На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Работа № 83465


Наименование:


Курсовик ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

Информация:

Тип работы: Курсовик. Предмет: Математика. Добавлен: 5.1.2015. Сдан: 2013. Страниц: 57. Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%

Описание (план):



СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………...4

Глава 1
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ…………………..6

1.1. Понятие геометрического преобразования плоскости……………………6

Глава 2
ВИДЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ………………………...9

2.1. Движения плоскости………………………………………………………..9

2.2. Параллельный перенос плоскости………………………………………....11

2.3.Центральная симметрия плоскости………………………………………...12

2.4.Вращение вокруг точки ………………………………………...…………13

2.5. Осевая симметрия (симметрия относительно прямой)…………………14

2.6. Два вида движения. Аналитические выражения движения……………16

2.7. Преобразование подобия…………………………………………………19

2.8. Гомотетия……………………………………………………………………20

2.9. Инверсия……………………………………………………………………22

2.9.1. Определение понятия инверсии…………………………………………22

2.9.2. Способы построения инверсных точек…………………………………25

2.9.3. Основные свойства инверсии……………………………………………26

2.9.4. Аналитическое представление инверсии………………………………30

Глава 3
ПРИМЕНЕНИЕГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ШКОЛЬНОГО КУРСА ГЕОМЕТРИИ………………………………31

3.1. Задачи на движения…………………………………………………………31

3.2. Задачи на гомотетию………………………………………………………36
3.3. Задачи на подобие…………………………………………………………41

3.4. Задачи на инверсию…………………………………………………………47

ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………………….54

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ……………………………56


ВВЕДЕНИЕ
В последнее десятилетие у большинства учеников школ России значительно снизился интерес к изучению геометрии. В то же время эта удивительная наука чрезвычайно увлекательна и полезна для развития воображения и формирования строгой логики. К тому же этот предмет отличается примечательной особенностью - все понятия планиметрии наглядно представимы, система их четко структурируется и может быть изложена в доступной форме.
При систематическом изучении школьного курса геометрии обычно начинают с изучения планиметрии, а затем приступают к изучению стереометрии, изучающей пространственные фигуры. Основными понятиями школьного курса планиметрии являются точка, прямая, плоскость и расстояние (между двумя точками или от точки до точки), а также некоторые общематематические понятия, такие, как множество, отображение множества на множество и некоторые другие.
Планиметрия (от лат. planum - «плоскость», др.-греч. ?????? - «измеряю») - раздел евклидовой геометрии, изучающий двумерные (одноплоскостные) фигуры, то есть фигуры, которые можно расположить в пределах одной плоскости.
Первое систематическое изложение планиметрии впервые было дано Евклидом в его труде «Начала» (лат. Elementa).
Планиметрия содержит:
- введение, в котором дается определение понятия фигуры, как множества точек, изучаются свойства расстояний, определяются понятия аксиомы, теоремы и другие понятия;
- перемещения плоскости (движение), то есть преобразования плоскости, сохраняющие расстояния между точками;
- параллельность;
- построение треугольников. Четырёхугольники;
- метрические соотношения в треугольнике и многое другое.
Фигуры, изучаемые планиметрией: точка, прямая, параллелограмм (частные случаи: квадрат, прямоугольник, ромб), трапеция, окружность, треугольник, многоугольник.
В своей курсовой работе я рассмотрела планиметрические задачи, решаемые как в школьном курсе, так и более сложные, которые могут рассматриваться в профильных классах или на элективных курсах.
Целью данной курсовой работы является исследование возможности применения преобразований плоскости к решению задач планиметрии школьного курса.
Для достижения поставленной цели должны быть решены следующие задачи:
1) анализ и изучение научной и методической литературы по проблеме исследования;
2) изучение геометрических преобразований плоскости;
3) рассмотрение основных свойств геометрических преобразований плоскости;
4) выбор задач для использования в их решении геометрических преобразований;
5) решение задач школьного курса геометрии с применением геометрических преобразований плоскости.
Курсовая работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка используемых источников.
Во введении описана актуальность темы, сформулированы цель и задачи, дана структура курсовой работы.
В первой главе даны основные понятия геометрического преобразования плоскости. Во второй главе даны основные виды геометрических преобразований. В третьей главе приводятся примеры решения задач различной сложности.
В заключении сформулированы основные выводы к работе.

