На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Работа № 89922


Наименование:


Контрольная Финансовые вычисления задачи. Предоставлена ссуда в размере (10,5+N) тыс. руб. 7.05.2001 г. с погашением 15.12.2002 г. под простую ставку 12% годовых.

Информация:

Тип работы: Контрольная . Добавлен: 15.06.2015. Сдан: 2013. Страниц: 49. Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%

Описание (план):


Приднестровский Государственный Университет
им. Т.Г. Шевченко


Экономический факультет

Контрольная работа


по дисциплине: «Финансовые вычисления»


серия В, N- 5


Тирасполь 2013 г.

Содержание

Тема: «Простые и сложные проценты». 3
Задание 1. 3
Задание 2. 4
Задание 3. 4
Задание 4. 4
Задание 5. 4
Задание 6. 4
Задание 7. 4
Тема: «Ренты». 3
Задание 8. 3
Задание 9. 4
Задание 10. 4
Тема: «Инвестиционные процессы». 6
Задание 11. 6
Задание 12. 8
Тема: «Финансовые операции в условиях неопределенности». 9
Задание 13. 9
Тема: «Анализ и моделирование тенденций». 13
Задание 14. 13
Задание 15. 29
Список использованной литературы 37



Тема: «Простые и сложные проценты».
Задание 1
Предоставлена ссуда в размере (10,5+N) тыс. руб. 7.05.2001 г. с погашением 15.12.2002 г. под простую ставку 12% годовых. Найти всеми известными способами (три способа) сумму к погашению.
Решение:
Найдем точное и приближенное число дней ссуды.
Пишем точное число дней ссуды с 7.05.2001г. по 15.12.2002г. дней:
365+25+30+31+31+30+31+30+15-1=587 дней; 365 дней в году.
Пишем приближенное число дней ссуды с 13.05.2002г. по 11.11.2003г. дней:
360+24+30+31+31+30+31+30+14-1=580 дней; 360 дней в году.
1) (365/365) – точные проценты с точным числом дней ссуды.
.
2) (365/360) – обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды.

3) (360/360) – обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.


Задание 2.
Долг в сумме (18+0,5N) млн. руб. надо погасить за 2.5 года с 8.02.2000 г. по 8.08.2002 г. Долг погашается частичными платежами. Проценты начисляются по ставке 14% годовых. Частичные платежи следующие:
– 8.10.2000 г.: (2+0,1N) млн. руб.;
– 15.06.2001 г.: (1+0,1N) млн. руб.;
– 10.02.2002 г.: (5+0,1N) млн. руб.;
– 15.04.2002 г.: (5+0,1N) млн. руб.;
Найти остаток долга на конец срока погашения, если начисляются а) простые проценты, б) сложные проценты. Построить контур операции.
Решение:
а) Простые проценты:
Метод 360/360:
t1 = 8•30 = 240 дней;
t2 = 7•30 + 37 = 247 дней;
t3 = 7•30 + 25 = 235 дней;
t4 = 2•30 + 5 = 65 дней;
t5 = 3•30 + 23 = 113 дней.
1) Исходный долг 20,5 млн.руб.
08.02.2000г. – долг 20 500 тыс.руб.
08.10.2000г. – долг с процентами:

Начисленные проценты: 22413,33333 – 20500 = 1913,33333 (тыс.руб.)
1913,33333тыс. < 2500тыс.
идет зачет долга, остаток долга равен: 22413,33333 – 2500 = 19913,33333 (тыс.руб.)
2) 15.06.2001г. – долг с процентами:

Начисленные проценты: 21826,119626 – 19913,33333 = 1912,786296 (тыс.руб.)
Так как поступившая сумма меньше начисленных процентов (1912,786296 (тыс.руб.)), то она присоединяется к следующему поступлению.
3) 10.02.2002г. – долг с процентами:

Начисленные проценты: 21733,190737 – 19913,33333= 1819,857407 (тыс. руб.)
1819,857407 тыс. < 5500 тыс.
идет зачет долга, остаток долга равен: 21733,190737 – 7000 = 14733,190737 (тыс.руб.)
4) 15.04.2002г. – долг с процентами:

Начисленные проценты: 15105,613058 – 14733,190737 = 372,422321 (тыс.руб.)
372,422321 тыс. < 5500тыс.
идет зачет долга, остаток долга равен: 15105,613058 – 5500 = 9605,613058 (тыс.руб.)
5) 08.08.2002г. – долг с процентами:

Ответ: 08.08.2002г. следует заплатить 10027,726387 тыс.руб.
Построим контур операции:

б) Сложные проценты:
Метод 360/360:
t1 = 8•30 = 240 дней;
t2 = 7•30 + 37 = 247 дней;
t3 = 7•30 + 25 = 235 дней;
t4 = 2•30 + 5 = 65 дней;
t5 = 3•30 + 23 = 113 дней.
1) Исходный долг 20,5 млн.руб.
08.02.2000г. – долг 20 500 тыс.руб.
08.10.2000г. – долг с процентами:

Начисленные проценты: 22371,259143– 20500 = 1871,259143 (тыс.руб.)
1871,259143 тыс. < 2500тыс.
идет зачет долга, остаток долга равен: 22371,259143– 2500 = 19871,259143 (тыс. руб.)
2) 15.06.2001г. – долг с процентами:

Начисленные проценты: 21740,4454263 – 19871,259143 = 1869,186283 (тыс.руб.)
Так как поступившая сумма меньше начисленных процентов (1869,186283 (тыс.руб.)), то она присоединяется к следующему поступлению.
3) 10.02.2002г. – долг с процентами:

Начисленные проценты: 21645,698726 – 19871,259143 = 1774,439583(тыс. руб.)
1774,439583тыс. < 7000 тыс.
идет зачет долга, остаток долга равен: 21645,698726 – 7000 = 14645,698726 (тыс. руб.)
4) 15.04.2002г. – долг с процентами:

Начисленные проценты: 14995,315998 – 14645,698726 = 350,617272(тыс.руб.)
350,617272тыс. < 5500тыс.
идет зачет долга, остаток долга равен: 14995,315998 – 5500 = 9495,315998 (тыс.руб.)
5) 08.08.2002г. – долг с процентами:

Ответ: 08.08.2002г. следует заплатить 9893,984437 тыс.руб.
Построим контур операции:



Задание 3.
Ссуда в размере (16,5+0,1N) млн. руб. выдана на 3 года с 6.06.1998 г. по 6.06.2001 г. под ставку 10% сложных годовых. Распределить начисленные проценты по календарным годам. Использовать три известных способа. Один день отнимать в конце срока.
Решение:
(16,5+0,1N)=16,5+0,1*5=17 млн. руб.
Первый способ:
1) п1 = 208 дней с 06.06.1998г. до 31.12.1998г.

2) п2 = 1 год с 01.01.1999г. до 31.12.1999г.

3) п3 = 1 год с 01.01.2000г. до 31.12.2000г.

4) п4 = 157 дней с 01.01.2001г. до 06.06.2001г.

Итого за весь срок: 948,869+1794,887+1974,376+908,869=5627,001 тыс. руб.
Такой же результат получим для всего срока в целом:

Второй способ:
1) п1 = 208 дней с 06.06.1998г. до 31.12.1998г.

