На бирже курсовых и дипломных проектов можно найти образцы готовых работ или получить помощь в написании уникальных курсовых работ, дипломов, лабораторных работ, контрольных работ, диссертаций, рефератов. Так же вы мажете самостоятельно повысить уникальность своей работы для прохождения проверки на плагиат всего за несколько минут.

ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ 

 

Здравствуйте гость!

 

Логин:

Пароль:

 

Запомнить

 

 

Забыли пароль? Регистрация

Повышение уникальности

Предлагаем нашим посетителям воспользоваться бесплатным программным обеспечением «StudentHelp», которое позволит вам всего за несколько минут, выполнить повышение уникальности любого файла в формате MS Word. После такого повышения уникальности, ваша работа легко пройдете проверку в системах антиплагиат вуз, antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru. Программа «StudentHelp» работает по уникальной технологии и при повышении уникальности не вставляет в текст скрытых символов, и даже если препод скопирует текст в блокнот – не увидит ни каких отличий от текста в Word файле.

Работа № 90170


Наименование:


Курсовик Методика изучения тригонометрических уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

Информация:

Тип работы: Курсовик. Предмет: Педагогика. Добавлен: 08.07.2015. Сдан: 2014. Страниц: 39. Уникальность по antiplagiat.ru: < 30%

Описание (план):


Содержание
Введение....................................................................................................................3
Глава 1. Методика изучения тригонометрическийх уравнения и неравен-ства............................................................................................................................5
1.1. Роль и место тригонометрических уравнений и неравенств в школьном
курсе математики. ..................................................................................................5
1.2. Виды тригонометрических уравнений и методы их решения ................6
1.3. Виды тригонометрических неравенств и методы их решения ...............19
Глава 2. Тригонометрические уравнения и неравенства в школьном курсе математики..............................................................................................................27
2.1. Тригонометрические уравнения в школьном курсе математики.............27
2.2. Тригонометрические неравенства в школьном курсе математики...........30
Заключение ............................................................................................................38
Литература .............................................................................................................39


Введение

Тригонометрии в школе традиционно уделяется много внимания: сначала – в курсе геометрии, затем – в курсе алгебры и начал анализа. Поскольку в контрольно-измерительных материалах ЕГЭ тригонометрический материал (тождества, уравнения, неравенства) представлен достаточно широко, учителя математики не жалеют ни сил, ни времени на то, что, по их мнению, особенно важно учащимся, – на отработку формул.
Основная задача учителя математики – развитие ребенка, а не заполнение ячеек памяти формулами. В школьном курсе математики в разные годы использовались разные варианты введения тригонометрических функций. В современных учебных пособиях предпочтение отдается определению с помощью единичной окружности. При этом большинству учебников присущ один и тот же недостаток – недооценка важности изучения самой модели «числовая окружность» (точнее, модели «числовая окружность на координатной плоскости») и слишком поспешное введение понятий синуса и косинуса «по окружности». Это приводит к наложению двух трудностей: непривычная модель (числовая окружность) и непривычный способ введения функций (синус как ордината, косинус как абсцисса точки числовой окружности). При этом в качестве опоры используется геометрический материал о вычислении длин дуг окружностей, который, как показывает практика, не дорабатывается в курсе геометрии.
Из вышесказанного следует проблема исследования, которая состоит в рассмотрении теоретических основ тригонометрии и методики ее изучения в школьном курсе математики. Проблема исследования определяет тему курсовой работы: «Методика изучения тригонометрических уравнений и неравенств». Объект исследования – процесс изучения тригонометрии в школьном курсе математики. Предмет исследования – методика изучения тригонометрических уравнений и неравенств в школьном курсе математики.
Цель исследования – на основе учебной, научной и методической литературы изучить основные теоретические сведения, связанные с тригонометрией; раскрыть общие методические положения, на которые нужно обратить внимание при изложении темы «Тригонометрические уравнения и неравенства» в школьном курсе математики.
Достижение цели обусловило постановку следующих задач:
1. Проанализировать школьные учебники и методическую литературу в соответствии с проблемой исследования.
2. Раскрыть методику изучения тригонометрических уравнений и неравенств в курсе математики.
3. Классифицировать методы решения тригонометрических уравнений и неравенств.
4. Выделить основы формирования умений необходимых для решения тригонометрических уравнений и неравенств.
5. Разработать урок обобщения и систематизации знаний на тему «Отбор корней при решении тригонометрических уравнений».
Для решения поставленных задач были использованы следующие методы исследования:
1. Анализ учебно-методических пособий, учебников, дидактических материалов.
2. Наблюдения, беседы с учителями.
3. Педагогический эксперимент.
Структура работы: работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы и приложения. В первой главе рассматриваются теоретические сведения, связанные с тригонометрией. Вторая глава посвящена методике изучения тригонометрии в школьном курсе математики, где рассматриваются подходы по обучению тригонометрическим уравнениям и неравенствам. В приложении 1 приведен урок обобщения и систематизации знаний на тему «Отбор корней в тригонометрических уравнениях» для учеников 10- го класса.


