На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


курсовая работа Побудова виводiи в аксiоматичнiй системi З правилом виводу М.Р.

Информация:

Тип работы: курсовая работа. Добавлен: 21.11.2012. Сдан: 2012. Страниц: 24. Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%

Описание (план):


?МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
КРЕМЕНЧУЦЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ІМЕНІ МИХАЙЛА ОСТРОГРАДСЬКОГО
 
ФАКУЛЬТЕТ ЕЛЕКТРОНІКИ ТА КОМП’ЮТЕРНОЇ ІНЖЕНЕРІЇ
 
КАФЕДРА ІНФОРМАТИКИ І ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ
 
КУРСОВА РОБОТА
 
З ДИСЦИПЛІНИ МАТЕМАТИЧНА ЛОГІКА ТА ТЕОРІЯ АЛГОРИТМІВ
ТЕМА ПОБУДОВА ВИВОДІВ В АКСІОМАТИЧНІЙ СИСТЕМІ З ПРАВИЛОМ ВИВОДУ м.р.
 
 
 
 
ЗАВІДУВАЧ КАФЕДРИ                                         Ляшенко В.П.
КЕРІВНИК РОБОТИ                                                Кобильська О.Б.
 
ВИКОНАЛА                                                               Лазоренко Олексадра П.
 
 
 
 
 
 
 
КРЕМЕНЧУК 2009
 



РЕФЕРАТ
Пояснювальна записка до курсового проекту: 28 с, 6 джерел.
Об'єкт дослідження – Побудова виводів в аксіоматичній системі з правилом виводу М.Р.
Мета роботи – є побудова та вивід формул із в аксіоматичних систем. Довести їх властивість та вихідність.
Метод дослідження – Застосування різних методів побудови різницевих схем.
РЕФЕРАТ             
Пояснительная записка к курсовому проекту: 28 с., 6 источников литературы.
Объект исследования - Построение выводов в аксиоматической системе с правилом вывода М.Р.
Цель работы - есть построение и вывод формул из у аксиоматических  систем. Довести их свойство и вихиднисть.
Метод исследования - Применение разных методов построения разностных схем.
 
ABSTRACT
Explanatory note to the course project: 28 с. 6 sources of literature.
A research object is Construction of conclusions in the axiomatic system with an inference of M.R rule.
Purpose of work - there is a construction and conclusion of formulas from at the axiomatic systems. To lead to their property and vikhidnist'.
A research method is Application of different methods of construction of riznicevikh charts.


ЗМІСТ
 
Вступ……………………………………………………………………………………...5
1. Аксіоматична система та логіка висловів.……………………….............………...6
1.1. Аксіоматизація логіки.………………………………………....………………….6
1.2 Аксіоми і правила виведення числення висловів………...………........................6
1.3.Аксіоматичні системи : висновки і докази. ………………………........................7
2 Логіка предикатів…………..………………………...………....................................9
2.1 Відмітні риси логіки предикатів……………………………....…………………..9
2.2 Закони логіки висловлень і логіки предикатів………………...…......................11
2.3. Основні поняття предикатів……………………………………………………..18
2.4. Числення предикатів. Аксіом і правила виводу  методом М.Р………………..21
3 Постановка задачі…………………………………………………………………...26
3.1 Розв’язання задачі………………………………………………………………....26
Висновки……………………………………………………………………………….27
Список використаної літератури……………………………….................................28

ВСТУП
 
Математична логіка займає одне з найважливіших місць у сучасній математичній науці.А також в інших дисциплінах які вивчають в Ввиших навчальних закладах. Вона знайшла широке застосування в найрізноманітніших галузях наукових досліджень. Математична логіка з великим успіхом використовується в в теорії автоматів, тобто в кібернетиці, в економічних дослідженнях, теорії релейно-контактних схем і у фізіології мозку, в лінгвістиці і психології. Вона дає можливість краще зрозуміти структурно-логічну схему шкільного курсу математики, глибше вникнути в суть поняття доведення, з'ясувати зміст поняття логічного слідування, встановити зв'язки між різного роду теоремами тощо. На мою думку цей предмет є важливим в математицній науці. Тому що, розвиток математичної логіки як науки дав значний вплив у розвитку математичної науки. Я представляю вам обрану курсову роботу, тому що вона є важливою в математиці.Поряд з потребою змістовної побудови математичної логіки виникла потреба будувати математичну логіку як формально-аксіоматичну теорію, для якої алгебра предикатів є однією з можливих інтерпретацій. У першому розділі розглянуто змістовні поняття і елементи логіки висловлень, а також аксіоматизація логіки. Разом із цим, уже в першому розділу курсової роботи вводиться проблематика множин і логіки, яка істотно використовується в штучному інтелекті. А в другому розділі я описала логіку предикатів, та визначення основних понять предикатів.

