На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Результат поиска


Наименование:


диплом разработка содержания и методики организации уроков повторения в 9 классе по линии уравнений и неравенств

Информация:

Тип работы: диплом. Предмет: Математика. Добавлен: 26.6.2014. Сдан: 2012. Страниц: 120. Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%

Описание (план):


ВВЕДЕНИЕ
Линия уравнений и неравенств в школьном курсе математики занимает ведущее место. На её изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему. Действительно, уравнения и неравенства не только имеют важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям. Подавляющее большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводятся к решению различных видов уравнений.
Но несмотря на то, что изучение линии уравнений и неравенств составляет значительную часть школьного курса математики, материал, связанный с уравнениями и неравенствами, усваивается непрочно и не обладает широкой степенью переноса. Учащиеся плохо решают уравнения неравенства, т.к. путаются среди большого количества типов уравнений и неравенств, и методов их решения. В свою очередь у учителей возникают трудности в проведении обобщающих уроков по уравнениям и неравенствам в конце 9-го класса. Причинами этого, по-нашему мнению, являются:
- во-первых, большой объем материала;
во-вторых, разнообразие типов уравнений и неравенств и различие методов их решения, т.е. в содержании обучения решению уравнений и неравенств отсутствует общая схема решения уравнений и неравенств, которая могла бы позволить учащимся решить любое уравнение или неравенство;
в-третьих, психологическая основа на которую опирается учебный процесс, не позволяет учащимся эффективно усваивать материал по линии уравнений и неравенств.
Из этого вытекает актуальность темы нашего исследования в практике современного обучения математике.
Объект исследования содержание и методика обучения математике в неполной средней школе.
Предмет исследования содержание и методика изучения линии уравнений в неполной средней школе.
Целью исследования является разработка содержания и методики организации уроков повторения в 9 классе по линии уравнений и неравенств, на основе теории поэтапного формирования умственных действий.
Задачи исследования:
Изучить психолого-педагогическую и методическую литературу по теме исследования;
Изучить содержание и методику преподавания линии уравнений и неравенств в школьном курсе математики;
Провести сравнительный анализ изучения линии уравнений и неравенств в школьном курсе математики;
Разработать содержание и методику организации уроков повторения в 9 классе по линии уравнений и неравенств.
При решении поставленных задач были использованы следующие методы: анализ методико-математической и психолого-педагогической литературы по теме исследования; анализ программ и учебных пособий по математике и методике преподавания математики в неполной средней школе; изучение и обобщение педагогического опыта обучения математике в неполной средней школе.
Теоретической основой исследования является деятельностный подход к обучению математике.
Структура дипломной работы: дипломная работа состоит из введения, двух глав, заключения, литературы и приложения.


ГЛАВА 1. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ОБУЧЕНИЯ ПО ЛИНИИ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ В НЕПОЛНОЙ СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ
1.АНАЛИЗ СОДЕРЖАНИЯ ЛИНИИ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
В НЕПОЛНОЙ СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ
Материал, связанный с уравнениями и неравенствами, составляет значительную часть школьного курса математики. Это объясняется тем, что уравнения и неравенства широко используются в различных разделах математики, в решении важнейших прикладных задач. Ввиду важности и обширности материала, связанного с понятием уравнения, его изучения в современной методике математики организовано в содержательно-методическую линию - линию уравнений и неравенств. Здесь рассматриваются вопросы формирования понятий уравнения и неравенства, общих и частных методов их решения, взаимосвязи изучения уравнений и неравенств с числовой, функциональной и другими линиями школьного курса математики.
В программе по математике [27] предусматривается ознакомление учащихся с широким кругом вопросов, связанных с уравнениями. Учащиеся знакомятся с понятием уравнения и корня уравнения, линейного и квадратного уравнений, формулой корней квадратного уравнения, исследованием квадратного уравнения по дискриминанту, понятием системы уравнений и решения системы. Основной упор делается на овладение учащимися практическими приемами решения уравнений и систем уравнений.
В программе по математике 5-9 [27]классов уровень обязательной подготовки по линии уравнений и неравенств определяется следующими требованиями:
" - уметь решать линейные, квадратные уравнения и простейшие рациональные уравнения, сводящиеся к ним;
уметь решать линейные неравенства с одной переменной;
понимать графическую интерпретацию решения уравнений и неравенств, и их систем ". [27,c. 19]
А в содержании обучения по данной линии задаётся минимальный объем материала, обязательный для изучения в школе, который включает в себя следующие типы уравнений и неравенств: "Уравнения с одной переменной. Линейное уравнение. Квадратное уравнение. Теорема Виета. Решение рациональных уравнений.
Линейные неравенства с одной переменной. Неравенства второй степени с одной переменной".[27, c. 28]
Как мы видим из программных требований к уровню знаний и содержания обучения по линии уравнений и неравенств все типы уравнений и неравенств изучаются изолированно друг от друга, нет связи между ними, материал не приведен в единую систему, не выделяется общего приёма решения, отсутствует понятие того, что нужно сделать, чтобы решить уравнение или неравенство вообще; не приведена система преобразований необходимая для решения любого уравнения или неравенства, применимая ко всем типам.

