На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Диплом первый урок алгебры в 7 классе

Информация:

Тип работы: Диплом. Предмет: Педагогика. Добавлен: 18.10.2012. Страниц: 76. Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%

Описание (план):


Введение
В последние годы в связи с дифференциацией обучения, появлением школ и классов различной профильной направленности, в том числе гуманитарных, технических, экономических, естественно-математических и других, по-новому встают вопросы о целях, содержании, формах и методах обучения математике в школе, о месте и роли каждого школьного предмета.
Ни для кого не секрет, что на уроках математики повышается уровень умственной нагрузки, что заставляет нас задуматься над тем, как не потерять, а поддержать у учащихся интерес к изучаемому материалу на протяжении всего урока. Ведутся поиски новых методов обучения, которые способствовали бы этому. В первую очередь, надо построить урок так, чтобы каждый ученик был вовлечён в работу и, коэффициент всему прочему, эта работа должна его интересовать. Из педагогической практики мы знаем, что игру использовали, в основном, на занятиях математического кружка или во внеклассной работе. Но последнее время на уроках алгебры и геометрии всё чаще используют дидактические игры, как особую форму занятий – игровую форму [3].
В процессе математической деятельности учащихся в арсенале приёмов и методов мышления включаются индукция и дедукция, обобщение и конкретизация, анализ и синтез, классификация и систематизация, абстрагирование, аналогия. Объекты математических умозаключений и правил их конструирования вскрывают механизм логических построений, вырабатывают умение формировать, обосновывать и доказывать суждения, тем самым развивают логическое мышление. Ведущая роль принадлежит математике в формировании алгоритмического мышления, воспитании умения действовать по заданному алгоритму и конструировать новые в ходе решения задач. Развиваются творческая и прикладная стороны мышления [11].
Объект исследования данной работы – процесс обучения алгебре в 7 классе.
Предмет исследования – методика организации учебно-познавательной деятельности учащихся на первых уроках алгебры.
Цель исследования – разработка методики проведения первых уроков алгебры в 7 классе.
Задачи исследования:
1. Изучить учебно-методическую литературу по алгебре 7 класса;
2.Определить методические, психолого – педагогические и дидактические особенности преподавания темы, исследуемой в выпускной квалификационной работе;
3. Обосновать и разработать содержание и методику изучения материала по теме исследования.
Решение поставленных задач потребовало привлечения следующих методов исследования:
1. Анализ психолого-педагогической, математической и методической литературы, школьных программ, учебников и учебных пособий по алгебре 7 класса;
2. Беседы с преподавателями, наблюдение за учащимися 7 класса;
3. Проведение практической проверки разработанной методики.
Практическая значимость исследования определяется тем, что в нём разработаны:
1. Учебные материалы для преподавания первых уроков алгебры в 7 классе;
2. Система задач для указанной темы, в том числе: устных, опорных, стандартных, повышенной трудности, нестандартных, исследовательских;
3. Методические рекомендации для начинающих учителей и студентов педагогических ВУЗов по организации обучения по представленным материалам.
Данная тема является связующим звеном между курсом математики 5-6 классов и курсом алгебры 7 класса. Её изучение рекомендуется использовать для закрепления ранее приобретённых умений выполнять действия с рациональными числами и простейшие преобразования выражений, решать несложные уравнения, использовать аппарат уравнений для решения текстовых задач.
С определением объекта и предмета связана еще одна характеристика - проблема исследования, которая всегда должна быть направлена на определенное совершенствование выявленного предмета исследования.
Для данной дипломной работы проблемы могут быть сформулированы следующим образом:
1. Новый предмет, новое название предмет;
2. Появляется новая терминология и символика;
3. Выявление путей реализации развивающих функций в процессе изучения алгебры в 7 классе;
4. Развитие возможных путей формирования конструктивных умений и навыков учащихся в процессе обучения стереометрии на основе совершенствования содержания учебного материала.
5. Уроки должны быть построены таким образом, чтобы каждый ученик был вовлечён в работу.


Глава I. Теоретические основы первых уроков алгебры в 7 классе

§1. Выражения
1. Числовые выражения
Выражение, состоящее из чисел, знаков действия и скобок, называется числовым выражением.
Число, которое получается в результате выполнения действий в числовом выражении, называют значением выражения.
Решим задачу:
“Туристы в течение двух часов ехали на велосипедах по шоссе со скоростью 16 км/ч, а затем шли лесом ещё 7 км. Какова длина всего маршрута?”
По шоссе туристы проехали 16•2 км, а лесом прошли 7 км. Поэтому длина всего маршрута равна (16•2+7) км, т. е. 39 км.
Решая задачу, мы получили числовое выражение 16?2+7.
Приведём ещё примеры числовых выражений:
43:5; 9,6-3?1,2; 5?(7,4-6,1).
Найдём, например, значение выражения 96-2?62. Для этого мы должны, соблюдая принятый порядок действий, сначала выполнить возведение в степень, затем умножение и, наконец, вычитание:
1) 62=36;
2) 2?36=72;
3) 96-72=24.
Число 24 –значение выражения 96-2?62.
Если в выражении встречается деление на нуль, то это выражение не имеет значения, так как на нуль делить нельзя. О таких выражениях говорят, что они не имеют смысла.
Например, не имеют смысла такие выражения, как 35:(4?2-8),

2. Выражения с переменными
Выражение, содержащее буквенную часть, называется выражением с переменной.
Если в выражении с переменными подставить вместо каждой переменной какое-либо её значение, то получится числовое выражение. Его значение называют значением выражения с переменными при выбранных значениях переменных.
Двигаясь со скоростью 60 км/ч, автомобиль за 2 ч пройдёт 60?2 км, за 3 ч - 60?3 км, за 5ч - 60?5 км. Вообще, за t ч он пройдёт 60t км. Изменяя значение t, мы можем с помощью выражения 60t находить путь, пройденный автомобилем за разные промежутки времени. Для этого достаточно вместо буквы t подставить её значение и выполнить умножение. Букву t в выражении 60t называют переменной, а само выражение 60t – выражением с переменной.
Приведём ещё пример. Пусть длины сторон прямоугольника равны a см и bсм. Тогда его площадь равна ab см2. выражение ab содержит две переменные a и b. Оно показывает, как находить площадь прямоугольника при различных значениях a и b.
Например, a=8 и b=11, то ab=8?11=88;
a=25 и b=4, то ab=25?4=100.
Так, число 88 есть значение выражения ab при a=8 и b=11, число 100 есть значение этого выражения при a=25 и b=4.
Рассмотрим выражение . При любом b?3 можно найти его значение.
Например, если b=13, то = = =1,3.
При b=3 значение этого выражения найти нельзя, так как в этом случае делитель b-3 равен нулю. Говорят, что при b?3 выражение имеет смысл, а при b=3 оно не имеет смысла.
Некоторые выражения имеют смысл при всех значениях переменных. Примерами могут служить выражения
x(x+1), ay-4, .
Выражения с переменными используются для записи формул.
Рассмотрим, например, формулу четного числа. Любое четное число m можно представить в виде произведения числа 2 и целого числа n, т. е.
m=2n.
Если в эту формулу вместо n подставлять целые числа, то значениями переменной m будут четные числа. Формулу m=2n называют формулой четного числа.
Формулу m=2n+1, где n- целое число, называют формулой нечетного числа.
Аналогично формуле четного числа можно записать формулу числа, кратного другому натуральному числу.
Например, формула числа, кратного 3, запишется так: m=3n, где n-целое число.

3. Сравнение значений выражений
Для любых двух числовых выражений можно установить, равны их значения или нет, и если они не равны, то какое из них больше и какое меньше.
Результат сравнения значений выражений можно записать в виде равенства или неравенства.
Например, результат сравнения частных 1800:48 и 2100:60 можно записать в виде неравенства:
1800:48 > 2100:60.
Если выражения содержат переменные, то для разных значений переменных результат сравнения значений этих выражений может оказаться различным.
Решим задачу: “Пшеницей засеяли два опытных участка площадью 48 и 60 га. С первого участка собрали 180 ц пшеницы, а со второго 2100 ц. На каком участке урожайность выше?”
Урожайность выражается частным от деления массы пшеницы, собранной с участка, на площадь участка. Чтобы узнать, на каком участке урожайность выше, надо сравнить значения выражений 1800:48 и 2100:60. Так как 1800:48=37,5; 2100:60=35, то урожайность выше на первом участке.
Сравним, например, значения выражений 2a и a+4 при a=0, 4, 10.
Если a=0,то 2a=0 и a+4=4, т. е. при a=0 верно неравенство 2a< a+4.
Если a=4, то 2a=8 и a+4=8, т. е. при a=4 верно равенство 2a=a+4.
Если a=10, то 2a=20 и a+4=14, т. е. при a=10 верно неравенство 2a>a+4.
Иногда требуется установить, между какими числами заключено значение выражения.
Рассмотрим пример. Пусть при взвешивании металлического шарика установили, что его масса больше 86 г, но меньше 87г. Обозначим массу шарика (в граммах) буквой m. Тогда результат взвешивания можно записать так:
m>86 и m<87
или иначе:
86Два неравенства 8686Неравенство 86“m больше 86 и меньше 87”.
Рассмотрим ещё один пример. Число дней в месяце меньше 31 или равно 31. Обозначим число дней в месяце буквой n. Тогда
n<31 или n=31.
Вместо этой записи обычно пишут одно неравенство
n?31
(читают:”n меньше или равно 31”).
Число дней в месяце больше или равно 28:
n>28 или n=28.
В таких случаях также пишут короче
n?28
(читают:”n больше или равно 28”).
Так как n?28, то 28?n.
Два неравенства
28?n и n?31
можно записать в виде двойного неравенства
28?n?31.
Неравенства, составленные с помощью знаков > и <, называют строгими неравенствами, а неравенства, составленные с помощью знаков ? и ?, называют нестрогими.

§2. Преобразование выражений
1. Свойства действий над числами
Основные свойства сложения и умножения чисел.
Переместительное свойство сложения: от перестановки слагаемых значение суммы не меняется. Для любых чисел a и b верно равенство
a+b=b+a
Сочетательное свойство сложения: чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего. Для любых чисел a, b и c верно равенство
(a+b)+c=a+(b+c)
Переместительное свойство умножения: от перестановки множителей значение произведения не изменяется. Для любых чисел а, b и c верно равенство
ab=ba
Сочетательное свойство умножения: чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего. Для любых чисел а, b и c верно равенство
(ab)c=a(bc)
Распределительное свойство: чтобы умножить число на сумму, можно умножить это число на каждое слагаемое и сложить полученные результаты. Для любых чисел a, b и c верно равенство
a(b+c)=ab+ac.
Из переместительного и сочетательного свойств сложения следует: в любой сумме можно как угодно переставлять слагаемые и произвольным образом объединять их в группы.
Пример 1 Вычислим сумму 1,23+13,5+4,27.
Для этого удобно объединить первое слагаемое с третьим. Получим:
1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.
Из переместительного и сочетательного свойств умножения следует: в любом произведении можно как угодно переставлять множители и произвольным образом объединять их в группы.
Пример 2 Найдём значение произведения 1,8•0,25•64•0,5.
Объединив первый множитель с четвёртым, а второй с третьим, будем иметь:
1,8•0,25•64•0,5=(1,8•0,5)•(0,25•64)=0,9•16=14,4.
Распределительное свойство справедливо и в том случае, когда число умножается на сумму трёх и более слагаемых.
Например, для любых чисел a, b, c и d верно равенство
a(b+c+d)=ab+ac+ad.
Мы знаем, что вычитание можно заменить сложением, прибавив к уменьшаемому число, противоположное вычитаемому:
a-b=a+(-b).
Это позволяет числовое выражение вида a-b считать суммой чисел a и -b, числовое выражение вида a+b-c-d считать суммой чисел a, b, -c, -d и т. п. Рассмотренные свойства действий справедливы и для таких сумм.
Пример 3 Найдём значение выражения 3,27-6,5-2,5+1,73.
Это выражение является суммой чисел 3,27, -6,5, -2,5 и 1,73. Применив свойства сложения, получим: 3,27-6,5-2,5+1,73=(3,27+1,73)+(-6,5-2,5)=5+(-9) =-4.
Пример 4 Вычислим произведение 36•( ).
Множитель можно рассматривать как сумму чисел и - . Используя распределительное свойство умножения, получим: 36( )=36• -36• =9-10=-1.