1. Аксіоматична система та логіка висловів.
1.1. Аксіоматизація логіки.
Будь-яка математична система грунтується на безлічі аксіом, тобто виразів, що вважаються загальнозначущими і безлічі правил виводу, тобто механізмів, що дозволяють будувати нові загальнозначущі вирази. Такі вирази називають теоремами. Доказом теорем називається послідовність з аксіом, правил виводу і вже доведених теорем, що дозволяють отримати нову теорему. Важливо, що логічні правила, які використовуються для виведення нових теорем з аксіом і раніше доведених в даній системі теорем, не породжували як «теореми» помилкові вислови.
Розглянемо наочну область, що включає всі можливі вислови. Визначимо безліч аксіом, що визначають цю область. Такими питаннями займається область матлогики, звана численням висловів.
Необхідно запропонувати такі формалізми, які б визначали всі процедури і не вимагали додатково ніяких посилань на смисловий зміст. У наведених вище прикладах ми вирішували задачу виводу виходячи з того, що відомі поняття і або, якщо те і ін., які використовувалися при виводі. Так, якщо аксіома визначена як А&в, то, виходячи з сенсу цієї операції, виводилася істинність висловів А і Ст. В численні висловів операція І визначається явно у вигляді двох аксіом: (А&в)-»А, (А&в)-»В. Це дозволяє організувати вивід, не удаючись до розгляду сенсу фраз.
Силлогизми - правильні схеми міркувань, в яких висновок вірний через іменну форму міркування, а не зміст.
Правильним висновком називається такий висновок, значення якого істинно всякий раз, коли істинні його гіпотези. Правила виводу є правильними висновками або силлогизмамі.
Гіпотези є переліком висловів або посилок. Висновок правильний, якщо всякий раз, коли Нь Н2... Нп істинні, то істинно і С. Правільность висновки можна перевірити, побудувавши таблицю істинності і показати, що всякий раз, коли гіпотези істинні, істинно і висновок.
1.2 Аксіоми і правила виведення числення висловів
Класичне числення висловів задається наступними аксіомами і правилами виводу:
Аксіоми:     1. А - (У - А)
2.(A - (B - C)) - ((A- B) - (A
3.A л B - A
4.A л B - B
5.A - (B - A л B)
6.A - A v B
7.B - A v B
8.(A - C) - ((B - C) -- (A v B -с)),
9.(A - B) - ((A - -b)--A),
10.A   A.
Правило виводу: A-A - B (modus ponens, MP)
 
1.3.Аксіоматичні системи : висновки і докази.
Математики в більшості своїй мають справу з теоремами і їх доказами. Теоремами є "дійсні" твердження щодо даних математичних систем. Наприклад, твердження
Гіпотенуза прямокутного трикутника довше за будь-яке з катетів
- це відома з геометрії теорема Евкліда. Це твердження вважається за істинне, оскільки воно "виводиться" з раніше прийнятих або виведених істин геометрії Евкліда.
Математична система починається з невизначуваних понять і тверджень, що точно описують фундаментальні характеристики або дійсні твердження щодо цих понять, які математики використовують для утворення системи. Ці фундаментальні характеристики називаються аксіомами або постулатами. Твердження, виведені (доведені) тільки на основі цих фундаментальних властивостей (аксіом і постулатів) і раніше доведених тверджень за допомогою логічних правил, називаються теоремами.
Таким чином, в математичних системах вся інформація, необхідна для доведення теореми, повинна міститися в аксіомах і раніше доведених теоремах. Розвиваючи конкретний розділ математики, можна не включати в нього всі аксіоми і доведені теореми. Замість цього можна прийняти доведені теореми як аксіоми. Наприклад, аксіоми для цілих чисел і аксіоми Пеано для позитивних цілих чисел неявним чином припускають виконання аксіом теорії множин, але, оскільки в теорії чисел акцент робиться на властивостях цілих чисел, було б зайвим прагнути в ній одночасно до повного розвитку теорії множин.
Важливо, що логічні правила, які використовуються для виведення нових теорем з аксіом, постулатів і раніше доведених в даній системі теорем, не породжують як "теореми" помилкові вислови. Ці логічні правила називаються правилами виводу. Висновок складається з сукупності тверджень, званих гіпотезами, або посилками, і твердження, званого висновком. Правильним висновком називається такий висновок, висновок якого істинно всякий раз, коли істинні його гіпотези. Правила виводу вибираються так, щоб вони були правильними висновками.

