Здесь можно найти образцы любых учебных материалов, т.е. получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ и рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Курсовик Особенности нахождения связи между величинами (функциями). Понятие, сущность, свойства и характерные особенности дифференциальных уравнений, а также анализ их разрешимости. Характеристика и методика решения задачи Дидоны, ее графическое изображение.

Информация:

Тип работы: Курсовик. Предмет: Математика. Добавлен: 02.04.2010. Сдан: 2010. Уникальность по antiplagiat.ru: --.

Описание (план):


37
Федеральное агентство по образованию
Елабужский Государственный Педагогический Университет
Физико-математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Курсовая работа
на тему:
«Геометрические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям»
Елабуга 2009
Оглавление
Введение 3
Огибающие 5
Бархистохрона 9
Задача о брахистохроне с фиксированной абсциссой правого конца 13
Задача о расстоянии до кривой 14
Геодезические линии на кривой поверхности 16
Задача о геодезической линии 18
Задача о криволинейной трапеции с наибольшей площадью 19
Кривая провеса гибкой нерастяжимой нити 21
Поверхность вращения наименьшей площади 25
Задача Дидоны 29
Заключение 35
Список использованной литературы 36
Введение
При изучении геометрических задач не всегда удается непосредственно установить прямую зависимость между величинами, описывающими тот или иной эволюционный процесс. Однако в большинстве случаев можно установить связь между величинами (функциями) их изменения относительно других (независимых) переменных величин, т.е. найти уравнения, в которых неизвестные функции входят под знак производной. Эти уравнения называют дифференциальными.
Простейшим примером дифференциального уравнения является уравнение
где f(x) - известная, а y=y(x) - искомая функции независимого переменного х. Решения этого уравнения называют первообразными функциями для функции f(x). Например, решениями дифференциального уравнения
являются функции
где С - произвольная постоянная, причем других решений это уравнение не имеет.
Характерное свойство дифференциальных уравнений - иметь бесконечное множество решений. В этом смысле приведенный выше пример типичен. Поэтому, решив дифференциальное уравнение, описывающее эволюцию некоторого процесса, нельзя одновременно найти зависимость между величинами, характеризующими данный процесс. Чтобы выделить из бесконечного множества зависимостей ту, которая описывает именно этот процесс, надо иметь дополнительную информацию, например, знать начальное состояние процесса. Без этого дополнительного условия задача неопределенна.
Рассмотрим несколько конкретных задач, приводящих к дифференциальным уравнениям.
Огибающие
Допустим, что нам известно для некоторого дифференциального уравнения F(x, у, )==0 (1) семейство
F(x, у, С)==0 (2)
интегральных линий, которое покрывает некоторую замкнутую область G плоскости (х, у) так, что через каждую точку такой области проходит по крайней мере одна линия этого семейства. Требуется найти такую проходящую по G линию L, которая в каждой своей точке касается некоторой линии семейства (2) и каждого куска которой касается бесконечное множество линий этого семейства Предполагаются различными те линии семейства (2), кото-рым соответствуют различные С.. Такая линия L называется огибающей семейства (2). Очевидно, огибающая семейства интегральных линий будет также интегральной линией уравнения (1), так как в каждой её точке она касается некоторой интегральной кривой и, следовательно, имеет направление поля. Относительно функции F (х, у, С) нам придётся предположить, что она имеет непрерывные производные по всем своим аргументам, и сделать ещё некоторые другие предположения, о которых будет сказано несколько позже и которые в нашем тексте напечатаны курсивом.