1.1 ИЗУЧЕНИЕ ЛИНИИ УРАВНЕНИЙ В 7 КЛАССЕ.
Изучение систематического курса уравнений начинается в 7 классе с введения уравнения первой степени с одним неизвестным - это всякое уравнение, которое после ряда равносильных преобразований приводится к виду ах = в, где а ? 0 ………………………………………………(1)
Здесь, - коэффициент при неизвестном, в - свободный член. Уравнение ах = в, где а ? 0 называется каноническим видом уравнения первой степени с одним неизвестным.
Чтобы решить это уравнение достаточно почленно разделить его на коэффициент при неизвестном .Так как коэффициент, по определению, отличен от нуля , то отсюда вытекает очень важное следствие: уравнение первой степени с одним неизвестным всегда имеет корень и притом только один. Чтобы решить любое уравнение данного типа достаточно после ряда равносильных преобразований привести к каноническому виду. Рассмотрим уравнения, которые с помощью различных равносильных преобразований можно привести к каноническому виду (1). [ 10,c. 40 ]
Пример 1. 3х - 8 = х + 6
Для приведения данного уравнения к виду (1) необходимо перенести члены, содержащие неизвестное, в одну часть (влево), а свободные члены - вправо, с противоположным знаком, т.е. 3х - х = 6 + 8
Затем привести подобные члены 2х = 14 и разделить на коэффициент при неизвестном. х = 7
Пример 2. 8 - 5х( х - 7) = 1 - 5х2
Для приведения к виду (1) необходимо раскрыть скобки.
8 - 5х2 -35х = 1 - 5х2
Затем действовать также как в примере 1, т.е. -5х2 + 5х2 + 35х = 1 - 8
35х = -7
х = -
Пример 3. - = 2
Для приведения к виду (1) обе части уравнения умножим на наименьшее общее кратное знаменателей дробей, т.е. на число 18 , тем самым избавимся от дробных членов. 2(2х - 1) - 3(х + 5) = 36
4х - 2 - 3х -15 = 36
4х - 3х = 36 + 2 + 15
х = 53
Пример 4. Решить уравнения
16у(2 - у) + (4у - 5) = 0 х - 3х(1 - 12) = 11 - (5 - 6х)(6х + 5)
В данных уравнениях, применяя формулы сокращенного умножения, раскроем скобки.
32у - 16у2+ 16у2- 40у + 25 = 0 х - 3х +36х2 = 11-(25 - 36х2)
Приводим подобные слагаемые и так далее как в примере 2.
32у - 40у = -25; у = 3 -2х = -14; х = 7
Таким образом, рассмотрев несколько видов уравнений, приводимых к виду (1) можно решение уравнений данных видов свести к следующей схеме:
Привести уравнение к целому виду;
Раскрыть скобки;
Собрать члены, содержащие неизвестное, в одной части уравнения, а свободные члены - в другой;
Привести подобные члены;
Разделить обе части уравнения на коэффициент при неизвестном.
В 7 классе [4,c.27], наряду с линейными уравнениями с одним неизвестным, вводятся без определения неполные квадратные уравнения типа:
ах2 + вх = 0, где а ? 0
ах2+ с = 0, где а ? 0
В 7 классе решать квадратные уравнения можно таким путём.
Пример 5. 2х2+ 3х = 0
В выражении 2х2+ 3х вынесем за скобки множитель х:
х(2х + 3) = 0
Это произведение равно нулю тогда и только тогда, когда равен нулю хотя бы один из множителей, т.е. х = 0 или 2х + 3 = 0
2х = -3
х = -1,5
Следовательно, произведение обращается в нуль при х = 0 и х = -1,5. Уравнение 2х2+ 3х = 0 имеет два корня: 0, -1,5.
Пример 6. х2 - 16 = 0
Разложим на множители выражение х2- 16 = (х - 4)(х + 4)
Получим : (х - 4)(х + 4) = 0
Это произведение равно нулю тогда и только тогда, когда равен нулю хотя бы один из множителей, т.е. х - 4 = 0 или х + 4 = 0
х = 4 х = -4
Данное уравнение имеет два корня: 4; -4.
В 7 классе неполные квадратные уравнения решаются следующим образом:
Левую часть уравнения представить в виде произведения двух множителей, в каждом из которых неизвестное стоит в первой степени;
Приравнять каждый множитель к нулю;
Решить полученные линейные уравнения с одним неизвестным и найти корни.
В учебнике " Алгебра 7 класс " [4, c.42] предлагаются уравнения третьей степени с одним неизвестным, которые при помощи ряда равносильных преобразований приводятся к неполным квадратным уравнениям и решаются по ранее данной схеме.
Пример 7. х3+ 3х2 - 4х - 12 = 0
Сгруппируем 1, 2 и 3, 4 слагаемые:
(х3+ 3х2) - (4х + 12) = 0
Вынесем общий множитель за скобки:
х2(х + 3) - 4(х + 3) = 0
(х2 - 4)(х + 3) = 0
Приравняем каждый множитель к нулю и решим полученные уравнения:
х + 3 =0 или х2 - 4 = 0
х = -3 (х - 2)(х + 2) = 0
х - 2 = 0 или х + 2 = 0
х = 2 х = -2

