На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Работа № 83364


Наименование:


Курсовик Геометрические построения на плоскости. Их применение к решению

Информация:

Тип работы: Курсовик. Предмет: Математика. Добавлен: 26.12.2014. Сдан: 2014. Страниц: 51. Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%

Описание (план):


Оглавление
Введение 2
1. Общие аксиомы конструктивной геометрии. Аксиомы математических инструментов 4
2. Постановка задачи на построение 7
3. Методика решения задач на построение 12
4. Методы решения задач на построение 16
5. Построения иными инструментами 37
Заключение 51
Список использованных источников 52


Введение
Геометрические построения привлекли внимание древнегреческих математиков еще в VI-V вв. до нашей эры. Ими занимались почти все крупные греческие геометры: Пифагор и его ученики, Гиппократ, Евклид, Архимед, Аполлоний и многие другие.
В настоящее время теория геометрических построений представляет обширную и глубокую развитую область математики, связанную с решением разнообразных принципиальных вопросов, уходящих в другие ветви математики.
Изложение многих геометрических вопросов опирается на геометрические построения. Это особенно характерно для «доказательств существования»: существование центра окружности, вписанной в треугольник, существование подобных треугольников, существование параллельных прямых и др. доказывается с помощью построений.
Основные этапы решения геометрической задачи на построение характерны для плана решения любой содержательной математической задачи: анализ, синтез, доказательство и исследование являются его необходимыми элементами.
Теория геометрических построений составляет теоретическую основу практической графики: многие чертёжные приемы опираются на решения геометрических задач на построение.
Геометрические построения могут сыграть серьёзную роль в математической подготовке школьника. Ни один вид задач не даёт столько материалов для развития математической инициативы и логических навыков учащегося, как геометрические задачи на построение. Эти задачи обычно не допускают стандартного подхода к ним и формального восприятия их учащимися. Задачи на построение удобны для закрепления теоретических знаний учащихся по любому разделу школьного курса геометрии. Решая геометрические задачи на построение, учащийся приобретает много полезных чертежных навыков.
1. Общие аксиомы конструктивной геометрии. Аксиомы математических инструментов

Раздел геометрии, в котором изучаются геометрические построения, называется конструктивной геометрией.
Основным понятием конструктивной геометрии является понятие построить геометрическую фигуру.
Это понятие принимается без определения, конкретный его смысл известен из практики, где оно означает: начертить, провести (линию), отметить (точку). В интересах логической строгости изложения основное понятие конструктивной геометрии - построить фигуру - характеризуется через основные требования (общие аксиомы конструктивной геометрии).
Эти требования обычно не формулируются в пределах школьного курса геометрии, но они подразумеваются в процессе решения любой геометрической задачи на построение как нечто само собою разумеющееся. Общие аксиомы конструктивной геометрии выражают в aабстрактной форме наиболее существенные моменты многовековой чертежной практики и составляют логическую основу конструктивной геометрии.
Рассмотрим эти общие аксиомы теории геометрии.
I. Каждая данная фигура построена, т.е. если о какой-либо фигуре сказано, что она дана, то под этим подразумевается, что она уже изображена, начерчена, по-другому говоря, построена.
2. Если даны две фигуры, то построено:
а) их объединение
б) пересечение (если оно не пусто)
в) разность (если она не равна пустому множеству)
3. Если дана некоторая фигуpa, то можно построить точку:
а) принадлежащую данной фигуре
б) не принадлежащую ей.
Замечание. Аксиомы 3а и 3б дают возможность построить новые точки, но этим точкам не приписывают никаких свойств. Для построения новых точек, обладающих определенными свойствами, пользуются математическими инструментами: линейкой, циркулем, углом и т.д. Свойства указанных математических инструментов описываются с помощью соответствующих аксиом. При этом следует четко видеть разницу между математическим инструментом конструктивной геометрии и их физическим олицетворением.
Аксиома линейки. Линейка (односторонняя) позволяет построить прямую, проходящую через две данные точки.
Аксиома циркуля. Циркуль позволяет построить окружность с центром в данной точке и радиусом, равным длине данного отрезка.
Аксиомы двусторонней линейки. Двусторонняя линейка позволяет:
а) выполнить любое построение, выполнимое линейкой;
б) в каждой из полуплоскостей, определяемых построенной прямой, построить прямую, параллельную этой прямой и проходящую от нее на расстоянии h, где h - фиксированный элемент для данной двусторонней линейки (ширина);
в) если построены две точки А и В, то установить, будет ли АВ > h, и если AB > h , то построить 2 пары параллельных прямых, проходящих соответственно через А и В и отстоящих одна от другой на расстоянии h ,