Глава 1
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ

1.1. Понятие геометрического преобразования плоскости
Пусть X и Y - непустые множества. Допустим, что каждому элементу x из Х поставлен в соответствие определенный элемент y множества Y. Тогда говорят, что дано отображение множества Х во множество Y или дана функция. Эту функцию обозначают одной буквой, например буквой f, и пишут так: f: X Y или Х Y.
Элемент называют значением функции f для элемента и обозначают через f(x). Множество X называется областью определения функции f, а множество всех значений - областью значений функции. Область значений функции f: обозначается через f(X). Ясно, что .
Пусть дано некоторое отображение f: X Y. Элемент y = f (x) называется образом элемента , а х - прообразом элемента . Говорят также, что элемент х переходит в элемент у в отображении f, и пишут: f: х у или х y.
Рассмотрим такие отображения, в которых области определений и значений являются множествами точек плоскости.
Пример 1. Пусть - окружность, а АВ - её диаметр (рис. 1). Каждой точке М окружности поставим в соответствие ортогональную проекцию M1 на прямую АВ. Получим отображение окружности в прямую АВ: f1: АВ.
Пример 2. Пусть ABC - треугольник, X - объединение отрезков АВ и ВС, а Y - множество всех точек прямой АС (рис. 2). Каждой точке М множества X поставим в соответствие её проекцию M1 на прямую АС. Получим отображение f2: X Y.
Пусть f: X Y - данное отображение.
1) Если для любых двух различных элементов имеем: , то отображение f называется инъективным отображением или коротко инъекцией.
2) Если , т. е. каждая точка множества Y является образом, по крайней мере, одной точки множества X, то f называется отображением множества X на множество Y или сюръективным отображением (сюръекцией).
3) Если отображение одновременно является инъективным и сюръективным, то оно называется взаимно-однозначным отображением множества X на множество Y или биективным отображением множества X на множество Y (биекцией).
В приведенных выше примерах отображение f (пример 1) не является ни инъективным ( при M N, рис. 1), ни сюръективным (например, точка Р прямой АВ не имеет прообраза). Отображение f2 (пример 2) является инъекцией (если M N, то , рис. 2), но не сюръекцией (точка Р не имеет прообраза).
Пусть f: X Y - биективное отображение. Тогда можно построить другое отображение по закону , если . Другими словами, в отображении произвольный элемент у множества Y переходит в прообраз х этого элемента в отображении f. Это отображение обычно обозначают через и называют отображением, обратным к f.
Таким образом, для любого биективного отображения f: X Y можно построить обратное биективное отображение :Y X, причем если , то .
Если в отображении f: X Y множество Y=f (Х) = Х, то говорят, что дано отображение множества X на себя. Преобразованием (непустого) множества X называется любое биективное отображение множества X на себя. Тогда, рассматривая в качестве множества X множество точек плоскости, можем сформулировать определение преобразования плоскости.
Определение: Биективное (взаимно однозначное) отображение плоскости на себя называется геометрическим преобразованием плоскости.
Далее рассмотрим основные понятия, связанные с понятием преобразования плоскости и дадим краткую характеристику основным видам геометрических преобразований.


Глава 2
ВИДЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ПЛОСКОСТИ

2.1. Движения плоскости
Говорят, что преобразование плоскости сохраняет расстояния, если расстояние между любыми двумя точками А1 и В1 фигуры Ф1 плоскости равно расстоянию между их образами А2 и В2 фигуры Ф2, т.е. А1В1 = А2В2 (рис. 3).

Рисунок 3

Определение: Преобразование плоскости, сохраняющее расстояния между точками, называется движением (или перемещением).
Перемещения переводят фигуры в равные им. Равные фигуры, то есть фигуры, расстояния, между соответствующими точками которых одни и те же, называются еще конгруэнтными фигурами. Этот термин восходит к Г.В. Лейбницу. В античной математике термина для обозначения равенства в этом смысле не существовало, равными назывались фигуры, имеющие одинаковую площадь (если речь шла о плоских фигурах) или объем (если речь шла о трехмерных) (равные фигуры в этом смысле ныне именуются равновеликими). Равные же фигуры в современном смысле (конгруэнтные) в античности назывались «равными и подобными». Действительно, равенство в нашем смысле сводится к равновеликости и подобию (подобие отражает тождество формы, а равновеликость - равенство размеров).