1. Методика изучения тригонометрическийх уравнения и неравенства.

1.1. Роль и место тригонометрических уравнений и неравенств в школьном курсе математики.
Тригонометрия традиционно является одной из важнейших составных частей школьного курса математики. И этот курс предполагает задачи, решить которые, как правило, можно, пройдя целенаправленную специальную подготовку.
Анализ школьных учебников по математике в полной степени определяет место тригонометрических уравнений и неравенств в линии изучения уравнений и линии изучения неравенств.
Изучению темы «Решение тригонометрических уравнений» часто предшествует изучение таких тем как «Преобразование тригонометрических выражений» и «Основные свойства и графики тригонометрических функций». В разделе «Решение тригонометрических уравнений и неравенств» мы знакомим учащихся с понятиями арксинус, арккосинус, арктангенс.
Проведенный анализ показывает, что осознание важности изучаемого материала приходит к ученикам не в процессе его изучения, а в процессе его применения при решении других заданий, т.е. тогда когда он становится средством для решения других задач.
Так, например, решение уравнения , сводится к простейшему уравнению , причём частному виду простейшего, после элементарного преобразования выражения, стоящего в левой части уравнения по формулам сложения косинуса. Аналогичная ситуация может возникнуть и при решении тригонометрических неравенств. Неравенства вида , в принципе становится решаемым только после преобразования выражения стоящего в правой части неравенства. Получим, , а затем с помощью таблицы значений основных тригонометрических функций имеем простое неравенство , решение которого не должно вызвать затруднений у учащихся.
Мы видим, что именно здесь школьники могут наблюдать пользу от изучения формул тригонометрии. С их помощью нерешаемое на первый взгляд уравнение или неравенство принимает достаточно простой и, главное знакомый вид. Примерно то же самое происходит и при решении тригонометрических неравенств.
При таком подходе изучения тригонометрии, когда уравнения и неравенства изучаются после формул преобразования тригонометрических выражений, место тригонометрических уравнений и неравенств определяется через систематизацию знаний по темам «Преобразование тригонометрических выражений» и «Основные свойства и графики тригонометрических функций».
Если же тригонометрические уравнения и неравенства изучаются до темы «Преобразование тригонометрических выражений», то здесь место их изучения определяется совершенно противоположным образом. Здесь на изучение тригонометрических уравнений отводится больше времени: как только появляется новая формула, она сразу же используется для решения уравнений или неравенств. То есть в данном случае не формула преобразования является средством для решения тригонометрического уравнения или неравенства, а уравнение выступает как средство закрепления тригонометрических формул.
Таким образом, при любом подходе к изучению тригонометрии, роль изучения уравнений и неравенств неизмеримо велика, не зависимо от места их изучения. Ну и как следствие из этого велико и неизмеримо место изучения методов решения и тригонометрических уравнений и тригонометрических неравенств.

1.2.Виды тригонометрических уравнений и методы их решения.
Элементарные тригонометрические уравнения - это уравнения вида , где - одна из тригонометрических функций: , , , .
Элементарные тригонометрические уравнения имеют бесконечно много корней. Например, уравнению удовлетворяют следующие значения: , , , и т. д. Общая формула по которой находятся все корни уравнения , где , такова:

Здесь может принимать любые целые значения, каждому из них соответствует определенный корень уравнения; в этой формуле (равно как и в других формулах, по которым решаются элементарные тригонометрические уравнения) называют параметром. Записывают обычно , подчеркивая тем самым, что параметр принимать любые целые значения[13].
Решения уравнения , где , находятся по формуле

Уравнение решается применяя формулу

а уравнение --- по формуле

Особо отметим некоторые частные случаи элементраных тригонометрических уравнений, когда решение может быть записано без применения общих формул[13]:












При решении тригонометрических уравнений важную роль играет период тригонометрических функций. Поэтому приведем две полезные теоремы:
Теорема. Если --- основной период функции , то число является основным периодом функции .
Периоды функций и называются соизмеримыми, если существуют натуральные числа и , что .
Теорема. Если периодические функции и , имеют соизмеримые и , то они имеют общий период , который является периодом функций , , .
В теореме говорится о том, что является периодом функции , , , и не обязательно является основным периодом. Например, основной период функций и - , а основной период их произведения - [4].
Введение вспомогательного аргумента
Стандартным путем преобразования выражений вида является следующий прием: пусть --- угол, задаваемый равенствами , . Для любых и такой угол существует. Таким образом . Если , или , , , в других случаях [13].
Основная схема при решении тригонометрических уравнений следующая: решение заданного уравнения сводится к решению элементарных уравнений. Средства решения - преобразования, разложения на множители, замена неизвестных. Ведущий принцип - не терять корней. Это означает, что при переходе к следующему уравнению (уравнениям) мы не опасаемся появления лишних (посторонних) корней, а заботимся лишь о том, чтобы каждое последующее уравнение нашей "цепочки" (или совокупность уравнений в случае ветвления) являлось следствием предыдущего. Одним из возможных методов отбора корней является проверка. Сразу заметим, что в случае тригонометрических уравнений трудности, связанные с отбором корней, с проверкой, как правило, резко возрастают по сравнению с алгебраическими уравнениями. Ведь проверять приходится серии, состоящие из бесконечного числа членов.
Особо следует сказать о замене неизвестных при решении тригонометрических уравнений. В большинстве случаев после нужной замены получается алгебраическое уравнение. Более того, не так уж и редки уравнения, которые, хотя и являются тригонометрическими по внешнему виду, по существу таковыми не являются, поскольку уже после первого шага - замены переменных -превращаются в алгебраические, а возращение к тригонометрии происходит лишь на этапе решения элементарных тригонометрических уравнений.
Замену неизвестного следует делать при первой возможности, получившееся после замены уравнение необходимо решить до конца, включая этап отбора корней, а уж затем возвратится к первоначальному неизвестному[14].
Одна из особенностей тригонометрических уравнений заключается в том, что ответ во многих случаях может быть записан различными способами. Даже для решения уравнения ответ может быть записан следующим образом:
1) в виде двух серий: , , ;
2) в стандартной форме представляющей собой объединение указанных выше серий: , ;
3) поскольку , то ответ можно записать в виде , . (В дальнейшем наличие параметра , , или в записи ответа автоматически означает, что этот параметр принимает всевозможные целочисленные значения. Исключения будут оговариваться.)
Очевидно, что тремя перечисленными случаями не исчерпываются все возможности для записи ответа рассматриваемого уравнения (их бесконечно много).
Например, при справедливо равенство . Следовательно, в двух первых случаях, если , мы можем заменить на .
Полезно запомнить следующую рекомендацию: если на решении уравнения работа не заканчивается, необходимо еще провести исследование, отбор корней. (Аналогичную рекомендацию следует дать и для уравнения .)
Пример. Решить уравнение .
Решение. Наиболее очевидным является следующий путь. Данное уравнение распадается на два: и . Решая каждое из них и объединяя полученные ответы, найдем .
Другой путь. Поскольку , то, заменяя и по формулам понижения степени. После небольших преобразований получим , откуда .
На первый взгляд никаких особых преимуществ у второй формулы по сравнению с первой нет. Однако, если возьмем, например, , то окажется, что , т.е. уравнение имеет решение , в то время как первый способ нас приводит к ответу . "Увидеть" и доказать равенство не так просто.
Ответ. .
Разложение на множители
Метод разложения на множетели заключается в следующем: если

то всякое решение уравнения

является решение совокупности уравнений

Обратное утверждение, вообще говоря неверно: не всякое решение совокупности является решением уравнения. Это объясняется тем, что решения отдельных уравнений могут не входить в область определения функции [10].
Пример. Решить уравнение .
Решение. Используя основное тригонометрическое тождество, уравнение представим в виде
Ответ. ; .
Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение.
Пример. Решить уравнение .
Решение. Применим формулу, получим равносильное уравнение

Ответ. .
Пример. Решить уравнение .
Решение. В данном случае, прежде чем применять формулы суммы тригонометрических функций, следует использовать формулу приведения . В итоге получим равносильное уравнение

Ответ. , [6].
Решение уравнений приобразованием произведения тригонометрических функций в сумму.
При решении ряда уравнений применяются формулы.
Пример. Решить уравнение
Решение. Применив формулу, получим равносильное уравнение:

Ответ. , .
Пример. Решить уравнение .
Решение. Применив формулу, получим равносильное уравнение:
.
Ответ. [6].
Решение уравнений с применением формул понижения степени.
При решении широкого круга тригонометрических уравнений ключевую роль играют формулы.
Пример. Решить уравнение .
Решение. Применяя формулу, получим равносильное уравнение.



