c не зависит от системы отсчета, нулевой в какой-то системе отсчета интервал (соответствующий событиям испускания и принятия сигнала) будет равен нулю и в любой другой инерциальной системе отсчета.
Введенное выше выражение интервала было бы похоже на квадрат длины вектора в 4х-мерном евклидовом пространстве, если бы не знаки. Однако мы можем ввести пространство, в котором длина вектора определяется именно таким выражением. Это псевдоевклидово пространство Минковского. Забегая вперед, скажем, что оно характеризуется следующей метрикой: (+1 -1 -1 -1).
Понятию скорости материальной точки соответствует в геометрической интерпретации Минковского отношение длин взаимно перпендикулярных отрезков: один отрезок принадлежит вещественному сектору псевдоевклидовой плоскости и представляет протяженность в чувственно воспринимаемом пространстве, а другой принадлежит мнимому сектору и определяет длительность промежутка времени. Это отношение характеризует наклон мировой линии к оси OY. Такому отношению нет места в равенствах
В них промежуток времени сопоставляется не с отрезком вещественного сектора, а с отрезком мнимого сектора, определяющим этот же промежуток времени. Нас вводит в заблуждение то обстоятельство, что величина, измеренная в единицах времени, оказалась по существу своему пространственной протяженностью. Прежде отношение промежутков пространства к промежуткам времени встречалось только в явлении движения материальных точек. Столкнувшись с явлением другого типа, в котором аналогичное отношение имеет иной геометрический и физический смысл, нужно сделать усилие, чтобы освободиться от власти традиционных представлений и увидеть за знакомой формой новое содержание. Промежуток времени t не имеет самостоятельной количественной определенности, с которой можно было бы соотносить длину отрезка оси ординат. Отношение этой длины к промежутку времени, в сущности, выражает отношение длины самой к себе. Здесь можно говорить об отношении различных единиц измерения (мнимых метров и секунд) одной и той же физической величины, но нельзя говорить о скорости.
Мировой проявляющий процесс есть явление качественно иное, чем явление движения материальных точек. К мировому проявляющему процессу понятие скорости неприменимо, он сам порождает явление материальных точек и скорости материальных точек. С явлением движения материальных точек сходно по своей геометрической природе явление распространения светового сигнала. Там и здесь речь идет о восприятии физических объектов, имеющих форму линий, мировых или изотропных. Поэтому коэффициент с приобретает смысл скорости, если он фигурирует в описании явления распространения света.
Как из классических представлений о мире, так и из модели мира, выдвинутой Минковским, следует, что зрительное восприятие в принципе способно открывать нам только прошлые картины мира. В обыденной жизни мы этого не замечаем благодаря громадности (по земным масштабам) значения скорости света. Нам кажется, что все доступные взору тела переживают свой настоящий момент времени одновременно с нами. В действительности же требуется определенный и даже технически измеримый промежуток времени для распространения светового сигнала на расстояние в несколько метров или сантиметров. Если буквы этого текста находятся на расстоянии 30 см от глаз читателя, то читатель видит текст таким, каким он был миллиардную долю секунды тому назад:
Современная техника позволяет измерять промежутки времени в сто раз более короткие. А если пользоваться единицей времени, которая применяется в ядерной физике (), то в таком масштабе текст читаемой книги виден «из далекого прошлого», отделенного от настоящего момента читателя миллионом миллиардов единиц ядерного времени. Эта иллюстрация с изменением масштаба призвана подчеркнуть, что в принципе мы всегда видим только прошлое, сколь бы близким оно ни было.
Глубокое философское различие между классической Картиной мира и картиной мира в понимании Минковского заключается в том, как решается вопрос о существовании прошлого. Если мировое пространство совпадает с чувственно воспринимаемым, то в нем найдется место только для событий настоящего момента времени. Лишь таких событиях мы привыкли говорить как о реально существующих. Прошлые события мы считаем несуществующими, даже если тела, участвовавшие в них, находятся у нас перед глазами. Когда же и тела не сохранились, несуществование прошлого представляется нам совсем бесспорным. Оно было, но его уже нет. Принимая классическую модель мира, мы пользуемся, так сказать, «трехмерным критерием бытия», согласно которому существует только настоящее, а прошлое, как и будущее, не существует, ибо ему нет места в мировом пространстве. Но видим-то мы всегда только прошлое! Стало быть, видим то, чего в мире нет? Разрешение этого парадокса возлагалось классической физикой на мировой эфир - среду, в которой распространяются электромагнитные колебания. Прошлые состояния тел не существуют, но образы их, запечатленные в возбужденных ими электромагнитных колебаниях, бережно сохраняются в мировом эфире и способны достигать наблюдателя даже через годы и миллиарды лет. Так «свет умерших звезд доходит». Поиски этой загадочной среды, которая присутствует всюду, оставаясь неощутимой, привели физику к теории относительности.
В мире Минковского есть место и для настоящих, и для прошлых состояний материальных объектов. В нем прошлое существует, но не в смысле «трехмерного критерия бытия», не в «настоящий момент времени», а в смысле «четырехмерного критерия бытия»: существует то, что имеет место, проявлено, материализовано в псевдоевклидовом мировом пространстве. Зрительные восприятия раскрывают нам то, что в мире действительно имеется, но раскрывают не все, а лишь то, что находится на изотропных линиях, проходящих через нашу мировую точку. На таких изотропных линиях нет ни одной прошлой мировой точки нашей собственной мировой линии, и потому мы не видим своих прошлых состояний. На изотропных линиях, проходящих через нас, нет и точек соседних мировых линий, которые имеют одинаковую с нами координату времени в какой-либо координатной системе, и потому мы не можем видеть одновременные нам состояния других материальных точек.
До сих пор мы обращали взгляд вдоль изотропных только в прошлое. Но через мировую точку О наблюдателя проходит, кроме изотропной ОР, изотропная OF, пересекающая в точке F продолжение мировой прямой РА звезды. Ордината точки F соответствует более позднему моменту времени по часам наблюдателя, чем его настоящий момент в точке О. Не значит ли это, что можно увидеть будущее состояние звезды? Необходимое для этого геометрическое условие выполнено: длина отрезка OF изотропной равна нулю. Но ни наш повседневный опыт, ни научные эксперименты не дают свидетельств того, чтобы электромагнитное воздействие могло приносить информацию о будущем. Этим подтверждается представление о проявляющем процессе, совершающемся в мире. Можно воспринимать по изотропным воздействие от тех точек мировых линий, которые уже проявлены, реализованы, сформированы. Но в тех областях псевдоевклидова пространства, до которых еще не дошел мировой проявляющий процесс, видеть нечего, ибо там не сформировались мировые точки - источники электромагнитного воздействия.

