На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


курсовая работа Понятие теории игр

Информация:

Тип работы: курсовая работа. Добавлен: 25.11.2012. Сдан: 2011. Страниц: 9. Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%

Описание (план):


    Содержание:
Введение………………………………………………………………….…. …...5
I. Теоретическая часть…………………………………………………………. 6
    1.1. Понятие теории игр…………………………………………………….......-
    1.1.1.Основные понятия и определения.............................................................-
    1.1.2. Классификация игр…………………………………..………….. ……...7
    1.1.3. Игры с природой……………………..………………………….. …….10
    1.2. Матричные игры…………………………..……………………….. ……11
    1.2.1. Основные понятия матричных игр…………………………………...... -
    1.2.2. Смешанное расширение матричной игры……………………….. ......14
    1.2.3. Свойства решений матричных игр…………………………………....17
   1.2.4. Сведение матричной игры к задаче линейного 
              программирования……………………………………………………...20
II. Практическая часть………………………………………………………...23
    2.1. Постановка задачи……………………………………………………….... -
     2.2. Критерии для принятия решений……………………………………….24
     2.3. Решение задачи…………………………………………………………..25
Заключение……………………………………………………………………...29
Список  литературы 
 

Введение
    Тема  данной курсовой работы является достаточно актуальной, так как  теория игр  занимается изучением различных  конфликтных ситуаций, где сталкиваются интересы индивидов, партий, государств и т. п. В основном такие ситуации  возникают в экономике, в управлении запасами и других областях человеческой деятельности. Конфликт может произойти также из различия целей, которые отражают не только несовпадающие интересы различных сторон, но и многосторонние интересы одного и того же лица.
    Математическая  теория игр устанавливает принципы оптимального поведения в условиях неопределенности (конфликта), доказывает  существование решений, удовлетворяющих этим принципам, указывает алгоритмы  нахождения решений и реализует их. К тому же, она способна не только указать оптимальный путь к решению некоторых проблем, но и прогнозировать их исход.
    Цель  работы состоит в том, чтобы получить все необходимые и наиболее важные знания о теории игр, а именно: изучить  основные понятия и  определения, рассмотреть некоторые виды игр, наиболее подробно ознакомиться с матричными играми, а также с методами и  алгоритмами их решения. 
 
 
 
 
 
 