2) п2 = 1 год с 01.01.1999г. до 31.12.1999г.
3) п3 = 1 год с 01.01.2000г. до 31.12.2000г.

4) п4 = 157 дней с 01.01.2001г. до 06.06.2001г.

Итого за весь срок: 962,414+1822,414+2007,311+924,897=5717,036 тыс. руб.
Такой же результат получим для всего срока в целом:

Третий способ:
1) п1 = 204 дней с 06.06.1998г. до 31.12.1998г.

2) п2 = 1 год=360 дней с 01.01.1999г. до 31.12.1999г.

3) п3 = 1 год=360 дней с 01.01.2000г. до 31.12.2000г.

4) п4 = 156 дней с 01.01.2001г. до 06.06.2001г

Итого за весь срок: 943,402+1794,340+1973,774+915,484=5627 тыс. руб.
Такой же результат получим для всего срока в целом:



Задание 4.
Найдите размер эффективной ставки f, если номинальная сложная ставка годовых процентов: i = (25+0.2N)% при поквартальном начислении процентов?
Решение:
Размер эффективной ставки f найдем по формуле:
f = (1+i/m)m-1 = f=(1+0,26/4)4-1= 0,286466.
Ответ: При поквартальном начислении сложных процентов, размер эффективной ставки составит 28,6%.

Задание 5.
За какой срок в годах сумма, равная (55+N) млн. руб., достигнет (110+N) млн. руб. при начислении процентов по сложной ставке 14% раз в году, два раза в году и поквартально?
Решение:
Используем формулу: п = (ln(S/P) / m ln(1+(j/m)));
1) п = (ln(115/60) / 1*ln(1+0,14/1)) = (0,650587566 / 0,131028262) = 4,965246 = 4 года и 11мес.
2) п = (ln(115/60) / 2*ln(1+0,14/2)) = (0,650587566 / (2*0,067658648)) = (0,650587566 / 0,135317296) = 4,807867 = 4 года и 9 мес.
3) п = (ln(115/60) / 4*ln(1+0,14/4)) = (0,650587566 / 4*0,034401426) = (0,650587566 / 0,137605706) = 4,727911 = 4года и 8 мес.

Задание 6.
Срок до погашения векселя равен три года. Дисконт при его учете составил (15+0,2N) процентов. Какой сложной годовой учетной ставке соответствует этот дисконт?
Решение:
D = 1 - P/S , где Р = (1 – 0,16)*S, P/S = 1 – 0,16 = 0,84
dс = 1– =1-(0,84)1/3=1-0,9435=0,05646
Ответ: Дисконт соответствует сложной годовой учетной ставке 5,64%

Задание 7.
Банк выдает кредит и учитывает вексель из расчета 9% простых годовых. Определить:
а) какую ссуду получит должник, обязавшийся выплатить (10000+5N) ден. ед. через полгода (180 дней), и чему равна сумма дисконта;
б) какую сумму получает владелец векселя при его учете, если номинальная цена векселя составляет (10000+5N) ден. ед. и срок погашения наступает через (190+N) дней; чему равна сумма дисконта.
Решение:
а) применим метод математического дисконтирования:
S= 10025, i= 0,09, n= 180/360
Р = S/(1+n*i) = 10025/(1+(180/360)*0,09) = 9593,301435
D = S-P = 10025-9593,301435 = 431,698565
Ответ: Должник получит ссуду 9593,30 ден.ед., сумма дисконта при этом составит 431,70 ден.ед.
б) Р = 10025, d = 0,09, n = 195/360
S = P/(1-n*d) = 10025/(1-(195/360)*0,09) = 10538,764783
D = S-P = 10538,764783-10025 = 513,764783
Ответ: Владелец векселя в момент погашения получит 10538,76 ден.ед., сумма дисконта при этом составит 513,76 ден.ед.


Тема: «Ренты».
Задание 8.
Современная величина ренты равна (2500+10N). Годовой платеж составляет (750+10N). Длительность ренты 5 лет. Найти ставку сложных процентов и наращенную сумму ренты.
Так как N=5, то получим:
Современная величина ренты (А) = 2500+10*5 = 2550;
Годовой платеж (R) = 750+10*5 = 800;
Длительность ренты (n) = 5 лет.
Найти:
1) ставку сложных процентов (i);
2) наращенную сумму ренты (S).
Решение:
1) Найдем ставку сложных процентов по формуле:
Из формулы A = R*a(n;i) получим, что:
коэффициент привидения годовой ренты a(n;i) = R / A
a(5;i) = 2550/800 = 3,1875
Из таблицы коэффициентов приведения годовой ренты видно:
a(5;17) = 3,1993462
Соответственно i 17%
2) Найдем наращенную сумму ренты по формуле:
S = A (1+i)n
S = 2550 ( 1+0,17)5 = 5590,74249104 5590,74
Ответ: i=17%; S = 5590,74.

Задание 9.
Решите следующие задачи с использованием таблиц множителей наращения и приведения ренты, а затем по формулам.
Найти длительность и наращенную величину ренты с современной величиной (5000 + 10N) и годовым платежом (725 + 10N), если ставка сложных процентов равна 10% годовых.
Так как N=5, то получим:
Современная величина ренты (А) = 5000+10*5 = 5050;
Годовой платеж (R) = 725+10*5 = 775;
Ставка сложных процентов (i) = 0,1.
Найти:
1) длительность ренты (n);
2) наращенную величину ренты (S).
Решение:
1) Найдем длительность ренты по формуле:

= 11,06325759 11 лет
Найдем длительность ренты с использованием таблиц множителей наращения и приведения ренты:
a (n;i) – коэффициент привидения ренты.
Из формулы A = R*a(n;i) получим, что a(n;i) = A / R
a(n;10) = 5050 / 775 = 6,516129032
Из таблицы коэффициентов приведения годовой ренты видно, что a(11;10) = 6,4950610
Значит n=11 лет.
2) Найдем наращенную величину ренты по формуле:

14361,65447235 14362.
Найдем наращенную величину ренты с использованием таблиц множителей наращения и приведения ренты:
s(n;i) = коэффициент наращения ренты;
S = R*s(n;i)
S = 775*s(11;10) = 775*18,531167 = 14361,65442500 14362
Ответ: длительность ренты составляет 11 лет; наращенная сумма ренты 14362 условных единиц.



Задание 10.
Решите следующие задачи с использованием таблиц множителей наращения и приведения ренты, а затем по формулам.
Имеются две годовых ренты: одна длительностью 5 лет с годовым платежом 1050 денежных единиц, другая длительностью 7 лет с годовым платежом 850 денежных единиц. Годовая ставка сложных процентов 6,5%. Найти ренту-сумму.
Решение:
Находим современные величины рент-слагаемых по формуле:

1050 4363,46

850 4661,84
А= А1 +А2 = 4363,46+4661,84= 9025,3
Ответ: Рента-сумма = 9025,3 ден.ед.