Аксиомы угла. Угол позволяет: а) сделать все построения, выполнимые линейкой; б) через данную точку плоскости провести под углом ? к некоторой данной прямой; в) если построены отрезок АВ и фигура ф , то установить, содержит ли фигура Ф точку, из которой отрезок АВ виден под углом ? , и если такая существует, то построить ее.


2. Постановка задачи на построение

Задача на построение состоит, в том, что требуется построить указанными инструментами фигуру, если дана некоторая другая фигура и указаны некоторые соотношения между элементами искомой фигуры и данной.
Каждая фигура, удовлетворяющая условию задачи, называется решением задач.
Построения, о возможности которых оказано в аксиоме 3, вместе с построениями, перечисленными в аксиомах математических инструментов, назовем основными построениями (ОП).
Найти решение задачи на построение - значит указать конечную последовательность основных построений, после выполнения которых искомая фигура будет считаться построенной в силу принятых аксиом конструктивной геометрии.
Перечень основных построений, а следовательно, и ход решения задачи, зависит от употребляемого набора инструментов. Следует заметить, что такой подход в определении нахождения решения не рациональный. Иногда целесообразнее укрупнить шаги построения.
Рассматривают как шаг построения целые блоки основных построений. Эти блоки представляют собой решения элементарных задач на построение. Их назовем элементарными построениями. Тогда можно дать следующее определение.
Решить задачу на построение - это значит указать такую конечную последовательность основных (ОП) и элементарных построений (ЭП), после выполнения которых искомая фигура может считаться построенной в силу общих аксиом конструктивной геометрий.
В качестве элементарных построений (ЭП) возьмем следующие задачи.
ЭП I. Отложить на данном луче от его начала отрезок, равный данному отрезку.
ЭП 2. Отложить от данного луча в данную полуплоскость угол, равный данному углу.
ЭП 3. Построить треугольник по трем сторонам.
ЭП 4. Построить треугольник по двум сторонам и углу между ними.
ЭП 5. Построить треугольник по стороне и двум прилежащим углам.
ЭП 6. Построить биссектрису данного неразвернутого угла.
ЭП 7. Построить серединный перпендикуляр данного отрезка.
ЭП 8. Построить середину данного отрезка.
ЭП 9. Построить прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную данной прямой. (При этом данная точка может лежать на данной прямой, может и не лежать на ней).
ЭП 10. Построить прямую, проходящую через данную точку и параллельную данной прямой.
ЭП 11. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе.
ЭП 12. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и катету.
ЭП 13. Построить касательную к окружности, проходящую через данную на ней точку.
Иногда условиям задачи на построение удовлетворяют несколько фигур.
Решить задачу на построение - значит найти все ее решения. Поясним это определение.
Фигуры, удовлетворяющие условию задачи, могут отличаться размерами, формой и положением на плоскости. Фигуры, удовлетворяющие условию задачи, отличающиеся размерами или формой, будем считать различными. С расположением дело обстоит так.
Если условие задачи не предусматривает определенного расположения искомой фигуры относительно данных фигур, то задача считается решенной, если: а) построено некоторое число неравных фигур Ф1,…, Ф2 удовлетворяющих условию задачи, и б) доказано, что всякая фигура, удовлетворяющая условию задачи, равна одной из них; считается, что задача имеет n решений (о точностью до равенства).
Если условие задачи предусматривает определенное расположение искомой фигуры относительно какой-либо данной фигуры, то задача считается решенной, если: а) построено некоторое число фигур, удовлетворяющих условию задачи, и б) доказано, что любая фигура, удовлетворяющая условию задачи, совпадает с одной из них. При этом равные фигуры, но различно расположенные, считаются различными решениями. Приведем примеры.