2. Тождества
Определение. Два выражения, соответственные значения которых равны при любых значениях переменных, называются тождественно равными.
Определение. Равенство, верное при любых значениях переменных, называется тождеством.
Найдём значения выражений 3(x+y) и 3x+3y при x=5, y=4:
3(x+y)=3(5+4)=3•9=27,
3x+3y=3•5+3•4=15+12=27.
Мы получили один и тот же результат. Из распределительного свойства следует, что вообще при любых значениях переменных соответственные значения выражений 3(x+y) и 3x+3y равны.
Рассмотрим теперь выражения 2x+y и 2xy. При x=1, y=2 они принимают равные значения:
2x+y=2•1+2=4;
2xy=2•1•2=4.
Однако можно указать такие значения x и y, при которых значения этих выражений не равны. Например, если x=3, y=4, то
2x+y=2•3+4=10,
2xy=2•3•4=24.
Выражения 3(x+y) и 3x+3y являются тождественно равными, а выражения 2x+y и 2xy не являются тождественно равными.
Равенство 3(x+y)=x+3y, верное при любых значениях x и y, является тождеством.
Тождествами считают и верные числовые равенства.
Так, тождествами являются равенства, выражающие основные свойства действий над числами:
a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),
ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.
Можно привести и другие примеры тождеств:
a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),
a•1=a, a•(-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.

3. Тождественные преобразования выражений
Замену одного выражения другим, тождественно равным ему выражением называют тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения.
Тождественные преобразования выражений с переменными выполняются на основе свойств действий над числами.
Чтобы найти значение выражения xy-xz при заданных значениях x, y, z, надо выполнить три действия. Например, при x=2,3, y=0,8, z=0,2 получаем:
xy-xz=2,3•0,8-2,3•0,2=1,84-0,46=1,38.
Этот результат можно получить, выполнив лишь два действия, если воспользоваться выражением x(y-z), тождественно равным выражению xy-xz:
xy-xz=2,3(0,8-0,2)=2,3•0,6=1,38.
Мы упростили вычисления, заменив выражение xy-xz тождественно равным выражением x(y-z).
Тождественные преобразования выражений широко применяются при вычислении значений выражений и решении других задач. Некоторые тождественные преобразования уже приходилось выполнять, например, приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок. Напомним правила выполнения этих преобразований:
чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть;
если перед скобками стоит знак “плюс”, то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого, заключённого в скобки;
если перед скобками стоит знак “минус”, то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого, заключённого в скобки.
Пример 1 Приведём подобные слагаемые в сумме 5x+2x-3x.
Воспользуемся правилом приведения подобных слагаемых:
5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.
Это преобразование основано на распределительном свойстве умножения.
Пример 2 Раскроем скобки в выражении 2a+(b-3c).
Применив правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак “плюс”:
2a+(b-3c)=2a+b-3c.
Проведённое преобразование основано на сочетательном свойстве сложения.
Пример 3 Раскроем скобки в выражении a-(4b-c).
Воспользуемся правилом раскрытия скобок, перед которыми стоит знак “минус”:
a-(4b-c)=a-4b+c.
Выполненное преобразование основано на распределительном свойстве умножения и сочетательном свойстве сложения. Покажем это. Представим в данном выражении второе слагаемое –(4b-c) в виде произведения (-1)(4b-c):
a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).
Применив указанные свойства действий, получим:
a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.


Глава II. Методические рекомендации по проведению первых уроков алгебры в 7 классе
§1. Управление процессом обучения на первых уроках
Учебник: “Алгебра 7”. Авторы: Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б.
5 ч в неделю, 12 часов.

№ урока Содержание учебного материала Кол-во часов
1-3
4-5
6-7
8-9
10-11
12
Числовые выражения
Выражения с переменными
Сравнения значений выражений
Свойства действий над числами
Тождественные преобразования выражений. Тождества
Контрольная работа № 1
3
2
2
3
2
1


Структура учебника «Алгебра 7», авторы: Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б.: главы делятся на параграфы, параграфы – на пункты. В каждом пункте содержатся теоретический материал и соответствующие упражнения. В конце пунктов помещены упражнения для повторения. Каждая глава завершается разделом «Дополнительные упражнения к главе». В конце учебника даются задачи повышенной трудности, а также основные сведения из предшествующих курсов, в данном случае из курса математики VI класса.
Более систематично представлено изучение тождественных преобразований. В первой теме VII класса «Выражения, тождества, уравнения», которая играет роль связующего звена между курсом математики V – VI классов и курсом алгебры VII – IX классов, обобщается и углубляется алгебраический материал, изученный в V и VI классах. На базе известных учащимся сведений о буквенных выражениях вводятся понятия «переменная», «выражения с переменными», «тождественное равенство выражений с переменными». Подчёркивается, что основой тождественных преобразований являются свойства действий над числами, и с этих позиций рассматриваются те преобразования буквенных выражений, с которыми учащиеся уже встречались в V – VI классах. При изучении соответствующего материала учащиеся, с одной стороны, поднимаются на новую ступень в овладении теорией и, с другой стороны, получают возможность восстановить те умения и навыки преобразований, которыми они овладели в младших классах [22].
Понятие тождества вводится в начале курса VII класса. Тождество определяется как равенство, верное при любых значениях переменных. Такое определение естественно и целесообразно в той части курса, где изучаются преобразования целых выражений. Позже, в VII классе, при переходе к преобразованиям дробных выражений понятие тождества расширяется. Учащиеся должны понимать, что сущность выполняемых ими преобразований состоит в последовательном переходе от одного выражения к другому, тождественно равному ему.
Система упражнений построена с учётом различных сторон учебного процесса. Упражнения, содержащиеся в пункте, направлены на организацию усвоения теоретического материала и выработку основных умений и навыков. Среди них имеются упражнения, номера которых выделены светлым курсивом. Эти упражнения носят дублирующий характер. Их можно использовать для домашней работы учащихся. Упражнения позволяют организовать систематическое повторение наиболее важных вопросов курса, поддерживать и развивать практические умения и навыки, подготавливать учащихся к изучению нового материала. Дополнительные упражнения к главам представляют собой некоторый резерв задач, которые в зависимости от конкретных условий могут использовать, по усмотрению учителя, в большей или меньшей степени. Среди них содержатся упражнения, уровень сложности которых несколько выше, чем основных. Такие упражнения предназначены для сильных учащихся [17].
В основном, система упражнений в учебнике достаточно разнообразна, она в большей мере ориентирована теперь на выработку практических умений и навыков. Это проявляется в увеличении числа простых тренировочных упражнений.
Изложение материала компактно, в большей мере курс ориентирован на формирование практических умений и навыков.