Итак, -3; -2; 2 - корни данного уравнения.
Из этого примера видно, что для того, чтобы привести уравнение третьей степени к виду (2), необходимо владеть умением раскладывать многочлен на множители, т.е. сгруппировывать слагаемые и выносить общий множитель за скобки, получая тем самым множитель вида ах2 + вх = 0 или ах2 + с = 0, которые решаются по схеме данной выше.

1.2 ИЗУЧЕНИЕ ЛИНИИ УРАВНЕНИЙ В 8 КЛАССЕ.
В 8 классе изучение темы " Арифметический квадратный корень " позволяет ввести квадратное уравнение следующего вида х2 = а, где а - произвольное число.[5, c. 25]
В зависимости от числа а при решении этого уравнения возможны три случая: 1) а < 0, то уравнение х2 = а корней не имеет, т.к. не существует числа, квадрат которого был бы равен отрицательному числу;
а = 0,то уравнение имеет один корень, равный нулю;
а > 0, то уравнение имеет два корня.
Докажем это на примере уравнения х2 = 49. Это уравнение имеет два корня х1 = и х2 = - , т.е. х1 = 7 и х2 = -7.
Знание определения арифметического квадратного корня дает новый метод решения неполных квадратных уравнений вида ах2 + с = 0, который заключается в вычислении арифметического квадратного корня числа , т.е.
х2 = ,
х1 = ; х2 = - .
Пример 1. (х - 3)2 = 25
Не раскрываем скобки, используем определение арифметического квадратного корня: х - 3 = и х - 3 = -
х - 3 = 5 х - 3 = -5
х = 8 х = -2
Корни уравнения: -2; 8.
Пример 2. 49х2 - 16х = 0
Перенесем свободный член вправо с противоположным знаком.
49х2 = 16
Разделим почленно на коэффициент при неизвестном.
х2 = .
Найдем корни уравнения, используя определение арифметического квадратного корня : х1 = - и х2 =
х1 = - х2 =
Итак, для решения уравнения вида х2 = а необходимо:
Уравнение привести к данному виду при помощи равносильных преобразований;
Используя определение арифметического квадратного корня, извлечь корень из числа х1 = , а т.к. х2 есть число противоположное х1, то
х2 = - .
Затем вводятся уравнения, содержащие неизвестное под знаком модуля [5, c.50], которые решаются с использованием определения модуля числа:
| а | = a, если а ? 0
| a | = а, если а< 0.
Пример 1. | х | = 7
Пусть х ? 0, тогда по определению модуля | х | = х и уравнение принимает вид:
х = 7, 7 - корень уравнения;
Пусть х < 0, тогда по определению модуля | х | = -х и уравнение принимает вид:
х = -7, т.е. -7 - корень уравнения.
Ответ: -7; 7 .
Пример 2. | 3х + 2 | = 1
1) Пусть 3х + 2 ? 0 , тогда 3х + 2 =1 получим линейное уравнение с одним неизвестным: 3х = -1
х = - ;
Пусть 3х + 2 < 0 , тогда 3х + 2 = -1
3х = -3
х = -1.
Ответ: - , -1.
Итак, для решения уравнения, содержащего неизвестное под знаком модуля необходимо:
1.Раскрыть модуль, используя определение модуля числа:
| a | = a, если а ? 0;
| a | = -а, если а < 0.
2. Определить вид полученных уравнений или при помощи равносильных преобразований привести уравнения к определенному виду и решать эти уравнения.[5, c 41]
Дробно-рациональные уравнения
Вводятся в 8 классе, как и уравнения, содержащие неизвестное в знаменателе дроби, после изучения темы "Рациональные дроби" [5, c.45]. Это уравнения, правая и левая части которых являются дробными рациональными выражениями. Решение дробно-рацональных уравнений опирается на свойство рациональных дробей:
для любых а, в, с, где в ? 0, с ? 0 верно равенство = , и на умение складывать, вычитать, умножать и делить рациональные дроби.
Пример 1. Рассмотрим уравнение, содержащее неизвестное в знаменателе дроби
= 0
Данная дробь равна нулю, если х2 - 25 = 0 , а х + 5 ? 0. Значит можно решить уравнение х2 - 25 = 0. Это неполное квадратное уравнение : разложим на множители (х - 5)(х + 5) = 0, х1 = 5, х2 = -5.
Проверим, являются ли эти корни корнями исходного уравнения. При
х =5, знаменатель х + 5 ? 0, а при х = -5, знаменатель х + 5 = 0, следовательно,
х = -5 не является корнем исходного уравнения .
Ответ: х = 5. [ 2, c. 126-127]
Итак, при решении дробно-рациональных уравнений необходимо действовать следующим образом:
1. Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
2. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
Раскрыть скобки, привести подобные слагаемые и перенести все слагаемые с противоположным знаком влево;
Определить вид полученного уравнения;
Решить получившееся целое уравнение;
Исключит те корни, которые обращают в нуль знаменатель дроби.
Квадратные уравнения
Первоначальные сведения о некоторых видах квадратных уравнений учащиеся получают в 7 классе. При этом термины “ квадратное уравнение ” ,
“ неполное квадратное уравнение ” можно не вводить.
Как решаются квадратные уравнения в 7 классе было рассмотрено выше, а сейчас рассмотрим как справляются с этой задачей восьмиклассники.
Уравнение, которое после ряда равносильных преобразований может быть приведено к виду ах2 + вх + с = 0, где а, в, с - некоторые числа, а ? 0 называется квадратным (или уравнение второй степени с одним неизвестным). [5, c. 132]
Если в квадратном уравнении хотя бы один из коэффициентов в или с равен нулю, то такое уравнение называется неполным квадратным уравнением. Оно имеет следующий вид: 1) ах2 + с = 0
ах2+ вх = 0
ах2 = 0
Способы решения этих видов уравнений рассмотрены ранее. Существует несколько способов решения полного квадратного уравнения ах2 + вх + с = 0.
I.Решение полного квадратного уравнения путём сведения его к неполным (метод выделения полного квадрата)
Сводить полное квадратное уравнение к неполному можно двояким образом. Покажем это на примерах.
Пример 1. х2 + 8х - 33 = 0
Перенесем левую часть уравнения в виде:
х2 + 2х?4 + 16 - 16 - 33 = 0
Приведем подобные слагаемые
х2 + 8х + 16 =49
Получим квадрат суммы слева
(х + 4)2 = 49
Данное уравнение имеет только два решения: -7; 7. Таким образом, решим следующие уравнения: х1 + 4 = -7 и х2 + 4 = 7 - это линейные уравнения х1 = -11 и х2 = 3.
Ответ: -11; 3.
Пример 2. х2 - 11х + 30 = 0
Представим левую часть данного уравнения в виде (выделим полный квадрат).