Пример 1. Построить циркулем и линейкой треугольник по трем сторонам. Точный смысл: построить треугольник так, чтобы три его стороны были равны трем данным отрезкам. Условие задачи не предусматривает определенного расположения искомой фигуры относительно данных фигур.
По нашей договоренности решение такой задачи ищется с точностью до равенства. Так как все треугольники по трем сторонам равны, то задача имеет одно решение, если сумма любых двух сторон больше третьей, и не имеет решения, если это условие не выполнено.
Пример 2. Построить циркулем и линейкой треугольник так, чтобы одной его стороной служил данный отрезок АВ , а две другие его стороны были равны двум данным отрезкам а и в.
В этом случае условие задачи предусматривает определенное расположение искомого ?АВС относительно данных фигур. В соответствии с нашим соглашением равные треугольники, удовлетворяющие условию задачи, но отличающиеся расположением, будем считать разными решениями этой задачи.

а
в

Замечание. Встречаются задачи, имеющие бесконечное множество решений. Такие задачи называются неопределенными. Очевидно, все решения нельзя построить. В связи с этим вопросом: когда же считать неопределенную задачу решенной?
Решение неопределенной задачи ищется в параметрической форме: указывается прием построения фигур, удовлетворяющих условию задачи, причем эти фигуры определяются выбором определенного положения одной точки на некоторой данной фигуре. Эти точки играют роль геометрического параметра. Задача считается решенной, если при всевозможных допустимых положениях произвольной точки возникают все фигуры, удовлетворяющие условию задачи.
Встречаются задачи такие, что не существуют фигура удовлетворяющие условию задачи. Например, в параллелограмм (не ромб) нельзя вписать окружность. Нельзя провести прямую через 2 данные точки одним лишь циркулем.
Во всех этих случаях решить задачу на построение - значит доказать, что искомая фигура не существует, или доказать, что она не может быть построена данными средствами.
Условие задачи часто дает известный простор в выборе данных. Например, если требуется построить треугольник по трем сторонам, то данными являются три отрезка, которые могут быть произвольными по величине и положению. Задача в такой формулировке считается решенной, если она решена для всех принципиально различных предположений относительно выбора данных.
Может оказаться, что при таком выборе данных задача решается иначе, чем при другом их выборе, поэтому приходится рассматривать ряд отдельных случаев и давать решение задачи для каждого из них.


3. Методика решения задач на построение

При решении сложных задач основную трудность представляет вопрос о том, как найти способ решения. Решение этого вопроса облегчается, если придерживаться определенной схемы рассуждений. Эта схема состоит их четырех этапов: анализ, построение, доказательство, исследование. Заметим, что эта классическая схема не является, безусловно, необходимой и неизменной. Допустимы отклонения в зависимости от задачи.
1. Анализ. В анализе ведется поиск решения задачи следующим образом: предполагают задачу решенной, строят (от руки) искомую фигуру пристраивают к ней данные с учетом тех отношений, которые указаны в условии задачи. Подмечают, что построение искомой фигуры Ф сводится к построению другой фигуры Ф1 , построение Ф1 сводят к построению Ф2 и т.д. После конечного числа шагов можно прийти к некоторой фигуре Фn , построение которой известно.
Если на вспомогательном чертеже не удастся найти ход решения, то целесообразно ввеcти в чертеж вспомогательные фигуры: сделать дополнительные построения, сделать геометричеcкие преобразования и т.д.
2. Построение состоит в указании конечной последовательности основных построений (или ранее решенных задач), которые достаточно произвести, чтобы искомая фигура была построена.
Построение обычно сопровождается графическим оформлением каждого шага с помощью указанных инструментов.
3. Доказательство имеет целью установить, что построенная фигура действительно удовлетворяет условию задачи.
Доказательство проводится в предположении, что каждый шаг построения может быть выполнен.
4. Исследование. При анализе, построении обычно ограничиваются отысканием одного какого-либо решения, предполагая выполнимость шагов построения. Идя полного решения задачи нужно выяснить:
1) всегда ли (т.е. при любом ли выборе данных) можно выполнить построения избранным способом;
2) можно ли и как построить искомую фигуру, если для какого-нибудь выбора данных указанный способ построения не пригоден;
3) сколько решений имеет задача при каждом возможном выборе данных.
Эти вопросы составляют содержание исследования. Итак, исследование ставит цель - установить условия разрешимости и определить число решений.
Практически исследование проводят по ходу построения, рассматривая каждый шаг построения на возможность и единственность.
Однако такое исследование связано с данным способом построения. В этом случае остается открытым вопрос: нет ли других решений при другом способе решения. На этот вопрос отвечают с помощью указанного выше приема: доказывают, что произвольное решение данной задачи совпадает с одним из уже полученных решений.
Для иллюстрации сказанного рассмотрим следующий пример.
Задача. Построить треугольник, если известны: длина основания а, угол при основании ? и разность двух других сторон d.
Решение. Заметим, что в условии задачи не указаны инструменты. B таких случаях будем полагать (как и в школе), что задачу надо решить с помощью линейки и циркуля.