Тема: «Инвестиционные процессы».
Задание 11.
На строительство торгового комплекса надо затратить в течение месяца (25000+500N) денежных единиц, а затем в течение 12 лет он будет давать доход (5000+100N) денежных единиц в год. Найти характеристики проекта при ставке сложных годовых процентов 10%. Движение денежных средств показать на схеме.
Так как N=5, то получим:
Инвестиции (INV) = 25000 + 500*5 = 27500;
ежегодный доход (R) = 5000+100*5 = 5500;
период проекта (n) = 12;
ставка сложных годовых процентов = 0,1.
Найти:
1) приведенный чистый доход (NPV);
2) наращенный чистый доход (NFV);
3) доходность проекта (d);
4) внутреннюю доходность проекта (q).
Решение:
1) Найдем приведенный чистый доход по формуле:

= 9975,30502593 > 0 т.е. проект окупаемый
2) Найдем наращенный чистый доход по формуле:

= 31306,78035983
3) Найдем доходность проекта по формуле:

= 0,36273836 или 36,27%
4) Для нахождения внутренней доходности проекта найдем такое значение q, которое бы удовлетворяло условию:
a(n;q) = -INV / R
a(12;q) = 27500 / 5500
a(12;q) = 5
По таблице коэффициентов привидения ренты подбираем значение q:
q = 16,50 %.
Ответ: NPV = 9975,30502593, NFV = 31306,78035983, d = 36,27%,
q = 16,50 %.

Покажем движение денежных средств:
Поступление ден.ср. - 5000,00 4545,45 4132,23 3756,57 3415,07 3104,61 2822,37 2565,79 2332,54 2120,49 1927,72 1752,47
Год 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Итог на конец года -27500,00 -22500,00 -17954,55 -13822,31 -10065,74 -6650,67 -3546,07 -723,70 1842,09 4174,63 6295,12 8222,84 9975,31



Задание 12.
Сравнить по финансовой эффективности два проекта.
А: –(50+10N) –200 60 90 100 250 300
В: –100 –(150+10N) 100 140 190 100 110 150.
Ставка сложных годовых процентов (5+N)%.

Так как N=5, то получим:
А: –100 –200 60 90 100 250 300
В: –100 –200 100 140 190 100 110 150.
ставка сложных годовых процентов = 5+5 = 10% или 0,1.
Решение:
Найдём приведённый чистый доход:

=
=207,50980222

3) Найдем доходность проекта по формуле:
или 69,17%
или 71,80%
Так как:
NPVA (207,50980222) < NPVB (215,40096116)
dA (69,17) < dB (71,80),
то проект В выгоднее.
Ответ: проект В выгоднее

Тема: «Финансовые операции в условиях неопределенности».
Задание 13.
Банк имеет возможность выделить 10 денежных единиц на формирование портфеля акций. Ценные бумаги можно приобрести у компаний К1, К2, К3.Номинальная стоимость акции компании К1 составляет 3 денежных единицы, компании К2 – 2 денежных единицы, К3 – 5 денежных единиц. На конец года рынок ценных бумаг может оказаться в одном из трех состояний С1, С2 или С3, в зависимости от которых дивиденды по ценным бумагам компаний К1, К2, К3 будут разными (в таблице указаны дивиденды в процентах от стоимости соответствующих акций).
Используя критерии Вальда, Гурвица (к=0,7), Сэвиджа и Лапласа, сформировать портфель акций банка, обеспечивающий ему наибольшую прибыль.

Состояния Акции компаний
К1 К2 К3
С1 6+N 16–N 7
С2 21 4+N 16–N
С3 17–N 13 4+N

Решение:
Исходные данные (N=5):
Состояния Акции компаний
К1 К2 К3
С1 11 11 7
С2 21 9 11
С3 12 13 9

Рассчитаем матрицу эффективности возможных портфелей банка при различных состояниях рынка.
Портфель акций Состояния
рынка К1 К2 К3 Итого прибыль
1 портфель: по 1 акции всех компаний С1 0,33 0,22 0,35 0,9
С2 0,63 0,18 0,55 1,36
С3 0,36 0,26 0,45 1,07
2 портфель: 5 акций компании К2 С1 0 1,1 0 1,1
С2 0 0,9 0 0,9
С3 0 1,3 0 1,3
3 портфель: 2 акции компании К3 С1 0 0 0,7 0,7
С2 0 0 1,1 1,1
С3 0 0 0,9 0,9
4 портфель: 2 акции К1 и 2 акции К2 С1 0,66 0,44 0 1,1
С2 1,26 0,36 0 1,62
С3 0,72 0,52 0 1,24

Представим решение задачи в виде игры: каждый портфель представляет собой стратегию игрока А (Банк), а возможные состояния рынка представляют собой стратегии игрока В (Природа).
Тогда матрица игры примет вид:
В1 В2 В3
А1 0,9 1,36 1,07
А2 1,1 0,9 1,3
А3 0,7 1,1 0,9
А4 1,1 1,62 1,24

Стратегия А1 является доминируемой (ее доминирует стратегия А4), поэтому ее можно отбросить как заведомо невыгодную. Таким образом, получаем следующую матрицу:
В1 В2 В3
А2 1,1 0,9 1,3
А3 0,7 1,1 0,9
А4 1,1 1,62 1,24

а). Произведем оценку портфелей по критерию Вальда, рассчитав минимальные выигрыши игрока А при каждой чистой стратегии по формуле :
В1 В2 В3 А2 1,1 0,9 1,3 0,9
А3 0,7 1,1 0,9 0,7
А4 1,1 1,62 1,24 1,1

Оптимальной по критерию Вальда является та стратегия, которая имеет максимальный из минимальных выигрышей, т. е. стратегия А4.

б). Рассчитаем оценку портфелей по критерию Гурвица (k=0,7).


В1 В2 В3
А2 1,1 0,9 1,3 0,9 1,3
А3 0,7 1,1 0,9 0,7 1,1
А4 1,1 1,62 1,24 1,1 1,62

q2 = 0,7*0,9 + 0,3*1,3 = 1,02
q3 = 0,7*0,7 + 0,3*1,1 = 0,82
q4 = 0,7*1,1 + 0,3*1,62 = 1,256

Согласно оценке по критерию Гурвица, оптимальной является также 4 стратегия (т.е. 4 портфель акций).

в). Оценке по критерию Сэвижда предшествует расчет матрицы рисков по формуле:
,
где - максимально возможный выигрыш игрока А при состоянии Сj (максимальный элемент j-го столбца платежной матрицы).
Рассчитаем элементы матрицы рисков:
В1 В2 В3
А2 0 0,72 0
А3 0,4 0,52 0,4
А4 0 0 0,06
При оценке с помощью критерия Сэвиджа минимизируется величина максимального риска:

В1 В2 В3 max rij
А2 0 0,72 0 0,72
А3 0,4 0,52 0,4 0,52
А4 0 0 0,06 0,06

s = min st = 0.06, т.е. оптимальной по критерию Сэвижда является также 4 стратегия (4 портфель акций).