2 Логіка предикатів
 
2.1. Відмітні риси логіки предикатів.
Символічну логіку поділяють на логіку висловлень і логіку предикатів. Логіка предикатів ґрунтуєтнся на логіці висловлень.
Якщо логіка висловлень ігнорує структуру простих висловлень, вивчаючи тільки правильність зв'язків між ними, то логіка предикатів зосереджує свою увагу саме на структурі висловлень
У логіці предикатів розрізняють логіку предикатів першого ступеня (порядку) і логіку предикатів більш високая ступенів (порядків).
З часів Арістотеля (384— 322 до н. е.) у логіці існує поняття «судження». Давньогрецький філософ означав його як думку, що стверджує чи заперечує що-небудь про що-небудь.
Структурно судження складається з суб'єкта, предиката й дієслова-зв'язки. Так, у судженні «Хома Брут є київський філософ» ім'я «Хома Брут» є суб'єктом (5), вираз «київський філософ» — предикатом (Р), а дієслово «є» - І зв'язкою.
Наприкінці XJX ст. математик і логік Г. Фреге піддай гострій критиці традиційне тлумачення структури судження, продемонструвавши своє критичне ставлення до ція традиції на прикладі двох речень:
«Греки завдали поразки персам при Платеях»; «Перси були розбиті греками при Платеях».
Граматична відмінність між цими реченнями полягає І зміні активної форми («греки завдали») на пасивну («роя биті греками»), тобто в першому реченні суб'єктом є «греки», а в другому — «перси».
У живій мові часто буває так: те, що раніше виступало у ролі суб'єкта (підмета), відносно легко може стати предикатом (присудком), і навпаки. Але в такому разі відмінність має лінгвістичний характер, а не строго логічний. Незважаючи на це, дані речення мають одне й те саме значення істинності. У зв'язку з цим Фреге вважав, що словесний порядок, який спирається на граматичне розмежування суб'єкта й предиката, не має значення для логіки.
Необхідність переосмислити сутність іменування в логіці була зумовлена введенням Фреге понять «функція» і «аргумент». На його думку, номінативний вираз («ім'я») можна поділити не тільки на суб'єкт й предикат, а й на функцію і аргумент, що більше відповідає логіці, яка орієнтується на математику, а не на психологію чи лінгвістику. Вчений неодноразово наголошував, що поняття «функція» і «аргумент» лише маркірують структурні особливості певного виразу, не зачіпаючи його смислового змісту.
Запропонований фрегівський погляд на процес номінації (іменування) був корисним для логіки тим, що давав змогу користуватися під час логічного аналізу теоретико-множинними уявленнями (наприклад: функція як відображення однієї множини в іншій множині), в результаті чого предикат стали розглядати як пропозиційну функцію форми F(x).
Вчення про пропозиційні функції та квантори є найважливішим внеском Фреге в сучасну логіку.
Пропозиційна функція за означенням є мовною конструкцією, яка містить змінну. Ця конструкція за підстановки будь-якого значення для даної змінної перетворюється на висловлення.
Тобто пропозиційною є така функція, яка співвідносить представників певної предметної області з областю значень істинності.
Відомо, що вираз форми F(x) (де F — властивість певного індивіда х) являє собою таку елементарну пропозиційну функцію, з якої одержують елементарне (просте) висловлення, замінивши змінну позначеннями конкретних індивідів. Наприклад: F(x) -> «х зелений» -» «трава зелена».
Отже, пропозиційна функція може стати висловленням тоді й тільки тоді, коли аргумент (змінна) набуває конкретного предметного значення. Уведення поняття «пропозиційна функція» надає математичної строгості логічному аналізові висловлень (пропозицій).
Щоб побудувати складну пропозиційну функцію, необхідно здійснити певні операції. У логіці символи цихі операцій називають кванторами, а самі операції — кван-тифікацією пропозиційних функцій.
Хоч ідея квантифікації належить Фреге, автором термінів «квантор» і «квантифікація» є американський вчений Ч. С Пірс (1839- 1914).
Використання пропозиційних функцій і кванторів істотно спростило й прояснило методи логічного аналізу, дозволивши точно формулювати та строго доводити принципи логіки, на підставі яких одні висловлення можна  коректно виводити з інших.
Здавалося б, з поняттям «предикат» у логіці покінчено раз і назавжди. Проте цей термін залишився: ним користуються, коли треба вказати на можливість логічного  аналізу структури висловлень. У такому випадку термін  «предикат» набув метафоричного значення. Так, у Д. Гіль-J Берта, американського математика й логіка С. Кліні (1909— 1994) цей термін вживається для позначення пропозиційної функції.
За допомогою предикації (пропозиційної функції) здійснюється поєднання одиничного й загального термінів.
Логіки поділяють терміни на одиничні (сингулярні), загальні й порожні. Одиничнії термін позначає один об'єкт, загальний — кілька об'єктів; порожній термін не позначає жодного об'єкта.
Предикацію схематично зображують так: «х є F» (у традиційній логіці це має вигляд «iS" є Р»). За допомогою символів пропозиційної функції предикацію записують так: F(x).
 