Анализ. Поиск решения задачи проведем, полагая задачу решенной. Пусть ?ABC - искомый треугольник: AB = a, AC–BC = AD=d, = ?. Замечаем, что ?АВD = определен по двум сторонам и углу между ними.
Третья вершина С искомого треугольника может быть найдена как точка пересечения луча АD и прямой l - серединного перпендикуляра отрезка ВD). Иначе говоря план решения найден, отроим треугольник ?АВD, а затем и третью вершину С.
Построение. В этом пункте реализуем план решения.
Строим последовательно:


1)
2) l, l – серединный перпендикуляр отрезка BD;
3) C, C = [AD) ? l.
Треугольник АВС – искомый.
Доказательство. Действительно, ?АВС удовлетворяет всем условиям задачи, т.к. по построению

АВ = а, АС – ВС = АD = d, BAD = ?.
Исследование. Проверил каждый шаг построения на осуществимость и единственность. Первый шаг возможен и единственен тогда и только тогда, когда 0Но вернемся к анализу. У нас задача решена, предполагая, что ? лежит против меньшей из двух боковых сторон. Если ? лежит против большей стороны, то предыдущий метод построения не проходит. Как быть? По теории мы должны и для этого случая дать решение. Нетрудно убедиться, что ?ABF определен (a,d и угол ? - ?). Построение, доказательство и исследование провoдятcя так же, как и выше.
Необходимо еще выяснить: вcе ли решения найдены. Да, все, так как если бы каким-то способом построить треугольник по a, d и ? то этот треугольник был бы равен одному из указанных треугольников (это легко доказать через ).




4. Методы решения задач на построение

Основными являются три: метод геометрических мест (ГМТ), метод геометрических преобразований, алгебраический метод.
Метод геометрических мест (пересечения фигур).
Сущность метода: решение задачи сводит к построению некоторой точки (основного элемента построения), подчиненной двум условиям. Отбрасывают одно из этих условий и строят ГМТ Ф1 , удовлетворяющих первому условию, потом Ф2 - ГМТ, удовлетворяющих второму условию. По соответствующей аксиоме конструктивной геометрии можем сказать Ф1?Ф2 = O или нет и если ? O, то считать построенным пересечение Ф1 ? Ф2. Точки Ф1 ? Ф2 и только они удовлетворяют обоим условиям одновременно. Точки пересечения и только они дают решение задачи.
Заметим, что успех от применения этого метода полностью зависит от знания конкретных ГМТ. Наиболее часто применяются следующие геометрические места:
ГМТ 1. Множество точек плоскости, каждая из которых равноудалена от двух данных точек А и В, есть серединный перпендикуляр отрезка АВ.
ГMT 2. Множество точек, находящихся на данном расстоянии от данной прямой, есть две прямые, параллельные данной и отстоящие от нее на данном расстоянии.
ГМТ 3. Множество точек, каждая из которых равноудалена от двух данных параллельных прямых, есть прямая, являющаяся их осью симметрии.
ГМТ 4. Множество точек, каждая из которых равноудалена от двух пересекающихся прямых, есть две взаимно перпендикулярные прямые, содержащие биссектрисы углов, образованных данными прямыми,
ГМТ 5. Множества точек плоскости, из которых отрезок АВ виден под прямым углом, есть окружность (без точек А и В ), построенная на отрезке АВ как на диаметре.
ГМТ 6. Множество точек плоскости, из которых отрезок АВ виден под углом ?, где ? ? 90?, ? ? 180? , есть две дуги с общими концами А и В (без точек А и В), симметричные относительно прямой АВ.
ГМТ 7. Множество точек плоскости, из которых данная окружность видна под углом ?, где ? ? ?, есть окружность,- концентрическая с данной, радиус которой больше радиуса данной окружности.
ГМТ 8. Множество точек, делящих всевозможные хорда окружности (O, ОА), проведенные через точку А окружности, в одном и том же отношении ?, где ? > 0, есть окружность (без точки А) с центром на прямой ОА, проходящая через точку А. Если ? = 1, то эта окружность построена на отрезке ОА как на диаметре.
ГМТ 9. Множество точек плоскости, для каждой из которых разность квадратов расстояний от двух данных точек А и В постоянна, есть прямая, перпендикулярная прямой АB.
ГМТ 10. Множество точек плоскости, для каждой из которых сумма квадратов расстояний до двух данных точек А и В равна а2, есть окружность с центром в середине отрезка АВ, если 2а2>AB2; середина отрезка AB, если 2a2 = AB2; и пустое множество, если 2a2ГМТ 11. Множество точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояний до двух данных точек А и В постоянно и отлично от единицы, есть окружность с центром на прямой АВ (окружность Аполлония).
Для иллюстрации метода ГМТ решим следующую задачу.
Задача. Построить треугольник, если известны: длина основания а, угол при вершине ? и отношение боковых сторон ?, ? ? 1.
Решим методом ГМТ.
Анализ. Две вершины А и В искомого треугольника легко построить. Задача сводится к построению точки С. Точка С должна удовлетворять следующим двум условиям: 1) точка С принадлежит сегменту, вмещающему данный угол ?; 2) точка С принадлежит окружности Аполлония.