Допустим, что искомая линия существует. Так как она в каждой своей точке (х, у) касается некоторой линии [значок С указывает то значение параметра С, при котором уравнение этой линии получается из общего уравнения (2)], то координаты её точек удовлетворяют уравнению F(x, у, С(х, у)) =0, где теперь С уже не постоянно, но в каждой точке линии L принимает свой значение (именно равное тому С, которое соответствует линии ). Будем рассматривать только такой кусок линии L, где у есть дифференцируемая функция от х (точно так же можно исследовать куски, где х есть дифференцируемая функция от у). Тогда можно считать С в предыдущем уравнении зависящим только от х и переписать это уравнение в следующем виде:
F(x,y, C(x)) = 0. (3)
Допустим, что функция С(х) дифференцируема, не постоянна ни в каком интервале рассматриваемых значений х и нам известна. Найдём тогда из уравнения (3) значение у' для удовлетворяющей этому уравнению функции у от х. Продифференцируем для этого уравнение (3) по х, считая у функцией от х. Получим
С другой стороны, если бы мы нашли у' для проходящей через ту же точку (х, у) линии семейства (2), мы получили бы
Чтобы определяемые из обоих уравнений значения у' (определить у' из этих уравнений можно, если ) были одинаковы (т. е. чтобы в этой точке линия (2) и линия (3) имели общую касательную), необходимо, чтобы было.
Чтобы это произведение было равно 0, надо, чтобы по крайней мере один из его множителей обращался в 0. Если на некотором интервале, это будет означать, что С постоянно, что противоречит предположению. Поэтому для огибающей должно быть (4)
Легко видеть и обратное: именно, что, если при сохранении всех сделанных допущений относительно F(x, у, С) уравнения (3) и (4) определяют у(х) и С(x), как дифференцируемые функции от х, причём С(х) ни в каком интервале рассматриваемых значений х не постоянна, то у = у(х) будет огибающей семейства (2).
Замечание 1. Так как в постановке задачи х и у были совершенно равноправны, то в её решении роли х и у можно поменять.
Замечание 2. Огибающая семейства интегральных линий некоторого дифференциального уравнения 1-го порядка всегда является существенно особой интегральной линией для этого уравнения, так как из каждой её точки по одному направлению выходят по крайней мере две интегральные линии.
Пример 1. На всей плоскости (x, y) дано семейство кривых
(5)
Оно состоит из кубических парабол, полученных из однойсдвигом, параллельным оси .
Приравнивая нулю, получим . Отсюда С = -- х. Подставляя это в уравнение семейства, получим линию у = 0, которая, очевидно, является огибающей семейства (5)
Замечание. Если бы мы написали уравнение нашего семейства в виде
то было бы = -1 и наш метод не дал бы огибающей, которая на самом деле существует. Это происходит потому, что теперь не существует при у = 0.
Пример 2. На всей плоскости (х, у) задано семейство кривых
(6)
Приравнивая нулю , получим .
Отсюда С= -x. Подставляя это в уравнение (6), получим у = 0.
Но легко видеть, что ось x-ов не является огибающей семейства (6) (см. рисунок). Это происходит только потому, что при у = 0
Пример 3. Семейство окружности
(7)
покрывает полоску между прямыми х = ±1. Приравнивая нулю , получим 2(у + С) = 0. Отсюда С = -у. Подставляя это вместо С в уравнение семейства, получим х = ±1.
Каждая из этих прямых является огибающей семейства (7) (см. рис.).
Бархистохрона
Допустим, что точки А и В (см. рисунок) соединены тонкой, абсолютно гладкой, проволокой, форма которой изображается кривой y = f(x). Пусть, далее, вдоль этой кривой свободно скользит некоторый груз под действием силы тяжести. Тогда время, в которое этот груз достигнет точки В, будет зависеть от формы кривой. Существует некоторая кривая, для которой груз достигнет точки В в кратчайшее время.
Эта кривая называется «брахистохроной». Задача состоит в том, чтобы найти форму этой кривой.
Для решения задачи необходимо найти выражение, для количества времени, затрачиваемого на скольжение груза по любой проволоке. Удобнее всего использовать для этого три закона из области механики:
1) Потенциальная энергия груза пропорциональна его высоте над поверхностью земли. Фактор пропорциональности равен массе т, умноженной на ускорение силы тяжести g.