    I. Теоретическая часть.
    1.1.Понятие теории игр.
    1.1.1.Основные понятия и определения.
    Обычно  теорию игр определяют как раздел математики для изучения конфликтных  ситуаций. Это значит, что можно  выработать оптимальные правила  поведения каждой стороны, участвующей  в решении конфликтной ситуации.
    Определение. Ситуация называется конфликтной, если в ней участвуют стороны, интересы которых полностью или частично противоположны.
    Под термином «игра» понимается совокупность предварительно оговорённых правил и условий, согласно которым действуют  по крайней мере два участника (игрока), каждый из которых стремиться к достижению собственных целей. Допустимые действия каждого из игроков, направленные на достижение некоторой цели, называются правилами игры.
    Количественная  оценка результатов игры vj (j= ), где n-число игроков, называется платежом или выигрышем.
    Если  vj>0 – выигрыш;
            vj<0 – проигрыш;
            vj=0 – ничейный исход (j= ).
    В большинстве случаев имеют место  игры с нулевой суммой, то есть когда для платежей всех участников игры выполняется условие:
    v1+ v2+…+vn=0.
    В играх с нулевой суммой выигрыш  переходит от одного участника игры к другому, не поступая из внешних  источников.
    Игры, в которых участвуют два игрока, называются парными.
    Принятие  игроком решения – ход игры. Ходы могут быть личные (выбран лично игроком) и случайные (выбран с помощью механизма случайного выбора).
    Однозначное описание выбора игрока в каждой из возможных ситуаций, при которой  он должен сделать личный ход, называется стратегией игрока.
    Определение. Стратегия игрока называется оптимальной, если при многократном повторении игры она обеспечивает игроку максимально возможный средний выигрыш (или минимально возможный средний выигрыш).
    1.1.2. Классификация игр.
    Классификацию игр можно выделить по определённым критериям:
      1. Количество игроков. Если в игре участвуют две стороны, то ее называют игрой двух лиц. Если число сторон больше двух, ее относят к игре п игроков. Наибольший интерес вызывают игры двух лиц. Они и математически более глубоко проработаны, и в практических приложениях имеют наиболее обширную библиографию.
    2. Количество стратегий игры. По  этому критерию игры делятся  на конечные и бесконечные.  В конечной игре каждый из  игроков имеет конечное число  возможных стратегий. Если хотя  бы один из игроков имеет  бесконечное число возможных  стратегий, игра является бесконечной.
    3. Взаимоотношения сторон. Согласно  данному критерию игры делятся  на кооперативные, коалиционные  и бескоалиционные. Если игроки  не имеют права вступать в  соглашения, образовывать коалиции, то такая игра относится к  бескоалиционным; если игроки  могут вступать в соглашения, создавать коалиции - коалиционной. Кооперативная игра - это игра, в которой заранее определены коалиции.
    4. Характер выигрышей. Этот критерий  позволяет классифицировать игры  с нулевой и с ненулевой  суммой. Игра с нулевой суммой  предусматривает условие: «сумма  выигрышей всех игроков в каждой  партии равна нулю». Игры двух  игроков с нулевой суммой относят  к классу антагонистических. Естественно,  выигрыш одного игрока при  этом равен проигрышу другого.  Примерами игр с нулевой суммой  служат многие экономические  задачи. В них общий капитал  всех игроков перераспределяется  между игроками, но не меняется. К играм с ненулевой суммой  также можно отнести большое  количество экономических задач.  Например, в результате торговых  взаимоотношений стран, участвующих  в игре, все участники могут  оказаться в выигрыше. Игра, в  которой нужно вносить взнос  за право участия в ней, является  игрой с ненулевой суммой.
    5. Вид функции выигрышей. По этому  критерию игры подразделяются  на матричные, биматричные, непрерывные,  выпуклые, сепарабельные и т.д.  Поясним суть некоторых из  них.
    Матричная игра - конечная игра двух игроков с  нулевой суммой. В общем случае ее платежная матрица является прямоугольной (см. табл. 1). Номер строки матрицы  соответствует номеру стратегии, применяемой  игроком 1. Номер столбца соответствует  номеру стратегии игрока 2. Выигрыш  игрока 1 является элементом матрицы. Выигрыш игрока 2 равен проигрышу  игрока 1. Матричные игры всегда имеют  решения в смешанных стратегиях. Они могут быть решены методами линейного  программирования.