§2. Психолого-педагогический аспект
11 – 15 лет – подростковый возраст. Это время приходится на VII класс, если иметь в виду одиннадцатилетнюю общеобразовательную школу. Подростковый возраст – трудный период полового созревания и психологического взросления. В самосознании происходят значительные изменения: появляется чувство взрослости, ощущение себя взрослым человеком; нон становится центральным новообразованием младшего подросткового возраста. Возникает страстное желание если не быть, то хотя бы казаться и считаться взрослым. Отстаивая свои новые права, подросток ограждает многие сферы своей жизни от контроля родителей и часто идёт на конфликты с ними. У подростков складываются разнообразные образы “Я”, первоначально изменчивые, подверженные внешним влиянием.
В подростковом возрасте продолжает развиваться теоретическое рефлексивное мышление. Приобретённые в младшем школьном возрасте операции становятся формально-логическими операциями. Подросток, абстрагируясь от конкретного, наглядного материала, рассуждает в чисто словесном плане. На основе общих посылок он строит гипотезы и проверяет их, то есть рассуждает гипотетико – дедуктивно.
Подросток умеет оперировать гипотезами, решая интеллектуальные задачи. Кроме того, он способен на системный поиск решений. Сталкиваясь с новой задачей, он старается отыскать разные возможные подходы к её решению, проверяя логическую эффективность каждого из них. Им находятся способы применения абстрактных правил для решения целого класса задач. Эти умения развиваются в процессе школьного обучения, при овладения знаковыми системами. Например, решая задачу: “Найти число, которое равняется удвоенному самому себе минус 30”, подростки, используя сложную операцию – алгебраическое уравнение ( ). Быстро находят ответ ( ). В то же время младшие школьники пытаются решить эту задачу подбором – умножают и вычитают разные числа, пока не придут к правильному результату [13].
Подросток приобретает взрослую логику мышления. Происходит дальнейшая интеллектуализация восприятия к памяти. Этот процесс зависит от усложняющегося в средних класса обучения. Для развития памяти важно то, что усложнение и значительное увеличение объёма изучаемого материала приводит к окончательному отказу от дословного заучивания с помощью повторений.
С общим интеллектуальным развитием связано и развитие воображения. Сближение воображения с теоретическим мышлением даёт импульс к творчеству.
Одна из ярких особенностей подросткового возраста – личностная нестабильность. Она проявляется прежде всего в частых сменах настроения, аффективной “взрывчатости”, т. е. эмоциональной лабильности, связанной с физиологическими перестройками в организме [7].
В подростковом возрасте активно идёт процесс познавательного развития. В это время оно происходит в основном в формах, мало заметных как для самого ребёнка, так и для внешнего наблюдателя. Подростки уже могут мыслить логически, заниматься теоретическими рассуждениями и самоанализом. Они относительно свободно размышляют на нравственные, политические и другие темы, практически не доступные интеллекту младшего школьника.
В подростковом возрасте активно совершается самоконтроль деятельности, являясь вначале контролем по результату или заданному образцу, а затем – процессуальным контролем, т. е. способностью выбирать и избирательно контролировать любой момент или шаг в деятельности [16].
Установки (направленность) на полноту, прочность, точность запоминания материала первых уроков алгебры вызывают определённые формы активной мыслительной деятельности, что приводит соответственно к полному, точному, прочному запоминанию. Влияние этих установок на учащихся в возрасте 11-12 лет усиливается по мере овладения приёмами мыслительной деятельности.
Одни учителя систематически опрашивают учащихся по пройденному материалу, другие чрезмерно часто ограничиваются опросом только по теме, изучаемой в данный момент. Естественно, в первой ситуации у учащихся возникают установки на длительное, во второй – на кратковременное запоминание изучаемого материала. Эти установки в первой ситуации вызывают у учащихся данного возраста такие формы активной мыслительной деятельности, которые способствуют длительному прочному запоминанию материала. А далее его сохранение в памяти обеспечивается ещё и повторением. Наоборот, во второй ситуации материал и запоминается ненадолго (по той же закономерности), и реже повторяется в дальнейшем, что приводит к его быстрому забыванию [12].
Материал относительно большого объёма усваивается неохотно.
Отдельные параграфы школьных учебников математики содержат материал чрезмерно большого объёма. В результате учащимся часто предлагают прочитать к уроку по 1,5-2 и более страниц из учебника. Такие задания многие учащиеся не выполняют. Они либо совсем не читают материал этих параграфов, либо просматривают одни только формировки. Чтобы исключить это негативное явление, надо каждый раз указывать, какой материал из данного параграфа учебника следует изучить, а какой можно опустить или прочитать как дополнительный.
На прочность усвоения учебного материала большое влияние оказывают мотивы деятельности учащихся, их интерес к изучаемой теме, к предмету, осознание значимости, важности данного материала, устойчивые интересы и потребности, положительные эмоции, возникающие при успешном усвоении материала, отрицательные эмоции, вызванные переживаниями, чувством стыда или досады на себя из-за невнимательности, временных неудач при выполнении посильного задания.
Отсюда следует хорошо известная учителям рекомендация о необходимости развития у школьников интереса к математике, тем более на первых уроках алгебры, усиления у них чувства ответственности и т. д. [4].
Определённый уровень понимания материала – необходимое условие запоминания.
Эта закономерность соответствует дидактическому принципу сознательности и хорошо известна учителям, но на практике соблюдается далеко не всегда. Подтверждением этому служит такой широко распространённый вид фронтального опроса, при котором учащиеся воспроизводят одно за другим ряд определений и теорем, не сопровождая их примерами применениями. Вне применения – значит без должного понимания. В результате многие учащиеся прибегают к зубрёжке и, несмотря на многократные повторения на уроках и тех же формулировок, не запоминают их. Выходит, что подобный фронтальный опрос, проводимый для проверки знаний и с целью повторения, приносит мало пользы.
В то же время необходимо проверять знание формулировок, повторять их (например, определения, изученные на первых уроках: числовое выражение, значение выражения, выражение, которое не имеет смысла). Как же выйти из этого противоречия?
Любые вопросы типа “Что называется…? Как формулируется такая-то теорема?” легко заменить соответствующими упражнениями. Выполняя их, учащиеся и формулируют, и применяют определения, а значит, лучше понимают их и легче запоминают.
Если материал плохо понят, то он усваивается формально, запоминается неточно, искажения не замечаются и часто возникает иллюзия запоминания и усвоения.
Учащимся в возрасте 11-12 лет часто только кажется, что материал усвоен, а воспроизвести его они не могут или в лучшем случае воспроизводят его буквально, безжалостно пропуская и искажая его отдельные части.
Отрицательные явления, уменьшаются, если учащийся приучен к самоконтролю и в прошлом неоднократно сталкивался со случаями расхождения между кажущимся и фактически достигнутым уровнем понимания и запоминания. Следовательно, полезно создавать на уроках такие ситуации, когда учащиеся затрудняются ответить на вопрос, кажущийся им очень простым. Такие вопросы заинтересовывают учащихся, способствуют развитию самоконтроля (например, с какими числами мы познакомились в 5-6 классе, приведите примеры; юмор подобных математических представлений кроется в том, что ошибка замаскирована и не сразу бросается в глаза [4].
Докажем, что 4=-4. На доске неоспоримое равенство:
16=16
(4)2=(-4)2
Представим числа 4 и -4 в виде суммы, т. е.
(1+3)2=(-6+2)2
Дальнейший ход “комедии” состоит в преобразованиях. Видим, что показатель степени один и тот же и выражения равны, следовательно, делаем вывод, что
1+3=-6+2,
но выполняя вычисления, получаем
4=-4.
В чём ошибка?
Понимание затрудняется, если установка на полноту и точность запоминания появляется до осознания материала в целом. В остальных случаях установка на запоминание способствует лучшему пониманию.
В психологии различают произвольное и непроизвольное запоминание. Запоминание называется произвольным, если наши усилия направляются намеренно поставленной задачей запомнить данный материал. Когда такая задача не ставится и материал запечатлевается в памяти попутно, в результате какой-то другой деятельности, говорят о непроизвольном запоминании.
В учебном процессе важную роль играют оба вида запоминания. Л. В. Занков, Д. Н. Узнадзе и другие советские психологи выявили условия эффективности произвольного запоминания. В психологии установлены также и другие условия эффективности произвольного запоминания: 1) активная мыслительная деятельность над материалом (но не многократное, «механическое» повторение – «зубрёжка»); 2) усилия, направленные на понимание.
(Основная закономерность памяти). Если соблюдается 2 условия: учащийся выполняет над материалом активную мыслительную деятельность и эта деятельность способствует углубленному пониманию материала, то происходит успешное запоминание материала (произвольное или непроизвольное.)
Известные советские методисты В. М. Брадис, В. В. Репьев и др. постоянно подчёркивали, что хорошее усвоение материала обеспечивается не многократным и неизменным повторением, заучиванием, а активной работой над материалом. Закономерности лишь помогают нам убедиться в справедливости рекомендаций традиционной методики математики, отчётливее понять необходимость рекомендаций. В. М. Брадис многократно подчёркивал необходимость установления взаимосвязей между отдельными вопросами изученной темы и её связей с другими разделами воспроизведению материала учебника, советуя спрашивать доказательства по изменённому чертежу, с другими буквенными обозначениями и т. д.. Указывал на желательность формировать умения составлять план изучаемого материала, выявлять его основную идею. Выделял основной способ изучения нового материала – учит их применению к решению задач. Советовал учить умению приводить примеры и контрпримеры к изучаемым понятиям [7].
В. В. Репьев советовал перед изучением новой темы воспроизводить в памяти тот материал, на который придётся опираться (в данном случае материал, изученный в 6 классе), привлекать учащихся к самостоятельному «переоткрытию» новых знаний. Подчёркивал необходимость добиваться точного запоминания основных фактов при отчётливом их понимании.
Таким образом, в методике математики, психологии, дидактике выработано множество приёмов мыслительной деятельности (сравнение, классификация и др.). Применение каждого из этих приёмов в процессе изучения материала обязательно приводит к его пониманию. Следовательно, при этом выполняются оба условия основной закономерности памяти (II. 7.) и материал хорошо усваивается. Отсюда приходим к целому ряду следствий из этой закономерности:
(Закономерность Смирнова – Зинченко.) Учащийся 7 класса может запомнить непроизвольно, если выполняет над ним активную мыслительную деятельность и она направлена на понимание этого материала.
Эта закономерность имеет большое значение в деле совершенствования методов и форм обучения. Например, вместо задания: “Изучить такой-то параграф учебника” – учитель предлагает выполнить определённую деятельность над заданным материалом: составить план его, сравнить с ранее изученным и т. д. Подобные задания учащиеся могут выполнить только путём активной мыслительной деятельности, причём она направлена на понимание материала. Значит, материал запоминается непроизвольно.
Когда проверяется домашнее задание, учащиеся убеждаются в том, что учитель поощряет также твёрдое знание основных фактов. Отсюда у многих учащихся возникает направленность на прочное запоминание. И тогда деятельность учащихся над материалом приводит к его произвольному запоминанию [4].
Очевидно, учителю нет надобности уточнять, каким образом учащиеся запомнили материал: произвольно или непроизвольно.
Применение любого приёма мыслительной деятельности в процессе изучения материала приводит к его эффективному усвоению.
Опираясь на эту закономерность и лучшие традиции методики обучения математике, учитель может любое задание по изучению нового материала сопровождать конкретным указанием, какую деятельность выполнить над этим материалом: сравнить, классифицировать, составить план и т. п.
(Закономерность Эббингуса.) Забывание более интенсивно протекает сразу после изучения материала (в первые часы, минуты и даже секунды), а затем оно замедляется.
Повторение путём разнообразной деятельности, сводящейся хотя бы к некоторой реконструкции материала, эффективнее, чем его повторение в неизменном виде.
Под реконструкцией понимают любое эквивалентное изменение материала.
Рассредоточенное во времени повторение эффективнее, чем концентрированное.
В школьной практике распространены два вида приёма организации урока: 1) урок начинается с проверки домашнего задания, которое затягивается иногда минут на 10 -15 и более; затем изучается новая тема; 2) новая тема излагается по возможности в начале урока; домашнее задание проверяется в процессе закрепления новой темы [9].
Из закономерности Эббингауса следует, что второй приём предпочтительнее, так как он позволяет повторять материал сразу вслед за моментом самого интенсивного забывания. Мы знаем, что материал наиболее интенсивно забывается даже в первые минуты после его изучения. Но он тут же восстанавливается в памяти учащихся на протяжении последующей части урока. А далее опять-таки, по закономерности Эббингауса, темп забывания замедляется. Следовательно, при работе вторым приёмом изученный на уроке материал должен сохраняться в памяти учащихся лучше, чем при работе первым приёмом [13].
Очевидно, в зависимости от конкретной ситуации более предпочтительным может оказаться первый приём, если, например, проверка домашнего задания проходит интенсивно и её необходимо увязать с новой темой.
В психологии различают три вида внимания.
Внимание называют произвольным, если оно поддерживается под влиянием сознательно поставленной цели и волевых усилий, послепроизвольным, когда влияние сознательно поставленной цели сохраняется, а волевые усилия отсутствуют, и непроизвольным, если внимание поддерживается без сознательно поставленной цели и без волевых усилий [16].
Когда ученик любого возраста приступает к контрольной работе, то ставит перед собой цель (быть сосредоточенным) и усилием воли побуждает себя к работе. Значит, в соответствии с приведённым определением ученик начинает контрольную работу на основе произвольного внимания.
Если ученик знает способы решения задач, данных на контрольной работе, то сознательно поставленная цель (быть сосредоточенным) сохраняется, а волевые усилия он перестаёт замечать. Следовательно, на протяжении всей остальной контрольной работы ученик действует на основе послепроизвольного внимания.
Если на уроке демонстрируется необычная модель (картина), то в момент её появления к ней “приковывается” внимание всех учащихся. Внимательными, хотя бы на некоторое время, становятся даже те учащиеся, которые раньше не утруждали себя работой. Они-то, конечно, не ставят перед собой цель (быть сосредоточенными) и не прилагают для этого волевых усилий. Следовательно, какое-то время они слушают и наблюдают за действиями учителя на основе непроизвольного внимания [12].
Учителю не стоит, очевидно, каждый раз вникать, на основе какого из видов внимания работают учащиеся. Однако ему желательно знать, на какой из этих видов лучше всего ориентироваться при выборе методов обучения. Значит, на уроках алгебры нет смысла рассчитывать на непроизвольное внимание учащихся. Изучение математики требует активной мыслительной деятельности, а значит, и сознательно поставленной цели, т. е. не может проходить на основе непроизвольного внимания.
Деятельность, осуществляемая на основе произвольного внимания, требует к себе значительных волевых усилий и быстрее утомляет человека, чем деятельность, выполняемая на основе послепроизвольного внимания.
Трудно на первых уроках алгебры добиться того, чтобы слабоуспевающие учащиеся работали сосредоточенно, чтобы они путём волевых усилий побуждали себя быть внимательными. По данной закономерности произвольное внимание требует значительных волевых усилий и быстро утомляет человека. А слабоуспевающие учащиеся к тому же не проявляют сильной воли к учёбе. Отсюда ясно, почему эти учащиеся не стараются на уроках работать сосредоточенно [9].
Из всего сказанного следует вывод: побуждая к длительной сосредоточенной работе весь класс, а не только отдельных учащихся, учителю не стоит ориентироваться на произвольное или на непроизвольное внимание. Остаётся преимущественно один вид внимания – послепроизвольное. Именно этот вид внимания является основным в учебной деятельности учащихся на уроках математики. Отсюда ясно, насколько важно учителю умело управлять вниманием учащихся. Условия, позволяющие осуществлять такое управление, перечисляются в последующих закономерностях.
Внимание к деятельности может возникнуть и усилиться под влиянием одного или нескольких из следующих условий: а) относительной интенсивности раздражителей; б) их относительной новизны; в) неожиданности их появления; г) контраста между ними; д) ожидания определённых событий или впечатлений; е) при наличии положительных или отрицательных эмоций [7].
Главное в работе учителя – умение поддерживать внимание учащихся, особенно на первых уроках, длительное время. Перечислим соответствующие условия.
Необходимыми условиями длительного сохранения послепроизвольного внимания являются посильность выполняемой деятельности, наличие соответствующих знаний, умений и навыков.
Достаточными условиями длительного поддержания внимания являются одно или несколько из следующих условий: а) выполняемая деятельность значима для человека; б) у него имеется чувство ответственности за её успешное завершение; в) она совпадает с направлением постоянных интересов человека либо становится для него интересной хотя бы только в данный момент.
Внимание к деятельности усиливается, если выполняется хотя бы одно из условий: а) имеют место активные умственные усилия; б) углубляется понимание соответствующего материала; в) возрастает уверенность; г) возникают новые идеи, открытия.
Известно также, что ученики в возрасте 11-12 лет могут быть невнимательными даже при наличии у них необходимых знаний и умений.
Нередко мы встречаемся с такими случаями, когда внимание учащихся на уроке начинает ослабевать. Ясно, что учителю необходимо принимать меры. В этом случае могут быть полезны следующие условия:
Внимание к деятельности ослабевается, если: а) задание непосильно; б) теряется уверенность; в) работа совершается в чрезмерно быстром или медленном темпе; г) она сводится к однообразным операциям; ж) исчезает интерес к ней; е) выполняемая работа слишком проста [16].
Таким образом, на уроке учитель не должен забывать о психологических и возрастных особенностях детей, должен заинтересовывать их в деятельности, делать обучение не только познавательным, но и интересным, увлекательным и занимательным.