2) Кинетическая энергия движущегося тела пропорциональна квадрату скорости. Фактор пропорциональности равен .
3) Сумма потенциальной и кинетической энергии тела постоянна, если они не сообщают энергии некоторому другому телу, Эго положение носит название «принципа сохранения энергии». В нашей задаче отсутствуют силы трения, и значит груз не теряет энергий при скольжении вдоль проволоки. Поэтому сумма его кинетической энергии и потенциальной энергии mg() есть величина постоянная. Получаем уравнение:
где б--неизвестная постоянная Она зависит от , высоты в точке A, которую мы можем сделать произ-вольной подходящим выбором начала координат..
Далее, следует отметить, что груз движется все время в направлении касательной к проволоке. Следовательно, v есть скорость, с которой проходится дуга s, . Подставляя это выражение в (1), находим:
Следовательно, время пути представляется интегралом:
Выражая ds через х, получаем:
Это и есть тот интеграл, минимум которого мы должны найти. Пусть y = f(x) есть уравнение искомой кривой, а у = f(х) + е(х) уравнение соседней кривой. Обозначим время движения вдоль этой последней кривой через t+dt, где
Нужно проинтегрировать член, зависящий от по частям, и принять во внимание, что е исчезает в концах интервала интеграции. После того, как это будет сделано, подынтегральное выражение сведется к произведению двух множителей. Один из них есть е, как и ранее, и является произвольным, Так как весь интеграл должен исчезать, то обращается в нуль другой множитель, что приводит к дифференциальному уравнению:
Возможно решить это уравнение после выполнения указанного дифферен- цирования, но оказывается проще сделать это сразу для уравнения (3). Так как процесс интеграции, который мы сейчас применим, оказывается полезным при решении практических задач, то мы проведем его шаг за шагом.
Прежде всего заметим, что уравнение не содержит х. Поэтому заменяем эквивалентным ему символом . Собирая все члены, содержащие , в левую часть, приводим уравнение к виду:
В левой части уравнения выражение, стоящее перед знаком почти равно выражению под знаком . Если бы они вполне совпадали, то левая часть была бы произведением функции на ее производную и интеграл от левой части равнялся бы квадрату этой функции. Умножаем поэтому обе части уравнения на такой фактор, чтобы указанное условие было выполнено.
Очевидно, что этот множитель есть:
В правой части вместо показателя войдет при этом 2. Произведя эту замену, мы тотчас же можем проинтегрировать уравнение. Получим:
Это уравнение легко разрешить относительно ; получим в результате:
откуда:
Вычисление этого интеграла упрощается, если произвести замену переменного:
при этом интеграл будет равен:
Уравнения (4) и (5) определяют вместе искомую брахистохрону в функции вспомогательной переменной, или «параметра», и. Если дадим этому параметру частное значение, можем найти значение х из уравнения (5), а соответствующее значение y=f(x) из (4). Очевидно, что давая ряд значений и, мы получим ряд точек на брахистохроне. Кривая, которая при этом получится, есть циклоида, изображенная на рисунке. Можем исключить и из уравнений (4) и (5) и получить таким образом кривую в обычной форме:
Но удобнее пользоваться параметрическими уравнениями (4) и (5), вместо этого сложного уравнения.
Задача о брахистохроне с фиксированной абсциссой правого конца
Задача. Среди гладких кривых, начинающихся в точке (а, А)= (0, 0) и оканчивающихся на прямой x = b > 0, найти кривую наискорейшего спуска.
Решение. Время спуска Т(у) на кривой Y=y(x) определяется интегралом
Лагранжевыми кривыми в данном случае являются циклоиды вида
Условие трансверсальности в данном случае принимает вид
Искомая циклоида должна пересекать прямую х=b ортогонально.
Вершина циклоиды необходимо лежит на прямой х=b.
Задача о расстоянии до кривой
Задача. Среди гладких кривых Y = y(x), начинающихся в точке (а, А) и оканчивающихся на кривой L с уравнением Y= Ф(x), найти кривую наименьшей длины, т.е. найти расстояние от (а, А) до кривой L.