г). Рассчитаем оценки по критерию Лапласа для случая, когда вероятности состояний рынка: В1 = 0,4; В2 = 0,3; В3 = 0,3.
,
В1 В2 В3 li
А2 1,1 0,9 1,3 1,1
А3 0,7 1,1 0,9 0,88
А4 1,1 1,62 1,24 0,998

А2 = 0,4*1,1+0,3*0,9+0,3*1,3 = 1,1
А3 = 0,4*0,7+0,3*1,1+0,3*0,9 = 0,88
А4 = 0,4*1,1+0,3*0,62+0,3*1,24 = 0,998
Оптимальной по критерию Лапласа является 2 стратегия (2 портфель акций).

Таким образом, проведенная нами оценка возможных портфелей акций банка дала два результата:
1. Оптимальным с точки зрения критерия Лапласа является портфель №2, содержащий по 5 акций компаний К2.
2. Оптимальным с точки зрения критериев Вальда, Гурвица (k=0,7), Сэвиджа является портфель акций №4, содержащий по 2 акции компапний К1 и К2. Эти критерии более пессимистичны, нежели критерий Лапласа, который оценивает состояния рынка рак равновероятные, поэтому для банка в качестве оптимального выбирается именно этот портфель.

Тема: «Анализ и моделирование тенденций».
Задание 14.
Исходные данные:
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Y(t) 33 35 40 41 45 47 45 51 53
X(t) 10 15 21 23 25 34 32 37 41

На основе исходных данных об объёме производства продукции Y(t) и производственных фондов X(t) за девятимесячный период наблюдения (см. соответствующую серии таблицу) построить точечный и интервальный прогнозы на два шага вперед (для вероятности P = 70% используйте коэффициент Kp = 1,05) и сформулируйте свой вывод о выполненных расчетах.
1. Для зависимой переменной Y(t) постройте:
– линейную модель Y(t) = a0 + a1 ?t, параметры которой оцените с помощью МНК;
– адаптивную модель Брауна Y(t) = a0 + a1 ?k;
– линейную однопараметрическую модель регрессии Y(t) = a0 + a1 ?X(t)
2. Оцените качество построенных моделей, исследовав их адекватность и точность.
а) Адекватность моделей определите на основе исследования:
– случайной остаточной компоненты по критерию пиков;
– независимости уровней ряда остатков по d-критерию (в качестве критических используйте уровни d1 = 1,08 и d2 = 1,36) или по первому коэффициенту корреляции, критический уровень которого r(1) = 0,36;
– нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию (с критическими уровнями 2,7 – 3,5).
б) Для оценки точности модели используйте среднее квадратическое отклонение и среднюю по модулю ошибку.
3. Для модели регрессии рассчитайте парный коэффициент корреляции переменных, коэффициент эластичности. Прогнозные оценки фактора X(t) на два шага вперед получите на основе среднего прироста от фактически достигнутого уровня.
4. Отобразите на графике фактические данные, результаты аппроксимации и прогнозирования. Определите, какая из построенных моделей лучше описывает изучаемую зависимость.

Решение:
1). Адаптивная модель Брауна имеет вид: Y(t)= а0 + а1*k

I этап: По первым пяти точкам временного ряда с помощью МНК, находим начальные значения параметра а , а .
Расчеты произведем с помощью вычислений в таблице.
t Y t^2 Y*t
1 33 1 33
2 35 4 70
3 40 9 120
4 41 16 164
5 45 25 225
15 194 55 612
3 38,8 11 122,4

Для этого составим систему нормальных уравнений.



Подставляем в систему уравнений и получаем:



Найдем определители для уравнения:

= 50; = 150; = 1490;
Найдем приведенный коэффициент для первого уравнения.
= = 3; = = 29,8;

II этап Находим прогнозное значение на один шаг вперед, пусть t=1, b=0,6, по следующий формуле:
У (t) = а (t - 1)+а (t - 1)*k
У (1) = а (0)+а (0) = 29,8 + 3 = 32,8

III этап Находим ошибку прогноза Е(1)
Е(1)=У(1) - У (1) = 33 – 32,8 = 0,2

IV этап Скорректируем значения а , а по следующим формулам, b=0,6:
а (t) = а (t - 1)+а (t - 1)+ Е(t) * (1-b)
а (1) =29,8 + 3 + 0,2*0,16 = 32,832
а (t) = а (t - 1)+ Е(t) * (1-b) = 3+ 0,2*0,16= 3,032

V этап Сравниваем с n, так как t=1 < N=9, то переходим к этапу 2.

II этап Находим прогнозное значение на два шага вперед, пусть t=2, b=0,6, по следующий формуле:
У (t) = а (t - 1)+а (t - 1)*k
У (2) = 32,832 + 3,032 *1= 35,864

III этап Находим Е(1)
Е(2)=У(2) - У (2) = 35 – 35,864 = -0,864
IV этап Скорректируем значения а , а по следующим формулам b=0,6
а (t) = а (t - 1)+а (t - 1)+ Е(t) * (1-b)
а (2) = 32,832 + 3,032 + (-0,864)*0,16 = 35,72576
а (t) = а (t - 1)+ Е(t) * (1-b) = 3,032 +(-0,864)*0,16= 2,89376
V этап Сравниваем с n, так как t=2 < N=12. и т.д., расчет прекратим, когда t = 9.
Полученные значения занесем в таблицу.
t Y а0(t) a1(t) yp(t) E(t)
0 - 29,8 3 - -
1 33 32,832 3,032 32,8 0,2
2 35 35,72576 2,89376 35,864 -0,864
3 40 38,8403968 3,1146368 38,61952 1,38048
4 41 41,80222822 2,961831424 41,9550336 -0,9550336
5 45 44,8018101 2,99958188 44,76405965 0,235940352
6 47 47,67316927 2,871359163 47,80139198 -0,801391985
7 45 49,65740388 1,984234614 50,54452843 -5,54452843
8 51 51,53897634 1,881572455 51,6416385 -0,641638495
9 53 53,35326098 1,814284648 53,42054879 -0,420548791
45 390 426,0250056 26,55326098 397,4107209 -7,410720948
3,75 43,33333333 47,33611173 2,950362332 44,15674677 -0,823413439

Найдем прогнозные значения для 10 и 11 месяцев:
То есть модель Брауна имеет вид:
Y(9+k)=а (9) +а (9)*k
если k=1, Y (10) = 53,35326098 + 1,814284648*1 = 55,16754563
если k=2, Y (11) = = 53,35326098 + 1,814284648*2 = 56,98183028
Рассматривая прогнозное значение на 10 месяц, то есть на один шаг от последнего заданного значения, объем производства предположительно может составить 55,17 усл. ед., а второе прогнозное значение объема производства на 11 месяц составит 56,98 усл. ед.