Разложим левую часть уравнения на множители по формуле сокращенного умножения = 0 или (х - 5)(х - 6) = 0
Отсюда х -5 = 0 или х - 6 = 0
х = 5 х = 6
Итак, 5; 6 - корни данного квадратного уравнения.
Решение квадратного уравнения х2+ вх + с = 0 путем сведения его к неполным квадратным уравнениям можно обобщить следующим образом:
Дополним квадратный трехчлен до полного квадрата;
Приведем подобные члены;
Собираем полный квадрат по формулам: а2 + 2ав + в2 = (а + в)2
а2 - 2ав + в2 = (а - в)2
Переносим оставшиеся слагаемые вправо с противоположным знаком и решаем неполное квадратное уравнение.
или
4 Разложим левую часть уравнения на множители по формуле
(а 2 - в2) = (а - в)(а + в)
Решаем полученные уравнения, приравнивая множители к нулю.
II. Решение квадратного уравнения по формуле.
Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена часто приводит к громоздким преобразованиям, поэтому поступают иначе: решают уравнение в общем виде и в результате получают формулу корней. Затем эту формулу применяют при решении любого квадратного уравнения .
Решим квадратное уравнение ах2+ вх + с = 0. Разделив обе части на а, получим равносильное ему приведенное квадратное уравнение[10, c. 47].
х2+ х + = 0…………………………...(1)
Преобразуем это уравнение:
х2+ 2х? + 2 = 2 -

……….……………..…(2)
Уравнение (2) равносильно уравнению (1). Число корней его зависит от знака дроби . Т.к. а ? 0, то 4а2 - положительное число, поэтому знак этой дроби определяется знаком её числителя, т.е. выражения в2 - 4ас. Это выражение называется дискриминант квадратного уравнения ах2+ вх + с = 0, т.е. Д = в2 - 4ас . Запишем уравнение (2) в виде .

Рассмотрим теперь возможные различные случаи в зависимости от Д.
1. Если Д > 0, то х + или х + ;
х = - или х = - ;
х = или х = .
Таким образом, в этом случае уравнение (1) имеет два корня: х = и х = . Принята следующая запись: х = , где Д = в2 - 4ас, которую называют формулой корней квадратного уравнения.
Пример 3. 12х2+ 7х + 1 = 0
Найдем дискриминант Д = 72- 4?12?1= 49 - 48 = 1 > 0
Применим формулу корней квадратного уравнения х = .
Ответ: х1 = - , х2 = - .
2.Если Д = 0, то уравнение (2) имеет вид: = 0 ; отсюда х = - ; в этом случае уравнение (2) имеет единственный корень х = - .
Формулой корней квадратного уравнения можно пользоваться и в этом случае. Действительно, при Д = 0 эта формула примет вид: х = ; х = - .