2.2.2 Одновременность относительная и абсолютная

Понятие одновременности не допускало различных толкований в классической физике: если отсчет времени не зависит от выбора пространственной системы координат, то события, совершающиеся в один и тот же момент времени в какой-либо координатной системе, являются одновременными и во всякой другой системе. Одновременность, таким образом, выступала в качестве абсолютной характеристики событий, не зависящей от выбора системы координат.

В теории относительности понятие одновременности перестает быть однозначным, и модель мира Минковского дает этому простое объяснение. Инерциальным системам координат ОХ и О'Х' в одномерном чувственно воспринимаемом пространстве, движущимся относительно друг друга, соответствуют в псевдоевклидовой плоскости мирового пространства ортонормированные системы координат OXY и О'Х'У' с различными направлениями осей OY и O'Y'. Удобно рассматривать системы, имеющие общее начало координат О. В каждой ортонормированной системе координат на псевдоевклидовой плоскости линия одновременности (прямая, на которой все точки имеют одинаковое значение ординаты у = ct) перпендикулярна к оси ординат. На рис. 3 изображены три такие системы: OXY, OX'Y', OX «Y». На осях ординат этих систем выберем три точки А, В, С, имеющие одно и то же значение ординаты в системе OXY, т.е. одновременные в нештрихованной координатной системе. Эти же точки имеют уже не одинаковые, а различные значения ординаты в штрихованной координатной системе OX'Y'.

Рис. 3.

Проведем через точки А, В, С линии одновременности системы OX'Y': у' = у'В, АА', СС'. Пересечения их с осью OY' указывают значения ординаты у' событий А, В, С в штрихованной координатной системе и последовательность событий во времени с точки зрения этой системы: В > А > С. В дважды штрихованной системе координат OX «Y» линии одновременности у» = y «C, АА», ВВ» показывают, что события А, В, С сменяют друг друга в иной последовательности, а именно: С > А > В.