2. Оценим качество построенной модели, исследовав ее на адекватность и точность.
Модель является адекватной, если ряд остатков обладает свойствами случайности, независимости последовательных уровней и нормальности распределения.
Проверку случайности проведем на основе поворотных точек.
Все дальнейшие вычисления проведем в таблице.
t y E(t) точки поворота (E(t))2 E(t)-E(t-1) (E(t)-E(t-1))2 Aср
1 33 0,2 - 0,04 0,006060606
2 35 -0,864 1 0,746496 -1,064 1,132096 0,024685714
3 40 1,38048 1 1,90572503 2,24448 5,03769047 0,034512
4 41 -0,9550336 1 0,912089177 -2,3355136 5,454623776 0,023293502
5 45 0,235940352 1 0,05566785 1,190973952 1,418418954 0,005243119
6 47 -0,801391985 0 0,642229113 -1,037332337 1,076058377 0,017050893
7 45 -5,54452843 1 30,74179551 -4,743136445 22,49734334 0,123211743
8 51 -0,641638495 0 0,411699958 4,902889935 24,03832971 0,012581147
9 53 -0,420548791 - 0,176861285 0,221089704 0,048880657 0,007934883
45 390 -7,410720948 5 35,63256392 -0,620548791 60,70344129 0,254573608
5 43,33333333 -0,823413439 0,555555556 3,959173769 -0,068949866 6,744826809 0,028285956

Проверим, обладает ли свойством случайности ряд остатков, и сделаем это на основе поворотных точек.
Получим, что количество поворотных точек P= 5, сравним, это число со значением P .
Вычисляем:

Если р > р* , то ряд остатков является случайным рядом , в противном случае ряд не является случайным и нарушение этого одного условия достаточно для того ,чтобы модель не была адекватна исследуемому процессу.

p=5 > p* = 2 – следовательно ряд остатков – случайный ряд.

Проверку независимости остатков, отсутствия автокорреляции проведем с помощью d-критерия Дарбина-Уотсона (Д-У).
Вычислим коэффициент Д-У. Необходимые вычисления в таблице.
d = = 60,70344129 / 35,63256392 = 1,703594538

Т.к.d<2, то d/ не надо вычислять и сравним значение d с d1 и d2.
d1 = 1,08; d2 = 1,36. Так как d = 0,700977291 Є (0; d1),. Значит в ряде остатков присутствует сильная автокорреляция.
Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения определяем с помощью RS-критерия.
RS=(E -Е )/S
Emax = 1,38048
Emin = -5,54452843


= 1,921278113

RS = (1,38048 -(-5,54452843)) / 1,921278113) = 3,604375849 (2,7; 3,5) – гипотеза о нормальном распределения остатков членов ряда не подтверждается.
Проверим точность модели с помощью нахождения средней ошибки аппроксимации. Оценку точности определяем с помощью .



Так как = 0,021214467 *100 2,83 % < 10%, то точность модели удовлетворительна.
Вывод: модель адекватной не является, т.к. в ряде остатков присутствует сильная автокорреляция гипотеза о нормальном распределения остатков членов ряда не подтверждается.

Отобразим на графике фактические данные, результаты аппроксимации и прогнозирования по модели Брауна.



Линейная модель Y(t) = а0 + а1• t.
Построим диаграмму рассеяния.


Точки группируются около некоторой прямой следовательно уравнение будем искать в виде Y(t) = а0 + а1 • t



Все дальнейшие вычисления проведем в таблице.
t Y t-tcp (t-tcp)^2 Y-Ycp (Y-Ycp)^2 (t-tcp)*(Y-Ycp) Yp
1 33 -4 16 -10,33333333 106,7777778 41,33333333 33,73333333
2 35 -3 9 -8,333333333 69,44444444 25 36,13333333
3 40 -2 4 -3,333333333 11,11111111 6,666666667 38,53333333
4 41 -1 1 -2,333333333 5,444444444 2,333333333 40,93333333
5 45 0 0 1,666666667 2,777777778 0 43,33333333
6 47 1 1 3,666666667 13,44444444 3,666666667 45,73333333
7 45 2 4 1,666666667 2,777777778 3,333333333 48,13333333
8 51 3 9 7,666666667 58,77777778 23 50,53333333
9 53 4 16 9,666666667 93,44444444 38,66666667 52,93333333
45 390 0 60 -2,13163E-14 364 144 390
5 43,33333333 0 6,666666667 -2,36848E-15 40,44444444 16 43,33333333

а1= 2,4
а0= 31,33333333

Т. е. линейное уравнение парной регрессии имеет вид:

Y(t) = 2,4 + 31, 33333333* t
Так как коэффициент a1>0, то это значит, что каждый месяц по сравнению с предыдущим, объем производства продукции увеличивается. По сравнению с предыдущим месяцем в следующем месяце объем производства продукции увеличится на 31,33 усл.ед.
Находим коэффициенты корреляции и детерминации.
= 0,974397532
0,949450549
Вариация результата (объем производства продукции) на 94,94% объясняется вариацией фактора t (временем).
R2 и rt,y близки к 1, значит связь между временем и объемами производства продукции тесная и прямая, т.е. с каждым месяцем увеличивается объем производимой продукции.

Оценим качество построенной модели, исследовав ее на адекватность и точность.
Модель является адекватной, если ряд остатков обладает свойствами случайности, независимости последовательных уровней и нормальности распределения. Все необходимые вычисления проведем в таблице.
t Y Y-Yp=E(t) точ. пов. Аср E(t)^2 E(t)-E(t-1) (E(t)-E(t-1))^2
1 33 -0,733333333 - 0,02173913 0,537777778 -
2 35 -1,133333333 1 0,031365314 1,284444444 -0,4 0,16
3 40 1,466666667 1 0,038062284 2,151111111 2,6 6,76
4 41 0,066666667 1 0,001628664 0,004444444 -1,4 1,96
5 45 1,666666667 1 0,038461538 2,777777778 1,6 2,56
6 47 1,266666667 0 0,027696793 1,604444444 -0,4 0,16
7 45 -3,133333333 1 0,065096953 9,817777778 -4,4 19,36
8 51 0,466666667 1 0,009234828 0,217777778 3,6 12,96
9 53 0,066666667 - 0,001259446 0,004444444 -0,4 0,16
45 390 -3,55271E-14 6 0,234544951 18,4 0,8 44,08
5 43,33333333 -3,94746E-15 0,667 0,02606055 2,044444444 0,088888889 4,897777778

Проверку случайности проведем на основе поиска точек поворота.
Вычисляем

Сумма точек поворота для данного ряда составила P= 6
P=6 > P*=2 следовательно ряд остатков – случайный ряд.
Проверку независимости остатков, отсутствия автокорреляции проведем с помощью d-критерия Дарбина-Уотсона (Д-У). Вычислим коэффициент Д-У по формуле:
d = = 4,897777778 / 2,044444444 = 2,395652174
Т.к.d>2, то вычислим d/:
d/ = 4 – d = 4 - 2,395652174 = 1,604347826
Cравним значение d/ с d1 и d2.
d1 = 1,08; d2 = 1,36. Так как d = 1,604347826 Є (d2; 2),.
Значит ряд остатков независимый. Автокорреляция отсутствует.
Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения определяем с помощью RS-критерия.
RS=(E -Е )/S
Emax = 1,666666667
Emin = -3,133333333

= 1,516575089
RS = (3,641025641-(-2,956876457)) / 1,516575089) = 3,165026272 (2,7; 3,5) – гипотеза о нормальном распределения остатков членов ряда подтверждается.
Проверим точность модели с помощью нахождения средней ошибки аппроксимации. Оценку точности определяем с помощью .



Так как = 0,02606055 *100 2,6 % < 10%, то точность модели удовлетворительна.
Вывод: модель является адекватной, т.к. ряд остатков обладает свойствами случайности, независимости последовательных уровней и нормальности распределения.