    Биматричная игра - конечная игра двух игроков с  ненулевой суммой. Выигрыши каждого  игрока задаются своей матрицей, в  которой строка соответствует стратегии  игрока 1, а столбец - стратегии игрока 2. Однако элемент первой матрицы показывает выигрыш игрока 1, а элемент второй матрицы - выигрыш игрока 2. Для биматричных игр так же, как и для матричных, разработана теория оптимального поведения игроков.
    Если  функция выигрышей каждого игрока в зависимости от стратегий является непрерывной, игра считается непрерывной. Если функция выигрышей выпуклая, то и игра - выпуклая.
    Если  функция выигрышей может быть разделена на сумму произведений функций одного аргумента, то игра относится  к сепарабельной.
    6. Количество ходов. Согласно этому  критерию игры можно разделить  на одношаговые и многошаговые. Одношаговые игры заканчиваются  после одного хода каждого  игрока. Так, в матричной игре  после одного хода каждого  из игроков происходит распределение  выигрышей. Многошаговые игры  бывают позиционными, стохастическими,  дифференциальными и др.
    7. Информированность сторон. По данному  критерию различают игры с  полной и неполной информацией.  Если каждый игрок на каждом  ходу игры знает все ранее  примененные другими игроками  на предыдущих ходах стратегии,  такая игра определяется как  игра с полной информацией.  Если игроку не все стратегии  предыдущих ходов других игроков  известны, то игра классифицируется  как игра с неполной информацией.  Мы далее убедимся, что игра  с полной информацией имеет  решение. Решением будет седловая  точка при чистых стратегиях.
    8. Степень неполноты информации. По  этому критерию игры подразделяются  на статистические (в условиях  частичной неопределенности) и стратегические (в условиях полной неопределенности). Игры с природой часто относят  к статистическим играм. В статистической  игре имеется возможность получения  информации на основе статистического  эксперимента, при котором вычисляется  или оценивается распределение  вероятностей состояний (стратегий) природы. С теорией статистических игр тесно связана теория принятия экономических решений.
    1.1.3. Игры с природой.
    Модели  в виде стратегических игр, в экономической  практике могут не в полной мере оказаться адекватными действительности, поскольку реализация модели предполагает многократность повторения действий (решений), предпринимаемых в похожих условиях. В реальности количество принимаемых  экономических решений в неизменных условиях жестко ограничено. Нередко  экономическая ситуация является уникальной, и решение в условиях неопределенности должно приниматься однократно. Это  порождает необходимость развития методов моделирования принятия решений в условиях неопределенности и риска.
    Традиционно следующим этапом такого развития являются так называемые игры с природой. Формально изучение “игр с природой“, так же как и стратегических, должно начинаться с построения платежной  матрицы, что является, по существу, наиболее трудоемким этапом подготовки принятия решения. Ошибки в платежной  матрице не могут быть компенсированы никакими вычислительными методами и приведут к неверному итоговому  результату.
    Отличительная особенность игры с природой состоит  в том, что в ней сознательно  действует только один из участников, в большинстве случаев называемый игроком 1. Игрок 2 (природа) сознательно  против игрока 1 не действует, а выступает  как не имеющий конкретной цели и  случайным образом выбирающий очередные  «ходы» партнер по игре. Поэтому  термин «природа» характеризует  некую объективную действительность, которую не следует понимать буквально, хотя вполне могут встретиться ситуации, в которых «игроком» 2 действительно  может быть природа (например, обстоятельства, связанные с погодными условиями или с природными стихийными силами).
    1.2. Матричные игры.
    1.2.1. Основные понятия матричных игр.
    Матричная игра двух игроков с нулевой суммой может рассматриваться как следующая  абстрактная игра двух игроков.
    Первый  игрок имеет m стратегий i = 1,2,...,m, второй имеет n стратегий j = 1,2,...,n. Каждой паре стратегий (i,j) поставлено в соответствие число аij, выражающее выигрыш игрока 1 за счёт игрока 2, если первый игрок  примет свою i-ю стратегию, а 2 – свою j-ю стратегию.