2.2. Закони логіки висловлень і логіки предикатів.
Різноманітність властивостей і відношень охоплює розширена логіка предикатів, тобто логіка предикатів більш високого ступеня. Зокрема, предикати другого ступеня (предикати предикатів) відображають властивості, притаманні властивостям індивідів. Цю ієрархію можна продовжувати скільки завгодно, та логіки зазвичай користуються предикатами першого й другого ступенів.
     Взявши до уваги вказані характерні риси логіки предикатів, розглянемо застосування операцій логіки висловлень до предикатів на прикладі найпростішого випадку одномісних предикатів.
Нехай М — певна множина, на якій означено предикати. Назвемо цю множину областю. Кожному одномісному предикатові форми F{x) можна поставити у відповідність множину елементів а з області М, для якої F(a) істинне. Позначимо цю підмножину як Л^ і виконаємо зворотну операцію, а саме: кожній множині, що належить М, можна поставити у відповідність предикат Р(х), що являє собою висловлення, істинне тоді й тільки тоді, коли хє N. Предикат Р(х) набуває значення «істина» на N і значення «ложність» поза N. Отже, N є N. Така відповідність між підмножинами множини М і одномісними предикатами, означеними на множині М, взаємно-однозначна.
      Як відомо, теоретико-множинною сумою N{ u N2 двох множин УУ, і N2 називається множина, яка містить усі елементи множини /V, і всі елементи множини N2. Teopeтико-множинним добутком, або перетином, /V, п N2 двох множин /V, і N2 називається множина всіх елементів, які належать і множині N{, і множині N2.
     Таким чином, булеві операції ->, &, v над одномісними предикатами відповідають операціям над множинами. Ці операції називаються перетином, об єднанням і доповненням множин.
     Якщо закони логіки висловлень застосовуються до виразів, котрі за будь-якого розподілу значень істинності своїх пропозиційних змінних набувають значення «істина», то з деякими поправками аналогічні закони діють і в логіці предикатів. Що стосується поправок, то в даному випадку слід ураховувати таке: якщо перетворення пропозиційної функції форми «х має властивість Р» на істинне висловлення залежить передусім від обраної індивідної області, то закони логіки предикатів треба шукати у виразах, які не залежать від тієї чи іншої області індивідів як значень змінних, але є значущими для будь-яких непорожніх областей. Річ у тім, що логіка предикатів розглядає предикати взагалі, тобто вона цікавиться структурою висловлень, незалежно від їхнього конкретного смислового змісту. Тому закони логіки предикатів заявляють про себе в таких виразах, які не залежать від конкретних значень предикатних змінних і є правильними для будь-яких їхніх значень.
     