Пример 4. х2-12х + 36 = 0
Имеем: Д = (-12)2 - 4?1?36 = 0
х = ; х = 6
Ответ: х = 6
3.Если Д < 0, то значение дроби отрицательное и поэтому уравнение , а следовательно и уравнение (1) не имеют корней .
Пример 5. 7х2- 25х + 23 = 0
Имеем Д = (-25)2 - 4?7?23 = 625 - 644 < 0
Д < 0, корней нет .
Таким образом, в зависимости от дискриминанта квадратное уравнение может иметь два корня (при Д > 0),один корень (при Д = 0) или не иметь корней(при Д < 0).
При решении квадратного уравнения по формуле целесообразно поступать следующим образом :
Вычислить дискриминант;
Сравнить его с нулем;
Если дискриминант положителен или равен нулю, то воспользоваться Для квадратных уравнений, у которых второй коэффициент является четным числом, формулу корней удобно записать в другом виде.
Рассмотрим квадратное уравнение х2 + 2kх + с = 0. Найдем его дискриминант Д = 4k2 - 4ас = 4(k2 - ас) [5, c. 142]
Очевидно, что число корней уравнения зависит от знака выражения
k2 - ас. Обозначим это выражение через Д1.
Если Д1 ? 0, то по формуле корней квадратного уравнения получим, что
х = ,
т.е. х = , где Д1 = k2 - ас.
Если Д1 < 0, то уравнение корней не имеет
Пример 6. Решить уравнение 9х2 - 14х + 5 = 0
Д1 = (-7)2 - 9?5 = 4, х = ,
х1 = , х2 = 1
Ответ: , 1. [ 2, с.112-115]
Квадратное уравнение вида х2 + рх + q = 0 …………………………..(3)
называется приведенным.
В этом уравнении старший коэффициент равен единице. Всякое квадратное уравнение ах2 + вх + с = 0 может быть приведено к виду (3) делением обеих частей уравнения на а ?.0.
Например, уравнение 4х2 + 4х - 3 = 0 делением на 4 приводим его к данному виду: х2 + х - = 0.
Найдем корни приведенного квадратного уравнения (3). Преобразуем это выражение
х2 + 2х?
………..…………..…(4)
Если ? 0 или ……………….….…(5)
Очевидно, что уравнение (4) равносильно уравнению (3). Но уравнение (5) имеет х + два и только два значения: х + = , х + = - .
Из полученных равенств находим два корня уравнения (5), а следовательно и уравнения (3): х1 = - + , х2 = - -
Если же < 0, то ни при каких значениях х уравнение (4) в тождество не обратится, т.к. неотрицательное число не может оказаться равным отрицательному числу < 0
Итак, уравнение (3) имеет два и только два корня: х1 = - + , х2 = - - ,если > 0, или же если р2 - 4q > 0.
В случае, когда р2 - 4q = 0 , будем говорить, что уравнение имеет два равных корня: х1 = - , х2 = - ; не имеет корней, если р2 - 4q < 0.Оба найденные корня обычно записывают в виде одной формулы:
х1,2 = - если р2 - 4q ? 0……………...…..(6)
- формула корней приведенного уравнения .
Важно отметить, что применять формулу можно тогда, когда после ряда равносильных преобразований квадратное уравнение приведено к каноническому виду х2 + рх + q = 0, причем род коэффициентами понимают не только абсолютные величины их, но и знаки.[10, с. 93-95]
Формулой корней приведенного квадратного уравнения особенно удобно пользоваться, когда р -четное число.
Пример 7. х2 - 14х - 15 = 0
По формуле (6) находим х1,2 = 7 =7 8
Ответ: х1 = 15, х2 = -1.
III.Решение приведенного квадратного уравнения с помощью теоремы
Виета.
Для приведенного квадратного уравнения справедлива следующая теорема: если 1 х и х2 - корни уравнения х2 + рх + q =0,то справедливы формулы
х1 +х2 = -р, т.е. сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком; и х1?х2 = q - произведение корней равно свободному члену. При решении некоторых приведенных квадратных уравнений применяется следующая обратная теорема: если числа