Для наблюдателя, связанного с мировой прямой OY', цепочка событий В > А > С обозначает переход от прошлого к будущему (возрастание ординаты y'), а для наблюдателя, связанного с мировой прямой OY», та же последовательность событий В > А > С обозначает переход от будущего к прошлому (убывание ординаты у»). Нельзя пройти мимо этого явления, но следует тут же оговориться, что оно не столь парадоксально, как кажется на первый взгляд. И нет достаточных оснований для того вывода, что изменение системы координат способно обратить ход времени вспять.

Теория относительности не отрицает абсолютного различия между прошлым и будущим, а напротив, формулирует четкие условия возможности такого различения, которые просто и наглядно интерпретируются в модели мира Минковского. Для того чтобы две мировые точки А и В могли быть одновременными в какой-либо ортонормированной системе координат OXY псевдоевклидовой плоскости, они должны лежать на перпендикуляре к оси ординат этой системы. И поскольку ось OY принадлежит мнимым секторам, прямая, соединяющая точки А и В, должна принадлежать вещественным секторам. Любая ось OY может быть повернута как в положительную, так и в отрицательную сторону, поскольку угол между любым неизотропным вектором верхнего сектора и каждой изотропной прямой, ограничивающей сектор, бесконечно велик. Поэтому всегда найдутся такие координатные системы OX'Y' и OX «Y», у которых оси ОY' и OY» расположены по разные стороны от оси OY. Если вектор имеет отрицательную проекцию на ось OY' (как на рис. 3), то мировая точка В является более ранней в системе OX'Y', чем точка А. При этом проекция вектора на ось OY», отклоненную в другую сторону от OY, окажется положительной, и мировая точка В будет более поздней в системе OX «Y», чем точка А. Зависимость порядка следования событий от выбора координатной системы возможна лишь для таких мировых точек А и В, расстояние между которыми выражается вещественным числом (вектор принадлежит вещественному сектору).

Если же мировые точки Р и F таковы, что расстояние между ними выражается мнимым числом (вектор принадлежит мнимому сектору) или равно нулю (точки лежат на одной изотропной прямой), то вектор не может быть перпендикулярным к какой-либо прямой мнимого сектора. Следовательно, не существует такой системы координат OXY, в которой мировые точки Р и F могли бы быть одновременными. Пусть в какой-нибудь координатной системе точка Р является более ранней, чем точка F (вектор принадлежит верхнему сектору или одной из ограничивающих его изотропных прямых). Тогда проекция вектора на любое неизотропное направление верхнего сектора будет положительной и, значит, в любой координатной системе событие F будет более поздним, чем событие Р. Другими словами, для мировых точек Р и F, определяющих вектор мнимого сектора или изотропный вектор, инверсия времени (обращение вспять последовательности событий) невозможна ни при каком изменении системы координат, так что событие F является абсолютно будущим по отношению к событию Р.

На рис. 3 все точки верхнего сектора, исходящего из точки О, включая ограничивающие его изотропные прямые у = х и у = - х, находятся в области абсолютного будущего по отношению к точке О, а все точки нижнего сектора вместе с ограничивающими его изотропными прямыми - в области абсолютного прошлого. Из каждой точки псевдоевклидовой плоскости исходят два сектора: сектор абсолютного прошлого и сектор абсолютного будущего. Как отмечено выше, вектор, касательный к любой мировой линии в любой ее точке и направленный в сторону роста мировой линии, принадлежит верхнему сектору. Поэтому какую бы точку на мировой линии мы ни выбрали, вся мировая линия не выйдет за пределы мнимых секторов, имеющих вершину в выбранной точке. А это значит, что на любой мировой линии различие между прошедшим и будущим не может зависеть от выбора координатной системы и в этом смысле абсолютно. Для точек любой изотропной прямой различие между прошедшим и будущим тоже абсолютно.

Если в мире Минковского совершается процесс проявления, то существуют два типа отношений одновременности и разновременности, основанные на двух разных критериях. Согласно одному критерию порядок следования событий во времени определяется проекциями соответствующих мировых точек на ось ординат. Этот критерий можно назвать координатно-геометрическим. Им мы и пользовались до сих пор. Согласно другому критерию порядок следования событий во времени определяется очередностью проявления соответствующих мировых точек. Оба критерия приводят к одинаковому результату, когда речь идет о мировых точках одной и той же мировой линии. Вывод об инвариантности различия между прошедшим и будущим на одной мировой линии, полученный на основе координатно-геометрического критерия, прекрасно согласуется с по и т.д.................


Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.