? ?
Построение. Строим последовательно: а) отрезок АВ, АВ = 0; б) сегмент А ? В, вмещающий данный угол ?; в) окружность Аполлония на отрезке АВ; г) точку С , принадлежащую пересечению сегмента А ? В и окружности Аполлония.
Треугольник АВС - искомый.
Доказательство и исследование предлагаем читателям провести самостоятельно.
Метод геометрических преобразований
Сущность метода: при решении задачи, и прежде всего на первом этапе – анализе, наряду с данными и искомыми фигурами рассматривают другие фигуры, полученные из данных или искомых фигур (или их частей) с помощью некоторого геометрического преобразования (ГП). В зависимости от того, какое (ГП) выбрано, говорят о той или иной разновидности метода ГП (метод параллельного переноса, гомотетии, инверсии и т.д.). Рассмотрим примеры.
1. Параллельный перенос (ПП).
Сущность: наряду с данными и искомыми фигурами рассматривают другие фигуры, полученные из указанных фигур (или частей) с помощью ПП.
Задача. Достроить трапецию так, чтобы ее основания и диагонали были соответственно равны четырем данным отрезкам.



Анализ. Пусть ABCD - искомая трапеция. Сделаем параллельный перенос плоcкости, определяемый вектором ВС: ВС : BD > CF.
Треугольник ACF определен по трем сторонам: AF = a + b, AC = d1, CF = d2.
План решения ясен. Предлагаем читателям завершить решение этой задача.
2. Осевая симметрия.
Задача. Даны прямая l и две точки А и В, принадлежащие одной плоскости, определяемой прямой l. Найти такую точку Х l, чтобы сумма АХ + ХВ была минимальной.



Уклонимся от схемы. Рассмотрим Sе. Пусть A? = Se (A), X = A?B ? l. Покажем, что Х - искомая точка. В самом деле, для любой точки

Y l: AX + XB = A?B < A?Y + YB = AY + YB (Y ? X).

Исследование. Задача всегда имеет решение, причем единственное.
3. Поворот.
Задача. Даны: угол АОВ и точка С внутри него. Построить равносторонний треугольник, одна вершина которого совпадает о точкой С, а две другие лежат на сторонах данного угла.
Анализ. Пусть ?СDE - искомый. Сделаем поворот плоскости вокруг точки С на угол 60°: R60? (D) = E, R60? (OB) = O?B?, причем E = OB ? O?B?. Аналогично находим положение точки D: D = OB ? Rc-60?(OA).


Построение очевидно. Доказательство и исследование предлагаем провести самостоятельно.
4. Центральная симметрия.