    Каждый  из игроков делает один ход: игрок 1 выбирает свою i-ю стратегию (i= ), 2 – свою j-ю стратегию (j= ), после чего игрок 1 получает выигрыш аij за счёт игрока 2 (если аij< 0, то это значит, что игрок 1 платит второму сумму | аij | ). На этом игра заканчивается.
    Каждая  стратегия игрока i= ; j =  часто называется чистой стратегией.
    Если  рассмотреть матрицу
    А =
    то  проведение каждой партии матричной  игры с матрицей А сводится к выбору игроком 1 i-й строки, а игроком 2 j-го столбца и получения игроком 1 (за счёт игрока 2) выигрыша аij.
    Главным в исследовании игр является понятие  оптимальных стратегий игроков. В это понятие интуитивно вкладывается такой смысл: стратегия игрока является оптимальной, если применение этой стратегии  обеспечивает ему наибольший гарантированный  выигрыш при всевозможных стратегиях другого игрока. Исходя из этих позиций, игрок 1 исследует матрицу выигрышей  А следующим образом: для каждого  значения i (i = ) определяется минимальное значение выигрыша в зависимости от применяемых стратегий игрока 2
     аij     (i = )
    т.е. определяется минимальный выигрыш  для игрока 1 при условии, что он примет свою i-ю чистую стратегию, затем  из этих минимальных выигрышей отыскивается такая стратегия i = iо, при которой  этот минимальный выигрыш будет  максимальным, т.е. находится
     аij = =                     (1).
    Определение. Число  , определённое по формуле (1) называется нижней чистой ценой игры и показывает, какой минимальный выигрыш может гарантировать себе игрок 1, применяя свои чистые стратегии при всевозможных действиях игрока 2.
    Игрок 2 при оптимальном своём поведении  должен стремится по возможности  за счёт своих стратегий максимально  уменьшить выигрыш игрока 1. Поэтому  для игрока 2 отыскивается
     аij
    т.е. определяется max выигрыш игрока 1, при  условии, что игрок 2 применит свою j-ю  чистую стратегию, затем игрок 2 отыскивает такую свою j = j1 стратегию, при которой игрок 1 получит min выигрыш, т.е. находит
     aij = =                       (2).
    Определение. Число  , определяемое по формуле (2), называется чистой верхней ценой игры и показывает, какой максимальный выигрыш за счёт своих стратегий может себе гарантировать игрок 1.
    Другими словами, применяя свои чистые стратегии  игрок 1 может обеспечить себе выигрыш  не меньше , а игрок 2 за счёт применения своих чистых стратегий может не допустить выигрыш игрока 1 больше, чем .
    Определение. Если в игре с матрицей А  = , то говорят, что эта игра имеет седловую точку в чистых стратегиях и чистую цену игры
    u = = .
    Седловая  точка – это пара чистых стратегий (iо,jо) соответственно игроков 1 и 2, при  которых достигается равенство   = . В это понятие вложен следующий смысл: если один из игроков придерживается стратегии, соответствующей седловой точке, то другой игрок не сможет поступить лучше, чем придерживаться стратегии, соответствующей седловой точке. Математически это можно записать и иначе:
                        (3).
    где i, j – любые чистые стратегии соответственно игроков 1 и 2; (iо,jо) – стратегии, образующие седловую точку.
    Таким образом, исходя из (3), седловой элемент   является минимальным в iо-й строке и максимальным в jо-м столбце в матрице А. Отыскание седловой точки матрицы А происходит следующим образом: в матрице А последовательно в каждой строке находят минимальный элемент и проверяют, является ли этот элемент максимальным в своём столбце. Если да, то он и есть седловой элемент, а пара стратегий, ему соответствующая, образует седловую точку. Пара чистых стратегий (iо,jо) игроков 1 и 2, образующая седловую точку и седловой элемент , называется решением игры. При этом iо и jо называются оптимальными чистыми стратегиями соответственно игроков 1 и 2.
    1.2.2. Смешанное расширение матричной игры.
    Исследование  в матричных играх начинается с нахождения её седловой точки в  чистых стратегиях. Если матричная  игра имеет седловую точку в чистых стратегиях, то нахождением этой седловой точки заканчивается исследование игры. Если же в игре нет седловой точки в чистых стратегиях, то можно  найти нижнюю и верхнюю чистые цены этой игры, которые указывают, что игрок 1 не должен надеяться на выигрыш больший, чем верхняя  цена игры, и может быть уверен в  получении выигрыша не меньше нижней цены игры. Улучшение решений матричных  игр следует искать в использовании  секретности применения чистых стратегий  и возможности многократного  повторения игр в виде партии. Этот результат достигается путём  применения чистых стратегий случайно, с определённой вероятностью.