Найдем прогнозные значения для t = 10 и t = 11 по формуле
Y(N + k) = a0+ a1k
Y(10) = 31,33333333 + 2,4*10 = 62,53333333
Y(11) = 31,33333333 + 2,4*11 = 64,93333333
Основываясь на прогнозных значениях, можем сделать следующий вывод: в 10 месяце объем производства может составить 62,53 усл. ед., а в 11 месяце объем производства может составить 64,93 усл. ед.
Построим график зависимости t от Y(t), включив прогнозные значения Y(t), и t от Yр(t).


Линейная однопараметрическая модель регрессии
Y(t) = а0 + а1• X(t).

Построим диаграмму рассеяния:

Точки группируются около некоторой прямой следовательно уравнение будем искать в виде Y(t) = а0 + а1• X(t)

Параметры найдем по формулам:

Все необходимые вычисления приведем в таблице:
X Y Х-Хcp (Х-Хcp)^2 Y-Ycp (Y-Ycp)^2 (Х-Хcp)*(Y-Ycp) Yp
10 33 -16,44444444 270,4197531 -10,33333333 106,7777778 169,9259259 32,81494939
15 35 -11,44444444 130,9753086 -8,333333333 69,44444444 95,37037037 36,01310667
21 40 -5,444444444 29,64197531 -3,333333333 11,11111111 18,14814815 39,85089541
23 41 -3,444444444 11,86419753 -2,333333333 5,444444444 8,037037037 41,13015832
25 45 -1,444444444 2,086419753 1,666666667 2,777777778 -2,407407407 42,40942123
34 47 7,555555556 57,08641975 3,666666667 13,44444444 27,7037037 48,16610433
32 45 5,555555556 30,86419753 1,666666667 2,777777778 9,259259259 46,88684142
37 51 10,55555556 111,4197531 7,666666667 58,77777778 80,92592593 50,0849987
41 53 14,55555556 211,8641975 9,666666667 93,44444444 140,7037037 52,64352453
238 390 1,42109E-14 856,2222222 -2,13163E-14 364 547,6666667 390
26,44444444 43,33333333 1,57898E-15 95,13580247 -2,36848E-15 40,44444444 60,85185185 43,33333333

а1= 60,85185185 / 95,13580247 = 0,639631456
а0= 43,33333333 - 0,639631456 *26,44444444 = 26,41863483
Линейная модель регрессии Y = 26,41863483 + 0,639631456 * Х(t).
С увеличением производственных фондов на 1 усл. ед. объем произведенной продукции увеличивается в среднем на 0,64 усл.ед.

Найдем коэффициенты корреляции и детерминации.
= 0,981007594
0,962375899

Вариация результата (объем производства продукции) на 96,23% объясняется вариацией фактора Х (производственными фондами).
R2 и rх,y близки к 1, значит связь между производственными фондами и объемами производства продукции тесная и прямая, т.е. с увеличением количества производственных фондов растет объем производимой продукции.
Оценим качество построенной модели, исследовав ее на адекватность и точность.
Модель является адекватной, если ряд остатков обладает свойствами случайности, независимости последовательных уровней и нормальности распределения. Все необходимые вычисления проведем в таблице.
Y-Yp = E(t) т.пов. Аср (Y-Yp)^2 = E(t)^2 E(t)-E(t-1) (E(t)-E(t-1))^2 E(t)* E(t-1)
0,18505061 - 0,005607594 0,034243728 - - -
-1,01310667 1 0,028945905 1,026385125 -1,19815728 1,435580868 -0,187476007
0,149104594 1 0,003727615 0,02223218 1,162211264 1,350735022 -0,151058859
-0,130158318 1 0,003174593 0,016941188 -0,279262912 0,077987774 -0,019407203
2,59057877 1 0,057568417 6,711098362 2,720737088 7,402410302 -0,337185376
-1,166104334 0 0,024810731 1,359799318 -3,756683104 14,11266794 -3,020885132
-1,886841422 1 0,041929809 3,560170553 -0,720737088 0,51946195 2,200253961
0,915001298 1 0,017941202 0,837227375 2,80184272 7,850322627 -1,72646235
0,356475474 - 0,006725952 0,127074763 -0,558525824 0,311951096 0,326175521
-4,26326E-14 6 0,190431818 13,69517259 0,171424864 33,06111758 -2,916045445
-4,73695E-15 0,6667 0,021159091 1,521685844 0,019047207 3,673457509 -0,324005049


Проверку случайности проведем на основе поиска точек поворота.
Вычисляем

Сумма точек поворота для данного ряда составила P= 6
P=6 > P*=2 следовательно ряд остатков – случайный ряд.
Проверку независимости остатков, отсутствия автокорреляции проведем с помощью d-критерия Дарбина -Уотсона (Д-У). Вычислим коэффициент Д-У по формуле:
d = = 33,06111758 / 13,69517259 = 2,414070897
Т.к.d>2, то вычислим d/:
d/ = 4 – d = 4 - 2, 414070897= 1,585929103
Cравним значение d/ с d1 и d2.
d1 = 1,08; d2 = 1,36. Так как d = 1,585929103 Є (d2; 2),.
Значит ряд остатков независимый. Автокорреляция отсутствует.
Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения определяем с помощью RS-критерия.
RS=(E -Е )/S
Emax = 2,59057877
Emin = -1,886841422

= 1,308394655
RS = (2,59057877 -(-1,886841422)) / 1,308394655) = 3,4220716 (2,7; 3,5) – гипотеза о нормальном распределения остатков членов ряда подтверждается.
Проверим точность модели с помощью нахождения средней ошибки аппроксимации. Оценку точности определяем с помощью .



Так как = 0,021159091 *100 2,12 % < 10%, то точность модели удовлетворительна.
Вывод: модель адекватной не является, т.к. гипотеза о нормальном распределения остатков членов ряда не подтверждается.

Значение прогнозов на два шага вперед получим на основе среднего прироста:
Средний прирост = 3,444444444
t= 10 X(10) = X(9)+ 3,444444444 = 44,44444444
t= 11: X(11) = X(10)+ 3,444444444 = 47,88888889

Найдем прогнозные значения для t = 10 и t = 11 по формуле:
Y(10)=a0+a1*X(10)= 54,84669954
Y(11)=a0+a1*X(11)= 57,04987456
Если производственные фонды в месяц составят примерно 44,44 усл. ед., то объем производства будет примерно равен 54,85 усл. ед. Если производственные фонды в месяц составят примерно 47,89 усл. ед., то объем производства будет примерно равен 57,05 усл. ед.

Отобразим на графике фактические данные, результаты аппроксимации и прогнозирования



Построим сводную таблицу для того, чтобы выяснить, какая из моделей является лучшей.

поворотные точки
p* = 2 критерий
Дарбина-Уотсона
d1 = 1,08;d2 = 1,36 R/S критерий
(2,7; 3,7)
(10%)
Y(t) = а0 + а1• t 5 (+) 1, 703594538 (-) 3,604375849 (-) 2,83%
Y(t)= а0 + а1• k 6 (+) 1,604347826 (+) 3,165026272 (+) 2,6 %
Y(t)=а0+а1 X(t) 6 (+) 1,585929103 (-) 3,4220716 (+) 2,12 %

Модель Y(t) = а0 + а1•k описывает изучаемую зависимость адекватно и точно, т.к. ряд остатков обладает свойствами случайности, независимости последовательных уровней и нормальности распределения.