.
Ответ. ; .
Решение уравнений с примененнием формул тройного аргумента
Пример. Решить уравнение .
Решение. Применим формулу, получим уравнение

Ответ. ; .
Пример. Решить уравнение .
Решение. Применим формулы понижения степени получим: . Применяя получаем:
.
Ответ. ; .
Равенство одноименных тригонометрических функций



Пример. Решить уравнение .
Решение.
Ответ. , .
Пример. Решить уравнение .
Решение. Преобразуем уравнение.
Ответ. .
Домножение на некоторую тригонометрическую функцию
Рассмотрим суммы вида


Данные суммы можно преобразовать в произведение, домножив и разделив их на , тогда получим

Указанный прием может быть использован при решении некоторых тригонометрических уравнений, однако следует иметь в виду, что в результате возможно появление посторонних корней. Приведем обобщение данных формул:



Пример. Решить уравнение .
Решение. Видно, что множество является решением исходного уравнения. Поэтому умножение левой и правой части уравнения на не приведет к появлению лишних корней.
Имеем .
Ответ. ; .
Сведение тригонометрических уравнений к алгебраическим.
Сводящиеся к квадратным
Если уравнение имеет вид

то замена приводит его к квадратному, поскольку .
Если вместо слагаемого будет , то нужная замена будет .
Уравнение

сводится к квадратному уравнению

представлением как . Легко проверить, что при которых , не являются корнями уравнения, и, сделав замену , уравнение сводится к квадратному.
Пример. Решить уравнение .
Решение. Перенесем в левую часть, заменим ее на , и выразим через и .
После упрощений получим: . Разделим почленно на , сделаем замену :

Возвращаясь к , найдем .
Уравнения, однородные относительно ,
Рассмотрим уравнение вида

где , , , ..., , --- действительные числа. В каждом слагаемом левой части уравнения (??) степени одночленов равны , т. е. сумма степеней синуса и косинуса одна и та же и равна . Такое уравнение называется однородным относительно и , а число называется показателем однородности.
Ясно, что если , то уравнение примет вид:

решениями которого являются значения , при которых , т. е. числа , . Второе уравнение, записанное в скобках также является однородным, но степени на 1 ниже.
Если же , то эти числа не являются корнями уравнения.
При получим: , и левая часть уравнения принимает значение .
Итак, при , и , поэтому можно разделить обе части уравнения на . В результате получаем уравнение:

которое, подстановкой легко сводится к алгебраическому:

Однородные уравнения с показателем однородности 1. При имеем уравнение .
Если , то это уравнение равносильно уравнению , , откуда , .
Пример. Решите уравнение .
Решение. Это уравнение однородное первой степени . Разделим обе его части на получим: , , , .
Ответ. .
Пример. Решите уравнение .
Решение. Это уравнение однородное второй степени. Разделим обе чести уравнения на , получим: . Пусть , тогда , , . , , ; , , .
Ответ. .
Уравнения, решаемые с помощью тождеств
Полезно знать следующие формулы:

Пример. Решить уравнение .
Решение. Получаем


Ответ.
Предлагаем не сами формулы, а способ их вывода:

следовательно,
.
Аналогично, .
Универсальная тригонометрическая подстановка
Тригонометрическое уравнение вида

где --- рациональная функция с помощью фомул, а так же с помощью формул можно свести к рациональному уравнению относительно аргументов , , , , после чего уравнение может быть сведено к алгебраическому рациональному уравнению относительно с помощью формул универсальной тригонометрической подстановки


Следует отметить, что применение формул может приводить к сужению ОДЗ исходного уравнения, поскольку не определен в точках , поэтому в таких случаях нужно проверять, являются ли углы , корнями исходного уравнения[14].
Пример. Решить уравнение .
Решение. По условию задачи . Применив формулы и сделав замену , получим

откуда и, следовательно, .
Уравнения вида
Уравнения вида , где --- многочлен, решаются с помощью замен неизвестных

Пример. Решить уравнение .
Решение. Сделав замену и учитывая, что , получим

откуда , . --- посторонний корень, т.к. . Корнями уравнения являются .

1.3.Виды тригонометрических уравнений и методы их решения
Решение тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности.
При решении тригонометрических неравенств вида , где -одна из тригонометрических функций, удобно использовать тригонометрическую окружность для того, чтобы наиболее наглядно представить решения неравенства и записать ответ. Основным методом решения тригонометрических неравенств является сведение их к простейшим неравенствам типа . Пример. Решите неравенство .
Решение. Нарисуем тригонометрическую окружность и отметим на ней точки, для которых ордината превосходит .

Для решением данного неравенства будут . Ясно также, что если некоторое число будет отличаться от какого-нибудь числа из указанного интервала на , то также будет не меньше . Следовательно, к концам найденного отрезка решения нужно просто добавить . Окончательно, получаем, что решениями исходного неравенства будут все .
Ответ. .
Для решения неравенств с тангенсом и котангенсом полезно понятие о линии тангенсов и котангенсов. Таковыми являются прямые и соответственно (на рисунке (1) и (2)), касающиеся тригонометрической окружности.