     Одним із таких законів є закон виключеного третьог (середнього). У символічному записі цей закон має вигляд:
x(F(x) v Н F{x))                         (2.1)
     Зауважимо, що в логіці є два формулювання одержання правильних умовиводів. Перше постає у вигляд' правил виведення, а друге — у вигляді логічних законів.
     Логічні правила — це своєрідні директивні вказівки, які базуються на логічних законах і дають змогу визнавати правильними висловлення, що утворені в результаті виведення з істинних посилок.
      Законами логіки висловлень і предикатів називаються схеми побудови істинних складних висловлень.Інакше кажучи, закони логіки висловлень і предикатів — це такі вирази, яким за будь-яких підстановок значень замість змінних завжди відповідає істинне висловлення. До цих законів, які ще називають теоремами, належать:
1. Закон виключеного третього
2. Закон несуперечності
3. Закон подвійного заперечення:
4. Закон контрапозиції:
5. Закони, що характеризують кон'юнкцію:
6. Закони імплікативних силогізмів.
7. Закони, що характеризують диз'юнкцію.
8. Закони, що характеризують еквіваленцію (еквівалентність
9. Закони де Моргана.
      Деякі вчені (Л. Е. Я. Брауер, Г. Вейль, А. Гейтінг) не визнають універсальними законами логіки закон виключеного третього та закон подвійного заперечення.
     Традиційний для класичної логіки закон несупереч-ності мало кого цікавить сьогодні, бо з нього випливає досить незначна кількість нетривіальних теорем. Іноді закон несуперечності формулюють так: два суперечні одне одному висловлення не можуть бути одночасно істинними.
      Одним із цікавих законів логіки є закон контрапозиції. Розглянемо його на такому прикладі.
     Припустімо, Остап Бендер обіцяв Лоханкіну, що якщо буде час, то сплатить за кімнату. Якщо Бендер тримає своє слово, але не сплачує Лоханкіну, то висновок такий: у Бендера не було часу відвідати Лоханкіна. Шляхом таких міркувань визнаємо істинним таке умовне висловлення:
      Якщо вірно, що (якщо (у Бендера буде час), то (Бендер відвідає Лоханкіна)), то (якщо (Бендер не відвідав Лоханкіна), то це означає, що (у Бендера не було часу)).
     Це речення містить звороти «вірно, що» і «це означає, що», форма яких у даному випадку не має принципового значення. До речі, підстановка в логічні схеми (формули) конкретних значень із буденної мови часто звучить штучно, навіть ріже слух, та логіки на це не зважають, тим більше, що з такими підстановками вони майже не мають справи.
     Можна вважати, що зворот «вірно, що якщо р, то q» означає те саме, що «якщо р, то q». З цього випливає, що в наведеному прикладі легко можна позбутися громіздких граматичних конструкцій. У результаті матимемо:
Якщо (якщо (у Бендера буде час),
то (Бендер відвідає Лоханкіна)),
то (якщо (Бендер не відвідав Лоханкіна),
то (у Бендера не було часу)).
Заперечення всього висловлення можна розглядати як заперечення всередині висловлення. Наприклад, висловлення «Невірно, що Бендер відвідає Лоханкіна» означає те саме, що й «Бендер не відвідає Лоханкіна».
На законі контрапозиції ґрунтується так зване непряме доведення, або reductio ad absurdum (лат. — зведення до\ нісенітності). Тобто замість того, щоб доводити р -> q, можна довести -і q -> -> p.
Слід мати на увазі, що кон'юнкція є переставною, або комутативною (лат. commutatio — зміна), оскільки її члени \ можна міняти місцями. При цьому приймається така ло-гічна теорема:
Якщо (р і q), то (<7 і р).
    Наприклад:
Якщо ((Федір Микитович Хворобйов — запеклий монархіст)
і (Волга впадає в Каспійське море)),
то ((Волга впадає в Каспійське море)
і (Федір Микитович Хворобйов — запеклий монархіст)).
Маючи істинну кон'юнкцію, можна визнати істинним будь-який з її членів.       
     Наприклад:
Якщо (р і q), то р. Якщо (р і а), то q.
Приймемо також до уваги теорему, відповідно до якої, разом із визначенням істинності двох висловлень, визнають істинність їхньої кон'юнкції, а саме:
Якщо р, то (якщо q, то (р і q)).
     Надзвичайно важлива роль у приведених умовиводах належить імплікації. Відомо, що більшість наукових законів мають форму імплікацій. Характерним є й те, що багато рішень, які приймаються (у тому числі й безвідповідальні), також виражаються у формі імплікацій.
     Імплікації можуть бути як посилками умовиводів, так і висновками. Тому в логічних міркуваннях надається велике значення таким теоремам, які дають змогу з двох посилок, що є імплікаціями, робити певні висновки, котрі також є імплікаціями. Подібні теореми називаються імплікативни-ми силогізмами.