Задание 15.
В каждом варианте приведены в условных единицах поквартальные данные zi (i = 1,2,…,16) о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство. Строка соответствует году, столбец – кварталу.

7,3 4,7 5,1 5,5
7,9 5,0 5,2 5,6
8,1 5,3 5,5 6,1
7,6 4,9 5,2 5,5

yi = zi + 0,3
Итак, сформированный вариант исходных данных имеет вид:
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
y 7,6 5 5,4 5,8 8,2 5,3 5,5 5,9 8,4 5,6 5,8 6,4 7,9 5,2 5,5 5,8

Требуется:
1. Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания a1 = 0,3; a2 = 0,6; a3 = 0,3.
2. Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации и средней квадратической ошибки.
3. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:
– случайности остаточной компоненты по критерию пиков;
– независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения: d1 = 1,10 и d2 = 1,37) или по первому коэффициенту автокорреляции, при критическом значении r1 = 0,32;
– нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3,0 до 4,21.
4. Построить точечный прогноз на четыре шага вперед, т. е. на один год.
5. Отобразить на графике фактические данные, расчетные и прогнозные.

Решение:
1.Начальные значения параметров найдём по первым восьми наблюдениям ряда методом наименьших квадратов.
Уравнение регрессии имеет вид y = a0 + b0 t
Необходимо решить систему нормальных уравнений


Расчеты произведём в таблице.
t y t^2 t*y yp
1 7,6 1 7,6 6,391666667
2 5 4 10 6,304761905
3 5,4 9 16,2 6,217857143
4 5,8 16 23,2 6,130952381
5 8,2 25 41 6,044047619
6 5,3 36 31,8 5,957142857
7 5,5 49 38,5 5,870238095
8 5,9 64 47,2 5,783333333
36 48,7 204 215,5 48,7

Подставим суммы в систему:


Решаем систему методом Крамера:
= 336
= -29,2
= 2176,8
Получили следующие значения:
= -0,086904762
6,478571429
y = 6,478571429 -0,086904762 *t (где t =1….8)

Затем найдём оценки начальных значений коэффициентов сезонности путём деления первых восьми фактических уровней временного ряда на их расчетные значения, вычисляемые по линейной модели
y = 6,478571429 -0,086904762 *t (где t =1….8)
F10 = 0,5(у1/у1р, + у5/у5р) = 1,272877478
F20 = 0,5(у2/у2р + у6/у6р) = 0,841369804
F30 = 0,5(у3/у3р + у7/у7р) = 0,902698014
F40 = 0,5(у4/у4р + у8/у8р) = 0,983096164
Перебором возможных значений параметров сглаживания было установлено, что лучшими являются ?1 = 0,3; ?2 = 0,6; ?3 = 0,3.
Расчеты параметров и оценочных значений показателя у, (t= 1…16) проводились последовательно по формулам мультипликативной модели Хольта-Уинтерса, начиная с у1.

Модель имеет вид:
yt(?) = (at +bt*?) Ft –L+? = Yt +1 ,
at = ?1yt /Ft – L + (1 – ?1)(at-1 + bt – 1),
bt = ?3(at – at – 1) + (1 – ?3)bt – 1 ,
Ft = ?2yt /at + (1 – ?2)Ft – L .
0 < ?1,?2 < 1
L – период сезонности (для квартальных данных L = 4);
?1,?2 – параметры сглаживания.
Индекс (t – L) показывает, что должно использоваться значение сезонного коэффициента за аналогичный период прошлого года.

Параметры модели на момент t=l получили следующие значения:
а1= 0,3*( 7,6 / 1,272877478 )+0,7*( 6,478571429 -0,08690476 ) = 6,265383841
b1= 0,3*( 6,265383841 - 6,478571429 )+0,7* -0,086904762 = -0,12478961
F1= 0,6*( 7,6 / 6,265383841 )+0,4* 1,272877478 = 1,236959553
Y1= ( 6,265383841 -0,12478961 )* 1,2729 = 7,8162241

Для момента t=2 :
а2= 0,3*( 5 / 0,841369804 )+0,7*( 6,265383841 -0,12478961 ) = 6,081222989
b2= 0,3*( 6,081222989 - 6,265383841 )+0,7* -0,12478961 = -0,142600982
F2= 0,6*( 5 / 6,081222989 )+0,4* 0,841369804 = 0,829869743
Y2= ( 6,265383841 -0,12478961 )* 0,8414 = 5,166510568

Для момента t=3 :
a3= 0,3*( 5,4 / 0,902698014 )+0,7*( 6,081222989 -0,14260098 ) = 5,951655505
b3= 0,3*( 5,951655505 - 6,081222989 )+0,7* -0,142600982 = -0,138690933
F3= 0,6*( 5,4 / 5,951655505 )+0,4* 0,902698014 = 0,905465553
Y3= ( 5,951655505 -0,138690933 )* 0,9027 = 5,36078229

Для момента t=4 :
a4= 0,3*( 5,8 / 0,983096164 )+0,7*( 5,951655505 -0,13869093 ) = 5,838993611
b4= 0,3*( 5,838993611 - 5,951655505 )+0,7* -0,138690933 = -0,130882221
F4= 0,6*( 5,8 / 5,838993611 )+0,4* 0,983096164 = 0,989231582
Y4= ( 5,838993611 -0,130882221 )* 0,9831 = 5,714703173

Для момента t=5 :
a5= 0,3*( 8,2 / 1,236959553 )+0,7*( 5,838993611 -0,13088222 ) = 5,984425297
b5= 0,3*( 5,984425297 - 5,838993611 )+0,7* -0,130882221 = -0,047988049
F5= 0,6*( 8,2 / 5,984425297 )+0,4* 1,236959553 = 1,316917903
Y5= ( 5,984425297 -0,047988049 )* 1,237 = 7,060702912

Все остальные расчеты произведем в таблице:
t y yp Fi0 a(t) b(t) F(t) Y(t)
1 7,6 6,391666667 1,272877478 6,265383841 -0,12478961 1,236959553 7,8162241
2 5 6,304761905 0,841369804 6,081222989 -0,142600982 0,829869743 5,166510568
3 5,4 6,217857143 0,902698014 5,951655505 -0,138690933 0,905465553 5,36078229
4 5,8 6,130952381 0,983096164 5,838993611 -0,130882221 0,989231582 5,714703173
5 8,2 6,044047619 - 5,984425297 -0,047988049 1,316917903 7,060702912
6 5,3 5,957142857 - 6,071469408 -0,007478401 0,85570908 4,926469653
7 5,5 5,870238095 - 6,067060709 -0,00655749 0,906106936 5,490734968
8 5,9 5,783333333 - 6,031619834 -0,015222506 0,982599649 5,995241188
9 8,4 5,696428571 - 6,125037049 0,01736941 1,349619327 7,923101356
10 5,6 5,60952381 - 6,262968585 0,053538048 0,878770436 5,256112982
11 5,8 5,522619048 - 6,341857789 0,061143395 0,91117788 5,723430473
12 6,4 5,435714286 - 6,436101119 0,071073375 0,989674364 6,291586716
13 7,9 5,348809524 0 6,311072873 0,012242889 1,290908619 8,782208462
14 5,2 5,261904762 0 6,201528682 -0,024293235 0,854609935 5,55674295
15 5,5 5,175 0 6,13490772 -0,036991553 0,902376553 5,628560297
16 5,8 5,088095238 0 6,026695376 -0,05835779 0,973300623 6,034951303
136 99,3 91,83809524 4,000041461 98,13200039 -0,518485653 16,17329774 98,72806339

Получена модель Yt (?) = (а16 + b16 * ? )Ft – L + ?
Y16(? )= (6,026695376 - 0,05835779 * ?) F16-4+ ?