р, q, х1, х2, таковы, что х1+ х2 = -р , х1?х2 = q, то х1 и х2 - корни уравнения
х2 + рх + q = 0.
Подставим в левую часть х2 + рх + q вместо р выражение -(х1 + х2), а вместо q - ,( х1?х2).Получим х2 + рх + q = х2 -(х1 + х2)х + х1?х2 = х2 - х1х - х2х + х1х2 = х(х - х1) -х2(х - х1) = (х - х1)(х - х2)
Таким образом , при всех х выполняется равенство, что х и х2 - корни уравнения х2 + рх + q =0. Используя теорему обратную теореме Виета, иногда можно подбором найти корни уравнения [5, c. 131]
Пример 8. Подбором найти корни уравнения х2 - 5х +6 = 0.
Здесь р =-5, q = 6. Подберем два числа х1 и х2 так, чтобы х1 +х2 = 5, х1?х2 = 6.
Заметив, что 6 = 2?3, а 2 + 3 = 5 по теореме обратной теореме Виета, получаем, что х1 = 2, х2 = 3 - корни уравнения.
IV. Решение уравнений, приводимых к квадратным уравнениям.
Программа [27] предусматривает изучение большого класса уравнений, которые можно решать методом замены. Этом методом многие уравнения, имеющие часто сложный вид, модно свести к квадратным уравнениям, решение которых не вызывает затруднений. Простейшими примерами таких уравнений являются биквадратные уравнения, трехчленные уравнения более высоких степеней, а также некоторые другие виды алгебраических уравнений как например уравнение вида:
Пример 1. (х2 + 2х)2 + 14(х2 +2х)2 - 15 = 0 ………………(1)
Путем замены х2 + 2х на z данное уравнение легко сводится к квадратному уравнению z2 + 14z - 15 = 0, корни которого z1 = 15, z2 = -1, определяются по формуле для решения квадратного уравнения.
Т.к. мы положили х2 + 2х = z, то подставляя вместо z его значения получим два квадратных уравнения: х2 + 2х = 15 и х2 + 2х = -1 …………(2)
дающих возможность найти все корни уравнения (1). В самом деле, как корни первого из уравнений (2) х1 = 3, х2 = -5, так и второго х3 = -1, х4 = -1 являются корнями уравнения (1). Убеждаемся в этом проверкой. Следовательно, в денном случае посторонние корни не появились. Не произошла ли при этом потеря корней? Выяснить это значительно труднее. Возможность потери корней не исключена. Покажем это на примере.
Пример 2. Уравнение имеет два и только два корня: х1 = 2,
х2 = -3. Установить это можно путем приведения данного уравнения " методом пропорции " к каноническому виду (х + 1)х = 6
х2 + х - 6 = 0 и решения полученного уравнения по формуле для решения квадратного уравнения. В этом случае имеет место равенство х + 1 = 3. Подставляя в данное уравнение вместо (х + 1) его значение равное 3, получим новое уравнение , имеющее единственное решение
х = 2. Корень х2 = -3 оказался потерянным в результате подстановки.
Таким образом, при использовании способа замены возможна как потеря корней, так и появление посторонних корней [10, c. 126]
Рассмотрим решение биквадратных уравнений, это уравнение вида:
ах4 + вх2 + с = 0, где а ? 0.
Пример 3. Решим биквадратное уравнение
9х4 - 10х2 + 1 = 0
Для этого введем новую переменную, обозначив через у переменную х2 т.е
х2 = у. Получим квадратное уравнение 9у2 - 10у + 1 = 0.
Решив его, найдем, что у1 = , у2 = 1. Вернемся к нашей подстановке и получим х2 = и х2 = 1. Находим соответственно корни х1 = , х2 = - и х3 = -1, х4 = 1.
Итак, исходное уравнение имеет четыре корня х1 = , х2 = - и х3 = -1, х4 = 1.
Этот метод введения новой переменной может быть использован, как наиболее рациональный при решении следующих уравнений.