Визнаючи за дві посилки дві імплікації (два імпліка-тивні висловлення) з однією й тією самою умовою істинності, маємо як висновок імплікацію (імплікативне висловлення) з тією самою умовою істинності. Крім того, консеквент даної імплікації являтиме собою кон'юнкцію консеквентів обох посилок. Відповідно за теорему логіки визнаємо такий вираз:
     Закон імплікативного силогізму виражає властивість транзитивності умовного висловлення.
     У математиці транзитивність (лат. transitus — перехід) — це властивість величин, яка полягає в тому, що якщо перша величина порівнянна з другою, а друга — з третьою, то перша величина порівнянна з третьою. Наприклад: якщо        
                            х - у і у = z, то х = Z.                                                             (2.2)
Не можна не сказати ще про одну логічну теорему, пов'язану з імплікативними силогізмами, а саме: Диз'юнкція, так само як і кон'юнкція, є комутативною (переставною). Наприклад, якщо хто-небудь стверджує, що «Паніковський — гусокрад або Паніковський не любить гусячого м'яса», то так само правильним буде твердження «Паніковський не любить гусячого м'яса або Паніковський — гусокрад». У такому випадку перехід від одного висловлення до іншого здійснюється на підставі теореми.
    Для математичних відношень еквівалентності характерні певні властивості:
1. Рефлексивність: кожний предмет еквівалентний самому собі (х= х).
2. Симетричність: якщо х еквівалентний у, то у еквівалентний х, тобто (х = у) —>((/= х).
3. Транзитивність: якщо х еквівалентний у, а у еквіва z, то х еквівалентний z, тобто ((х= у) & (у= z)). Відношення еквівалентності можна виразити формулами логіки предикатів. Для цього записують у вигляді аксіом рефлексивність, симетричність і транзитивність. Готові результати будуть такими:
Згідно з цим правилом, якщо певний індивід множини має якусь властивість, то можна зробити висновок, що існує хоча б один індивід, якому ця властивість притаманна.
  На відміну від логічних законів, які імперативно вимагають, щоб висновок був завжди істинним, логічні правила менш жорсткі. Вони надають можливість визнавати за істинні нові висловлення залежно від того, який вигляд мають висловлення-посилки, вже визнані за істинні.
   Одним з основних правил умовиводу є вже знайоме правило відокремлення («modus ponens»), яке говорить, що умовивід є правильним, якщо з двох істинних посилок маємо істинний висновок. Більш строго це правило читається так: якщо істинна якась імплікація й істинна її умова, то має бути істинним і її висновок. Розглянемо приклад.
    Вище наведено схему правильного умовиводу в тому Розумінні, що, підставляючи замість літер р і q конкретні висловлення, матимемо в результаті правильний умовивід, тобто правильність умовиводу з логічних міркувань полягає в тому, що до уваги береться тільки форма наявних у ньому посилок, абстрагуючись від їх змісту.
     Повертаючись до питання про загальнозначущість еквіваленції, зазначимо, що еквіваленція в логіці предикатів так само, як і в логіці висловлень, тільки тоді буде загальнозначущою, коли значення істинності її членів за однакових значень їхніх змінних збігаються:
     Зауважимо, що в логіці предикатів не існує такого простого способу розв'язування умовиводів, як таблиці істинності в логіці висловлень. Більше того, взагалі немає способу, який можна було б сміливо використовувати для розв'язання будь-яких виразів логіки предикатів. Зазвичай розв'язуваний вираз намагаються звести до виразу логіки висловлень.
      Однією з цікавих проблем логіки предикатів є проблема аксіоматизації, що упирається у проблему вирішення. Як відомо, проблема вирішення полягає у пошуку способу, за допомогою якого скінченним числом кроків можна вирішити, яким є логічний вираз — загальнозна-чущим, виконуваним чи суперечним.
     Якщо для якоїсь області логічних побудов не існує процедури вирішення, то зазвичай намагаються з'ясувати, чи є дані вирази загальнозначущими. При цьому враховують, що кожний Вираз, виведений із загальнозначущого виразу, сам є загальнозначущим. Таким чином, якщо із загальнозначущих виразів удається вивести за допомогою відповідних перетворень, додержуючись правил виводу, розв'язний вираз, то можна з повним правом вважати, що знайдено індивідуальне доведення для даного виразу. Проте на практиці знайти таке доведення для будь-якого виразу часто буває дуже й дуже важко, оскільки тут багато що залежить від професійного досвіду, інтуїції, а також від дотримання певних загальних положень.
 