§3. Методика изучения числовых выражений
Особое внимание нужно уделить самым первым урокам алгебры, на которых даются такие понятия, как: числовое выражение; значение выражения; выражение, не имеющее значения; переменная; выражение с переменной; значение выражения с переменной; строгое, нестрогое неравенство. Это важно, так как на этих понятиях строится дальнейший теоретический курс алгебры. Поэтому в данной работе предлагаются разработки самых первых уроков алгебры
Методические рекомендации: в I-VI классах учащиеся познакомились с действиями с рациональными числами. В VII классе приобретённые ими умения получают дальнейшее развитие в связи с нахождением значений выражений с переменными, составлением таблиц значений функций, выполнением тождественных преобразований. Одна из задач данного пункта состоит в том, чтобы напомнить учащимся основные правила действий с дробями. В этом отношении особенно важны упражнения № 1, 2, 4. Они помогут учителю выяснить, есть ли в классе учащиеся, недостаточно прочно усвоившие основные действия с дробями. Если такие ученики найдутся, то учителю рекомендуется составить для них систему индивидуальных заданий, чтобы своевременно ликвидировать пробелы в их знаниях.
Новым для учащихся является понятие выражения, не имеющего смысла. На его основе в следующем пункте будет введено понятие области определения выражения с переменными.
В дополнительные упражнения к данному пункту включены задания вычислительного характера, причём более сложные, чем в основном разделе, а также задачи на составление числовых выражений.
Материал пункта рассчитан на три урока. Если на первом выяснится, что учащиеся свободно справляются с основными заданиями, то на втором уроке можно использовать некоторые из дополнительных упражнений. Если же на первом уроке обнаружатся значительные пробелы в знаниях учащихся, то на втором уроке целесообразно будет рассмотреть несколько упражнений, составленных самим учителем по аналогии с теми, которые имеются в основном разделе [6].

Урок 1
Попробуем рассмотреть урок алгебры в 7 классе на тему “Повторение материала 6-го класса”. Повторение полностью построено на базе знаний материала 6-го класса, служит подготовительной работой к восприятию учащимися нового материала 7-го класса и проводится в игровой форме. Необходимо помнить, что в этой параллели учащиеся впервые встречаются с новым предметом “Алгебра”.
Цель повторения: систематизировать и обобщить сведения о числовых выражениях полученных в курсе математики 5-6 классов; сформировать понятия алгебраического выражения, систематизировать сведения о преобразованиях алгебраических выражений, приобретённые учащимися при изучении курса математики 5-6 классов.
1) Урок начинается с домашнего задания, которое учащиеся получают заранее. Класс делится на две команды. Каждая команда должна подготовить сообщение, историческую справку по любой теме: “Алгебра”, “Числовые выражения” и т. д. Это сообщение и будет домашним заданием для каждой команды. Та команда, которая наиболее интересно расскажет своё сообщение на уроке, получит наибольшее количество баллов.
2) Первая команда задумывает (и записывает в тетради) любое число от 1 до 15. Вторая команда, задавая вопросы, на которые можно ответить только “да” или “нет”, пытается угадать задуманное первой командой число. Далее команды меняются. Теперь вторая команда задумывает число, а первая пытается угадать его, задавая наводящие вопросы. Чем меньше вопросов задала команда при отгадывании числа, тем выше ей ставится бал.
3) На доске учитель записывает две обыкновенные дроби. Команды по очереди задают друг другу вопросы, связанные с арифметическими действиями между этими дробями, и самостоятельно проверяют правильность решения. Учитель выступает в роли наблюдателя. Например, на доске записываются дроби и . Вопросы могут быть следующие:
• найдите сумму этих дробей;
• найдите разность этих дробей;
• какая из этих дробей больше?
• Поменяйте местами числитель и знаменатель каждой дроби. А теперь какая дробь больше?
Количество вопросов и их сложность зависят полностью от эрудиции и подготовленности учащихся.
Во время игры все увлечены, царит дух соревнования, появляется стремление победить, а для этого надо хорошо ориентироваться в море математических знаний, надо хорошо знать материал прошлого года.
После такого игрового повторения можно смело переходить к новым темам [3].

Урок 2

Цели урока:
а) образовательная: систематизировать и обобщить сведения о числовых выражениях, полученные учащимися в 5-6 классах, уметь находить значения числовых выражений, составленных из рациональных чисел с помощью знаков сложения, вычитания, умножения и деления. Знать, что выражение, содержащее действие деления на нуль, не имеет смысла. Ввести понятие выражения, значения выражения; повторить правила сложения, умножения, деления десятичных и обыкновенных дробей; вспомнить понятие процента числа и закрепить в ходе выполнения упражнений; повторить правила действий с отрицательными и положительными числами;
б) развивающая: развитие познавательного интереса учащихся к изучению алгебры, развить математические способности, логическое мышление, устной и письменной речи учащихся;
в) воспитывающая: воспитать чувство ответственности за свой труд, коллективизма, организованность, дисциплинированность учащихся.
Тип урока: Урок усвоения новых знаний
Ход урока:
I. Организационный момент.
Приветствие. Объявление темы урока. Постановка образовательной цели.
II. Устная работа.
1. С какими числами мы познакомились в 5-6 классах? (Приведите примеры).
2. Какие арифметические действия мы умеем выполнять с этими числами? (Примеры).
3. Повторить правила сложения, вычитания, умножения и деления десятичных и обыкновенных дробей, записывая на доске простые примеры:

4. Найдите значение выражения:
а) ; б) в) г)
д) е)
Какие правила помогали вам в вычислениях?
5. На основе приведённого примера объясните порядок действий: 1,1+7:(3,7-1,2).
6. С какими свойствами действий нам пришлось встречаться в курсе математики 5-6 класса?
7. Какие из перечисленных свойств мы часто использовали при решении задач и уравнений?
8. Представьте десятичные дроби в виде обыкновенных: 0,2; 0,36; -0,425; 0,5; 0,75.
9.Представьте обыкновенные дроби в виде десятичных:
10. Что называется процентом числа? Какую часть числа составляют 5%;10%; 20%; 25%; 50%; 75% этого числа?
11. Найдите 20% числа 30. Как найти a % некоторого числа?
Самостоятельная работа.
В начале урока раздаются карточки с разноуровневыми заданиями. После выполнения устной работы ответы проверяются.


В I В II В III

III. Изучение нового материала.
С понятием числового выражения и значения числового выражения вы уже встречались в 5 и 6 классах.
Разобрать пункт 1. Числовые выражения, с. 3:
Рассмотрим задачи (по записанным на доске кратким условиям) и решим их, составляя выражения.
Задачи.
1. Для библиотеки купили в январе 25 книг по 75 р. Каждая. В феврале купили ещё 25 книг. За все книги заплатили 3900 р. Сколько стоит одна книга, купленная в феврале?
2. Вася принёс в класс 12 яблок, чтобы угостить приятелей. А его одноклассницы сёстры-близнецы Валя и Вера принесли на 4 яблока больше. Яблоки сложили в кучу и когда все ученики класса (вместе с Валей, Васей и Верой) взяли по одному яблоку, яблок не осталось. Сколько учеников в классе?
3. Расстояние от города до деревни 24 км. За сколько часов турист пройдёт это расстояние, если будет идти со скоростью 5 км/ч?
4. Токарь за час делает 40 деталей. Применив резец из сверхпрочной стали, он стал вытачивать в час на 10 деталей больше. На сколько процентов повысилась производительность труда токаря?
5. Периметр квадрата 31,2 мм. Какова его площадь?
Составим выражения для каждой из приведённых на доске задач, проанализируем их.

Такие выражения называются числовыми. Мы подошли непосредственно к определению числового выражения. Числовые выражения составляются из чисел с помощью числового выражения.
Выполняя действия, мы всегда получаем число. Число, которое получается в результате выполнения действий в числовом выражении, называют значением выражения.
Например,
Всегда ли можно найти значение числового выражения?
Если в выражении встречается деление на нуль, то значение числового выражения не может быть найдено, т. к. но нуль делить нельзя. О таких выражениях говорят, что они не имеют смысла.
Например,
Приведите примеры выражений, не имеющих смысла.
IV. Закрепление изученного материала.
Работа идёт по направлению: выработка вычислительных навыков.
1) Решить №1 (а. в. д. ж. и. л) на доске и в тетрадях. Решить № 2 (б, в). Решить № 4 (а, в, е, и, к, л) на доске и в тетрадях. Решить № 5 (а, в, д, з).
2) Самостоятельно решить (с проверкой решения):
а) ; б) ; в) ; г) ;
д) ; е) ; ж) ;
з) ; и) .
3) Повторение ранее изученного материала: решить № 16 на доске и в тетрадях.
4) Дополнительные задачи (см. приложение).
V. Итог урока.
Какую тему вы изучали?
Что называется числовым выражением?
Что называется значением числового выражения?
Приведите пример числового выражения и укажите, в каком порядке надо выработать действия, чтобы найти его значение.
Приведите пример числового выражения, не имеющего смысла.
Учитель оценивает ответы учащихся.
VI. Задание на дом.
п. 1 (выучить наизусть правила); № 5 (б, г, е, з), 17 (б, г, е) и 3.