    Определение. Смешанной стратегией игрока называется полный набор вероятностей применения его чистых стратегий.
    Таким образом, если игрок 1 имеет m чистых стратегий 1,2,...,m, то его смешанная стратегия x – это набор чисел x = (x1, ..., xm) удовлетворяющих соотношениям
    xi ? 0   (i = 1,m),   = 1.
    Аналогично  для игрока 2, который имеет n чистых стратегий, смешанная стратегия y –  это набор чисел
    y = (y1, ..., yn),   yj ? 0,  (j = 1,n),   = 1.
    Так как каждый раз применение игроком  одной чистой стратегии исключает  применение другой, то чистые стратегии  являются несовместными событиями. Кроме того, они являются единственными  возможными событиями.
    Чистая  стратегия есть частный случай смешанной  стратегии. Действительно, если в смешанной  стратегии какая-либо i-я чистая стратегия  применяется с вероятностью 1, то все остальные чистые стратегии  не применяются. И эта i-я чистая стратегия  является частным случаем смешанной  стратегии. Для соблюдения секретности  каждый игрок применяет свои стратегии  независимо от выбора другого игрока.
    Определение. Средний выигрыш игрока 1 в матричной  игре с матрицей А выражается в  виде математического ожидания его  выигрышей
    E (A, x, y) = = x A yT            
      Первый игрок имеет целью за  счёт изменения своих смешанных  стратегий х максимально увеличить  свой средний выигрыш Е (А,  х, y), а второй – за счёт своих  смешанных стратегий стремится  сделать Е (А, х, y) минимальным,  т.е. для решения игры необходимо  найти такие х и y, при которых  достигается верхняя цена игры
      Е (А, х, y).
    Аналогичной должна быть ситуация и для игрока 2, т.е. нижняя цена игры должна быть
      Е (А, х, y).
    Подобно играм, имеющим седловые точки в  чистых стратегиях, вводится следующее  определение: оптимальными смешанными стратегиями игроков 1 и 2 называются такие наборы хо, уо соответственно, которые удовлетворяют равенству
      Е (А, х, y) = Е (А, х, y) = Е (А, хо, уо).
    Величина  Е (А, хо ,уо) называется при этом ценой  игры и обозначается через u.
    Имеется и другое определение оптимальных  смешанных стратегий: хо, уо называются оптимальными смешанными стратегиями  соответственно игроков 1 и 2, если они  образуют седловую точку:
    Е (А, х, уо) ? Е (А, хо, уо) ? Е (А, хо, у)
    Оптимальные смешанные стратегии и цена игры называются решением матричной игры.
    Основная  теорема матричных игр имеет  вид :
    Теорема (о минимаксе). Для матричной игры с любой матрицей А величины
      Е (А, х, y) и   Е (А, х, y)
    существуют  и равны между собой.
    1.2.3. Свойства решений матричных игр.
    Обозначим через G (Х,Y,А) игру двух лиц с нулевой  суммой, в которой игрок 1 выбирает стратегию х I Х, игрок 2 – y I U, после чего игрок 1 получает выигрыш  А = А (х, y) за счёт игрока 2.
    Определение. Стратегия х1 игрока 1 доминирует (строго доминирует) над стратегией х2, если
    А (х1, y) ? А (х2, y)   (А (х1, y) > А (х2, y)), y I U.
    Стратегия y1 игрока 2 доминирует (строго доминирует) над стратегией y2, если
    А (х, y1) ? А (х, y2)  (А (х, y1) < А (х, y2)), х I Х.
    При этом стратегии х2 и y2 называются доминируемыми (строго доминируемыми).
    Спектром  смешанной стратегии игрока в  конечной антагонистической игре называется множество всех его чистых стратегий, вероятность которых согласно этой стратегии положительна.
    Свойство 1. Если чистая стратегия одного из игроков  содержится в спектре некоторой  его оптимальной стратегии, то выигрыш  этого игрока в ситуации, образованной данной чистой стратегией и любой  оптимальной стратегией другого  игрока, равен значению конечной антагонистической  игры.
    Свойство 2. Ни одна строго доминируемая чистая стратегия игрока не содержится в  спектре его оптимальной стратегии.
    Игра G? = (Х?,Y?,А?) называется подыгрой игры G (Х,Y,А), если Х?I Х, U?I U, а матрица  А? является подматрицей матрицы  А. Матрица А? при этом строится следующим  образом. В матрице А остаются строки и столбцы, соответствующие  стратегиям Х? и U?, а остальные “вычеркиваются”. Всё то что “останется” после  этого в матрице А и будет  матрицей А?.