Пример 4 .Решим уравнение (х2 - 5х + 4)( х2 - 5х + 6) = 120
Если перенести все члены уравнения в левую часть и преобразовать получившееся выражение в многочлен стандартного вид, . то получается уравнение
х4 - 10х3 + 35х2 - 50х - 96 = 0,
для которого трудно найти способ решения.
Однако, можно воспользоваться следующей особенностью данного уравнения: в его левой части переменная х входит только в выражение х2 - 5х, которое встречается в уравнении дважды. Это позволяет решить данное уравнение с помощью введения новой переменной. Обозначим х2 - 5х = у. Тогда уравнение сведется к уравнению с переменной у:
(у + 4)(у + 6) = 120,
которое после упрощения примет вид:
у2+ 10у - 96 = 0
Решив это квадратное уравнение найдем его корни у1 = -16, у2 = 6.
Отсюда х2 - 5х = -16, х2 - 5х = 6
Решая уравнение х2 - 5х + 16 = 0 и х2 - 5х - 6 = 0, получим следующие корни х1 = -1, х2 = 6. Данное уравнение имеет только два корня х1 = -1, х2 = 6, т.к. уравнение х2 - 5х + 16 = 0 не имеет корней.
К квадратным уравнениям сводятся дробно-рациональные уравнения следующего вида: 0. Разложим квадратный трехчлен х2 + 7х + 12 на множители. Решая уравнение х2 + 7х + 12 = 0, находим его корни х1 = -3, х2 = -4. Поэтому х2 + 7х + 12 =(х + 3)(х + 4).
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель дробей, т.е. на
(х + 3)(х + 4). Получим (х + 7)(х + 3)-(х + 4) + 1 = 0. Преобразуем это уравнение: х2 +10х + 21 - х - 4 + 1 = 0
х2 + 9х + 18 = 0
х1 = -3, х2 = -6
Проверим эти корни. При х = -3 знаменатель второй и третьей дробей исходного уравнения обращается в нуль, поэтому х1 = -3 - посторонний корень. При х = -6 знаменатель дробей исходного уравнения не равен нулю. Подстановкой х = -6 в исходное уравнение можно убедиться в том, что это число является корнем исходного уравнения.
Ответ: х = -6.
Таким образом, все эти уравнения приводятся к квадратным методом введения новой переменной или умножением на общий знаменатель дроби в дробно-рациональных уравнениях[10, c. 99]
В учебнике " Алгебра 8 класс" Ю.М.Колягина, М.А.Алимова и др. авторов предлагается следующий вид квадратного уравнения [5, c. 155].
V. Квадратное уравнение с комплексными неизвестными.
Это уравнение имеет тот же вид, что и квадратное уравнение. Рассмотрим сначала простейшее квадратное уравнение z2 = a, где а - заданное число,
z - неизвестное. На множестве действительных чисел это уравнение:
Имеет один корень z = 0, если а = 0;
Имеет два действительных корня z1,2 = , если а > 0;
Не имеет действительных корней, если а < 0;
На множестве комплексных чисел это уравнение всегда имеет корень. Вообще уравнение z2 = a, где а < 0 имеет два комплексных корня: z1,2 = .
Пример 1. Найти комплексные корни уравнения х2 = a, если а = -25.
z2 = -25 Учитывая, что i2 = -1, преобразуем это уравнение z2 = (-1)?25,
z2 = i2?25, z2 = i2?52, z2 - i2?52 = 0. Разложим это выражение на множители:
(z - 5i)(z + 5I) = 0
откуда z1,2 = 5I
Ответ: z1,2 = 5i.
Используя равенство i2 = -1, квадратные корни от отрицательных чисел принято записывать так: = i2, = i = 2i.
Итак, определен для любого числа а R ( положительного, отрицательного и нуля). Поэтому любое квадратное уравнение аz2 +вz +c = 0, где а, в, с - действительные числа, а ? 0, имеет корни. Эти корни находятся по известной формуле : х = , где Д = в2 - 4ас.
Пример 2. Решить уравнение z2 + 4z + 13 = 0. По формуле корней квадратного уравнения находим: ........