Решение. Длина s(y) кривой
Y = y(x), y(a) = A, y[ в(л) ] = Ф[ в, л ]
определяется интегралом
s(y)=.
Лагранжевыми кривыми в данном случае являются, очевидно, прямые
.
Условие трансверсальности
принимает вид:
или
1 + = 0.
Следовательно, искомая прямая Y = y(x) должна пересекать кривую L ортогонально.
Из проведенных рассуждений также следует, что отрезок наименьшей длины, соединяющей кривые и должен быть ортогональным и к и к .
Геодезические линии на кривой поверхности
Рассмотрим точки А и В на поверхности, изображенной на рисунке. Среди всех кривых, которые мы можем провести на этой поверхности из точки А в точку В, существует одна кратчайшая. Она называется геодезической. Эту геодезическую линию мы и будем отыскивать. Один из способов определить эту геодезическую есть определение ее проекции на плоскость ху. Уравнение проекции А'В' вместе с уравнением поверхности вполне определяют геодезическую линией. Пусть уравнение поверхности есть z = Ф(x, y).
Тогда, если х и у получат приращения dx и dy, то z получит приращение:
Следовательно, для элемента длины дуги ds имеем:
Предположим, что точки А и В соединены произвольной кривой, проекция которой на плоскость ху есть у = у(х). Тогда длина кривой равна:
Минимум этого интеграла мы ищем.
В качестве примера рассмотрим случай параболического цилиндра, изображенного на следующем рисунке; его
z = b
Отсюда
т. е. (1) обращается в
Можно получить из этого интеграла дифференциальное уравнение геодезической линии обычным способом, который был уже подробно разъяснен, так что не стоит этого повторять. Это уравнение будет:
Легко решить это уравнение. Решение дает семейство кривых на поверхности, обладающих тем свойством, что если на какой-нибудь из кривых мы отметим пару точек, то расстояние по этой кривой между этими точками меньше расстояния между ними по любой другой кривой. Если мы хотим найти геодезическую линию, проходящую через две заданные точки, то, выбирая координаты этих заданные точки, точек в качестве граничных значений, можем определить постоянные интеграции в общем решении.
Задача о геодезической линии
Задача. Определить линию наименьшей длины, соединяющую точки (a, и (b, по поверхности G(x, y, z) = 0.
Решение. Длина пространственной кривой у = у(х), z = z(x), определяется интегралом
s(y, z)=.
Строим функцию Лагранжа:
F*=
Для определения экстремали получаем систему Эйлера
л = 0
л = 0
которую следует решать с учетом уравнения связи G = 0 и граничных условий.
Задача о криволинейной трапеции с наибольшей площадью
Задача. Среди кривых y, соединяющих точки (a, A) и (b, B), где A, B>0, и имеющих заданную длину l, >+,найти такую, чтобы криволинейная трапеция, ограниченная сверху этой кривой, имела наибольшую площадь. Другими словами, найти максимум функционала
s(y)=
при граничных условиях
y(a)=A, y(b)=B
и изопериметрической связи
=l.
Решение. Вспомогательная функция имеет в данном случае вид
.
Функционал является специальным, ибо не содержит x явно, поэтому вариационное уравнение Эйлера для этого функционала имеет первый интеграл
или
y-.
Для интегрирования последнего уравнения введем вспомогательный параметр t, пологая . Тогда
И поэтому dx= л cos t dt или x= л sin t+
Таким образом,
.
или
.
Экстремалями являются окружности. Постоянные обычным образом определяется из граничных условий и изопериметрической связи.
Задача разрешима, если дуга окружности длины l, соединяющая точки (a, A) и (b, B), не выходит из полосы ax b.
Кривая провеса гибкой нерастяжимой нити
В двух точках и на одном уровне и на расстоянии друг от друга подвешена нить. Требуется найти форму, которую при и т.д.................


Перейти к полному тексту работы



Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.