На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Курсовая Линейные преобразования, Индексные обозначения, Общее определение тензоров

Информация:

Тип работы: Курсовая. Добавлен: 03.09.2012. Страниц: 25. Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%

Описание (план):


Содержание
Введение……………………………………………………………...…………...2
§1. Линейные преобразования …………………………..…….…...……………4
§2. Индексные обозначения………………………………………….…………..5
§3. Общее определение тензоров…………………………………….………….7 §4. Скалярное произведение и метрический тензор ...…………………….8
§5. Действия с тензорами...………...………...………………………………..10
§6. Поднятие и опускание индексов ……………………….…………….……..13
§7. Тензоры в криволинейных координатах……….………………..……...…..13
§8. Примеры вычислений……………………………………………….…….....16
Заключение……………………………………………………...………………...24
Литература……………………………………………………...…………………25


Введение

Возникновение тензорного исчисления было подготовлено в 19 веке развитием теории алгебраических форм, с одной стороны, и теории квадратичных дифференциальных форм - с другой. Исследования в области теории дифференциальных квадратичных форм были непосредственно связаны с дифференциальной геометрией: с геометрией поверхностей (К. Гаусс) и с геометрией многомерного метрического пространства (Б. Риман). Современную форму тензорному исчислению придал итальянский математик Г. Риччи-Курбастро, поэтому тензорное исчисление иногда называется исчислением Риччи. Идеи Риччи-Курбастро первоначально не получили широкого распространения. Внимание к ним возросло после появления (1915-16) общей теории относительности А. Эйнштейна, математическая часть которой целиком основана на тензорном исчислении.
Тензор (от лат. tensus - напряжённый, натянутый), математический термин, появившийся в середине 19 века и с тех пор применяющийся в двух различных смыслах. Наибольшее распространение термин «тензор» получил в современном тензорном исчислении, где это название присваивается особого рода величинам, преобразующимся по особому закону. В механике, особенно в теории упругости, термин «тензор» широко применяется как синоним симметрического аффинора, то есть линейного оператора F, преобразующего вектор х в вектор Fх, и симметрического в том смысле, что скалярное произведение уFх не меняется при перестановке векторов х и у. Здесь термин был первоначально связан с малыми растяжениями (и сжатиями), возникающими при упругой деформации (откуда и название «тензор»), а затем перенесён в другие области механики. Так появились тензор деформации, тензор напряжения, тензор инерции и др.



Создатели тензорного исчисления
Грегорио Риччи-Курбастро
(1853 – 1925)



Туллио Леви-Чивита
(1873 – 1941)


§1. Линейные преобразования


Пусть переменные преобразуются в новые с помощью линейного преобразования



где - константы (все индексы пробегают значения 1, 2, 3 ..., n независимо друг от друга.). Применяя условие о суммировании, можем записать эту систему уравнений в виде

(1.1)

Мы предполагаем, что определитель преобразования не равен нулю. Пусть является алгебраическим допол¬нением элемента в определителе c деленным на вели-чину ( - обратная матрица). Тогда

(1.2)

и мы можем разрешить систему уравнений (1.1) относи¬тельно x

(1.3)

Это показывает, что данное преобразование обратимо.
Кроме того, если мы имеем



т. е. тождественное преобразование.
Если перейти сначала от переменных к по (1.1), а затем от переменных к при помощи преобразования


то мы видим, что переход от первоначальных перемен¬ных к определяется формулой

где

Это преобразование, следовательно, также линейное.
Говорят, что совокупность преобразований образует группу, когда она удовлетворяет следующим условиям: 1) если преобразо¬вания от к и от к принадлежат данной совокупности, то преобразование от к также принадлежат к ней; 2) сово¬купность преобразования содержит тождественное и обратное пре¬образования.
Таким образом, совокупность линейных преобразований обра¬зует группу.