2.3. Основні поняття предикатів.
Предикат - в традиційній логіці один з двох термінів думки, а саме той, в якому щось мовиться про предмет мови (суб'єкт). Предикатом називається функція, аргументи якої приймають значення з деякої множини, а сама функція - значення 0 («брехня») або 1 («істина»).
До кінця 19 ст. у логіці суб'єкт думки, як правило, ототожнювався з граматичним підметом, а предикат - з іменною частиною граматичного присудка, що виражається, наприклад, прикметником. традиційним огглядом, форма присудка (предикативний зв'язок) зводилася до атрибутивного зв'язку, т. про означала, що предмету (суб'єктові) властива певна ознака. Розвиток математичної логіки сів до перегляду цій точці зору.
   Новий погляд характеризується узагальненням поняття «Предиката» на основі поняття особливого роду функції - логічної (або пропозіциональної) функції, значеннями якої служать вислови (або їх істинне значення - «істина» і «брехня»). Напр., вислову «Сократ є людина» в традиційному розумінні відповідала схема «S є Р». Якщо S і Р розглядати як змінні, що мають різні області значень: S - область «індивідуальних предметів», а Р - область «розумінь, напр., при виборі поняття «людина» як значення змінної Р отримаємо вираз «S є людина», або вираз «.. .є людина» (де крапки замінюють букву S), так ще, по суті, функцію від однієї змінної, яка стає висловом (приймає значення «істина» або «брехню»), коли на місце крапок (або змінній S) ставлять ім'я деякого суб'єкта (напр., «Сократ»), що грає тут звичайну роль аргументу функції. Аналогічно цьому вираз «...більше, чим...» є функція від двох змінних, а вираз «...находится між... і...» - функція від трьох змінних і т.п.
 