Легко заметить, что если построить луч с началом в начале координат, составляющий угол с положительным направлением оси абсцисс, то длина отрезка от точки до точки пересечения этого луча с линией тангенсов в точности равна тангенсу угла, который составляет этот луч с осью абсцисс. Аналогичное наблюдение имеет место и для котангенса.
Пример. Решите неравенство .
Решение. Обозначим , тогда неравенство примет вид простейшего: . Рассмотрим интервал длиной, равной наименьшему положительному периоду (НПП) тангенса. На этом отрезке с помощью линии тангенсов устанавливаем, что . Вспоминаем теперь, что необходимо добавить , поскольку НПП функции . Итак, . Возвращаясь к переменной , получаем, что .
Ответ. .
Неравенства с обратными тригонометрическими функциями удобно решать с использованием графиков обратных тригонометрических функций. Покажем, как это делается на примере.
Решение тригонометрических неравенств графическим методом.
Заметим, что если - периодическая функция, то для решения неравенства необходимо найти его решения на отрезке, длина которого равна периоду функции . Все решения исходного неравенства будут состоять из найденных значений , а также всех , отличающихся от найденных на любое целое число периодов функции .
Рассмотрим решение неравенства ( ).
Поскольку , то при неравенство решений не имеет. Если , то множество решений неравенства --- множество всех действительных чисел.
Пусть . Функция синус имеет наименьший положительный период , поэтому неравенство можно решить сначала на отрезке длиной , например, на отрезке . Строим графики функций и ( ).



На отрезке функция синус возрастает, и уравнение , где , имеет один корень . На отрезке функция синус убывает, и уравнение имеет корень . На числовом промежутке график функции расположен выше графика функции . Поэтому для всех из промежутка ) неравенство выполняется, если . В силу периодичности функции синус все решения неравенства задаются неравенствами вида: .
Аналогично решаются неравенства , , и т.п.
Пример. Решим неравенство .
Решение. Рассмотрим график функции

и выберем из промежутка на оси значения аргумента , которым соответствуют точки графика, лежащие выше оси . Таким промежутком является интервал . Учитывая периодичность функции все решения неравенства можно записать так: .
Ответ. .
Пример. Решите неравенство .
Решение. Нарисуем график функции . Найдём точку пересечения этого графика с горизонтальной прямой .

Это точка с абсциссой . По графику видно, что для всех график функции лежит ниже прямой . Следовательно, эти и составляют:
Ответ. .
Отбор корней.
Проблема отбора корней, отсеивания лишних корней при решении тригонометрических уравнений весьма специфична и обычно оказывается более сложной, чем это имело место для уравнений алгебраических. Приведем решения уравнений, иллюстрирующие типичные случаи появления посторонних корней и методы “борьбы” с ними[2].
Пример. Найти ближайший к числу корень уравнения

Решение.




Подставляя последовательно в формулу вместо переменной выписанные выше серии решений уравнений, отыщем для каждой из них , а затем сравним полученные минимальные между собой.
a)
Ясно, что достигается при , то есть .
б)
.
в) .
г) .
.
Выберем минимальное из чисел , . Сразу ясно, что и что . Оталось сравнить и . Предположим, что





Последнее неравенство - верное, а все сделанные переходы -равносильные. Поэтому верно исходное неравенство. Обоснуем равносильность переходов (*) и (**) (равносильность остальных переходов следует из общих свойств числовых неравнств). В случае преобраования (*), достаточно заметить, что числа и расположен на участке монотонного возрастания функции . В случае перехода (**) формула справедлива, так как .
Ответ. .
Пример. Найти корни уравнения: .
Решение этого уравнения распадается на два этапа: 1) решение уравнения, получающегося из данного возведением в квадрат обеих его частей; 2) отбор тех корней, которые удовлетворяют условию . При этом заботится об условии нет необходимости. Все значения , удовлетворяющие возведенному в квадрат уравнению, этому условию удовлетворяют.
Первый шаг нас приводит к уравнению , откуда .
Теперь надо определить, при каких будет . Для этого достаточно для рассмотреть значения , , , т. е. <<обойти один раз круг>>, поскольку дальше значения косинуса начнут повторяться, получившиеся углы будут отличаться от уже рассмотренных на величину, кратную .
Ответ. , .
Итак, основная схема отбора корней состоит в следующем. Находится наименьший общий период всех тригонометрических функций входящих в уравнение. На этом периоде отбираются корни, а затем оставшиеся корни периодически продолжаются.
Пример. Решить уравнение:

Решение. Уравнение равносильно смешанной системе:



Но --- не годится.
Ответ. .
Раскрывая знак модуля получаем более громоздное решение. А ответ в этом случае принимает вид:
Ответ. .

2. Тригонометрические уравнения и неравенства в школьном курсе математики.

