На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Контрольная Математические методы в экономике

Информация:

Тип работы: Контрольная. Добавлен: 22.05.2013. Страниц: 34. Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%

Описание (план):


Вариант № 354

Задача 1
Для изготовления продукции двух видов А и Б предприятие расходует ресурсы, а от реализации этой продукции получает доход. Информация о нормах затрат ресурсов на единицу выпускаемой продукции, запасах расходуемых ресурсов, имеющихся в распоряжении предприятия, и выручки от реализации готовой продукции приведены в таблице.
Наименование ресурсов Норма затрат на Объем
ресурса
Продукт А Продукт В
Сырье (кг) 5 4 441
Оборудование (ст.час.) 3 3 321
Трудоресурсы(чел.час.) 5 4 485
Цена реализации (руб.) 358 338
Задача предприятия заключается в том, чтобы разработать программу выпуска, обеспечивающую получение максимальной выручки от реализации готовой продукции.
Требуется :
1. Построить математическую модель оптимизации выпуска продукции и записать ее в форме задачи линейного программирования.
2. Используя графический метод решения задачи линейного программирования, найти оптимальную программу выпуска продукции.
3. Записать задачу, двойственную к задаче оптимизации выпуска продукции.
4. Используя условия «дополняющей нежесткости», найти оптимальное решение двойственной задачи.
5. Привести экономическую интерпретацию переменных и оптимального решения двойственной задачи.
6. Провести графический анализ устойчивости изменения объемов используемых ресурсов. Найти функции предельной полезности ресурсов и построить их графики. Определить функциональную зависимость максимальной выручки объемов используемых ресурсов, построить графики этих функций.

Решение.
1.1. В нашей задаче необходимо определить месячные объемы выпуска продукции вида А и Б. Обозначим эти объемы как переменные модели:
х1 – месячный объем выпуска продукции А,
х2 – месячный объем выпуска продукции Б.
Используя данные таблицы, получим:
расход сырья = 5х1 +4х2,
затраты времени работы оборудования = 3х1 + 3х2,
затраты рабочего времени = 5х1 + 4х2.
Так как ежемесячный расход ресурсов не может превышать их максимально возможный месячный размер, то имеем ограничения
5х1 + 4х2  441
3х1 + 3х2  321
5х1 + 4х2  485

Еще одно неявное ограничение состоит в том, что переменные х1 и х2 должны быть неотрицательны, т.е. х1 0, х20.
Целевая функция модели должна выражать основную цель деятельности предприятия. В нашем примере это получение максимальной выручки от реализации произведенной в течении месяца продукции. Если обозначить функцию размера выручки через Z, то
Z = 358х1 + 338х2,
а основная цель предприятия может быть выражена так:
Максимизировать целевую функцию Z= 358х1 + 338х2,
Перепишем это условие в следующей форме: Z = 358х1 + 338х2 max.
Таким образом, математическая модель оптимизации выпуска продукции может быть записана в следующем виде.
Найти неизвестные значения переменных х1 и х2, удовлетворяющие ограничениям
5х1 + 4х2  441
3х1 + 3х2  321
5х1 + 4х2  485
х1 0, х20
и доставляющих максимальное значение целевой функции Z = 358х1 + 338х2 max.
Построенная модель является задачей линейного программирования. Любое решение, удовлетворяющее ограничениям модели, называется допустимым, а допустимое решение, доставляющее максимальное значение целевой функции, называется оптимальным.

1.2. Нахождение оптимальной производственной программы выпуска продукции.