Числення предикатів.
Логіка висловів дозволяє формалізувати лише малу частину безлічі міркувань. Вислови, що описують деякі властивості об'єктів, або стосунки між об'єктами виходять за рамки логіки висловів. Наприклад, ми не зможемо судити про логічну правильність такого простого міркування: «Кожне натуральне число є коренем деякого квадратного рівняння. Число 5 -натуральноє. Отже, 5 є коренем деякого квадратного рівняння».
Логіка предикатів починається з аналізу будови висловів, які виражають той факт, що об'єкти володіють деякими властивостями, або знаходяться між собою в деяких стосунках. Поняття «властивості» і поняття «стосунки» розглядаються як окремий випадок загального поняття «предиката». Об'єкти, про які мовиться у вислові, називаються термами або наочними константами.
Наочні константи, подібно до констант в математиці, визначають значення, які можуть бути приписані у висловах наочним змінним. При цьому кожною змінною відповідає своя безліч наочних констант. Наприклад, якщо мова йде про студентській групі, то змінній ПРІЗВИЩЕ відповідає безліч констант - конкретних прізвищ студентів групи, зміною ОЦЕНКА - безліч констант { отл., хор., удовл., неуд.}, змінній ВУЗ - безліч імен Вузів. Над змінними і константами визначаються функції так само, як і в математиці, тобто як однозначне відображення декартове твори Х1хх2х ...Хгп =>У, де XI і У - імена наочних змінних.
Приклад предиката: ПРІЗВИЩЕ = «Петров». Тут ПРІЗВИЩЕ - змінна, «Петров» - константа.
Числення висловлень, що розглядалось у попереднiх роздiлах, як алгебра висловлень i як формальна (аксiоматична) теорiя, є важливою i невiд’ємною складовою частиною всiх числень математичної логiки. Однак воно є занадто бiдним для опису та аналiзу найпростiших логiчних мiркувань науки i практики.
Однiєю з причин цього є те, що у численнi висловлень будь-яке просте висловлення розглядається як вихiдний об’єкт дослiдження, неподiльне цiле, позбавлене частин i внутрiшньої структури, яке має лише одну властивiсть - бути або iстинним, або хибним.
Для того, щоб побудувати систему правил, яка дозволяла б проводити логiчнi мiркування для виведення нетривiальних правильних висновкiв з урахуванням будови i змiсту простих висловлень, пропонується формальна теорiя, що дiстала назву числення предикатiв.
Теорiя предикатiв починається з аналiзу граматичної будови простих висловлень i грунтується на такому висновку: простi висловлення виражають той факт, що деякi об’єкти (або окремий об’єкт) мають певнi властивостi, або що цi об’єкти знаходяться мiж собою у певному вiдношеннi.
Наприклад, в iстинному висловленнi «5 є просте число» пiдмет «5» - це об’єкт, а присудок «є просте число» виражає деяку його властивiсть.
У латинськiй граматицi присудок називається предикатом, звiдси цей термiн i увiйшов у математичну логiку. Головним для логiки предикатiв є саме друга складова речення-висловлення - присудок-властивiсть. Вона фiксується, а значення об’єкта пропонується змiнювати так, щоб кожен раз отримувати осмисленi речення, тобто висловлення.
Наприклад, замiнюючи у наведеному вище висловленнi 5 на 2, 4, 8 або 14, матимемо вiдповiдно такi висловлення: «2 є просте число», «4 є просте число», «8 є просте число», «14 є просте число», з яких друге є iстинним, а решта - хибними висловленнями.
Таким чином, можна розглянути вираз «x є просте число», який не є висловленням, а є так званою пропозицiйною (висловлювальною) формою. Тобто формою (або формуляром), пiсля пiдстановки в яку замiсть параметра (змiнної) x об’єктiв (значень) з певної множини M, дiстаємо висловлення.
Аналогiчно можна трактувати, наприклад, пропозицiйнi форми «a є українцем», «b i c є однокурсники», «c важче d», або «точка x лежить мiж точками y i z». У першi двi з них можна пiдставляти замiсть параметрiв a, b i c прiзвища конкретних людей. У третю замiсть c i d назви будь-яких об’єктiв (предметiв), якi мають вагу. Для четвертої множиною M значень змiнних x, y i z є множина точок певної прямої.
Перша з цих пропозицiйних форм задає, як i в наведенiй ранiше формi, певну властивiсть для об’єкта a. Iншi три форми описують деякi вiдношення мiж вiдповiдними об’єктами.
Предикати, в яких описується деяка властивість об'єкту, називається предикат-властивість. Якщо предикат визначає відношення між декількома об'єктами, то такий предикат називається предикат-відношення. Залежно від того, між скільком числом об'єктів встановлюються стосунки, розрізняють двомісні, тримісні і п-місцеві стосунки
Предикат називається «-местним ( «= 1,2 ... ), якщо відповідна функція є функція від «-аргументов. Вислів - не що інше, як предик
и т.д.................


Перейти к полному тексту работы


Скачать работу с онлайн повышением уникальности до 90% по antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru


Смотреть полный текст работы бесплатно


Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.