    Свойство 3. Пусть G = (Х,Y,А) – конечная антагонистическая  игра, G? = (Х х?,Y,А) – подыгра игры G, а х? – чистая стратегия игрока 1 в игре G, доминируемая некоторой  стратегией , спектр которой не содержит х?. Тогда всякое решение (хо, yо, u) игры G? является решением игры G.
    Свойство 4. Пусть G = (Х,Y,А) – конечная антагонистическая  игра, G? = (Х,Y y?,А) – подыгра игры G, а y? – чистая стратегия игрока 2 в игре G, доминируемая некоторой  стратегией , спектр которой не содержит y?.Тогда всякое решение игры G? является решением G.
    Свойство 5. Если для чистой стратегии х? игрока 1 выполнены условия свойства 3, а  для чистой стратегии y? игрока 2 выполнены условия свойства 4, то всякое решение игры G? = (Х х?,Y y?,А) является решением игры G = (Х,Y,А).
    Свойство 6. Тройка (хо, yо, u) является решением игры G = (Х,Y,А) тогда и только тогда, когда (хо, yо, кu +а) является решением игры G(Х,Y,кА+а), где а – любое вещественное число, к > 0.
    Свойство 7. Для того, чтобы хо = ( ) была оптимальной смешанной стратегией матричной игры с матрицей А и ценой игры u, необходимо и достаточно выполнение следующих неравенств
          (j = )            (*)
    Аналогично  для игрока 2 : чтобы yо = ( , ..., , ..., ) была оптимальной смешанной стратегией игрока 2 необходимо и достаточно выполнение следующих неравенств:
          (i = )            (**)
    Из  последнего свойства вытекает: чтобы  установить, является ли предполагаемые (х, y) и u решением матричной игры, достаточно проверить, удовлетворяют ли они  неравенствам (*) и (**). С другой стороны, найдя неотрицательные решения  неравенств (*) и (**) совместно со следующими уравнениями
     ,                  (***)
    получим решение матричной игры.
    Таким образом, решение матричной игры сводится к нахождению неотрицательных  параметров решений линейных неравенств (*) (**) и линейных уравнений (***). Однако это требует большого объёма вычислений, которое растёт с увеличением  числа чистых стратегий игроков. (Например для матрицы 3 3 имеем систему из 6 неравенств и 2 уравнений). Поэтому в первую очередь следует, по возможности используя свойства 2 и 3, уменьшить число чистых стратегий игроков. Затем следует во всех случаях проверить выполнение неравенства
      = .
    Если  оно выполняется, то игроки имеют  чистые оптимальные стратегии (игрок 1 – чистую максиминная, а игрок 2 – чистую минимаксная). В противном  случае хотя бы у одного игрока оптимальные  стратегии будут смешанные. Для матричных игр небольшого размера эти решения можно найти, применяя свойства 1 – 5.
    Замечание. Отметим, что исключение доминируемых (не строго) стратегий может привести к потере некоторых решений. Если же исключаются только строго доминируемые стратегии, то множество решений  игры не изменится.
    1.2.4. Сведение матричной игры к задаче линейного программирования.
    Предположим, что цена игры положительна (u > 0). Если это не так, то согласно свойству 6 всегда можно подобрать такое число  с, прибавление которого ко всем элементам  матрицы выигрышей даёт матрицу  с положительными элементами, и следовательно, с положительным значением цены игры. При этом оптимальные смешанные  стратегии обоих игроков не изменяются.
    Итак, пусть дана матричная игра с матрицей А порядка m х n. Согласно свойству 7 оптимальные  смешанные стратегии х = (х1, ..., хm), y = (y1, ..., yn) соответственно игроков 1 и 2 и цена игры u должны удовлетворять  соотношениям.
                            (1)
                            (2)
    Разделим  все уравнения и неравенства  в (1) и (2) на u (это можно сделать, т.к. по предположению u > 0) и введём обозначения :
         ,       ,
    Тогда (1) и (2) перепишется в виде :
     ,   ,   ,   ,
     ,   ,   ,   .
    Поскольку первый игрок стремится найти  такие значения хi и, следовательно, pi , чтобы цена игры u была максимальной, то решение первой задачи сводится к нахождению таких неотрицательных  значений pi , при которых
     ,  .                      (3)
    Поскольку второй игрок стремится найти  такие значения yj и, следовательно, qj, чтобы цена игры u была наименьшей, то решение второй задачи сводится к нахождению таких неотрицательных  значений qj, , при которых
     ,  .                      (4)
и т.д.................


Перейти к полному тексту работы


Скачать работу с онлайн повышением уникальности до 90% по antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru


Смотреть полный текст работы бесплатно


Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.