§ 2. Индексные обозначения

Если нам дана совокупность трех независимых переменных, то они могут быть обозначены тремя различными буквами, например x,y,z, но мы считаем более удобным обозначать переменные данной совокупности одной и той же буквой, различая их посредством индексов. Таким образом, мы можем записать три переменные в виде , или в более компактной форме:
(2.1)

Здесь мы написали индекс внизу, но в равной мере мы могли бы использовать вместо этого верхний значок, так что переменные были бы записаны в виде или
(2.2)

Однородная линейная функция переменных обычно записывается в виде
(2.3)

где - константы. Таким образом, коэффициенты линейной формы могут быть записаны в виде

Объекты, которые, подобно и , зависят только от одного индекса, называются объектами первого порядка, а отдельные буквы с индексами и называются элементами или составляющими объекта. Объекты первого порядка, имеющие три составляющие, назовем трехмерными. Имеются два типа объектов перво¬го порядка, а именно те, у которых индекс вверху, и те, у которых индекс внизу; следовательно, все объекты первого порядка принадлежат к одному из двух типов

(2.4)

С другой стороны, однородная квадратичная функ¬ция трех переменных имеет вид

(2.5)

где атп - константы. Мы видим, что коэффициенты квадратичной формы зависят от двух индексов и запи¬сываются так:



Составляющие этого объекта преобразуются следующим образом:

Следовательно, эта формула дает один из способов, с помощью которого может быть преобразован объект первого порядка. Любой объект, составляющие которого преобразуются по этому закону, называется контравариантным вектором. Таким образом, есть контравариантный вектор, если при линейном преобразовании переменных (1.1) его преобразованные составляющие опре¬деляются формулами
(2.6)
Имеется и другой способ преобразования элементов объекта первого порядка. Мы уже видели, что коэффи¬циенты линейной формы переменных x также образуют объект первого порядка. Таким образом, коэффициенты линейной формы являются составляющими объ¬екта . Предположим, что составляющие преобра¬зуются таким образом, что линейная форма остается инвариантной относительно преобразования переменных (1.1). Если мы обозначим через новые составляющие объ¬екта (после преобразования), то получим
,
так как эта линейная форма есть инвариант. Тогда из (1.3) следует

Поскольку немой индекс может быть обозначен любой буквой, то эту систему уравнений можно записать в виде

Если это соотношение справедливо для всех значений переменных , то должно выполняться равенство
(2.7)
Это преобразование, очевидно, отлично от преобразова¬ния, задаваемого формулой (2.6). Объект первого порядка, составляющие которого преобразуются по этому закону, называется ковариантным вектором.
Таким образом, у нас есть два типа тензоров первого порядка, и мы условимся различать их с помощью поло¬жения индекса. Если - тензор контравариантен, мы используем верхний индекс, если же он ковариантен, то нижний. Другими словами, верхний индекс обозна¬чает контравариантностъ, а нижний индекс — ковариант¬ность.
Объекты, которые зависят от двух индексов, называ¬ются объектами второго порядка. Из того, что индексы бывают верхние и нижние, следует, что объекты второго порядка могут быть трех типов:
(2.8)
Легко видеть, что в этом случае каждый объект имеет 9 составляющих.
Аналогично можно получить объекты третьего по¬рядка, которые будут зависеть от трех индексов и могут принадлежать к любому из четырех типов:
(2.9)
Здесь каждый объект содержит или 27 составляющих. Мы можем продолжать это построение и получить объекты любого порядка.
Для законченности этой последовательности мы назо¬вем объект а, не имеющий индексов, объектом нулевого порядка. Если этот объект имеет одно и то же значение и в новых переменных и в старых переменных , то он называется скаляром, или инвариан¬том. Следовательно, если а есть инвариант, то
, (2.10)
где есть значение данного объекта в новых переменных.
Мы взяли число измерений равным трем лишь для определен¬ности. Все, что было сказано выше, применимо также к любому числу ...
**************************************************************


Перейти к полному тексту работы


Скачать работу с онлайн повышением уникальности до 90% по antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru


Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.