Урок 3
Тема урока: Числовые выражения
Цели урока:
а) образовательная: повторить правила действий с обыкновенными и десятичными дробями и закрепить их знание в ходе выполнения упражнений. Знать, что выражение, содержащее действие деления на нуль, не имеет смысла. Закрепление и систематизация изученного материала; проверка усвоения учащимися изученного материала;
б) развивающая: развить навыки самостоятельной работы, логическое мышление, математические способности;
в) воспитывающая: воспитать чувство долга, ответственности.
Тип урока: Урок усвоения навыков и умений

Ход урока:
I. Проверка домашнего задания.
1. Проверить по тетрадям выполнение учащимися домашнего задания № 5 (б, г, е, з) и № 17 (б, г, е).
2. Вычислите (устно):
а) 0,52; б) (-7)2; в) (-0,1)3.
3. Имеет ли смысл выражение (устно):
а) б) ; в) .

Математические действия дают возможность разыграть настоящие алгебраические “комедии и фарсы” на такие сюжеты:
2=5, 2=3 и т. п.
Юмор подобных математических представлений кроется в том, что ошибка замаскирована и не сразу бросается в глаза.
1. Докажем, что 4=-4. На доске неоспоримое равенство:
16=16
(4)2=(-4)2
Представим числа 4 и -4 в виде суммы, т. е.
(1+3)2=(-6+2)2
Дальнейший ход “комедии” состоит в преобразованиях. Видим, что показатель степени один и тот же и выражения равны, следовательно, делаем вывод, что
1+3=-6+2,
но выполняя вычисления, получаем
4=-4.
В чём ошибка?
При фронтальной работе выясняется, в чём состоит ошибка. Учитель вместе с классом делает вывод, что с числовыми выражениями нужно работать аккуратно на основе правил выполнения действий и использовать свойства рациональных чисел, т. к. внешний вид часто бывает обманчив.
2. Если между двумя двойками знак сложения заменить знаком умножения, то результат не изменится. Действительно,

Нетрудно подобрать три числа, обладающие тем же свойством, а именно

Есть и четыре однозначных числа, сложив которые или умножив друг на друга, мы получим один и тот же результат.
Кто быстрее подберёт эти числа?
Можно найти 5, 6, 7 и т. д. однозначных чисел, обладающих тем же свойством. Имейте в виду, что начиная с группы в пять чисел, ответы могут быть различными.

В математике таких ситуаций много; если вы найдёте ещё такие случаи, то можно разобрать их на следующем уроке.
II. Тренировочные упражнения:
1. Запишите в виде выражения:
а) сумму чисел 37,5 и 11,1;
б) произведение числа 7 и суммы чисел 11,4 и 12,6;
в) частное от деления разности чисел 47 и 12 на 5;
г) частное числа 13 и разности чисел 27 и 33;
д) сумму чисел -5 и произведения чисел 13 и -8.
2. Вычислите:
а)
б)
в)
г)
3. Первое число равно 10, а второе 15. Сколько процентов составляет первое число от суммы этих чисел?
4. Заполните таблицу:
X -5 -3 -1 0 1 5 7 10
0,5(x-1)
5. Найдите значение выражения при
6. Заполните пропуски и составьте выражение по условию задачи:
в классе учатся … учеников. Отношение числа девочек к числу мальчиков равно 4:3. Сколько мальчиков учится в этом классе?
7. Повторение ранее изученного материала. Банк принимает вклады из расчёта 120 % годовых. Вкладчик положил 250000р. Какую сумму он получит спустя полгода? Из приведённых ответов выберите верный:
а)
б)
в)
8. Используя 3 раза цифру 5, составьте выражение, значение которого равно:
а) 50
б) 0
в) 125
г) 4
д) 11
9. Не выполняя вычислений, сравните дроби и .
10. Решить № 12 самостоятельно, а потом проверьте решение по тетрадям.
Решение: 40-(4+5)*3=40-9*3=40-27=13(км), расстояние через 3 ч.
Ответ: 13 км.
11. Решить № 15. Один ученик решает самостоятельно на доске, другие – самостоятельно в тетрадях, а затем решение проверяют.
III. Самостоятельная работа.
Карточки с разноуровневыми заданиями раздаются по ходу урока. В конце урока работа проверяется с помощью кодоскопа.
В I

В II

В III

Дополнительные задачи (см. приложение).
IV. Итоги урока.
Проверить:
1) Умение составлять выражения по условию задачи и наоборот.
2) Знаний и понимание формулировок числового выражения и значения числового выражения.
Учитель оценивает ответы учащихся.
V. Задание на дом.
п.1 (повторить правила), № 11, 13, 20.

§4. Методика изучения выражений с переменными
Методические рекомендации. Нахождение значения с переменными не является новой для учащихся задачей. При выполнении упражнений на нахождение значений выражений повторяются такие понятия, как переменная, значение переменной, значение выражения.
Упражнения 21–30 посвящены нахождению значений выражений, упражнения 36–39 – формированию понятия определения выражения, упражнения 41–43 – на составление формул чётного или нечётного числа.
В повторительном разделе предлагаются упражнения вычислительного характера, связанные с процентными расчётами.
На изучение данного пункта отводится два урока. Первый урок можно посвятить на составление и нахождение значения выражения при указанных значениях переменных. Второй урок отводится на составление формул чётного или нечётного числа [5].

Урок 4
Тема урока: Выражения с переменными
Цели урока:
а) образовательная: ввести понятие выражения с переменными и понятие значения выражения с переменными; закреплять знание правил действий с рациональными числами.
б) развивающая: развить у учащихся умение находить значение выражения с переменными, интерес к новой изучаемой теме, логическое мышление;
в) воспитывающая: воспитать аккуратность, дисциплинированность, чувство ответственности, патриотизма.
Тип урока: Урок усвоения новых знаний

Ход урока:
I. Организационный момент.
Приветствие. Объявление темы урока. Постановка образовательной цели.
II. Изучение нового материала.
1) Вспомнить формулу пути .
Если V=60 км/ч, то S=60t км. Изменяя значение t, мы можем с помощью выражения 60t находить путь, пройденный автомобилем за разное время:
t=1, то S = ;
t=2, то S = ;
t=5, то S= .
2) Букву t в выражении 60t называют переменной, а само выражение 60t - выражением с переменной.
3) Назвать формулу площади прямоугольника: .
Если и , то S= ; если и , то S= .
4) Ввести понятие значения выражения с переменными, прочитав текст учебника, с. 6.
III. Закрепление изученного материала.
1. Решить № 21 (б) устно.
2. Решить № 22, начертив таблицу на доске и в тетрадях.
3. Решить № 24 (б) устно.
4. Решить № 25 (а, в) самостоятельно.
5. Решить № 26 (а) на доске и в тетрадях. (Подставив в выражение значения переменных.)
6. Решить № 30 (а, г) на доске и в тетрадях. (Подставив в выражения значения переменных.)
7. Решить задачу № 31 самостоятельно. (На составление выражения с переменными.)
8. Решить задачу № 32 на доске и в тетрадях. (На составление выражения с переменными и нахождение значения выражения.)
9. Повторение ранее изученного материала: решить задачу № 45. (На нахождение числа от процента.)
IV. Итог урока.
1. Привести примеры выражений с переменными.
2. Решить задачу:
На складе находилось 215 изделий. Принесли ещё n ящиков, в каждом из которых было по 15 изделий. Сколько изделий стало на складе? Выберите верный ответ:
а) ; б) ; в) .
3. Решить задачу: (Для сильных учащихся)
У Коли было 16,9 р. Он купил a тетрадей по 4,4 р. Сколько денег осталось у Коли? Какие значения может принимать a ?
V. Задание на дом.
п. 2; № 23; 25 (б. г); 27; 28; 33.

Урок 5
Тема урока: Выражения с переменными
Цели урока:
а) образовательная: упражнять учащихся в нахождении значений выражений и определении значений, при которых заданное выражение имеет смысл; закрепить знание правил действий над рациональными числами. Научить учащихся составлять формулы для чётного или нечётного числа;
б) развивающая: развить у учащихся умение находить значение выражения с переменными и определять значение, при котором заданное выражение имеет смысл, математическое мышление, логику;
в) воспитывающая: воспитать дисциплинированность, аккуратность, чувство ответственности.
Тип урока: Урок применения знаний, навыков и умений

Ход урока:
I. Организационный момент.
Объявление темы урока. Постановка образовательной цели.
II. Устная работа.
1. Проверить решение № 28.
2. При некоторых значениях a и b значение выражения равно 5. Какое значение при тех же a и b имеет выражение:
а) б) ; в) ;
г) ; д) ?
3. У мальчика было 9 р. Он купил n пачек мороженого по 2 р. За пачку. Сколько денег осталось у мальчика?
Выберите верный ответ:
а) ; б) ; в) .
4. Решить № 38 устно.
III. Работа по учебнику.
1. Рассмотрим выражение (с. 6 учебника).
При любом b 3 можно найти его значение.
2. Находим значение выражения при b=13, b=0, b=1.
3. При b=3 знаменатель дроби равен 0. Можно ли выражение или число делить на нуль? (Нельзя).
4. Говорят, что при b 3 выражение имеет смысл, а при b=3 оно не имеет смысла.
5. Некоторые выражения имеют смысл при всех значениях переменной:
.
6. Решить № 40 устно.
7. Выражение с переменными используются для записи формул. (Изучить текст учебника, с. 7)
IV. Выполнение упражнений.
1. решить № 42 и № 42 на доске и в тетрадях.
2. Решить № 39 с комментированием на месте.
3. Решить № 35 по рис. 2 учебника на доске и в тетрадях.
4. Решить № 192 на доске и в тетрадях:
5. Найдите значение выражения (учащиеся решают самостоятельно, затем решение проверяется по тетрадям):
а) при
б) при и
и .
6. Решить задачу:
Из листа железа со стороной a см и b см. Чему равна площадь оставшейся части?
Из данных ответов выберите верный:
а) ; б) ; в) ; г) .
V. Итог урока.
Решить устно № 36 и № 37.
VI. Задание на дом.
п. 2; № 30 (б. в); 43; 34; 44(а, в).