2.1. Тригонометрические уравнения в школьном курсе математики.
Решение тригонометрических уравнений – одна из самых сложных, но вместе с тем интересных тем алгебры.
В последние годы на ЕГЭ по математике школьникам предлагаются для решения тригонометрические уравнения.
Тригонометрическими называются уравнения, которые содержат переменную под знаком тригонометрической функции. Уравнения sin x = х; tg3x = 2х +1 и так далее не являются тригонометрическими, они относятся к типу трансцендентных уравнений и, как правило, решаются приближенно или графически.
Рассмотрим различные случаи решения тригонометрических уравнений, представленные в контрольно-измерительных материалах Единого государственного экзамена.
Пример 1. а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежут-ку
Решение. а) Запишем исходное уравнение в виде:

Значит, либо откуда либо отку-да или
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие от-резку Получим числа
Ответ: a) б)
Пример 2. а) Решите уравнение:


б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение.
а) Воспользуемся формулой Из неё следует, что
Поэтому уравнение можно преобразовать так:




Сделаем замену Получим


или ;
или .

Уравнение не имеет решений. Из уравнения получаем



б) При помощи тригонометрической окружности отберём корни, принад-лежащие заданному отрезку.

Получим

Ответ: а) б)

Пример 3. Решите уравнение:
Решение.

Левая часть уравнения имеет смысл при выражение поло-жительно при всех допустимых
Значит,

Так как числа не являются решениями уравнения.

Ответ:

Пример 4. а) Решите уравнение:

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение.
а) Воспользуемся формулой Из неё следует, что Поэтому уравнение можно преобразовать так:
или
или
или
б) При помощи тригонометрической окружности отберём корни, принад-лежащие заданному отрезку.
Получим:

Ответ: а) б)
Пример 5. а) Решите уравнение
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащего промежутку
Решение.
а) Преобразуем уравнение:
Значит,либо отку-да либо откуда
б) Отберём с помощью единичной окружности корни уравнения, принад-лежащие промежутку
Ответ: а) б)

2.2. Тригонометрические неравенства в школьном курсе математики.
Для решения простейших тригонометрических неравенств не требуется никаких специальных знаний, выходящих за пределы школьной программы. Именно, в разбираемых ниже примерах, кроме свойств тригонометрических функций, используются лишь понятие абсолютной величины числа, правила решения квадратных.
С самого начала, однако, необходимо отметить одно принципиальное обстоятельство. В тригонометрических неравенствах аргументы триго-нометрических функций рассматриваются не как углы или дуги, а как вещественные числа. Поскольку опыт показывает, что в этом вопросе у многих выпускников средней школы нет полной ясности, остановимся на нем несколько подробнее.
Рассмотрим теперь некоторые конкретные тригонометрические неравенства, причем начнем с самого простого примера[4].
Пример 1. Решить неравенство: tgxРешение. Сначала покажем, как не следует «решать» это неравенство, то есть разберем часто встречающиеся неправильные ответы на вопрос.
Иногда ученик, замечая, что и что вблизи значения функция tg х с увеличением х возрастает, записывает ответ в форме:
.
Уже по внешнему виду» ответа можно сказать, что он неверен, так как в нем никак не отражена периодичность функции у= tgx. Легко указать и конкретные значения x удовлетворяющие условию , но не удовлетворяющие заданному неравенству.
Например, при имеем: , но
при левая часть неравенства не имеет смысла, следовательно, это
значение неравенству тоже не удовлетворяет, хотя .
Бывает и так, что ученик пытается учесть периодичность, но проявляет при этом беспомощность. Именно, часто «ответ» дается в виде;
, где k=0, ±1, ±2,...
Этот «ответ» еще хуже, так как он вообще лишен смысла.
Легко убедиться, что чисел х, удовлетворяющих условию , где k=0, ±1, ±2,.. для всех k= 0,±1, ±2,... просто нет.
Чтобы получить правильный ответ, полезно рассмотреть график функ-ции у = tg х (рис. 1), так как рассуждения при этом получат геометрическую наглядность.
Неравенству tgx <1 удовлетворяют те и только те значения х для которых соответствующие точки графика лежат ниже красной горизонтальной прямой у = 1. Далее, из рисунка 1 ясно, что если мы найдем все решения, принадлежащие какому-нибудь определенному интервалу длины p, то все остальные решения будут отличаться от найденных сдвигом вправо или влево на p, 2p,3p и т. д. Причина этого в том, что число p является периодом функции у = tg х.