Решение задачи линейного программирования с двумя переменными может быть получено графическим способом.
Построим множество допустимых решений или область допустимых решений. Проводим перпендикулярные оси координат: горизонтальная – ось Ох1, вертикальная - Ох2. Условия неотрицательности переменных х1 0, х20 показывают, что область допустимых решений будет лежать в первом квадранте системы координат. Для изображения на плоскости множества точек, координаты которых удовлетворяют оставшимся ограничениям модели, рассмотрим уравнения, получаемые из неравенств модели заменой знака «» на знак «=». В результате такой замены получим три линейных уравнения прямых:
5х1 + 4х2 = 441 (1)
3х1 + 3х2 = 321 (2)
5х1 + 4х2 = 485 (3)
Для того, чтобы провести на плоскости прямую линию, достаточно знать любые две различные точки, лежащие на этой прямой. Рассмотрим уравнение первой прямой. Если положить х1 = 0, то х2 =110,25, а при х2 = 0, х1 = 88,2. Следовательно, прямая (1) проходит через точки с координатами (0;110,25) и (88,2;0). Обозначим эту прямую как линия (1).
Прямая (2) проходит через точки с координатами (0;107) и (107;0).
Прямая (3) проходит через точки с координатами (0;121,25) и (97;0).
Каждая прямая делит плоскость на две полуплоскости. Точки расположенные по одну сторону прямой, удовлетворяют соответствующему неравенству, а точки, расположенные по другую сторону, не удовлетворяют. Для того, чтобы определить искомую полуплоскость, выбирается некоторая «тестовая» точка и ее координаты подставляются в левую часть неравенства. Если для этой точки неравенство выполняется, то она лежит в искомой полуплоскости, т.е. все точки этой полуплоскости удовлетворяют неравенству модели. Если же для «тестовой» точки неравенство не выполняется, то искомой будет та полуплоскость, которая не содержит эту точку. Взяв в качестве «тестовой» точку с координатами (0;0), убеждаемся, что она удовлетворяет всем неравенствам модели.
Следовательно, все полуплоскости, соответствующие неравенствам модели, содержат точку (0,0).


Точки множества допустимых решений должны удовлетворять всем ограничениям. Следовательно, множество допустимых решений является пересечением всех допустимых полуплоскостей и представляет собой многоугольник АВСО. Любая точка, расположенная внутри этого многоугольника или на любом отрезке его границы, является допустимым решением, т.е. удовлетворяет всем ограничениям модели.
Для нахождения оптимального решения задачи необходимо определить направление возрастания целевой функции.
Вектор, компоненты которого являются коэффициентами целевой функции при переменных х1 и х2, называют вектором – градиентом целевой функции и обозначают grad Z.
Целевая функция может возрастать до тех пор, пока линии уровня соответствующие возрастающим значениям этой функции, пересекают область допустимых решений. Точка пересечения области допустимых решений и линии уровня, соответствующей максимально возможному значению целевой функции, и будет точкой максимума.
На рисунке видно, что оптимальное решение соответствует точке В, лежащей на пересечении прямых (1) и (2). Поэтому ее координаты находим как решение системы линейных уравнений, задающих эти прямые:

5х1 + 4х2 = 441
3х1 + 3х2 = 321

Решая эту систему находим х1* = 13, х2*= 94 . При этом значение целевой функции Z = 358х1* + 338х2* = 358  13+ 338 94 = 36426
Полученное решение означает, что предприятию необходимо ежемесячно производить 13 единиц продукции А и 94 единицы продукции Б, что позволит ему получать максимальную месячную выручку в размере 36426 рублей.