§5. Изучение сравнений значений выражений
Методические рекомендации: специальное внимание следует уделить новым для учащихся вопросам: употреблению знаков ? и ?, записи и чтению двойных неравенств. На изучение данной темы отводится 2 чача. На первом уроке учащиеся знакомятся с употреблением знаков >, <, повторяют правила сравнения рациональных чисел. Закрепляется изученный материал решением номеров № 47, 49, 51, 52. даётся задание для самостоятельного решения. На втором уроке рассматривается решение примеров из учебника. Для целенаправленного закрепления изучаемой темы предлагается решить номера: № 55 – 57. Для устного решения: № 60, 61. Решение № 63 объясняет учитель.
Урок 6
Тема урока: Сравнение значений выражений
Цели урока:
а) образовательная: повторить правила сравнения рациональных чисел и научить применять их при сравнении значений выражений с переменными;
б) развивающая: развивать логическое мышление учащихся, интерес к новой изучаемой теме, математические способности;
в) воспитывающая: воспитать аккуратность, порядочность, дисциплинированность, чувство ответственности.
Тип урока: Урок усвоения новых знаний

Ход урока:
I. Организационный момент.
Объявление темы урока. Постановка образовательной цели.
II. Устная работа.
1. Работа у доски.
Двое учащихся решают на доске № 188 (б) и № 190.
2. С остальными учащимися устно находим значение выражения:
при а) б)
3. Сравните:
а) 5,1 и -6,8; б) и ; в) и 0,8; г) -35 и .
III. Изучение нового материала.
1. Разобрать решение задачи, с. 10 учебника:
и
37,5 > 35.
2. Для любых двух числовых выражений можно установить, равны их значения или нет, и если они не равны, то – какое из них больше и какое меньше. Результат сравнения значений выражений можно записать в виде равенства или неравенства.
Например, 1800 48 > 2100 60; -50,4 < 0; -47 > -600;
0 > -108,4; 9,6 < 84,3.
Повторить правила сравнения рациональных чисел.
3. Если выражения содержат переменные, то для значений переменных результат сравнения значений этих выражений может оказаться различным.
4. Разобрать по учебнику сравнение значения выражений и при a= 0; 4; 10 (с. 10) до слов «Рассмотрим пример…».
IV. Закрепление изученного материала.
1. Решить № 47 (а, в) на доске и в тетрадях.
2. Решить №49 (а) самостоятельно с проверкой решения.
3. Решить № 51 (а) (объясняет решение учитель).
а) и при 3,8; 0; 5.
4. Решить № 52 (а, б) устно и № 52 (в) на доске и в тетрадях.
5. Решить № 52 (г) самостоятельно.
V. Повторение ранее изученного материала.
1. Решить № 66 (а, в) на доске и в тетрадях:
а) = ;
б) = = .
2. Решить задачу:
Изделие стоило a рублей. Сначала цену на изделие увеличили на 40%, а затем снизили на 40%. Стало ли это изделие дешевле или дороже и на сколько?
VI. Итог урока.
Повторить правила сравнения рациональных чисел.
VII. Задание на дом.
п. 3 (1-я часть); № 48 (а, в); 50; 51 (б); 53; 66(б, г).

Урок 7
Тема урока: Сравнение значений выражений
Цели урока:
а) образовательная: научить читать и записывать двойные неравенства; закрепить изученный материал в ходе выполнения упражнений.
б) развивающая: развивать логическое мышление учащихся, математическую логику, интерес к изучаемой теме;
в) воспитывающая: воспитать аккуратность, дисциплинированность, чувство ответственности.
Тип урока: Урок закрепления и применения навыков и умений

Ход урока
I. Организационный момент:
Объявление темы урока. Постановка образовательной цели.
II. Проверка ранее изученного материала.
1. Проверить по тетрадям выполнение учащимися домашнего задания.
2. Устная работа:
1) Не выполняя вычислений, сравните значения выражений (устно):
а) и ; б) и ;
в) и ; г) и ;
д) и .
2) Расположите числа в порядке возрастания:
а) ; ; ; ; ; 0;
б) 0,1; (0,1)2; (0,1)3.
3) Решить задачу:
Площадь участка 160 га. В первый день вспахали 40% всей площади. Сколько гектаров осталось вспахать?
III. Работа по учебнику:
1. Иногда требуется установить, между какими числами заключено значение выражения.
2. Рассмотреть решение примеров, с. 10 – 11 учебника. Записать двойное неравенство 86 < m < 87 и прочитать его.
Запись и чтение неравенств и ; запись и чтение двойного неравенства .
3. неравенства, составленные с помощью знаков «>» и «<», называют строгими неравенствами, в неравенства, составленные с помощью знаков « » и « », называются нестрогими.
IV. Закрепление изученного материала.
1. Решить № 55 устно.
2. Решить № 56 на доске и в тетрадях.
3. Решить № 57 (а, б) (объясняет решение учитель).
4. Решить № 60 и № 61 (устно).
Обратить внимание учащихся на правильное чтение неравенств.
5. Решить № 62 самостоятельно с последующей проверкой на доске.
6. Решить № 63 (объясняет решение учитель).
7. Решить № 64 на доске и в тетрадях.
8. Расположите числа в порядке убывания (решить с комментированием на месте):
а) 2,07; 2,007; -1,658; -1,66; 0;
б) (0,3)2; 0,3; (0,3)3.
V. Итог урока.
Ответить на контрольные вопросы, с. 14 учебника:
1. Приведите пример числового выражения и выражения с переменными.
2. Сравните значения выражений и при -4; 1,5; 5.
3. Приведите пример двойного неравенства и прочитайте его.
4. Как читаются знаки « » и « »? Какое неравенство называется строгим и какое нестрогим? Приведите пример строгого неравенства, нестрогого неравенства.
VI. Задание на дом.
п. 3; № 57 (в, г); 58; 69; 68(а, в).

§6. Изучение свойств действий над числами
Урок 8
Тема урока: Свойства действий над числами
Цели урока:
а) образовательная: повторить основные свойства сложения и умножения чисел; научить применять эти свойства при вычислениях наиболее рациональным способом; повторять и закреплять правила сложения, вычитания, умножения и деления рациональных чисел.
б) развивающая: формирование и развитие мыслительных операций, форм мышления, интерес к изучаемой теме;
в) воспитывающая: воспитать аккуратность, дисциплинированность, чувство ответственности.
Тип урока: Урок усвоения новых знаний.
Ход урока:
I. Организационный момент:
Объявление темы урока. Постановка образовательной цели.
II. Устная работа:
1. Прочитайте неравенство:
а) б) в)
г) д) е)
2. Верно ли неравенство:
а) при x= 9;-30,7; 25;
б) при y=2,3; 2,4; 2,5; 2,6; 2,7; 2,9?
3. Вычислите наиболее удобным способом:
а) в)
б) г)
Какими свойствами вы пользовались?
III. Работа по учебнику.
1. Записать основные свойства сложения и умножения:
1) Переместительное свойство:

2) Сочетательное свойство:

3) Распределительное свойство:

2. Рассмотрим примеры:
Пример 1 Вычислим сумму 1,23+13,5+4,27.
Для этого удобно объединить первое слагаемое с третьим. Получим:
1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.
Из переместительного и сочетательного свойств умножения следует: в любом произведении можно как угодно переставлять множители и произвольным образом объединять их в группы.
Пример 2 Найдём значение произведения 1,8•0,25•64•0,5.
Объединив первый множитель с четвёртым, а второй с третьим, будем иметь:
1,8•0,25•64•0,5=(1,8•0,5)•(0,25•64)=0,9•16=14,4.
Распределительное свойство справедливо и в том случае, когда число умножается на сумму трёх и более слагаемых.
Например, для любых чисел a, b, c и d верно равенство
a(b+c+d)=ab+ac+ad.
Мы знаем, что вычитание можно заменить сложением, прибавив к уменьшаемому число, противоположное вычитаемому:
a-b=a+(-b).
Это позволяет числовое выражение вида a-b считать суммой чисел a и -b, числовое выражение вида a+b-c-d считать суммой чисел a, b, -c, -d и т. п. Рассмотренные свойства действий справедливы и для таких сумм.
Пример 3 Найдём значение выражения 3,27-6,5-2,5+1,73.
Это выражение является суммой чисел 3,27, -6,5, -2,5 и 1,73. Применив свойства сложения, получим: 3,27-6,5-2,5+1,73=(3,27+1,73)+(-6,5-2,5)=5+(-9) =-4.
Пример 4 Вычислим произведение 36•( ).
Множитель можно рассматривать как сумму чисел и - . Используя распределительное свойство умножения, получим: 36( )=36• -36• =9-10=-1.
Повторить правила действий над рациональными числами.
IV. Закрепление изученного материала.
1. Решить №70 устно.
2. Решить №71 (а, в) на доске и в тетрадях.
Решение:
а) 3,17+10,2+0,83+9,8=(3,17+0,83)+(10,2+9,8)=4+20=24;
б) 15,21-3,9-4,7+6,79=(15,21+6,79)+(-3,9-4,7)=22-8,6=13,4.
3. Решить №73 с комментированием на месте.
4. Вычислите рациональным способом (самостоятельно):
а) б)
5. Решить №74.
Двое учащихся самостоятельно решают на доске, остальные – самостоятельно в тетрадях, затем проверяется решение.
а)
б)
6. Решить задачу №80.
V. Итог урока.
Повторить основные свойства сложения и умножения чисел.
VI. Задание на дом.
п. 4; №72 (а, в); 71 (б, г); 84; 202; 203.
Урок 9
Тема урока: Свойства действий над числами
Цели урока:
а) образовательная: закрепить изученный материал в ходе выполнения упражнений; учить учащихся рациональному вычислению при нахождении значений выражений;
б) развивающая: формирование и развитие мыслительных операций, форм мышления, развивать логическое мышление учащихся;
в) воспитывающая: воспитать аккуратность, дисциплинированность, чувство ответственности.
Тип урока: Урок усвоения навыков и умений.
Ход урока:
I. Организационный момент:
Объявление темы урока. Постановка образовательной цели.
II. Актуализация опорных знаний учащихся:
1. Повторить основные свойства сложения и умножения.
2. Вычислите наиболее рациональным способом:
а) в)
б) г)
3. Используя приём выполните вычисления (устно):
а) б) в)
III. Выполнение упражнений:
1. Решить № 75 на доске и в тетрадях.
Решение:
а)
б)
в)
г)
2. Решить № 76.
На доске решают сразу четверо учащихся по одному заданию, затем проверяется решение.
Решение:
а)
б)
в)
г)
3. Повторить распределительное свойство умножения и
решить № 77 на доске и в тетрадях.
Решение:
а)
б)
4. Решить № 79 (объясняет решение учитель).
а) делится на 5, так как один из множителей 30 делится на 5;
б) делитсяна11, так как 121 делится нацело на 11.
IV. Самостоятельная работа (10 – 15 мин).
I вариант
1. Вычислите наиболее рациональным способом:
а) г)
б) д)
в)
2. Найдите значение выражения, используя распределительное свойство умножения:
а) б) в)
II вариант
1. Вычислите наиболее рациональным способом:
а) г)
б) д)
в)
2. Найдите значение выражения, используя распределительное свойство умножения:
а) б) в)
2. Найдите значение выражения, используя распределительное свойство умножения:
V. Итог урока:
Сформулируйте переместительное и сочетательное свойства сложения и умножения; распределительное свойство умножения.
VI. Задание на дом:
п. 4; № 72 (б, г); 78; 82; 201; 204.