Для того чтобы ответ записывался как можно короче, желательно исходный интервал длиныp выбрать так, чтобы принадлежащие ему решения заполняли в свою очередь какой-то один сплошной интервал. Из рисунка опять-таки видно, что так будет обстоять дело, если в качестве исходного интервала взять, например, интервал от до . На этом интервале ниже прямой у = 1 лежат те точки графика, которые соответствуют значениям х, удовлетворяющим неравенствам . Поэтому окончательный ответ имеет вид (k=0, ±1, ±2, . . .) или
Ответ, таким образом, представляет собой совокупность интервалов, каж-дый из которых получается при некотором фиксированном значении k.
Аналогично обстоит дело и в ответах на все дальнейшие примеры.
Пример. Решить неравенство
Решение. Рассмотрим график функции у = sin х (рис. 2) Не-
равенству удовлетворяют те значения х, для которых соответствующие точки графика лежат не ниже красной прямой


(если точка графика лежит на самой этой прямой, то значение х удовлетворяет заданному неравенству, так как оно «не строгое», в нем допускается равенство левой и правой частей). Функция у = sin х имеет период 2л. Поэтому рассмотрим сначала какой-нибудь интервал длины 2p, например интервал от до . Из рисунка 2 видно, что неравенству в этом интервале удовлетворяют следующие значения х: .
Учитывая периодичность, получаем ответ: ,
Пример 3. Решить неравенство .
Решение Введем вспомогательное неизвестное t = 3x+2.
Тогда относительно t мы получим неравенство cos t > .
Так как оно совершенно аналогично неравенствам примеров 1 и 2 (для его решения можно рассмотреть график функции у = cos x ) мы сразу выпи-шем ответ для t: , , или, возвращаясь к неизвестному х, , .Выражая отсюда х, получаем ответ для заданного неравенства , .
Пример 4. Решить неравенство
Решение Освобождаясь от знака абсолютной величины, получаем, что заданному неравенству будут удовлетворять те и только те значения x, которые удовлетворяют х о тя бы одному из неравенств или . Решая каждое из них методом рассмотренным в примерах 1 и 2, получаем для неравенства ответ: , , а для неравенства ответ: , . Поэтому ответ для неравенства можно записать в виде двух серий:
, , ,
Заметим, что так как и , вторую серию можно записать иначе: , .
Теперь обе серии можно объединить формулой:
, . Причем для четных n получаются интервалы первой серии, а для нечетных n – интервалы второй серии.
Пример 5 Решить неравенство

Решение Введем вспомогательное неизвестное у=cos х. Неравенство примет вид . Отсюда ,
или .
Таким образом, заданное неравенство свелось к системе неравенств:

Подчеркнем отличие ситуации от той, которая имела место в примере 4. Там для выполнения заданного неравенства нужно было, чтобы х о тя бы одному из неравенств или .
Здесь же заданному неравенству будут удовлетворять те значения х, которые удовлетворяют одновременно каждому из неравенств
и
Так как функция у = cos х имеет период 2p, рассмотрим сначала зна-чения х, лежащие на интервале от —p до p. Построим для этого интервала график функции у=cos х (рис 3)


Системе
удовлетворяют те значения х, для которых соответствующие точки гра-фика попадают внутрь горизонтальной полосы, ограниченной сверху красной пунктирной прямой , а снизу красной пунктирной прямой
Из рисунка видно, что этому условию удовлетворяют следующие значения х:
во-первых, , во-вторых, .
Учитывая периодичность, мы можем теперь записать ответ в виде двух серий
, , ,
Как и в примере 4, эти две серии можно объединить одной формулой:
, .
Заметим, что неравенство можно решить проще, если сначала преобразовать его к виду , откуда .
Полагая 2х = t, получаем, что , .
Отсюда , .
Однако, первый способ решения, основанный на сведении к квадратному неравенству, обладает большей общностью, в чем мы убедимся ниже (примеры 6, 7, 8).
Пример 6. Решить неравенство
Решение Полагая у = tg х, мы, как и в предыдущем примере, приходим к квадратному неравенству: . Решая его, получаем, что 1 ? у ? 3. Таким образом, вопрос снова свелся к решению системы неравенств
.
Период функции у = tg х равен p. Рассуждая так же, как в примере 5, находим сначала для интервала от до следующие значения х: . Учитывая периодичность, получаем окончательный ответ:
, .
Все разобранные до сих пор примеры были подобраны так, чтобы в ответах фигурировали «круглые» значения аргументов типа
Однако это совсем не обязательно, так как ответ может быть записан всегда с помощью символов обратных тригонометрических функций. Для иллюстрации этого рассмотрим пример, отличающийся от примера 6 лишь значениями числовых коэффициентов.
Пример 7. Решить неравенство
tg2 x — 5tgx + 6 ? 0.
Решение:
Рассуждая так же, как в примере 6, приходим к системе неравенств

Ответ теперь запишется в виде k p+ arctg 2 Пример 8. Решить неравенство 12sin2 x — 19 sin x - 5<0.
Р е ш е н и е:
Полагая у = sin х, получаем квадратное неравенство 12 y2 — 19 y - 5<0, откуда .
Таким образом, неизвестное х должно удовлетворять системе неравенств

Отличие от примеров 5, 6, 7 состоит в том, что первому неравенству системы, то есть неравенству , удовлетворяют все вещественные зна-чения х. Поэтому фактически нужно решить лишь второе неравенство . Нетрудно убедиться, что ему удовлетворяют следующие значения х:
, .
Это и есть окончательный ответ для заданного неравенства.
Очень грубой ошибкой будет, если в связи с неравенством в «ответе» появится « выражение» типа . Так как символ не имеет никакого смысла.