Литература
1.Алгебра: учебник для 7 кл. сред. шк. / Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б.; Под ред. Теляковского С.А. - М.: Просвещение, 1989. - 240 с.
2. Алгебра: учебник для 8 кл. сред. шк. / Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б.; Под ред. Теляковского С.А. - М.: Просвещение, 1994. - 239 с.
3. Алгебра: учебник для 9 кл. сред. шк. / Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б.; Под ред. Теляковского С.А. - М.: Просвещение, 1992. - 271 с.
4. Алимов М.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. и др. Алгебра: Учебник для 7 кл. сред. шк. - М.: Просвещение , 1993. - 234 с.
5 Алимов М.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. и др. Алгебра: Учебник для 8 кл. сред. шк. - М.: Просвещение , 1994. - 239 с.
6. Алимов М.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. и др. Алгебра: Учебник для 9 кл. общеоразоват. учреждений - М.: Просвещение , 1998. - 223 с.
7. Алтынов П.И. Алгебра. Тесты. 7-9 классы: Учебно-метод. Пособие. - 2-е изд. - М.: Дрофа, 1998. - 128 с.
8. Башмаков М.И. Уравнения и неравенства. - М.: "Наука" Главная редакция физико-математической литературы.,1976.- 95 с.
9. Беденко Н.К., Дубинчук Е.С. Методика повторения математики в средних профтехучилищах: методическое пособие. - М.: Высшая школа,
1983. - 111с.
10. Бекаревич А.Н. Уравнения в школьном курсе математики. - Минск:"Народная Асвета",1968. - 152 с.
11. Бохонова Н. Рекомендации по проведению итогового повторения в классах КРО 7 - 9 классы.// Еженедельное учебно-методическое приложение к газете "Первое сентября". - №14, апрель, 1999, с.18-20.
12. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. - М.: "Наука", 1967. - 420 с.
13. Галицкий М. Первые сентябрьские уроки в классах с углубленным изучением математики. Алгебра 8,9 классы..// Еженедельное учебно-методическое приложение к газете "Первое сентября". - №32, август, 1999, с.12-14.
14. Грачев Н., Мартынова Т. Уроки итогового повторения 7-9 классы.// Еженедельное учебно-методическое приложение к газете "Первое сентября". - №10, март, 1999, с.2-16.
15. Дудницын Ю.П. Пояснительная записка стандартам математического образования.// Математика в школе. - №3, 1998, с.9-11.
16. Задания для проведения письменного экзамена по математике в 9 классе: пособие для учителя./ Л.В. Звавич, Б.П. Пигарев, Т.Н. Трушанина. -
3-е изд. - М.: Просвещение, 1996. - 96 с.
17. Зильберберг Н.И. Урок математики: Подготовка и проведение: Книга для учителя. - М.: Просвещение: АО "учеб. лит.", 1995. - 187 с.
18. Зиновьева Л.А., Щеглова Н.Д., Зиноьвев А.И. Уравнения, содержащие неизвестную под знаком модуля.//Математика в школе.,- №5, 1999, с. 65-66.
19. Кузнецова Л.В., Минаев С.С., Суворова С.Б. Методические материалы к новому учебнику.// Математика в школе., - №3, 1999, с. 34-35.
20.Леонтьева М.Р. Самостоятельная работа на уроках алгебры. Пособие для учителей. - М.: Просвещение , 1978. - 64 с.
21. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика: Учеб. пособие для студентов пед. институтов по физ.-мат. спец./ Сост. В.И. Мишин - М.: Просвещение , 1988. - 420 с.
22. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: Учеб. пособие для студентов пед. институтов по физ.- мат. спец./ Сост. В.И. Мишин - М.: Просвещение , 1987. - 416 с.
23. Методические рекомендации по курсу алгебры 6-8 классы./ Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин. - М.: Просвещение, 1990. - 221 с.
24. Невяжский П.П. Неравенства. Пособие для учителя. - М.:,1987. - 124 с.
25. Окунев А.К. Квадратные функции, уравнения и неравенства в в курсе математики средней школы. Пособие для учителя - М.: Просвещение , 1972. - 143 с.
26. Планирование обязательных результатов обучения математике / Л.О. Денищева, Л.В. Кузнецова, И.А. Лурье и др.; Сост. В.В. Фирсов .- М.: Просвещение , 1989. - 273 с.
27. Программно-методические материалы : Математика 5-7 классы.: Сборник нормативных документов / Сост. Г.М. Кузнецова. - М.: Дрофа, 1998. - 192 с.
28. Решебник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы: 9 класс / Л.Е. Кулишова, Е.Н, Охрименко, Л.С. Сотова. - Краснодар: "Советская Кубань", 1997. -64 с.
29. Рыжик В.И. 25000 уроков математики. Пособие для учителя. - М.: Просвещение, 1998. - 214 с.
30. Саранцев Г.И. Упражнения в обучении математике. - М.: Просвещение, 1995. - 240 с.
31 Сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы: 9 класс / Л.В. Кузнецова, Е.А. Бунимович, Б.П. Пигарев, С.Б. Суворова. - 2-е изд. - М.: Дрофа, 1998. -144 с.
32. Соловьев Л.М. Открытый урок повторения.// Математика в школе . - №5, 1999, с.8-9.
33. Талызина Н.Ф. Педагогическая психология .- учебное пособие для студенитов средних пед. заведений.- м.: издат. Центр "Академия", 1998. -
288 с.
34. Талызина Н.Ф. Формирование познавательной деятельности младших школьников: Книга для учителя .- М.: Просвещение, 1988. - 175 с.
35. Талызина Н.Ф. Формирование приемов математического мышления. - М.: изд. Дрофа, 1997. - с.289.
36. Углубленное повторение некоторых разделов алгебры на алгоритмической основе / Я.М. Жовнир, В.Д. Рябчинская. - К.: Вища шк. Головное издательство, 1987. - 160 с.
37. Фотина И. Задачи по теме "Уравнения". // Еженедельное учебно-методическое приложение к газете "Первое сентября". - №11, март, 1999,
с. 21, 25.
38. Шевченко С.Д. Школьный урок: как надо учить каждого. - М.: Просвещение, 1991. - 175 с.
39. Шестаков С. Уроки повторения. Алгебра 8-9 классы. // Еженедельное учебно-методическое приложение к газете "Первое сентября". - №14, апрель, 1999, с.11-16.
40. Шустеф Ф.М. Методика преподавания алгебры. - Минск: "Вышэйш. шк.", 1967. - 223 с.
41. Экзамен по алгебре: 9 класс. Повторение, подготовка к экзамену, решение задач. Жохов В.И., Карташев Г.Д., Крайнева Л.Б. / Пособие для учителя и учащихся . - М.: Русское слово, 1998. - 400 с.



Перейти к полному тексту работы


Скачать работу с онлайн повышением уникальности до 90% по antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru


Смотреть похожие работы


* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.