1.3. Построение двойственной задачи.
Перепишем построенную выше математическую модель оптимизации производственной программы
5х1 + 4х2  441
3х1 + 3х2  321
5х1 + 4х2  485
х1 0, х20
Z = 358х1 + 338х2 max
и будем считать ее прямой задачей. Построим двойственную задачу по следующим правилам:
1. Каждому ограничению прямой задачи (кроме ограничений х10, х20) соответствует неотрицательная переменная двойственной задачи. В нашем примере три ограничения. Следовательно, в двойственной задаче будет три переменных. Обозначим их через u1, u2, u3, где u1 соответствует первому ограничению, u2 – второму, u3 – третьему.
2. Каждой переменной прямой задачи соответствует ограничение двойственной. Следовательно, в нашем примере двойственная задача будет иметь два ограничения.
3. Коэффициенты при какой-либо переменной в ограничениях прямой задачи и коэффициент целевой функции при этой переменной становятся соответственно коэффициентами того ограничения двойственной задачи, которое соответствует этой переменной и правой частью формируемого ограничения двойственной задачи.
В нашем примере переменной х1 соответствует первое ограничение двойственной задачи; коэффициенты при х1 являются коэффициентами первого ограничения двойственной задачи, а коэффициент целевой функции прямой задачи при х1 становится правой частью первого ограничения, записываемого со знаком «».
4. Правые части ограничений прямой задачи являются коэффициентами целевой функции двойственной задачи, которая минимизируется. Следовательно, в нашем примере целевая функция двойственной задачи примет вид:
W = 441u1 + 321u2 + 485u3 min.
Применение сформулированных правил к задаче оптимизации производственной программы приводит к следующей двойственной задаче:
Найти неизвестные значения переменных u1, u2, u3 , удовлетворяющих ограничениям:
5u1 + 3u2 + 5u3 ³ 358
4u1 + 3u2 + 4u3  338
u1 0, u2 0, u3  0

и доставляющих минимальное значение целевой функции
W = 441u1 + 321u2 + 485u3 min.

1.4. Нахождение оптимального решения двойственной задачи.

Запишем прямую и двойственную задачу в общем виде:

Прямая задача Двойственная задача
Найти неизвестные значения Найти неизвестные значения
переменных х1, х2,…,хn, переменных u1, u2,…,um,
удовлетворяющих ограничениям удовлетворяющих ограничениям
аijxj bi, i = 1,…,m (4) аijuj cj, j = 1,…,n (7)
j i
xj0, j=1,…,n (5) ui0, i=1,…,m (8)
и доставляющие максимальное и доставляющие минимальное
значение целевой функции значение целевой функции
Z =  cjxj  max (6) Z =  biui  min (9)
J i
Задача (4)-(6) является обобщением рассматриваемой нами задачи оптимизации производcтвенной программы, в которой для производства n видов продукции х1, х2,…,хn используется m видов ресурсов b1, b2,…,bm при затратах i-го ресурса на выпуск единицы j-й продукции в количестве аij и выручке от реализации единицы произведенной продукции j-го вида в размере сj, j = 1,…n.
Сформулируем для задач (4)-(6) и (7)-(9) теоремы двойственности:
Теорема 1 (первая теорема двойственности).
Если одна из задач (4)-(6) и (7)-(9) имеет оптимальное решение, то и другая задача имеет оптимальное решение. При этом оптимальные значения целевых функций совпадают, т.е. max Z = min W.
Если же целевая функция одной из задач не ограничена, то другая задача не имеет ни одного допустимого решения.
Теорема 2 (вторая теорема двойственности).
Допустимые решения Х = (х1, х2,…,хn), U = (u1, u2,…,um) прямой и двойственной задач оптимальны тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:
ui(bi - aijxj) = 0, i = 1,..,m, (10)
xi(ai - aijuj) = 0, j = 1,..,n (11)
Условия (10), (11) называются условиями «дополнительной нежесткости».
Используем теорему 2 для нахождения оптимального решения U* двойственной задачи. Для этого известные значения компонент х1*, х2*,…,хn* вектора Х* подставляются в соотношения (10), (11). В результате такой подстановки получится система линейных уравнений относительно неизвестных величин u1, u2,…,um, решение которой позволит получить оптимальные значения u1*, u2*,…,um*.
Для рассматриваемой нами задачи соотношения (10), (11) будут иметь вид:
u1 (441-5x1- 4x2 )= 0 x1(5u1 + 3u2 + 5u3 - 358 )= 0
u2(321-3x1 – 3x2)= 0 x2(4u1 + 3u2 + 4u3 - 338) = 0
u3(485 -5x1 – 5x2)= 0
u1 ³0, u2 ³0, u3 ³ 0......





Перейти к полному тексту работы


Скачать работу с онлайн повышением уникальности до 90% по antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru


Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.