На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


Курсовик Дифференциальные уравнения второго порядка.ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ

Информация:

Тип работы: Курсовик. Добавлен: 29.11.2013. Сдан: 2013. Страниц: 35. Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%

Описание (план):


Оглавление
ВВЕДЕНИЕ 2
§ 1. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ 3
§2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. 9
§3. ЛИНЕЙНЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 11
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. 11
§4. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 12
ВТОРОГО ПОРЯДКА. 12
§5. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРВАВНЕНИЯ 17
ВТОРОГО ПОРЯДКА. 17
§6. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 21
ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 21
§7. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 25
ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 25
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 33
Список литературы 34


ВВЕДЕНИЕ
История возникновения дифференциального исчисления, начатая с введения в математику Декартом переменных величин и окончательно оформленная работами Ньютона и Лейбница примерно к 1667 году, создала к настоящему времени всесторонне развитую теорию обыкновенных дифференциальных уравнений.
Дифференциальное уравнение - уравнение < wiki/%D0%A3%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5>, связывающее значение некоторой неизвестной функции < wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_%28%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0%29> в некоторой точке и значение её производных < wiki/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8> различных порядков в той же точке. Дифференциальное уравнение содержит в своей записи неизвестную функцию, её производные и независимые переменные.
В данной работе основным образом мы рассматриваем дифференциальные уравнения второго порядка. Работа состоит из семи параграфов. В каждом параграфе рассматриваются основные понятия связанные с дифференциальными уравнениями. Приведены примеры решения различных видов уравнений.


