На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Контрольная Матрицы и операции над ними.Сложение (вычитание) матриц.

Информация:

Тип работы: Контрольная. Предмет: Математика. Добавлен: 14.11.2013. Сдан: 2012. Страниц: 83. Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%

Описание (план):


1. Матрицы и операции над ними
1) Сложение (вычитание) матриц.
Сложение матриц A + B есть операция нахождения матрицы C, все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен
cij = aij + bij
2) Умножение матриц на число, умножение матрицы А на матрицу В.
Умножение матрицы A на число ? (обозначение: ?A) заключается в построении матрицы B, элементы которой получены путём умножения каждого элемента матрицы A на это число, то есть каждый элемент матрицы B равен
bij = ?aij
Умножение матриц (обозначение: AB, реже со знаком умножения ) - есть операция вычисления матрицы C, элементы которой равны сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго.

В первом множителе должно быть столько же столбцов, сколько строк во втором. Если матрица A имеет размерность , B - , то размерность их произведения AB = C есть .
3) Транспонирование матрицы.
С каждой матрицей A = (aij) размера связана матрица B = (bij) размера вида

Такая матрица называется матрицей транспонированной для A и обозначается так AT.
4) Возведение матрицы А в целую положительную степень.
При возведении матрицы в целую положительную степень происходит матричное умножение матрицы на саму себя столько раз, каков показатель степени
5) След матрицы.
Операция, отображающая пространство квадратных матриц в поле , над которым определена матрица (для действительных матриц - в поле действительных чисел, для комплексных матриц - в поле комплексных чисел). След матрицы - это сумма элементов главной диагонали матрицы, то есть если aij элементы матрицы A, то её след
.
В математических текстах встречается два обозначения операции взятия следа:
(от англ. Trace - след), и
(от нем. Spur - след).
6) Обратная матрица.
Квадратная матрица В называется обратной для квадратной матрицы А того же порядка, если их произведение А В = В А = Е, где Е - единичная матрица того же порядка, что и матрицы А и В.

Матрица, обратная матрице А, обозначается через А?1, так что В = А?1. Обратная матрица вычисляется по формуле
,
где А i j - алгебраические дополнения элементов a i j.
1.1. Найти матрицу , где
1 2 3 Вариант

Ответ
Решение:
А+В =
(А+В)Т =
Правильный вариант ответа - 2
1.2 Даны матрицы
Показать, что
Решение:
АВ =
(АВ)Т =
АТ = ВТ =
ВТ * АТ = = =
Действительно (АВ)Т = = ВТ * АТ
1.3 Дана матрица . Найти матрицу и её след.
Варианты ответа
1 2 3 Вариант

Ответ
trB=4 trB =7 trB =-9
Решение:
А2 =
В = А3 =
trB = 13-22 = -9
Правильный вариант ответа - 3
1.4. Дана матрица найти матрицу :
1 2 3 Вариант

Ответ

Решение:
detА = 4*1-2*(-5) = 14
А-1 =
Правильный вариант ответа - 2
1.5. Даны матрицы
Показать, что
Решение:
АВ =
det (АВ) = 14*(-3)-3*(-9) = -15
(АВ)-1 =
detА = 2*1-(-1)*3 = 5
detВ = 1*(-3)-4*0 = -3
А-1 =
В-1 =
В-1 А-1 = =
=
Действительно,
2. Определители
Теоретический материал:
1) Свойства определителей.
§ Определитель - кососимметричная полилинейная функция строк (столбцов) матрицы. Полилинейность означает, что определитель линеен по всем строкам (столбцам):
§ , где и т. д. - строчки матрицы, - определитель такой матрицы.
§ При добавлении к любой строке (столбцу) линейной комбинации других строк (столбцов) определитель не изменится.
§ Если две строки (столбца) матрицы совпадают, то её определитель равен нулю.
§ Если две (или несколько) строки (столбца) матрицы линейно зависимы, то её определитель равен нулю.
§ Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.
§ Если хотя бы одна строка (столбец) матрицы нулевая, то определитель равен нулю.
§ Сумма произведений всех элементов любой строки на их алгебраические дополнения равна определителю.
§ Сумма произведений всех элементов любого ряда на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.
§ Определитель произведения квадратных матриц одинакового порядка равен произведению их определителей (cм. также формулу Бине-Коши ).
§ С использованием индексной нотации определитель матрицы может быть определён с помощью символа Леви-Чивита из соотношения:

2)Минор, алгебраическое дополнение.
Минор

матрицы A ? определитель квадратной матрицы порядка k (который называется также порядком этого минора), элементы которой стоят в матрице A на пересечении строк с номерами и столбцов с номерами .
Если номера отмеченных строк совпадают с номерами отмеченных столбцов, то минор называется главным, а если отмечены первые k строк и первые k столбцов ?угловым или ведущим главным.
Дополнительный минор элемента матрицы n-го порядка есть определитель порядка (n-1), соответствующий той матрице, которая получается из матрицы путем вычеркивания i-ой строки и j-го столбца.
Базисным минором матрицы называется любой её ненулевой минор максимального порядка. Для того чтобы минор был базисным, необходимо и достаточно, чтобы все окаймляющие его миноры (то есть содержащие его миноры на единицу большего порядка) были равны нулю. Система строк (столбцов) матрицы, связанных с базисным минором, является максимальной линейно независимой подсистемой системы всех строк (столбцов) матрицы.
Алгебраическим дополнением элемента aij матрицы A называется число
Aij = ( ? 1)i + jMij, где Mij - дополнительный минор , определитель матрицы, получающейся из исходной матрицы A путем вычёркивания i -й строки и j -го столбца.
3)Вычисление определителей.
1. Определение через разложение по первой строке
Для матрицы первого порядка детерминантом является сам единственный элемент этой матрицы:

Для матрицы детерминант определяется как

Для матрицы определитель задаётся рекурсивно:
, где - дополнительный минор к элементу a1j. Эта формула называется разложением по строке.
В частности, формула вычисления определителя матрицы такова:

= a11a22a33 ? a11a23a32 ? a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32 ? a13a22a31

Легко доказать, что при транспонировании определитель матрицы не изменяется (иными словами, аналогичное разложение по первому столбцу также справедливо, то есть даёт такой же результат, как и разложение по первой строке):


2. Определение через перестановки
Для матрицы справедлива формула:
,
где ?1,?2,...,?n - перестановка чисел от 1 до n, N(?1,?2,...,?n) - число инверсий в перестановке, суммирование идёт по всем возможным перестановкам порядка n. Таким образом, в определитель войдёт n! слагаемых, которые также называют «членами определителя». Важно заметить, что во многих курсах линейной алгебры это определение даётся как основное.
4) Невырожденная матрица.
Невырожденная матрица ? квадратная матрица , определитель которой отличен от нуля.
2.1. Вычислить определитель:
1 2 3 Вариант
0.5 0 1 Ответ
Решение:
= Sin2 x - (-Cos2 x) = Sin2 x + Cos2 x = 1
Правильный вариант ответа - 3
2.2. Вычислить определитель с помощью теоремы Лапласа:
1 2 3 Вариант
37 84 120 Ответ



Решение:
= 2* (1*3-5*(-2))+4*(3*3-1*(-2))+3*5-1*1 = 84
Правильный вариант ответа - 2
2.3. Найти числовое значение х:
3, 1, 5
х - 1, 2, 10 =0
- 7, х + 2, 15
1 2 3 Вариант
Ответ



Решение:

3*(2*15-10*(х+2))-((х-1)*15-(-7)*10) + 5*((х-1)*(х+2)-(-7)*2) = 0
90-30х-60-15х+15-70+5х2+10х-5х-10+70 = 0
5х2-40х+35 = 0
х2 -8х+7 = 0
D = (-8)2 -4*1*7 = 36
х1,2 =
х1 = 1 , х2 = 7
Правильный вариант ответа - 3

2.4. Решить систему методом Крамера:
Решение:
Исследуем систему на совместимость
= -(2*(-1)-(-3)*(-9)) = 29 ? 0
т.е. rang A = rang D = 3, где А - основная матрица, D- расширенная. Значит, по теореме Кронекера- Капелли система линейных уравнений совместна и имеет единственное решение.
Решим систему уравнений методов Крамера
? = = -(2*(-1)-(-3)*(-9)) = 29
?1 = = -(-34*1-5*(-1)) = 29
?2 = = -(-31*(-1)-3*(-9)) = -58
?3 = = -(2*3-(-3)*(-31)) = 87
Таким образом, х = = 1
у = = -2
z = = 3
Правильный ответ: х = 1, у = -2, z = 3.
3.Ранг матрицы
Теоретический материал:
1) Ранг матрицы и свойства ранга матрицы.
Ранг матрицы - наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля.
Обычно ранг матрицы A обозначается ( ) или .

Свойства
§ Теорема (о базисном миноре): Пусть - базисный минор матрицы A, тогда:
1. базисные строки и базисные столбцы линейно независимы ;
2. любая строка (столбец) матрицы A есть линейная комбинация базисных строк (столбцов).
§ Следствия:
§ Если ранг матрицы равен r, то любые p:p > r строк или столбцов этой матрицы будут линейно зависимы.
§ Если A - квадратная матрица, и , то строки и столбцы этой матрицы линейно зависимы.
§ Пусть , тогда максимальное количество линейно независимых строк (столбцов) этой матрицы равно r.
Теорема (об инвариантности ранга при элементарных преобразованиях): Введём обозначение для матриц, полученных друг из друга элементарными преобразованиями . Тогда справедливо утверждение: Если , то их ранги равны.
-Теорема Кронекера Капелли : Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы. В частности:
§ Количество главных переменных системы равно рангу системы.
§ Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.
2) Элементарные преобразования, не меняющие ранга матрицы.
Элементарными называются следующие преобразования матрицы:
1) перестановка двух любых строк (или столбцов),
2) умножение строки (или столбца) на отличное от нуля число,
3) прибавление к одной строке (или столбцу) другой строки (или столбца), умноженной на некоторое число.
3) Эквивалентные матрицы.
Две матрицы называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью конечного множества элементарных преобразований.
Эквивалентные матрицы не являются, вообще говоря, равными, но их ранги равны. Если матрицы А и В эквивалентны, то это записывается так: A ~ B.
4) Собственные значения и собственные векторы матрицы.
Пусть A - матрица некоторого линейного преобразования порядка n.
Определение. Многочлен n-ой степени
P(?) = det(A - ? Е)
называется характеристическим многочленом матрицы А, а его корни, которые могут быть как действительными, так и комплексными, называются характеристическими корнями этой матрицы.
Определение. Ненулевой вектор x линейного пространства V, удовлетворяющий условию
А(х) = ? х
называется собственным вектором преобразования A. Число ? называется собственным значением.
Алгоритм нахождения собственных значений и собственных векторов
1. Найти собственные значения матрицы:
· записать характеристическое уравнение:
det(A - ? Е) = 0;
· Найти его корни ?j, j=1,...,n и их кратности.
2. Найти собственные векторы матрицы:
· для каждого ?j решить уравнение
(A - ?jE) x = 0;
·........



Перейти к полному тексту работы


Скачать работу с онлайн повышением уникальности до 90% по antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru


Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.