Задача. Построить квадрат, если даны его центр О и две точки А и В на параллельных его сторонах.
Анализ. Пусть искомый квадрат построен. Тогда А’ и В, где лежат на А’ = Z0 (A), лежат на одной стороне квадрата. Аналогично В’ и А, где В = Z0 (в), лежат на одной стороне квадрата. Тогда на прямых ВА и АВ лежат стороны квадрата. Дальнейшее продолжение не вызывает трудностей, предлагаем провести самим.
5. Метод подобия (гомотетии).
Сущность метода строят фигуру, подобную данной, не учитывая какой-нибудь линейный размер или специальное положение искомой фигуры относительно данных. Затем строят искомую (чаще всего гомотетией), учитывая, что коэффициент подобия равен отношению любых двух соответственных отрезков.
Задача. Даны угол и точка внутри него. Построить окружность, проходящую через точку А и касающуюся сторон угла.
Анализ. Центр искомой окружности должен лежать на биссектрисе данного угла. Снимем требование, чтобы окружность ? проходила через А (это подобно тому, что не требуется, чтобы расстояние от точки О до точки окружности равнялось известному отрезку а). Тогда легко построить окружность ?1 , касающуюся сторон утла. Окружности ? и ?1 гомотетичы (с центром в точке 0). Найдем образы точек А и В: А > А, В>В . Очевидно, АВ??АВ.
Учитывая оказанное, можно наметить следующий план решения:
1) строим окружность СО1 , касающуюся сторон угла;
2) проводам ОА;
3) строим точки пересечения ? и ?1;
4) из точки А проводим прямую, параллельную прямой АВ. Пусть В - одна из точек пересечения.
Построение и доказательство опускаем (самим).
Исследование. 1.Окружность ?1 можно построить и бесчисленным множеством способов.
2. Пересечением ОА и ?1 всегда являются две точки А и А".
3. Через точку А можно провести две прямые, параллельные соответственно ВА или ВА. Эти две прямые l1 и l2 различны, если А ОВ; и совпадает, если А ОВ.



4. Пересечения l1 ? ОВ и l2 ? ОВ существуют и единственны, если А ОВ , т.е. задача в этом случае имеет два решения.
Если же А ОВ, то этим способом центр искомой окружности не найдем. Для этого принципиально нового случая найдем новое специфичное решение: строим прямую, перпендикулярную ОА-биссектрисе данного угла. Далее проведем биссектрисы углов ОСА и МСА. Точки в1 и в2 - искомые центры.
Задача (наглядная). Построить треугольник по двум углам , ?


и медиане, проведенной из какой-нибудь вершины.
1. Строим треугольник АВ1С1
2. Подобным преобразованием получим искомый ?АBC
6. Метод инверсии
Сущность метода: наряду с данными и искомыми фигурами рассматривают фигуры, инверсные им или их частям. Он применяется в тех случаях, когда построение фигуры, инверсной искомой, является более легкой (доступной). Построив инверсную построенной, получают искомую. Метод инверсии дает возможность решить трудные конструктивные задачи. Недостаток - громоздкость (большое число построений).
Задача. Даны: точка О и прямые а и в, не проходящие через О. Построить луч, выходящий из О, чтобы произведение его отрезков от О до точек пересечения с данными прямыми было равно 2, где - длина отрезка .
Анализ. Пусть [ОА) - искомый луч. Тогда ОА*ОВ= 2. Инверсия I относительно окружности ?(o,r) точку B переведет в точку A, прямую в>в, где b - некоторая окружноcть, тогда A = a?в.



Построение. Строим последовательно: 1) ?(o,r); 2) в, где в = I (в) окружность, проходящая через О; 3) А, А а ? в; 4) [ОА) - искомый.
Доказательство. Через В обозначим пересечение в ? [ОА). Тогда В – прообраз А, т.к. А = [ОА) ? в>[ОА) ? в = В. По определению инверсии имеем: ОА*ОВ = r2.
Исследование. Если: a ? в = O, то нет решения; - точка касания, то одно решение; a ? в = {A}, A – точка касания, то одно решение; a ? в = {A1 A2, A1 ? A2, то два решения.
Алгебраический метод.
Сущность: решение задачи сводят к построению отрезка, длину которого можно выразить через длины данных отрезков с помощью формул. Затем строят искомый отрезок по полученной формуле.
Задача. Даны: угол АОВ и две точки С и D да луче OВ. Найти на луче [ОА) точку X, чтобы величина угла СХD была наибольшей.
Анализ. Пусть точка X найдена. Очевидно, точка X является точкой касания окружности, проходящей через С и D. Обозначим длину отрезка ОХ через х.