2. Модель является адекватной, если ряд остатков обладает свойствами случайности, независимости последовательных уровней и нормальности распределения.

a) Проверку случайности проведем на основе поворотных точек.
Оценим адекватность построенной модели на основе исследования случайной остаточной компоненты по критерию пиков.
Вычисляем сумму точек поворота и обозначаем ее Р .Значение Р сравниваем с Р*.

Если р > р* , то ряд остатков является случайным рядом , в противном случае ряд не является случайным и нарушение этого одного условия достаточно для того ,чтобы модель не была адекватна исследуемому процессу.
p=7<> p* = 8– следовательно ряд остатков не является случайным рядом.
б)Проверку независимости уровней ряда проведём с помощью критерия Дарбина-Уотсона (критические значения d1=1,10 и d2=1,37
d = = 3,62618543 / 2,870565807 = 1,263230204
Т.к.d<2, то d/ не надо вычислять и сравним значение d с d1 и d2.
d1 = 1,1; d2 = 1,37. Так как d= 1, 263230204 (d1; d2),. То необходимо рассчитать коэффициент автокорреляции.
= 1,006495604 / 2,870565807 = 0,350626208
Так как r1= 0,350626208 > rтабл=0,32, следовательно в ряде остатков присутствует сильная автокорреляция.

в) Оценим адекватность построенной модели на основе исследования нормальности распределения остаточной компоненты по R/S- критерию с критическими значениями от 3,0 до 4,21.
RS = (E max - E min) / Se
Se =

E max = 1,139297088
E min = -0,882208462

Se = = 0,435899173
RS = (1,139297088 + 0, 882208462) / 0,435899173 =4,637553072 [3,0;4,21]
Значит, гипотеза о нормальном распределении ряда остатков не подтверждается.
Все расчеты приведем в таблице:
t y Y(t) E=y-Y(t) т.пов. E^2 E(t)-E(t-1) (E(t)-E(t-1))^2 E(t)*E(t-1) Аср
1 7,6 7,8162241 -0,2162241 - 0,046752862 - - - 0,02845054
2 5 5,166510568 -0,166510568 0 0,027725769 0,049713532 0,002471435 0,036003598 0,033302114
3 5,4 5,36078229 0,03921771 0 0,001538029 0,205728278 0,042324124 -0,006530163 0,007262539
4 5,8 5,714703173 0,085296827 0 0,007275549 0,046079117 0,002123285 0,003345146 0,014706349
5 8,2 7,060702912 1,139297088 1 1,297997855 1,054000261 1,110916551 0,097178426 0,138938669
6 5,3 4,926469653 0,373530347 0 0,13952492 -0,76576674 0,586398701 0,425562037 0,070477424
7 5,5 5,490734968 0,009265032 0 8,58408E-05 -0,36426532 0,13268922 0,003460771 0,001684551
8 5,9 5,995241188 -0,095241188 1 0,009070884 -0,10450622 0,01092155 -0,000882413 0,016142574
9 8,4 7,923101356 0,476898644 1 0,227432317 0,572139832 0,327343988 -0,045420393 0,056773648
10 5,6 5,256112982 0,343887018 0 0,118258281 -0,13301163 0,017692093 0,163999253 0,061408396
11 5,8 5,723430473 0,076569527 1 0,005862892 -0,26731749 0,071458641 0,026331266 0,013201643
12 6,4 6,291586716 0,108413284 1 0,01175344 0,031843757 0,001014025 0,008301154 0,016939576
13 7,9 8,782208462 -0,882208462 1 0,77829177 -0,99062175 0,981331443 -0,095643116 0,111671957
14 5,2 5,55674295 -0,35674295 0 0,127265532 0,525465512 0,276114004 0,314721649 0,068604413
15 5,5 5,628560297 -0,128560297 1 0,01652775 0,228182653 0,052067323 0,045862979 0,023374599
16 5,8 6,034951303 -0,234951303 - 0,055202115 -0,10639101 0,011319046 0,030205409 0,040508845
136 99,3 98,72806339 0,571936609 7 2,870565807 -0,0187272 3,62618543 1,006495604 0,703447838

Проведя все исследования, видим, что модель не адекватна исследуемому процессу, так как ряд остатков не является случайным рядом в нем присутствует сильная автокорреляция и гипотеза о нормальном распределении ряда остатков не подтверждается.
3. Оценку точности определяем с помощью .


Расчеты произведем в таблице и получим
=(0,703447838*100)/16= 0,04396549 *100 4,4% < 10% - следовательно, точность модели удовлетворенна.

4. На основе построенной модели рассчитаем прогноз на 1 год вперёд.
Y16+ ? = Y16(?) = (а16 + b16 * ? )F16-4+ ?
Эта модель используется для прогнозов на следующий год:
t=17, F13, Y17=Y16(1)=(6,026695376 - 0,05835779 *1)* 1,290908619 = 7,704578433
t=18, F14, Y18=Y17(2)=(6,026695376 -0,05835779 *2)* 0,854609935 = 5,05072745
t=19, F15, Y19=Y18(3)=(6,026695376 -0,05835779 *3)* 0,902376553 = 5,280366496
t=20, F16, Y20=Y19(4)=(6,026695376 -0,05835779 *4)* 0,973300623 = 5,63858767
Основываясь на прогнозных значениях, можем сделать следующие выводы:
в 17 квартале кредит коммерческого банка на жилищное строительство может составить 7,70 усл. ед.;
в 18 квартале кредит коммерческого банка на жилищное строительство может составить 5,05 усл. ед.;
в 19 квартале кредит коммерческого банка на жилищное строительство может составить 5,28 усл. ед.;
в 20 квартале кредит коммерческого банка на жилищное строительство может составить 5,64 усл. ед.;

5. Отобразим фактические, расчетные и прогнозные данные на графике.



Список использованной литературы
1. Малыхин В. И. Финансовая математика. - М.: Юнити, 2009. -247с.
2. Четыркин Е. М. Методы финансовых и коммерческих расчетов. - М.: Дело Лтд, 2005. - 320 с.
3. Спиридонова Г.В., Старчук Т.И. Финансовые вычисления – Учебное пособие.




Перейти к полному тексту работы


Скачать работу с онлайн повышением уникальности до 90% по antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru


Смотреть похожие работы

* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.