§7. Методика изучения тождественных преобразований
Методические рекомендации. Необходимо иметь в виду, что формирование умений выполнять тождественные преобразования распределяется по всему курсу 7 класса, поэтому в данной теме внимание должно акцентироваться на раскрытии новой терминологии и символики.
Понятие тождества и тождественного преобразования явно вводится в курсе алгебры 7 класса. Однако без тождественных преобразований невозможно обойтись уже на первых шагах обучения математике. Так, первоначальное выполнение операции 5+2 в 1 классе совершается путём тождественных преобразований: 5+2=5+(1+1)=(5+1)+1=6+1=7. Изучаемые в начальной математике алгоритмы выполнения арифметических действий и свойства действий постоянно используются для тождественных преобразований, числовых выражений с одной или большим числом операций в числа, представляющие значения этих выражений. Там же в виде буквенных тождеств записываются законы и свойства арифметических действий, выполняются тождественные преобразования простейших буквенных выражений, например: (a+b+c):d=a:d+b:d+c:d; a+a+a=a•3 и так как систематическое изучение тождественных преобразований начинается в 7 классе с определений: “Два выражения называются тождественно равными, если все их соответственные значения равны”, “Равенства, в которых левая и правая части – тождественно равные выражения, называют тождествами”, “Замену выражения другим, тождественно равным ему, называют тождественным преобразованием выражения”. Учащимся необходимо усвоить то принципиальное положение, что само определение тождественных выражений не может быть практически использовано для доказательства тождественности двух выражений, и понять, что сущность тождественных преобразований выражения состоит в применении к выражению определений и свойств тех действий, которые указаны в выражении, или в прибавлении к нему выражения, тождественно равного 0, или в умножении его на выражение, тождественно равное единице. Но, даже усвоить эти положения, учащиеся часто проявляют формализм в знаниях сущности тождественных преобразований: они не понимают, почему указанные преобразования позволяют утверждать, что исходное и полученное выражения тождественны, т. е. принимают одинаковые значения при любых системах (наборах) значений переменных. Этот пробел в знаниях учащихся обычно является следствием недоработки учителя при изучении действий и их свойств. При записи определений и свойств действий в буквенной форме (например, a+b=b+a; (a+b)c=ac+bc; ab=ba; (ab)c=a(bc) и т. д.) следует постоянно отмечать, что такие равенства верны при любых допустимых значениях переменных, в них входящих. Этот вопрос не может быть строго обоснован, надо добиться отчётливого понимания его учащимися [10].
Важно также добиться, чтобы учащиеся хорошо понимали, что такие виды тождественных преобразований, как раскрытие скобок, приведение подобных членов, сокращение дробей, приведение дробей к общему знаменателю и т. д., являются следствиями определений и свойств соответствующих действий.
Урок 10
Тема урока: Тождества
Цели урока:
а) образовательная: ввести понятие тождественно равных выражений и понятие тождества и закрепить их знание в ходе выполнения упражнений;
б) развивающая: развить интерес к новой изучаемой теме, логическое мышление учащихся;
в) воспитывающая: воспитать аккуратность, порядочность, дисциплинированность, чувство ответственности.
Тип урока: Урок усвоения новых знаний.
Ход урока:
I. Организационный момент:
Объявление темы урока. Постановка образовательной цели.
II. Анализ результатов самостоятельной работы:
1. Указать ошибки, допущенные учащимися при выполнении работы.
2. Решить на доске задания, вызвавшие затруднения у учащихся.
3. Найдите значение выражения и укажите, какие свойства действий были использованы:
а) в)
б) г)
III. Изучение нового материала:
1. найдём значение выражений и при


Мы получили один и тот же результат. При любых значениях переменной значения этих выражений равны.
2. Рассмотреть значения выражений и при , ; при , . Сделать вывод.
3. Определение тождественно равных выражений. Привести примеры.
4. Определение тождества:
Равенство, верное при любых значениях переменных, называется тождеством.
5. Тождествами считаются и верные числовые равенства. Тождествами являются равенства, выражающие основные свойства действий над числами:
a+b=b+a; ab=ba; (a+b)+c=a+(b+c);
(ab)c=a(bc); a(b+c)=ab+ac;
6. Можно привести и другие примеры тождеств:


IV. Тренировочные упражнения по закреплению материала.
1. Решить № 85 устно.
2.Решить № 87; 89 устно, вспоминая свойства действий.
а) в)
б) г)
4. Решить № 92; 93; 94 устно.
5. Вычислите наиболее рациональным способом:

6. Найдите последовательно значение каждой из разностей:

а затем значение суммы:

V. Итог урока:
1. Привести примеры тождеств. Дать определение тождества.
2. Решить № 214; 215; 217 устно.
VI. Задание на дом:
Выучить определения п. 5; № 86; 88; 91; 95; 96(а); 97.

Урок 11
Тема урока: Тождественные преобразования выражений
Цели урока:
а) образовательная: ввести понятие тождественного преобразования выражения; повторить правила раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых и закрепить их знание в ходе тождественных преобразований;
б) развивающая: развить у учащихся умение преобразовывать тождественные выражения, интерес к новой изучаемой теме, логическое мышление;
в) воспитывающая: воспитать аккуратность, порядочность, дисциплинированность, чувство ответственности.
Тип урока: Урок усвоения новых знаний.
Ход урока:
I. Организационный момент:
Объявление темы урока. Постановка образовательной цели.
II. Устная работа:
1. Какие выражения называются тождественно равными?
2. Являются ли тождественно равными выражения:
а) и ; б) и ?
3. Найдите значение выражения:
при
4. Какое равенство называется тождеством? Привести примеры.
5. Сформулируйте утверждение, которое выражается тождеством:
а) б) в)
III. Изучение нового материала:
1. Рассмотрим нахождение значений выражений и при . Чтобы найти значение выражения xy-xz при заданных значениях x, y, z, надо выполнить три действия. При x=2,3, y=0,8, z=0,2 получаем:
xy-xz=2,3•0,8-2,3•0,2=1,84-0,46=1,38.
Этот результат можно получить, выполнив лишь два действия, если воспользоваться выражением x(y-z), тождественно равным выражению xy-xz:
xy-xz=2,3(0,8-0,2)=2,3•0,6=1,38.
Мы упростили вычисления, заменив выражение xy-xz тождественно равным выражением x(y-z).
2. Определение тождественного преобразования выражения.
3. Тождественные преобразования выражений с переменными выполняются на основе свойств действий над числами, применяются при вычислении значений выражений и решении других задач.
4. Вспомнить правило приведения подобных слагаемых. Рассмотрим пример 1: привести подобные слагаемые в сумме Каким свойством воспользовались при этом преобразовании?
5. Вспомнить правило раскрытия скобок, если перед скобкой стоит знак «плюс». Рассмотрим пример 2: раскрыть скобки в выражении
6. Вспомнить правило раскрытия скобок, если перед скобками стоит знак «минус». Рассмотрим пример 3: раскрыть скобки в выражении
IV. Выполнение упражнений:
1. Решить № 98 устно.
2. Решить № 100 на доске и в тетрадях:
Решение:
а)
б)
в)
г)
3. Решить № 102 устно.
4. Решить № 103 (а, г); 104(а, г) с комментированием на месте.
5. Решить № 106; 108 устно.
6. решить № 109 на доске и в тетрадях (объясняет решение учитель).
Решение:
а)
б)
7. Решить № 110 (б, в); 111 (б г) с комментированием на месте.
8. Решить № 112 (а, г) на доске и в тетрадях:
Решение:
а)
г)
9. Решить № 115 (а, б, в) на доске и в тетрадях.
Вызвать к доске одновременно трёх человек.
Решение:
а)
б)
в)
10. Решить № 116 (б, в) на доске и в тетрадях:
Решение:
б)
в)
V. Итог урока:
1. Какие тождественные преобразования вы знаете?
2. Ответить на контрольные вопросы:
§ Сформулируйте переместительное и сочетательное свойства сложения и умножения, распределительное свойство умножения;
§ Какие выражения называются тождественно равными? Приведите пример тождественно равных выражений;
§ Какое равенство называется тождеством? Приведите пример тождества.
VI. Задание на дом:
п. 1 – 6; № 99; 101; 105; 107; 112 (б, в); 113; 116 (а, г).



Заключение

Поставленная в работе цель реализована в результате совершенствования методики преподавания алгебры на первых уроках.
В работе реализованы все поставленные задачи:
1) изучена учебно–методическая литература по алгебре 7 класса;
2) определены методические, психолого–педагогические и дидактические особенности преподавания темы, исследуемой в выпускной квалификационной работе;
3) обосновано и реализовано содержание и методика изучения материала по теме исследования.
Для реализации задач использовались методы:
1) изучения и анализа учебно-методической литературы, работ по истории математики, периодической печати, справочных пособий;
2) обобщения и систематизации учебно-методической литературы по алгебре 7 класса;
3) беседы с преподавателями, наблюдение за учащимися 7 класса.
Также, использовался метод: практическая проверка разработанной методики. Конкретно, на педагогической практике на 5-ом курсе в 2004 году в СОШ № 39 провела апробацию первых уроков алгебры в 7 классе. Проведя первые уроки, выявились такие проблемы: новый предмет, новое название предмета, то и появляется новая терминология и символика, то есть употребление знаков ? и ?, запись и чтение двойных неравенств, понятия «тождество», «тождественное преобразование», «числовое выражение». Проведя наблюдения за учащимися, выяснилось, что новый предмет им нравится, они понимают важность усвоения материала нового для них предмета, хотя на первых уроках идёт закрепление ранее приобретенных знаний и умений из курса математики 5-6 классов. Уроки построены таким образом, чтобы каждый ученик был вовлечён в работу.
Практическая значимость данной выпускной работы состоит в том, что собранный материал может быть использован студентами-практикантами, а также начинающими учителями математики.