Рисунок 4

Конгруэнтность иногда определяют как совпадение при наложении: если фигуры Ф1 и Ф2 конгруэнтны, то можно каким-то образом перенести фигуру Ф1 с одного места на другое так, чтобы она совпала с фигурой Ф2, при этом, в процессе этого движения расстояния между точками фигуры не меняются, она ведет себя как твердая. Фактически, геометрию можно определить как науку, изучающую свойства фигур, не меняющихся при перемещениях, т.е. зависящих только от расстояний между точками фигур. В самом деле, геометрические свойства каких-нибудь треугольников, например, не зависят от того, где эти треугольники находятся, а зависят лишь от длин их сторон.
Несмотря на такую, казалось бы, важность перемещений для самого понимания предмета геометрии, математики долгое время не обращали большого внимания на перемещения как особый объект; разве что их интерес направлялся на фигуры, переходящие сами в себя при некоторых перемещениях (например, симметриях), - но не на свойства этих перемещений как таковых. Первый раз вопрос о преобразованиях, переводящих некие фигуры в «равные и подобные» им поставлен в XV главе II тома «Введения в анализ бесконечных» Л. Эйлера. Эйлер рассматривал условия, при которых кривые на координатной плоскости (притом только алгебраические кривые) переходят сами в себя при некоторых перемещениях или, если рассмотреть вопрос шире, обладают конгруэнтными частями. Решая эту задачу, Эйлер классифицировал все движения на плоскости, он показал, что любое движение - это либо перенос, либо поворот, либо осевая симметрия (отражение), либо скользящая симметрия (т.е. композиция осевой симметрии и переноса в направлении ее оси).
Наиболее простым примером движения является тождественное преобразование плоскости, т.е. преобразование, при котором каждая точка плоскости переходит в себя.
Рассмотрим другие примеры движений.
2.2 Параллельный перенос плоскости
Определение. Возьмем вектор , параллельный плоскости . Каждой точке поставим в соответствие точку так, чтобы . Мы получаем некоторое отображение f: , которое, очевидно, является преобразованием плоскости . Оно называется параллельным переносом на вектор . Вектор называется вектором переноса (рис. 5).



Рисунок 5
Нетрудно заметить, что если , то параллельный перенос является тождественным преобразованием плоскости.
Докажем, что параллельный перенос я........


СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Аргунов, Б.И. Преобразования плоскости: учеб. пособие для студентов-заочников пед. ин-тов / Б.И.Аргунов. - М.: Просвещение, 1976. - 82 с.
2. Атанасян, Л.С. Геометрия: учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак-тов пед. ин-тов. В 2 ч. Ч.1 / Л.С.Атанасян, В.Т.Базылев. - М.: Просвещение, 1985. - 367 с.
3. Атанасян, Л.С. Геометрия: учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак-тов пед. ин-тов. В 2 ч. Ч.2 / Л.С.Атанасян, В.Т.Базылев. - М.: Просвещение, 1987. - 352 с: ил.
4. Белоногова, Е.М. Преобразование плоскости. Сборник задач. Пособие по курсу средней школы для 7-11 классов. / Е.М.Белоногова, В.А.Кирзимов - М.: Московский Лицей, 2000. - 96 с.
5. Бородина, Н.А. обобщающий урок по теме «Движение» / Н.А.Бородина // Математика в школе. - 2002. - №3. - С. 28-30.
6. Геометрия: учеб. для 10-11 кл. сред. шк. / Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 1994. - 207 с.
7. Дорофеев, С.Н. Геометрические преобразования в примерах и задачах: учеб. пособие. / С.Н.Дорофеев - Пенза: Информационно-издательский центр ПГУ, 2002. - 189 с.
8. Ефимов, Н.В. Высшая геометрия / Н.В.Ефимов. - 7-е изд. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 584 с.
9. Жафяров, А.Ж. Геометрия: учеб. пособие: В 2 ч. Ч. 1. / А.Ж.Жафяров - 2-е изд., адаптир. под станд. II покол. - Новосибирск: Сиб. унив. изд-во, 2002. 271 с.
10. Заславский, А.А. Геометрические преобразования. / А.А.Заславский. - 2-е изд., стереотипное - М.: МЦНМО, 2004. - 86 с.
11. Математическая энциклопедия. В 5 т. Т. 3 Коо-Од / под ред. И.М.Виноградова. - М.: «Советская энциклопедия», 1982. - 1184 стр.
12. Погорелов, А.В. Геометрия: учеб. пособие для вузов / А.В.Погорелов. - 2-е изд. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1984. - 288 с.
13. Яглом, И.М. Геометрические преобразования: учеб. пособие. В 2 т. Т. 1 / И.М.Яглом - М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1955. - 285 с.



Перейти к полному тексту работы


Скачать работу с онлайн повышением уникальности до 90% по antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru


Смотреть похожие работы

* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.