Имеем:

х2 = |ОС|*|ОD|, |ОС| и |ОD | -

длины известных отрезков ОС и ОD) . План решения состоит из двух шагов: Строим так, чтобы

и х = [OA) ??(O,x), где – длина отрезка х.
Построение, доказательство, исследование предлагаем провести самим.
Построение отрезков, заданных формулами.
Алгебраический метод решения задач на построение сводится к построению отрезков, заданных формулами.
Полная формулировка задачи: даны отрезки . Пусть а, в, с,…, d – их длина при некоторой единице измерения. Требуется построить с помощью данных инструментов (циркуля и линейки) отрезок , длина которого x (при той же единице измерения) выражается через длины данных отрезков формулой х = f (a, в2, с,…, d). Будем рассматривать такие значения а, в, с,…,d, при которых f имеет смысл и положительна.
Мы уже знаем, как cтроить выражения

, , , , х = а ± в,(а - в, при а >

в). К рассмотренным построениям можно свести построение более сложных формул:

1) , n = натуральное число; делается так:
, причем , если n = p•q,
, если n = p2 ± q2;
2)
3) • и т.д.
Все построенные выше формулы обладают одним общим свойством: они являютcя однородными выражениями первой степени. Напоминаем, выражение F(а,…,с) называют однородным степени 11, если

F(ta,…,tc) = tn • F (a,…,c).

Пользуясь понятием однородной функции, можно выделить некоторые, классы алгебраических выражений, которые могут быть построены циркулем и линейкой. Например, циркулем и линейкой можно построить:
1) Отрезок, заданный формулой

,

где Pn+1 (…) и Pn (a,b,…,c) - однородные многочлены с рациональными коэффициентами от длин а,в,…,с отрезков степени соответственно n+1 и n.
Пусть
Pn+1 =
Далее, пусть - произвольный отрезок, d - его длина (в той же единице измерения).
Разделим числитель на dn , знаменатель – на dn-1 .


Выражение представляет сумму одночленов вида .
Следовательно, можно построить каждое слагаемое, а потому и весь числитель: . Аналогично, . Наконец строим - отрезок длины х, где ;
2) отрезок, заданный формулой , где – ( (…) – однородная рациональная функция 2 степени с рациональными коэффициентами. Делается так: , где (R2(…) - отношение двух однородных многочленов , тогда как и выше, строим ....




Заключение
В своей работе я рассмотрела общие аксиомы конструктивной геометрии. Изучила методику решения задач на построение.
Перед написанием работы мною было проанализировано достаточно большое количество литературы по данной теме. Перечень рассмотренных пособий в количестве приведен в списке использованных источников.
Выполняя курсовую работу, я изучила некоторые классические задачами на построение, решения которых не могут быть найдены с помощью циркуля и линейки.

Список использованных источников
1. Аргунов Б.И., Балк М.Б., Геометрические построения на плоскости. – М.,Учпедгиз, 1957.
2. Ефимов Н.В., Высшая геометрия. - М. – Л., 1949.
3. Вышнепольский И.С. Техническое черчение: Учебное пособие для профессионально-технических училищ.-М.:Машиностроение, 1975.
4. Атанасян, Л.С. Геометрия: учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак-тов пед. ин-тов. В 2 ч. Ч.1 / Л.С.Атанасян, В.Т.Базылев. – М.: Просвещение, 1985. – 367 с.
5. Математическая энциклопедия. В 5 т. Т. 3 Коо-Од / под ред. И.М.Виноградова. – М.: «Советская энциклопедия», 1982. – 1184 стр.
6. Погорелов, А.В. Геометрия: учеб. пособие для вузов / А.В.Погорелов. – 2-е изд. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1984. – 288 с.





Перейти к полному тексту работы


Скачать работу с онлайн повышением уникальности до 90% по antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru


Смотреть похожие работы

* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.