Литература
1. Ведерникова Т. Н., Иванов О. А. Интеллектуальное развитие школьников на уроках математики // Математика в школе. – 2002 год. - № 3, - с. 41.
2. Голубинская А. Обобщающий открытый урок. Тема: «Выражения. Тождества. Уравнения»// Математика. – 2004 год. - № 22, - с. 17.
3. Грапенина Н. Первый урок алгебры в 7 классе // Математика. – 20014 год. - № 26, - с. 4.
4. Груденев Я. И. Совершенствование методики работы учителя математики: Кн. Для учителя. – М.: Просвещение, - 1990 год. – 224 с.
5. Денисевич С. Нахождение значений числовых выражений // Математика. – 2004 год, - № 7, - с. 9.
6. Денисевич С. Числовые выражения // Математика, - 2004 год, - № 12, - с.19.
7. Дубровина И. В., Прихожан А. М., Зацепин В. В. Возрастная и педагогическая психология: Хрестоматия: Учебное пособие для студентов, - М.: Просвещение, - 2000 год. – 355 с.
8. Жохов В., Картошаева Г., Крайнева Л. Примерное планирование учебного материала и контрольные работы // Математика. – 202 год. - № 29, - с. 12.
9. Колягин Ю. М., Курдюмова Н. А. Педагогические уроки А. П. Киселёва // Математика в школе. – 2002 год. - № 8, - с. 11.
10. Колягин Ю. М., Луганкин Г. Л., Мокрушкина Е. Л. Методика преподавания математики в средней школе. Частные методики, - М.: Просвещение, – 1977 год. – 480с.
11. Кожарин А.Ф., Лебедев В. К., Давыдова И. Л. Алгебра и геометрия. Методика преподавания в 9 – 11 классе. – 1992 год. – 350 с.
12. Коротаева Е. В. Обучение технологии в познавательной деятельности школьников. – М.: «Сентябрь», - 2003 год. – 176с.
13. Кулагина и. Ю., Колюцкицй В. Н. Возрастная психология: Полный жизненный цикл развития человека. Учебное пособие для студентов высших учебных заведений. – М.: ТЦ Сфера, при участии «Юрайт», - 2003 год. – 464с.
14. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Муравин К. С. , Леонтьева М. Р., Кузнецова Л. В. Алгебра в 6 классе. – М.: Просвещение, - 1977 год. – 240с.
15. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. Учебник для 7 класса средней школы. – 3–е издание. – М.: Просвещение, - 1993 год. – 240с.
16. Немов Р. С. Психология: Учеб. для студ. высш. пед. учеб. заведений: В 3 кн. – 4-е изд. – М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, - 2002 год. – Кн. 2: Психология образования. – 608с.
17. Об учебнике // Математика в школе. – 1985 год. - № 3, - с. 17.
18. Программно – методические материалы. Математика 5 – 11 класса. Сборник нормативных документов. – М.: Дрофа, - 1998 год. – с. 78.
19. Список основных методических материалов для преподавания в средней школе // Математика в школе. – 2002 год. - № 6, - с. 50.
20. Сергеева С. Примерное тематическое планирование для общеобразовательных классов // Математика. – 2000 год. - № 25, - с. 1.
21. Тематическое планирование к учебникам федерального комплекта // Математика в школе. – 2002 год. - № 4, - с. 28.
22. Шевкин А. Об учебнике // Математика. – 2002 год. - № 3, - с. 28.
23. Эрдниев П. М. Преподавание математики в школе. – М.: Просвещение, - 1978 год. – 304с.


Приложение

Дополнительные задачи
Числовые выражения
Урок 2
1. На прямой отметили несколько точек. После этого между каждыми двумя соседними точками отметили ещё по одной точке. Такое “уплотнение” повторили ещё дважды (всего 3 раза). В результате на прямой оказалось отмечено 113 точек. Сколько точек было первоначально?
(15 точек)
2. Укажите 5 целых положительных чисел, сумма которых равна 20, а произведение 420.
(7, 5, 3, 4, 1)
3. Числитель и знаменатель дроби-целые положительные числа, дающие в сумме 101. Известно, что дробь не превосходит . Укажите наибольшее возможное значение такой дроби.
( )

Урок 3
1. Скорый поезд вышел из Москвы в Санкт-Петербург и шёл без остановок со скоростью 60 км/ч. Другой поезд вышел ему на встречу из Санкт-Петербурга в Москву и тоже шёл без остановок со скоростью 40 км/ч. На каком расстоянии будут эти поезда за час до их встречи?
(100 км)
2. Используя только сложение, запишите число 28 с помощью пяти двоек, а число 1000 – с помощью восьми восьмёрок.
(22+2+2+2; 888+88+8+8+8)


Выражения с переменными
Урок 4 – 5
1*. Известно, что при некоторых значениях a и b значение выражения равно -8,1. Найдите при тех же значениях a и b значение выражения:
(-12,15)
2. Запишите в виде выражения:
а) произведение разности чисел x и y и их суммы;
б) частное суммы чисел a и b и их разности.
(а) )
(б) )
3. При каких значениях переменных не имеет смысла выражение:
( )
4. Чтобы выразить в километрах расстояние, измеренное в морских милях, пользуются формулой где x – расстояние в милях, а y – то же расстояние в километрах. Выразите в километрах расстояние 10 миль.
(18,520)

Сравнение значений выражений
Урок 6 – 7
1. Верно ли неравенство при
(да, да, нет)
2. Запишите в виде двойного неравенства:
а) a больше -7,1 и меньше или равно 5,2;
б) k больше или равно 0 и меньше 1.
(а) )
(б) )
3*. Известно, что . Запишите в виде двойного неравенства, что среднее арифметическое чисел a и b заключено между числами a и b.
( )
4. Автомобиль «Жигули» прошёл 700 км за x ч, автомобиль «Москвич» прошёл 630 км за y ч. Сравните средние скорости автомобилей, если: ,
(скорость «Жигули» меньше скорости «Москвича»)

Свойства действий над числами
Урок 8 – 9
1. Запишите в виде равенства утверждение: разность двух чисел равна сумме уменьшаемого и числа, противоположного вычитаемому.
( )
2. Вычислите наиболее рациональным способом: .
(50,5)
3. Найдите значение выражения:
(124)

Тождественные преобразования выражений
Урок 10 – 11
1. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые:
( )
2. Найдите значение выражения при
(1)
3. Составьте разность выражений и и упростите её.
( )
Карточки для индивидуальной работы

Числовые выражения
Карточка 1:
№ 1. Вычислите:
а) б) в)
№ 2. Найдите значение выражения:
а) б)
Карточка 2:
№ 1. Вычислите:
а) б) в)
№ 2. Найдите значение выражения:
а) б)

Выражения с переменными
Карточка 1:
№ 1. Найдите значение выражения:
при
№ 2. Найдите значение выражения , если:
а) б)
Карточка 2:
№ 1. Найдите значение выражения:
при
№ 2. Найдите значение выражения , если:
а) б)
Сравнение значений выражений
Карточка 1:
№ 1. Сравните:
а) и б) и
№ 2. Сравните значения выражений:
и при
Карточка 2:
№ 1. Сравните:
а) и б) и
№ 2. Сравните значения выражений:
и при

Свойства действий над числами
Карточка 1:
№ 1. Найдите значение выражения:
а) б)
№ 2. Вычислите:

Карточка 2:
№ 1. Найдите значение выражения:
а) б)
№ 2. Вычислите:


Тождественные преобразования выражений
Карточка 1:
№ 1. Преобразуйте выражение в тождественно равное, используя распределительное свойство умножения:
а) б)
№ 2. Приведите подобные слагаемые:
а) б)
Карточка 2:
№ 1. Преобразуйте выражение в тождественно равное, используя распределительное свойство умножения:
а) б)
№ 2. Приведите подобные слагаемые:
а) б)

Контрольная работа № 1
Цели урока:
а) образовательная: выявление степени усвоения учащимися изученного материала;
б) развивающая: развить навыки самостоятельной работы;
в) воспитывающая: воспитать аккуратность, дисциплинированность, ответственность.
Ход урока
I. Организационный момент:
II. Выполнение работы учащимися:
I вариант
1. Найдите значение выражения:
при , .
2. Сравните значения выражений:
и при
3. Упростите выражение:
а) б) в) .
4. Упростите выражение и найдите его значение:
при
5. Из двух городов, расстояние между которыми S км, одновременно навстречу друг другу выехали легковой автомобиль и грузовик и встретились через t ч. Скорость легкового автомобиля V км/ч. Найдите скорость грузовика. Ответьте на вопрос задачи, если S = 200, t = 2, V = 60.
6. Раскройте скобки:

II вариант
1. Найдите значение выражения:
при .
2. Сравните значения выражений:
и при .
3. Упростите выражение:
а) б) в)
4. Упростите выражение и найдите его значение:
при
5. Из двух городов одновременно навстречу друг другу выехали автомобиль и мотоцикл и встретились через t ч. найдите расстояние между городами, если скорость автомобиля V1 км/ч, а скорость мотоцикла V2 км/ч. Ответьте на вопрос задачи, если t = 3, V1 = 80, V2 = 60.
6. Раскройте скобки:

III вариант
1. Найдите значение выражения:
при , .
2. Сравните значения выражений:
и при
3. Упростите выражение:
а) б) в)
4. Упростите выражение и найдите его значение:
при
5. Из двух пунктов, расстояние между которыми S км, одновременно навстречу друг другу отправились пешеход и велосипедист и встретились через t ч. Скорость велосипедиста V км/ч. Найдите скорость пешехода. Ответьте на вопрос задачи, если S = 9, t = 0,5, V = 12.
6. Раскройте скобки:


Первый урок в классах КРО
На первых уроках алгебры в 7 классе можно повторить решение задач на составление уравнений следующего типа.
Задача:
В банке сидят жуки и пауки. У жука 6 ног, у паука – 8. Всего голов – 7 штук, у всех 50 ног. Сколько было пауков? Сколько было жуков?
Данный тип задач развивает логику мышления, закрепляет алгоритм составления уравнений и отрабатывает навыки решения уравнений.
Следует тщательно разобрать одну из таких задач, проанализировать её и оформить письменно, остальные могут быть предложены учащимся для самостоятельного решения по следующему образцу.
Решение:
x(штук) – было жуков;
(7-x) – было пауков;
(6x) – было у всех жуков;
8(7-x) ног – было у всех пауков.
Так как всего было 50 ног, составляем уравнение:
1) 6x +8(7-x)=50,
6x+56-8x=50,
56-50=8x-6x,
6=2x,
x=3(шт.) – было жуков.
2) 7-x=7-3=4(шт.) – было пауков.
Ответ: было 3 жука и 4 паука.
На последующих уроках, отведённых на повторение, можно повторить все действия над числами с разными знакам. Данная тема часто вызывает затруднения у школьников классов КРО. Задания могут быть не замысловатыми, направленными на закрепление темы.
Почти на каждом уроке учитель может повести небольшую самостоятельную работу как обучающего, так и проверяющего характера на 10-15 мин для выявления усвоения решения каждого типа задач. После их проверки учитель отмечает для себя “болевые точки” в заданиях и работает над их устранением.
Работая с данной категорией учащихся, надо ставить перед собой задачу “достучаться” до каждого ребёнка, дать возможность поверить ему в свои способности увидеть в нём личность, а только потом заинтересовывать и увлекать их таким интересным предметом как математика. С этой целью можно посоветовать почаще использовать на уроках текстовые задачи, а также включать в уроки задачи на смекалку и развитие логики такого типа:
1. На руках 10 пальцев. Сколько пальцев на 10 руках?
2. Двое играли в шашки 4 часа. Сколько часов играл каждый из них?
3. У скольких двузначных чисел сумма цифр равна 10?
4. Три курицы за 3 дня несут 3 яйца. Сколько яиц снесут 12 кур за 12 дней?
5. Два пакета молока и один пакет творога стоят 27 р. Один пакет молока и два пакета творога стоят 24 р. Сколько стоит один пакет молока и четыре пакета творога?
6. Зайцы пилят бревно. Они сделали 10 распилов. Сколько получилось чурбаков?
Подобные задачи повышают интерес учащихся к математике, делают предмет увлекательным. Учитель с помощью таких задач приучает ребят к логике мышления, тренирует их умственные способности. Процесс развития личности ребёнка через решение задач на уроках математики не прост и результаты даёт не сиюминутные. Но начинать делать это надо с первых уроков преподавания математики в классах КРО.
Для этого нужна чёткая организация с первых уроков математики. Каждый ученик должен иметь пенал с математическими атрибутами (принадлежностями): две ручки с синей пастой, два цветных и два простых карандаша, ластик, угольник, циркуль, транспортир. С первых же уроков надо приучать детей к организованности, к серьёзности по отношению к данной школьной дисциплине.


Перейти к полному тексту работы


Скачать работу с онлайн повышением уникальности до 90% по antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru


Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.