Заключение.
В данной работе были рассмотрены методы решения тригонометрических уравнений и неравенств. Были рассмотрены основные методы решения тригонометрических уравнений и неравенств, причем, как специфические - характерные только для тригонометрических уравнений и неравенств, так и общие функциональные методы решения уравнений и неравенств, применительно к тригонометрическим уравнениям.
В курсовой работе приведены основные теоретические сведения, кроме основных тригонометрических формул, хорошо известных из школьного курса, приведены формулы упрощающие выражения, содержащие обратные тригонометрические функции. Рассмотрены решение элементарных тригонометрических уравнений, метод разложения на множители, методы сведения тригонометрических уравнений к алгебраическим. Ввиду того, что решения тригонометрических уравнений можно записать несколькими способами, и вид этих решений не позволяет сразу установить, являются ли эти решения одинаковыми или различными, рассмотрена общая схема решения тригонометрических уравнений и подробно рассмотрено преобразование групп общих решений тригонометрических уравнений. Приведены решения типичных заданий на отбор корней. Приведены необходимые теоретических сведения для отбора корней: разбиение множества целых чисел на непересекающиеся подмножества, решение уравнений в целых числах.
В исследовании нами была рассмотрена также методика изучения тригонометрических функций, уравнений и неравенств в курсе математики старшей школы. В результате разработаны еще один урок обобщения и систематизации знаний на тему «Отбор корней при решении тригонометрических уравнений» и система тренировочных упражнений по подготовке к ЕГЭ. Таким образом, все поставленные задачи были решены, и тем самым, цель достигнута.



Список литературы
1. Азаров, А.И. Тригонометрия. Тождества, уравнения, неравенства, системы: учебное пособие / А.И. Азаров, В.И. Булатов, В.С. Федосенко, А.С. Шибут. – Минск: Полымя, 1998. – 494с.
2. Бардушкин В., Тригонометрические уравнения. Отбор корней/В. Бардушкин, А. Прокофьев.// Математика, №12, 2005 с. 23--27.
3. Бородин П., Тригонометрия. Материалы вступительных экзаменов в МГУ/П.Бородин, В.Галкин, В.Панфёров, И.Сергеев, В.Тарасов // Математика №1, 2005 с. 36--48.
4. Бородуля, И.Т. Тригонометрические уравнения и неравенства / И.Т. Бородуля. – М.: Просвещение, 1989. – 239с.
5. Гельфанд И.М., Львовский С.М., Тоом А.Л. Тригонометрия/ М. : МЦНМО, 2003.-7-16 с.
6. Звавич В.И., Пигарев Б.П. Тригонометрические уравнения (решение уравнений + варианты самостоятельных работ)//Математика в школе.№3, С.18-27
7. Игудисман О., Математика на устном экзамене/ Игудисман О. - М.: Айрис пресс, Рольф, 2001.
8. Королев С.В. Тригонометрия на экзамене по математике, изд. Экзамен, 2006. – 254 с.
9. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа.10-11 классы. Часть 1.Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений(базовый уровень). – 10-е изд., стер. – М. : Мнемозина, 2009. – 399 с.
10. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа.10-11 классы. Часть 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений(базовый уровень), – 10-е изд., стер. – М. : Мнемозина, 2009. – 399 с.
11. Мордкович А.Г., И.М. Смирнова. Математика-10 (базовый уровень). – 8-е изд., стер. – М. : 2013. – 431 с.
12. Никольский М.К. Алгебра и начала анализа: Учеб. Для 10 класса общеобразовательных учреждений. – 8-е изд. – М. :Просвещение, 2009. – 430 с.
13. Никольский С.М., Потапов М.К.,Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра и начало анализа: / Учебник для 10 класса общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение, 2005г.
14. Смоляков А.Н., Севрюков П.Ф. Приемы решения тригонометрических уравнений//Математика в школе. 2004. №1. С.24-26.
15. Шарыгин И.Ф., Факультативный курс по математике: решение задач/ Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. - М.: Просвещение, 1991.



Перейти к полному тексту работы


Скачать работу с онлайн повышением уникальности до 90% по antiplagiat.ru, etxt.ru или advego.ru


Смотреть похожие работы

* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.