§ 1. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ
Математическое описание самых разнообразных процессов, про­исходящих в природе, приводит часто к уравнениям, связывающим независимую переменную, искомую функцию (одной переменной) и производные этой функции. Такого рода уравнения называются дифференциальными уравнениями. Если в дифференциальное урав­нение входит только независимая переменная, функция и ее первая производная, то уравнение называется дифференциальным уравне­нием первого порядка. В общем виде его можно записать так:
F (x, y, ) = 0,
если оно решено относительно производной, то так:
y = f(x,у).
Если дифференциальное уравнение содержит еще и производную второго порядка от искомой функции, то оно называется дифферен­циальным уравнением второго порядка:
F (x, y, ) = 0
Аналогично, Если дифференциальное уравнение содержит еще и производную второго порядка от искомой функции, то оно называется дифферен­циальным уравнением второго порядка:
F (x, y, ) = 0
Во всяком дифференциальном уравнении неизвестной величиной, которую надо найти, является функция, входящая в уравнение вместе с некоторыми своими производными. Решение дифферен­циальных уравнений, то есть нахождение этой функции, - очень сложная задача: чем выше порядок уравнения, тем труднее указать способы решения уравнения; даже для дифференциальных уравне­ний первого порядка можно лишь в небольшом количестве частных случаев указать приемы нахождения искомой функции. Трудность заключается также и в том, что искомая функция не всегда является элементарной.
Рассмотрим несколько задач из различных областей естество­знания, приводящих в процессе своего решения к дифференциаль­ным уравнениям.
Задача 1. Тело температуры помещается в среду темпе­ратуры 0°. Тело начинает охлаждаться. Требуется найти формулу, по которой можно было бы определить температуру тела в любой момент времени.
Для математического описания этого процесса нужно выбрать независимую переменную; таковой в данном случае является время. Будем вести отсчет времени от того момента, когда тело поместили в среду температуры 0° и начался процесс его охлаждения. Искомой функцией в данной задаче является меняющаяся со временем тем­пература тела. Обозначим ее (t). В начальный момент температура тела была известна, то есть известно, что , при t = 0. Это так называемые «начальные условия задачи».
Из физики известен следующий эмпирический закон: скорость охлаждения какого-либо тела в любой момент времени пропорцио­нальна разности температур тела и среды. В нашем случае темпе­ратура среды равна нулю и поэтому скорость охлаждения тела пропорциональна температуре тела. Но скорость охлаждения - это скорость изменения (убывания) температуры, а из дифферен­циального исчисления известно, что скорость изменения какой - либо функции по сравнению с изменением независимой переменной сеть производная от этой функции по независимой переменной. Таким образом, сформулированный выше эмпирический закон можно математически записать следующим образом:
(1)
где k - коэффициент пропорциональности. (Знак «минус» поставлен потому, что температура убывает, а производная убывающей функ­ции отрицательна.)
Соотношение (1) представляет собой дифференциальное уравнение первого порядка, из которого надо найти выражение температуры через время t. В данном случае уравнение (1) настолько просто, что нахождение функции (t) не представляет труда. Действительно, перепишем его в виде:
(2)
в такой записи мы имеем равенство дифференциалов двух различных выражений, а именно: d(ln )=d(-kt). В этом равенстве вели­чина зависит от t, как было указано выше. Но из интегрального исчисления известно, что если производные или дифференциалы двух функций равны между собой, то сами функции отличаются друг от друга разве лишь постоянным слагаемым, то есть
ln = -kt+C. (3)
Отсюда потенцированием находим:
= . (4)
Формула (4) и дает выражение температуры как функции вре­мени. В эту формулу входит произвольная постоянная С, которой можно придавать какие угодно числовые значения, то есть, иначе говоря, формула (4) дает не один ответ на поставленный в задаче вопрос, а бесконечное множество ответов. Так получилось потому, что переход от равенства (2) к равенству (4) содержал операцию интегрирования. С другой стороны, естественно ожидать, что при решении определенной задачи с конкретно заданными условиями должен получиться один определенный ответ. Так будет и в нашем случае, если учесть «начальные условия». Подставим данные начальных условий в формулу (4) (это можно сделать, так как формула (4) определяет температуру тела как функцию времени в любой момент времени, в частности и в момент времени t = 0):
то есть
Таким образом, установлено, что в условиях нашей задачи постоянная С имеет вполне определенное числовое значение (а именно С = In ), и, подставляя это значение С в формулу (4), получим только одну функцию, представляющую собой решение поставленной задачи:
(5)
Задача 2. Форму какой поверхности вращения должно иметь зеркало рефлектора для того, чтобы лучи, исходящие из источника света, помещенного внутри рефлектора на оси вращения, отража­лись от его поверхности параллельно этой оси.
Для решения этой задачи будем рассматривать плоское сечение зеркала, проходящее через ось вращения, и выберем наиболее удобное расположение этой плоской фигуры относительно ко­ординатной системы. Требуется определить форму плоской кривой, получающейся в указанном сечении. Поместим источник света в на­чале координат, и пусть ось вращения совпадает с осью ОХ. На рисунке 1 дуга АВ представляет собой часть ду­ги искомой кривой. Лома­ная OMD изображает путь любого луча, исходящего из источника света в точ­ке О и отражающегося в точке М от поверхности рефлектора по условию за­да ш параллельно оси ОХ.
рис. 1
Проведем касательную к кривой АВ в точке М и продолжим ее до пересечения с осью ОХ в точке Е. Отметим на касательной вправо от точки М какую-нибудь точку F. Опустим перпендикуляр МН из точки М на ось ОХ. По закону оптики имеем: ЕМО = FMD и по построению FMD = МЕО. Следовательно, треугольник МЕО равнобедренный и поэтому ЕО=ОМ. Обозначим координаты точки М через х и у (ОН=x, НМ=у) и выразим стороны треугольника ЕО и ОМ через х и у. Очевидно, что и ЕО=ЕН-ОН. Положим, , и из прямо­угольного треугольника МЕН получим: . (ЕMF - касательная к кривой в точке М и, следовательно, tg ? = y.)
Используя это равенство, получаем . Так как треугольник МЕО равнобедренный, то
........

Список литературы
1. Бохан К.А. и др. курс математического анализа т. II учебное пособие для студентов заочников физ.- мат. фак - тов пед. ин -тов. Под ред. Б.З. Вулиха. М., «Просвещение» 1972. 439 с.
2. Кузнецов Л.С. Сборник задач по высшей математике. СПб: Лань, 2005
3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для вузов. Том 1. М: Наука, 1978
4. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Филлипов А.Ф. Главная редакция физико - математической литературы издательства «Наука», 1970. 57 с.
5. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.: Гостехиздат, 1963. - 461 с.
6. Интернет-источник: www.mathematics.ru < >7. Интернет-источник: ru.wikipedia.org.



Перейти к полному тексту работы


Скачать работу с онлайн повышением уникальности до 90% по antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru


Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.